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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年四川工商职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于40的概率()A.15B.25C.35D.45答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数,共有A52=20种结果,满足条件的事件可以列举出有,41,41,43,45,54,53,52,51共有8个,根据古典概型概率公式得到P=820=25,故选B.2.给出下列结论:
(1)在回归分析中,可用指数系数R2的值判断模型的拟合效果,R2越大,模型的拟合效果越好;
(2)在回归分析中,可用残差平方和判断模型的拟合效果,残差平方和越大,模型的拟合效果越好;
(3)在回归分析中,可用相关系数r的值判断模型的拟合效果,r越大,模型的拟合效果越好;
(4)在回归分析中,可用残差图判断模型的拟合效果,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明这样的模型比较合适.带状区域的宽度越窄,说明模型的拟合精度越高.
以上结论中,正确的有()个.
A.1
B.2
C.3
D.4答案:B3.若向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,2,2),则a•(b+c)=33.答案:∵b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5),∴a•(b+c)=(2,-3,1)•(2,2,5)=4-6+5=3.故为:3.4.设=(-2,2,5),=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系是()
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定答案:B5.直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点F2并与椭圆交与A、B两点,则△ABF1的周长是()A.4B.6C.8D.16答案:根据题意结合椭圆的定义可得:|AF1|+|AF2|=2a=4,,并且|BF1|+|BF2|=2a=4,又因为|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故选C.6.若则实数λ的值是()
A.
B.
C.
D.答案:D7.x+y+z=1,则2x2+3y2+z2的最小值为()
A.1
B.
C.
D.答案:C8.某商人将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果是每台彩电比原价多赚了270元,则每台彩电原价是______元.答案:设每台彩电的原价是x元,则有:(1+40%)x×0.8-x=270,解得:x=2250,故为:2250.9.(理)
设O为坐标原点,向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当QA•QB取得最小值时,点Q的坐标为______.答案:∵OP=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,设OQ=λOP=(λ,λ,2λ)又∵向量OA=(1,2,3),OB=(2,1,2),∴QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ)则QA•QB=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10易得当λ=43时,QA•QB取得最小值.此时Q的坐标为(43,43,83)故为:(43,43,83)10.用数学归纳法证明:1n+1+1n+2+1n+3+…+1n+n>1124
(n∈N,n≥1)答案:证明:(1)当n=1时,左边=12>1124,∴n=1时成立(2分)(2)假设当n=k(k≥1)时成立,即1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k>1124那么当n=k+1时,左边=1k+2+1k+3+…+1k+k
+1K+1+k+1k+1+k+1=1k+1+1k+2+1k+3+…+1k+k+1k+k+1
+1k+1+k+1-1k+1>1124+12k+1-12k+2>1124.∴n=k+1时也成立(7分)根据(1)(2)可得不等式对所有的n≥1都成立(8分)11.若对n个向量a1,a2,…,an,存在n个不全为零的实数k1,k2…,kn,使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立,则称向量a1,a2,…,an为“线性相关”.依此规定,请你求出一组实数k1,k2,k3的值,它能说明a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”.k1,k2,k3的值分别是______(写出一组即可).答案:设a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)“线性相关”.则存在实数,k1,k2,k3,使k1a1+k2a2+k3a3=0∵a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)∴k1+k2+2k3=0,且-k2+2k3=0令k3=1,则k2=2,k1=-4故为:-4,2,112.已知直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为______.答案:设A(a,0)、B(0,b),a>0,b>0,AB方程为xa+
yb=1,点P(2,1)代入得2a+1b=1≥22ab,∴ab≥8
(当且仅当a=4,b=2时,等号成立),故三角形OAB面积S=12
ab≥4,故为4.13.若平面α与β的法向量分别是a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),则平面α与β的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交不垂直D.无法判断答案:∵a=(1,0,-2),b=(-1,0,2),∴a+b=(1-1,0+0,-2+2)=(0,0,0),即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分别是平面α与β的法向量∴平面α与β的法向量平行,可得平面α与β互相平行.14.一个家庭有两个小孩,假设生男生女是等可能的,已知这个家庭有一个是女孩的条件下,这时另一个也是女孩的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:D15.如图程序输出的结果是()
a=3,
b=4,
a=b,
b=a,
PRINTa,b
END
A.3,4
B.4,4
C.3,3
D.4,3答案:B16.若O(0,0),A(1,2)且OA′=2OA.则A′点坐标为()A.(1,4)B.(2,2)C.(2,4)D.(4,2)答案:设A′(x,y),OA′=(x,y),OA=(1,2),∴(x,y)=2(1,2),故选C.17.复数32i+11-i的虚部是______.答案:复数32i+11-i=32i+1+i(1-i)(1+i)=32i+1+i2=12+2i∴复数的虚部是2,故为:218.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是()A.(¬p)∨qB.p∧qC.(¬p)∧(¬q)D.(¬p)∨(¬q)答案:不难判断命题p为真命题,命题q为假命题,从而?p为假命题,?q为真命题,所以A、B、C均为假命题,故选D.19.平面α外一点P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等,且P在α内的射影在四边形内部,则四边形是()
A.梯形
B.圆外切四边形
C.圆内接四边
D.任意四边形答案:B20.设a1,a2,…,an为正数,求证:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a1+a2+…+an.答案:证明:不妨设a1>a2>…>an>0,则a12>a22>…>an2,1a1<1a2<…1an由排序原理:乱序和≥反序和,可得:a21a2+a22a3+…+a2n-1an+a2na1≥a12a1+a22a2+…+an2an=a1+a2+…+an.21.方程组的解集是[
]A.{5,1}
B.{1,5}
C.{(5,1)}
D.{(1,5)}答案:C22.将4封不同的信随机地投入到3个信箱里,记有信的信箱个数为ξ,试求ξ的分布列.答案:由题意知变量ξ的可能取值是1,2,3,P(ξ=1)=C1334=127,P(ξ=2)=C23(2C14+C24)34=1427,P(ξ=3)=C24A3334=1227,∴ξ的分布列是23.“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1的”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:当“a=18”时,由基本不等式可得:“对任意的正数x,2x+ax≥1”一定成立,即“a=18”?“对任意的正数x,2x+ax≥1”为真命题;而“对任意的正数x,2x+ax≥1的”时,可得“a≥18”即“对任意的正数x,2x+ax≥1”?“a=18”为假命题;故“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1的”充分不必要条件故选A24.如图,在圆锥中,B为圆心,AB=8,BC=6
(1)求出这个几何体的表面积;
(2)求出这个几何体的体积.(保留π)答案:圆锥母线AC的长=AB2+BC2=82+62=10(1)表面积=π×62+π×6×10=96π(2)体积=13×π×62×8=96π25.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形.答案:证明:设圆内接五边形为ABCDE,圆心是O.连接OA,OB,OCOD,OE,可得五个三角形∵OA=OB=OC=OD=OE=半径,∴有五个等腰三角形在△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEA中则∠OAB=∠OBA,∠OBC=∠OCB,∠OCD=∠ODC,∠ODE=∠OED,∠OEA=∠OAE因为所有内角相等,所以∠OAE+∠OAB=∠OBA+∠OBC,所以∠OAE=∠OBC同理证明∠OBA=∠OCD,∠OCB=∠OED,∠ODC=∠OEA,∠OED=∠OAB则△OAB、△OBC、△OCD、△ODE、△OEA中,∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOA∴△OAB≌△OBC≌△OCD≌△ODE≌△OEA
(SAS边角边定律)∴AB=BC=CD=DE=EA∴五边形ABCDE为正五边形26.如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=______.答案:如图,把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,P4,P5,P6,P7七个点,F是椭圆的一个焦点,则根据椭圆的对称性知,|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a,同理其余两对的和也是2a,又|P4F1|=a,∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35,故为35.27.一圆台上底半径为5cm,下底半径为10cm,母线AB长为20cm,其中A在上底面上,B在下底面上,从AB中点M,拉一条绳子,绕圆台的侧面一周转到B点,则这条绳子最短长为______cm.答案:画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.有图得:所求的最短距离是MB',设OA=R,圆心角是α,则由题意知,10π=αR
①,20π=α(20+R)
②,由①②解得,α=π2,R=20,∴OM=30,OB'=40,则MB'=50cm.故为:50cm.28.电视机的使用寿命显像管开关的次数有关.某品牌电视机的显像管开关了10000次还能继续使用的概率是0.96,开关了15000次后还能继续使用的概率是0.80,则已经开关了10000次的电视机显像管还能继续使用到15000次的概率是______.答案:记“开关了10000次还能继续使用”为事件A,记“开关了15000次后还能继续使用”为事件B,根据题意,易得P(A)=0.96,P(B)=0.80,则P(A∩B)=0.80,由条件概率的计算方法,可得P=P(A∩B)P(A)=0.800.96=56;故为56.29.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是4和3及x,那么x的值的个数为()
A.1个
B.2个
C.2个以上但有限
D.无数个答案:B30.椭圆x=3cosθy=4sinθ的离心率是______.答案:∵x=3cosθy=4sinθ,∴(x3)2+(y4)2=cos2θ+sin2θ=1,即x29+y216=1,其中a2=16,b2=9,故c2=a2-b2=16-9=7(a>0,b>0,c>0),∴其离心率e=ca=74.故为:74.31.从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有一个黒球与都是红球
B.至少有一个黒球与都是黒球
C.至少有一个黒球与至少有1个红球
D.恰有1个黒球与恰有2个黒球答案:D32.b=ac(a,b,c∈R)是a、b、c成等比数列的()A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件答案:当b=a=0时,b=ac推不出a,x,b成等比数列成立,故不充分;当a,b,c成等比数列且a<0,b<0,c<0时,得不到b=ac故不必要.故选:D33.若关于x的不等式xa2-2xa-3<0在[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围是
A.[-1,1]
B.[-1,3]
C.(-1,1)
D.(-1,3)答案:D34.(1)求过两直线l1:7x-8y-1=0和l2:2x+17y+9=0的交点,且平行于直线2x-y+7=0的直线方程.
(2)求点A(--2,3)关于直线l:3x-y-1=0对称的点B的坐标.答案:(1)联立两条直线的方程可得:7x-8y-1=02x+17y+9=0,解得x=-1127,y=-1327所以l1与l2交点坐标是(-1127,-1327).(2)设与直线2x-y+7=0平行的直线l方程为2x-y+c=0因为直线l过l1与l2交点(-1127,-1327).所以c=13所以直线l的方程为6x-3y+1=0.点P(-2,3)关于直线3x-y-1=0的对称点Q的坐标(a,b),则b-3a+2×3=-1,且3×a-22-b+32-1=0,解得a=10且b=-1,对称点的坐标(10,-1)35.下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是()A.y=(x)2B.y=3x3C.y=x2D.y=x2x答案:选项A中的函数的定义域与已知函数不同,故排除选项A.选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系,故是同一个函数,故选项B满足条件.选项C中的函数与已知函数的值域不同,故不是同一个函数,故排除选项C.选项D中的函数与与已知函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除选项D,故选B.36.对变量x、y有观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v有观测数据(ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图2.由这两个散点图可以判断()
A.变量x与y正相关,u与v正相关
B.变量x与y正相关,u与v负相关
C.变量x与y负相关,u与v正相关
D.变量x与y负相关,u与v负相关答案:C37.已知集合A={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12},则A∩B=()A.{3,5}B.{3,6}C.{3,7}D.{3,9}答案:因为A∩B={1,3,5,7,9}∩{0,3,6,9,12}={3,9}故选D38.如图是2010年青年歌手大奖赛中,七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0~9中的
一个),去掉一个最高分和一个最低分后,甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1,a2,则一定有()A.a1>a2B.a2>a1C.a1=a2D.a1,a2的大小与m的值有关答案:由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后,两组数据都有五个数据,代入数据可以求得甲和乙的平均分a1=1+4+5×35+80=84,a2=4×3+6+75+80=85,∴a2>a1故选B39.直角△PIB中,∠PBO=90°,以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点.若弧AB等分△POB的面积,且∠AOB=α弧度,则(
)
A.tanα=α
B.tan=2α
C.sinα=2cosα
D.2sin=cosα答案:B40.设随机变量X~B(10,0.8),则D(2X+1)等于()
A.1.6
B.3.2
C.6.4
D.12.8答案:C41.无论m,n取何实数值,直线(3m-n)x+(m+2n)y-n=0都过定点P,则P点坐标为
A.(-1,3)
B.
C.
D.答案:D42.为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有3种不同颜色可供选择,则共有______种不同涂色方案(要求用具体数字作答).答案:由题意,首先给左上方一个涂色,有三种结果,再给最左下边的上面的涂色,有两种结果,右上方,如果与左下边的同色,则右方的涂色,有两种结果,右上方,如果与左下边的不同色,则右方的涂色,有1种结果,∴根据分步计数原理得到共有3×2×(2+1)=18种结果,故为18.43.抛物线x2+y=0的焦点位于()
A.y轴的负半轴上
B.y轴的正半轴上
C.x轴的负半轴上
D.x轴的正半轴上答案:A44.如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQ∥RS.答案:证明:如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0),∵AP=2PA1,∴AP=2PA1=23AA1,即AP=23(0,0,2)=(0,0,43),∴P(3,0,43)同理可得,Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,23),∴PQ=(-3,2,23)=RS,∴PQ∥RS,∵R∉PQ,∴PQ∥RS45.(本小题满分10分)数学的美是令人惊异的!如三位数153,它满足153=13+53+33,即这个整数等于它各位上的数字的立方的和,我们称这样的数为“水仙花数”.请您设计一个算法,找出大于100,小于1000的所有“水仙花数”.
(1)用自然语言写出算法;
(2)画出流程图.答案:(1)算法如下:第一步,i=101.第二步,如果i不大于999,则执行第三步,否则算法结束.第三步,若这个数i等于它各位上的数字的立方的和,则输出这个数.第四步,i=i+1,返回第二步.(2)程序框图,如右图所示.46.已知双曲线的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为()
A.-=1
B.-=1
C.-=1或-=1
D.-=0或-=0答案:C47.已知点M(1,2),N(1,1),则直线MN的倾斜角是()A.90°B.45°C.135°D.不存在答案:∵点M(1,2),N(1,1),则直线MN的斜率不存在,故直线MN的倾斜角是90°,故选A.48.若a=0.30.2,b=20.4,c=0.30.3,则a,b,c三个数的大小关系是:______(用符号“>”连接这三个字母)答案:∵1=0.30>0.30.2>0.30.3,又∵20.4>20=1,∴b>a>c.故为:b>a>c.49.P在⊙O外,PC切⊙O于C,PAB交⊙O于A、B,则()
A.∠PCB=∠B
B.∠PAC=∠P
C.∠PCA=∠B
D.∠PAC=∠BCA答案:C50.下列各式中错误的是()
A.||2=2
B.||=||
C.0•=0
D.m(n)=mn(m,n∈R)答案:C第2卷一.综合题(共50题)1.8的值为()
A.2
B.4
C.6
D.8答案:B2.两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是
______.答案:∵两平行直线
ax+by+m=0
与
ax+by+n=0间的距离是|m-n|a2+b2,5x+12y+3=0即10x+24y+6=0,∴两平行直线5x+12y+3=0与10x+24y+5=0间的距离是|5-6|102+242=1576=126.故为126.3.为了检测某种产品的直径(单位mm),抽取了一个容量为100的样本,其频率分布表(不完整)如下:
分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)
(Ⅰ)完成频率分布表;
(Ⅱ)画出频率分布直方图;
(Ⅲ)据上述图表,估计产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几?答案:解(Ⅰ)分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)72240.24[11.25,11.35)84120.12[11.35,11.45)9280.08[11.45,11.55)9860.06[11.55,11.65)10020.02(Ⅲ)0.15+0.18+0.24+0.12=0.69=69%,所以产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性为69%.4.若a为实数,,则a等于()
A.
B.-
C.2
D.-2答案:B5.已知向量表示“向东航行1km”,向量表示“向南航行1km”,则向量表示()
A向东南航行km
B.向东南航行2km
C.向东北航行km
D.向东北航行2km答案:A6.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为______.答案:过A点做BC的垂线,垂足为M',当M点落在线段BM'(含M'点不含B点)上时∠AMB≥90由∠A=90°,AB=1,BC=2解得BM'=12,则∠AMB≥90°的概率p=122=14.故为:147.抛物线y=3x2的焦点坐标是______.答案:化为标准方程为x2=13y,∴2p=13,∴p2=
112,∴焦点坐标是(0,112).故为(0,112)8.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情形都有可能答案:A9.已知复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,则实数m=______.答案:当m2-5m+6=0m2-3m≠0时,即m=2或m=3m≠0且m≠3⇒m=2时复数z为纯虚数.故为:2.10.如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,OA=3,OB=4,OO1=2,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q、R分别是O1B1、AE的中点,求证:PQ∥RS.答案:证明:如图,建立空间直角坐标系,则A(3,0,0),B(0,4,0),O1(0,0,2),A1(3,0,2),B1(0,4,2),E(3,4,0),∵AP=2PA1,∴AP=2PA1=23AA1,即AP=23(0,0,2)=(0,0,43),∴P(3,0,43)同理可得,Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,23),∴PQ=(-3,2,23)=RS,∴PQ∥RS,∵R∉PQ,∴PQ∥RS11.平面向量与的夹角为60°,=(1,0),||=1,则|+2|=(
)
A.7
B.
C.4
D.12答案:B12.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆(a>b>0)上的一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.答案:D13.曲线(θ为参数)上的点到原点的最大距离为()
A.1
B.
C.2
D.答案:C14.种植两株不同的花卉,它们的存活率分别为p和q,则恰有一株存活的概率为(
)A.p+q-2pqB.p+q-pqC.p+qD.pq答案:A解析:恰有一株存活的概率为p(1-q)+(1-p)q=p+q-2pq。15.函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],当a变动时,函数b=g(a)的图象可以是()A.
B.
C.
D.
答案:根据选项可知a≤0a变动时,函数y=2|x|的定义域为[a,b],值域为[1,16],∴2|b|=16,b=4故选B.16.已知△ABC的三个顶点A(-2,-1)、B(1,3)、C(2,2),则△ABC的重心坐标为______.答案:设△ABC的重心坐标为(x,y),则有三角形的重心坐标公式可得x=-2+1+23=13,y=-1+3+23=43,故△ABC的重心坐标为(13,43),故为(13,43).17.设直线y=kx与椭圆x24+y23=1相交于A、B两点,分别过A、B向x轴作垂线,若垂足恰为椭圆的两个焦点,则k等于()A.±32B.±23C.±12D.±2答案:将直线与椭圆方程联立,y=kxx24+y23=1,化简整理得(3+4k2)x2=12(*)因为分别过A、B向x轴作垂线,垂足恰为椭圆的两个焦点,故方程的两个根为±1.代入方程(*),得k=±32故选A.18.下列几何体各自的三视图中,有且仅有两个视图相同的是()
A.①②B.①③C.①④D.②④答案:正方体的三视图都相同,而三棱台的三视图各不相同,圆锥和正四棱锥的,正视图和侧视图相同,所以,正确为D.故选D19.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是()
A.有两个内角是直角
B.有三个内角是直角
C.至少有两个内角是直角
D.没有一个内角是直角答案:C20.直线过原点且倾角的正弦值是45,则直线方程为______.答案:因为倾斜角α的范围是:0≤α<π,又由题意:sinα=45所以:tanα=±43x直线过原点,由直线的点斜式方程得到:y=±43x故为:y=±43x21.4位学生与2位教师并坐合影留念,针对下列各种坐法,试问:各有多少种不同的坐法?(用数字作答)
(1)教师必须坐在中间;
(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起;
(3)教师不能坐在两端,且不能相邻.答案:(1)先排4位学生,有A44种坐法,2位教师坐在中间,可以交换位置,有A22种坐法,则共有A22A44=48种坐法;(2)先排4位学生,有A44种坐法,2位教师坐在一起,将其看成一个整体,可以交换位置,有2种坐法,将这个“整体”插在4个学生的空位中,又由教师不能坐在两端,则有3个空位可选,则共有2A44A31=144种坐法;(3)先排4位学生,有A44种坐法,教师不能相邻,将其依次插在4个学生的空位中,又由教师不能坐在两端,则有3个空位可选,有A32种坐法,则共有A44A32=144种坐法..22.如图,△ABC中,AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,若AF=xAB+yAC,则()A.x=13,y=12B.x=14,y=13C.x=37,y=37D.x=25,y=920答案:过点F作FM∥AC、FN∥AB,分别交AB、AC于点M、N∵FM∥AC,∴FMAC=DMAD且FMAE=BMAB∵AD=2DB,AE=3EC,∴AD=23AB,AE=34AC.由此可得AM=13AB同理可得AN=12AC∵四边形AMFN是平行四边形∴由向量加法法则,得AF=13AB+12AC∵AF=xAB+yAC,∴根据平面向量基本定理,可得x=13,y=12故选:A23.给出下列四个命题,其中正确的一个是()
A.在线性回归模型中,相关指数R2=0.80,说明预报变量对解释变量的贡献率是80%
B.在独立性检验时,两个变量的2×2列联表中对角线上数据的乘积相差越大,说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大
C.相关指数R2用来刻画回归效果,R2越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越好
D.线性相关系数r的绝对值越接近于1,表明两个随机变量线性相关性越强答案:D24.已知、分别是与x轴、y轴方向相同的单位向量,且=-3+6,=-6+4,=--6,则一定共线的三点是()
A.A,B,C
B.A,B,D
C.A,C,D
D.B,C,D答案:C25.如图所示,以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O,交斜边AB于点D,过点D作⊙O的切线,交BC边于点E.则BEBC=______.答案:连接CD,∵AC是⊙O的直径,∴CD⊥AB.∵BC经过半径OC的端点C且BC⊥AC,∴BC是⊙O的切线,而DE是⊙O的切线,∴EC=ED.∴∠ECD=∠CDE,∴∠B=∠BDE,∴DE=BE.∴BE=CE=12BC.∴BEBC=12.故为12.26.如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点,
(Ⅰ)求证:DM⊥EB;
(Ⅱ)设二面角M-BD-A的平面角为β,求cosβ.答案:分别以直线AE,AB,AD为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设CB=a,则A(0,0,0),E(2a,0,0),B(0,2a,0),C(0,2a,a),D(0,0,2a)所以M(a,a,a2).(Ⅰ):DM=(a,a,-3a2)
,EB=(-2a,2a,0)DM•EB=a•(-2a)+a•2a+0=0.∴DM⊥EB,即DM⊥EB.(Ⅱ)设平面MBD的法向量为n=(x,y,z),DB=(0,2a,-2a),由n⊥DB,n⊥DM,得n•DB=2ay-2az=0n•DM=ax+ay-3a2z=0⇒y=zx+y-3z2=0取z=2得平面MBD的一非零法向量为n=(1,2,2),又平面BDA的一个法向量n1=(1,0,0).∴cos<n,n1>
=1+0+012+22+22•12+02+
02=13,即cosβ=1327.已知一9行9列的矩阵中的元素是由互不相等的81个数组成,a11a12…a19a21a22…a29…………a91a92…a99若每行9个数与每列的9个数按表中顺序分别构成等差数列,且正中间一个数a55=7,则矩阵中所有元素之和为______.答案:∵每行9个数按从左至右的顺序构成等差数列,∴a11+a12+a13+…+a18+a19=9a15,a21+a22+a23+…+a28+a29=9a25,a31+a32+a33+…+a38+a39=9a35,a41+a42+a43+…+a48+a49=9a45,…a91+a92+a93+…+a98+a99=9a95,∵每列的9个数按从上到下的顺序也构成等差数列,∴a15+a25+a35+…+a85+a95=9a55,∴表中所有数之和为81a55=567,故为567.28.某工厂生产产品,用传送带将产品送到下一道工序,质检人员每隔十分钟在传送带的某一个位置取一件检验,则这种抽样方法是()A.简单随机抽样B.系统抽样C.分层抽样D.非上述答案答案:本题符合系统抽样的特征:总体中各单位按一定顺序排列,根据样本容量要求确定抽选间隔,然后随机确定起点,每隔一定的间隔抽取一个单位的一种抽样方式.故选B.29.双曲线的渐近线方程是3x±2y=0,则该双曲线的离心率等于______.答案:∵双曲线的渐近线方程是3x±2y=0,∴ba=32,设a=2k,b=3k,则c=13k,∴e=ca=132.:132.30.如果随机变量ξ~N(0,σ2),且P(-2<ξ≤0)=0.4,则P(ξ>2)等于()
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4答案:A31.AB是圆O的直径,EF切圆O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC长为()
A.
B.3
C.2
D.2答案:A32.如图,AB为⊙O的直径,弦AC、BD交于点P,若AP=5,PC=3,DP=5,则AB=______.
答案:∵AP=5,PC=3,DP=5由相交弦定理可得:BP=35又∵AB为直径,∴∠ACB=90°∴BC=PB2-PC2=6∴AB=AC2-BC2=10故为:1033.向量a=i+
2j在向量b=3i+4j上的投影是______.答案:根据投影的定义可得:a在b方向上的投影为:|a|cos<a,b>=a?b|b|=1×3+2×452=115.故为:115.34.下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是()A.y=(x)2B.y=3x3C.y=x2D.y=x2x答案:选项A中的函数的定义域与已知函数不同,故排除选项A.选项B中的函数与已知函数具有相同的定义域、值域和对应关系,故是同一个函数,故选项B满足条件.选项C中的函数与已知函数的值域不同,故不是同一个函数,故排除选项C.选项D中的函数与与已知函数的定义域不同,故不是同一个函数,故排除选项D,故选B.35.一口袋内装有5个黄球,3个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次时停止,停止时取球的次数ξ是一个随机变量,则P(ξ=12)=______.(填算式)答案:若ξ=12,则取12次停止,第12次取出的是红球,前11次中有9次是红球,∴P(ξ=12)=C119(38)9×(58)2×38=C911(38)10(58)2
故为C911(38)10(58)236.在统计中,样本的标准差可以近似地反映总体的()
A.平均状态
B.频率分布
C.波动大小
D.最大值和最小值答案:C37.巳知椭圆{xn}与{yn}的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为______.答案:由题设知e=32,2a=12,∴a=6,b=3,∴所求椭圆方程为x236+y29=1.:x236+y29=1.38.已知D是△ABC所在平面内一点,,则()
A.
B.
C.=
D.答案:A39.若x,y∈R,则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件答案:根据复数的分类,x+yi为纯虚数的充要条件是x=0,y≠0.“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题,反之为真.∴x,y∈R,则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选B40.已知直线l的参数方程为x=-4+4ty=-1-2t(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=22cos(θ+π4),则圆心C到直线l的距离是______.答案:直线l的普通方程为x+2y+6=0,圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2y=0.所以圆心C(1,-1)到直线l的距离d=|1-2+6|5=5.故为5.41.设随机事件A、B,P(A)=35,P(B|A)=12,则P(AB)=______.答案:由条件概率的计算公式,可得P(AB)=P(A)×P(B|A)=35×12=310;故为310.42.已知抛物线和双曲线都经过点M(1,2),它们在x轴上有共同焦点,抛物线的顶点为坐标原点,则双曲线的标准方程是______.答案:设抛物线方程为y2=2px(p>0),将M(1,2)代入y2=2px,得P=2.∴抛物线方程为y2=4x,焦点为F(1,0)由题意知双曲线的焦点为F1(-1,0),F2(1,0)∴c=1对于双曲线,2a=||MF1|-|MF2||=22-2∴a=2-1,a2=3-22,b2=22-2∴双曲线方程为x23-22-y222-2=1.故为:x23-22-y222-2=1.43.已知△ABC,A(-1,0),B(3,0),C(2,1),对它先作关于x轴的反射变换,再将所得图形绕原点逆时针旋转90°.
(1)分别求两次变换所对应的矩阵M1,M2;
(2)求△ABC在两次连续的变换作用下所得到△A′B′C′的面积.答案:(1)关于x轴的反射变换M1=100-1,绕原点逆时针旋转90°的变换M2=0-110.(4分)(2)∵M2•M1=0-110100-1=0110,(6分)△ABC在两次连续的变换作用下所得到△A′B′C′,∴A(-1,0),B(3,0),C(2,1)变换成:A′(0,-1),B′(0,3),C′(1,2),(9分)∴△A'B'C'的面积=12×4×1=2.(10分)44.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()
A.2
B.6
C.4
D.12答案:C45.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1
则|a+2b|=______.答案:∵平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),|b|=1
∴|a+2b|=(a+2b)2=a2+4×a?b+4b2=4+4×2×1×cos60°+4=23.故为:23.46.在极坐标系中,点(2,)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为()
A.2
B.
C.
D.答案:D47.已知|a|=8,e是单位向量,当它们之间的夹角为π3时,a在e方向上的投影为()A.43B.4C.42D.8+23答案:由两个向量数量积的几何意义可知:a在e方向上的投影即:a?e=|a||e|cosπ3=8×1×12=4故选B48.
若向量,满足||=||=2,与的夹角为60°,则|+|=()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B49.已知O是空间任意一点,A、B、C、D四点满足任三点均不共线,但四点共面,且=2x+3y+4z,则2x+3y+4z=(
)答案:﹣150.若函数f(x)对任意实数x都有f(x)<f(x+1),那么()A.f(x)是增函数B.f(x)没有单调递增区间C.f(x)没有单调递减区间D.f(x)可能存在单调递增区间,也可能存在单调递减区间答案:根据函数f(x)对任意实数x都有f(x)<f(x+1),画出一个满足条件的函数图象如右图所示;根据图象可知f(x)可能存在单调递增区间,也可能存在单调递减区间故选D.第3卷一.综合题(共50题)1.已知两定点F1(5,0),F2(-5,0),曲线C上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是8,则曲线C的方程为()A.x29-y216=1B.x216-y29=1C.x225-y236=1D.y225-x236=1答案:据双曲线的定义知:P的轨迹是以F1(5,0),F2(-5,0)为焦点,以实轴长为8的双曲线.所以c=5,a=4,b2=c2-a2=9,所以双曲线的方程为:x216-y29=1故选B2.已知△ABC的三个顶点A(-2,-1)、B(1,3)、C(2,2),则△ABC的重心坐标为______.答案:设△ABC的重心坐标为(x,y),则有三角形的重心坐标公式可得x=-2+1+23=13,y=-1+3+23=43,故△ABC的重心坐标为(13,43),故为(13,43).3.已知平面上直线l的方向向量=(-,),点O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分别是O'和A′,则=λ,其中λ等于()
A.
B.-
C.2
D.-2答案:D4.长方体的长、宽、高之比是1:2:3,对角线长是214,则长方体的体积是
______.答案:长方体的长、宽、高之比是1:2:3,所以长方体的长、宽、高是x:2x:3x,对角线长是214,所以,x2+(2x)2+(3x)2=(214)2,x=2,长方体的长、宽、高是2,4,6;长方体的体积是:2×4×6=48故为:485.如图所示,CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线,CE⊥CD,CE=103,连接DE交BC于点F,AC=4,BC=3.
求证:(1)△ABC∽△EDC;
(2)DF=EF.答案:证明:(1)∵CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线∴CD=12AB=12AC2+BC2=52.∴CECD=10352=43=ACBC,∠ACB=∠DCE=90°.∴△ABC∽△EDC.(2)因为△ABC∽△EDC∴∠B=∠CDE,∠E=∠A.由CD为Rt△ABC斜边AB边上的中线得:CD=AD=DB?∠B=∠DCB,∠A=∠DCA∴∠DCB=∠CDE?DF=CF;又因为:∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°;∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E∴CF=EF.∴DF=EF.6.9、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有()
A.140种
B.84种
C.70种
D.35种答案:C7.一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线答案:设动圆的圆心为P,半径为r,而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),半径为1;圆x2+y2-8x+12=0的圆心为F(4,0),半径为2.依题意得|PF|=2+r|,|PO|=1+r,则|PF|-|PO|=(2+r)-(1+r)=1<|FO|,所以点P的轨迹是双曲线的一支.故选C.8.为了了解某社区居民是否准备收看奥运会开幕式,某记者分别从社区的60~70岁,40~50岁,20~30岁的三个年龄段中的160,240,X人中,采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查,若60~70岁这个年龄段中抽查了8人,那么x为()
A.90
B.120
C.180
D.200答案:D9.过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是______.答案:根据题意画出相应的图形,如图所示:直线PA和PB为过点P的两条切线,且∠APB=60°,设P的坐标为(a,b),连接OP,OA,OB,∴OA⊥AP,OB⊥BP,PO平分∠APB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=30°,又圆x2+y2=1,即圆心坐标为(0,0),半径r=1,∴OA=OB=1,∴OP=2AO=2BO=2,∴a2+b2=2,即a2+b2=4①,又P在直线x+y-22=0上,∴a+b-22=0,即a+b=22②,联立①②解得:a=b=2,则P的坐标为(2,2).故为:(2,2)10.过P(-1,1),Q(3,9)两点的直线的斜率为(
)
A.2
B.
C.4
D.答案:A11.双曲线x2a2-y2b2=1,(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,坐标原点到直线AB的距离为32,其中A(a,0),B(0,-b).
(1)求双曲线的方程;
(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求B1M⊥B1N时,直线MN的方程.答案:(1)∵A(a,0),B(0,-b),∴设直线AB:xa-yb=1∴ba=3aba2+b2=32,∴a=3b=3,∴双曲线方程为:x23-y29=1.(2)∵双曲线方程为:x23-y29=1,∴A1(-3,0),A2(3,0),设P(x0,y0),∴kPA1=y0x0+3,kPA2=y0x0-3,∴k1k2=y02x02-3=3x02-9x02-3=3.B(0,-3)B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2)∴设直线l:y=kx-3,∴y=kx-33x2-y2=9,∴3x2-(kx-3)2=9.(3-k2)x2+6kx-18=0,∴x1+x2=6kk2-3
y1+y2=k(x1+x2)-6=18k2-3x1x2=18k2-3
y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9∵B1M=(x1,y1-3)
B1N=(x2,y2-3)∵B1M•B1N=0∴x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=018k2-3+9-54k2-3+9=0k2=5,即k=±5代入(1)有解,∴lMN:y=±5x-3.12.等边三角形ABC中,P在线段AB上,且AP=λAB,若CP•AB=PA•PB,则实数λ的值是______.答案:设等边三角形ABC的边长为1.则|AP|=λ|AB|=λ,|PB|=1-λ.(0<λ<1)CP•AB=(CA+AP)•AB=CA•AB+
AP•AB=PA•PB,所以1×1×cos120°+λ×1×cos0°=λ×(1-λ)cos180°.化简-12+λ=-λ(1-λ),整理λ2-2λ+12=0,解得λ=2-22(λ=2+22>1舍去)故为:2-2213.化简5(2a-2b)+4(2b-2a)=______.答案:5(2a-2b)+4(2b-2a)=10a-10b+8b-8a=2a-2b故为:2a-2b14.与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是______.答案:设M(x,y)为所求轨迹上任一点,则由题意知1+|y|=x2+y2,化简得x2=2|y|+1.因此与x轴相切并和圆x2+y2=1外切的圆的圆心的轨迹方程是x2=2|y|+1.故为x2=2|y|+1.15.设有三个命题:“①0<12<1.②函数f(x)=log
12x是减函数.③当0<a<1时,函数f(x)=logax是减函数”.当它们构成三段论时,其“小前提”是______(填序号).答案:三段话写成三段论是:大前提:当0<a<1时,函数f(x)=logax是减函数,小前提:0<12<1,结论:函数f(x)=log
12x是减函数.其“小前提”是①.故为:①.16.已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率为e=32,则椭圆的方程为______.答案:根据椭圆的定义,△AF1B的周长为16可知,4a=16,∴a=4,∵e=32,∴c=23,∴b=2,∴椭圆的方程为x216+y24=1,故为x216+y24=117.下列说法中正确的是()A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真B.“a>b”与“a+c>b+c”不等价C.“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0,则a2+b2≠0”D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真答案:A、逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故A错误;B、由不等式的性质可知,“a>b”与“a+c>b+c”等价,故B错误;C、“a2+b2=0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b不全为0,则a2+b2≠0”,故C错误;D、否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性,故D正确;故选D18.如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸边的某处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路l,以便建立水陆交通网.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线C的方程;
(2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形,在图中标出此时码头Q的位置),并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)答案:(1)过点O作准线的垂线,垂足为A,以OA所在直线为x轴,OA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系…(2分)由题意得,p2=0.4…(4分)所以,抛物线C:y2=1.6x…(6分)(2)设抛物线C的焦点为F由题意得,P(5,53)…(8分)根据抛物线的定义知,公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)当Q为线段PF与抛物线C的交点时,公路总长最小,最小值为9.806千米…(16分)19.已知0≤θ<2π,复数icosθ+isinθ>0,则θ的值是()A.π2B.3π2C.(0,π)内的任意值D.(0,π2)∪(3π2,2π)内的任意值答案:复数icosθ+isinθ>0,可得icosθ+sinθ>0,因为0≤θ<2π,所以θ=π2.故选A.20.Direchlet函数定义为:D(t)=1,t∈Q0,t∈CRQ,关于函数D(t)的性质叙述不正确的是()A.D(t)的值域为{0,1}B.D(t)为偶函数C.D(t)不是周期函数D.D(t)不是单调函数答案:函数D(t)是分段函数,值域是两段的并集,所以值域为{0,1};有理数和无理数正负关于原点对称,所以函数D(t)的图象关于y轴对称,所以函数是偶函数;对于不同的有理数x对应的函数值相等,所以函数不是单调函数;因为任取一个非0有理数,都有有理数加有理数为有理数,有理数加无理数为无理数,所以函数D(t)的图象周期出现,所以函数是周期函数,所以选项C不正确.故选C.21.(几何证明选讲选做题)如图4,A,B是圆O上的两点,且OA⊥OB,OA=2,C为OA的中点,连接BC并延长交圆O于点D,则CD=______.答案:如图所示:作出直径AE,∵OA=2,C为OA的中点,∴OC=CA=1,CE=3.∵OB⊥OA,∴BC=22+12=5.由相交弦定理得BC?CD=EC?CA,∴CD=EC?CABC=3×15=355.故为355.22.不等式的解集
.答案:;解析:略23.若不等式(﹣1)na<2+对任意n∈N*恒成立,则实数a的取值范围是
[
]A.[﹣2,)
B.(﹣2,)
C.[﹣3,)
D.(﹣3,)答案:A24.老师在班级50名学生中,依次抽取学号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的学和进行作业检查,这种抽样方法是()
A.随机抽样
B.分层抽样
C.系统抽样
D.以上都是答案:C25.命题“p:任意x∈R,都有x≥2”的否定是______.答案:命题“任意x∈R,都有x≥2”是全称命题,否定时将量词对任意的x∈R变为存在实数x,再将不等号≥变为<即可.故为:存在实数x,使得x<2.26.如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.答案:(1)二面角B—AD—F的大小为45°(2)直线BD与EF所成的角的余弦值为解析:(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,∴AD⊥AB,AD⊥AF,故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.依题意可知,ABFC是正方形,∴∠BAF=45°.即二面角B—AD—F的大小为45°;(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(3,0,0),D(0,-3,8),E(0,0,8),F(0,3,0),∴=(-3,-3,8),=(0,3,-8).cos〈,〉=
==-.设异面直线BD与EF所成角为,则cos=|cos〈,〉|=.即直线BD与EF所成的角的余弦值为.27.今天为星期六,则今天后的第22010天是()A.星期一B.星期二C.星期四D.星期日答案:∵22010=8670=(7+1)670=C6700×7670×10+C6701×7669×11+C6702×7668×12+…+C6702010×70×1670∴22010除7的余数是1故今天为星期六,则今天后的第22010天是星期日故选D28.能较好地反映一组数据的离散程度的是()
A.众数
B.平均数
C.标准差
D.极差答案:C29.下面四个结论:
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②奇函数的图象一定通过原点;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R),
其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,因此①错误,③正确;奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,只有在原点处有定义才通过原点,因此②错误;若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定x∈R,只要定义域关于原点对称即可,因此④错误.故选A.30.设两个正态分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和N(μ2,σ22)(σ2>0)曲线如图所示,则有()
A.μ1<μ2,σ1>σ2
B.μ1<μ2,σ1<σ2
C.μ1>μ2,σ1>σ2
D.μ1>μ2,σ1<σ2
答案:A31.电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC,AB=8,AC=9,BC=10,如果跳蚤开始时在BC边的点P0处,BP0=4.跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处,且CP1=CP0;第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处,且AP2=AP1;第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处,且BP3=BP2;跳蚤按上述规则一直跳下去,第n次落点为Pn(n为正整数),则点P2010与C间的距离为______答案:∵由题意可以发现每边各有两点,其中BC边上P0,P6,P12…重合,P3,P9,P15…重合,AC边上P1,P7,P13…重合,P4,P10,P16…重合,AB边上P2,P8,P14…重合,P5,P11,P17…重合.发现规律2010为六的倍数所以与P0重合,∴与C点之间的距离为6故为:632.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作()个.
A.2
B.3
C.4
D.5答案:D33.已知f(x)是定义域为正整数集的函数,对于定义域内任意的k,若f(k)≥k2成立,则f(k+1)≥(k+1)2成立,下列命题成立的是()A.若f(3)≥9成立,则对于任意k≥1,均有f(k)≥k2成立;B.若f(4)≥16成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)<k2成立;C.若f(7)≥49成立,则对于任意的k<7,均有f(k)<k2成立;D.若f(4)=25成立,则对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立答案:对A,当k=1或2时,不一定有f(k)≥k2成立;对B,应有f(k)≥k2成立;对C,只能得出:对于任意的k≥7,均有f(k)≥k2成立,不能得出:任意的k<7,均有f(k)<k2成立;对D,∵f(4)=25≥16,∴对于任意的k≥4,均有f(k)≥k2成立.故选D34.设直线l过点P(-3,3),且倾斜角为56π
(1)写出直线l的参数方程;
(2)设此直线与曲线C:x=2cosθy=4sinθ(θ为参数)交A、B两点,求|PA|•|PB|答案:(1)由于过点(a,b)倾斜角为α的直线的参数方程为
x=a+t•cosαy=b+t•sinα(t是参数),∵直线l经过点P(-3,3),倾斜角α=5π6,故直线的参数方程是x=-3-32ty=3+12t(t是参数).…(5分)(2)因为点A,B都在直线l上,所以可设它们对应的参数为t1和t1,则点A,B的坐标分别为A(-3-32t1,3+12t1),B(2-32t1,3+12t1).把直线L的参数方程代入椭圆的方程4x2+y2=16整理得到t2+(123+3)t+11613=0①,…(8分)因为t1和t2是方程①的解,从而t1t2=11613,由t的几何意义可知|PA||PB|=|t1||t2|=11613.…(10分)即|PA|•|PB|=11613.35.若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则a的取值范围是______.答案:当a>0时,方程对应的函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰有一解,必有f(0)•f(1)<0,即-1×(2a-2)<0,解得a>1当a≤0时函数f(x)=2ax2-x-1在(0,1)内恰无解.故为:a>136.甲袋中装有3个白球和5个黑球,乙袋中装有4个白球和6个黑球,现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中,充分混合后,再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中,则甲袋中白球没有减少的概率为()A.944B.2544C.3544D.3744答案:白球没有减少的情况有:①抓出黑球,抓入任意球,概率是:58.抓出白球,抓入白球,概率是38×511=1588,故所求事件的概率为58+1588=3544,故选C.37.在极坐标系下,圆C:ρ2+4ρsinθ+3=0的圆心坐标为()
A.(2,0)
B.
C.(2,π)
D.答案:D38.已知l∥α,且l的方向向量为(2,-8,1),平面α的法向量为(1,y,2),则y=______.答案:∵l∥α,∴l的方向向量(2,-8,1)与平面α的法向量(1,y,2)垂直,∴2×1-8×y+2=0,解得y=12.故为12.39.(不等式选讲选做题)已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值______.答案:解法一:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+33),∴x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3,x+2y+3z=1,即x=114,y=17,z=314时取等号.即x2+y2+z2的最小值为114.解法二:设向量a=(1,2,3),b=(x
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