高中数学5(必修) 解三角形 应用举例 课件

普通高中课程标准数学5(必修)第一章解三角形1.2应用举例1.正弦定理：可以解决的有关解三角形问题：（1）已知两角和任一边；（2）已知两边和其中一边的对角。a2=b2+c2-2bccosA；b2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2abcosC可以解决的有关解三角形的问题：（1）已知三边；（2）已知两边和他们的夹角。2.余弦定理：一、复习引入解三角形应用题中的几个角的概念2、方向角的概念：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫方向角，如图1.仰角、俯角的概念：在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫做俯角。如图：二、提出问题二、提出问题怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的举例？测量学三、概念形成例1:北京故宫的四个角上各矗立着一座角楼，若给你测角仪卷尺，如何通过测量，求得角楼的高度？（分组讨论）怎样测量一个底部不能到达的建筑物的高度？分析：如图，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C对角楼进行测量。三、概念形成如果移动测量仪

到（测量仪高度不变），想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？事实上，如图所示，在点B’，C’，D’构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得B’C’的长。这样，我们就可以根据正弦定理求出边B’C’的长，从而求出AB’的长。使得问题得到解决。三、概念形成某校用自制的仪器，测得α=20°，β=99°，γ=45°，CD=60m，测量仪器的高是1.5m，试求出故宫角楼的高度。（精确到0.1米）解：在△B’C’D’中，由正弦定理得，因此三、概念形成在△AB’C’中，AB’=B’C’tanα=72.17×tan20°≈26.3m，因此，AB=AB’+BB’=26.3+1.5=27.8(m).

答：故宫角楼的高约为27.8m.三、概念形成三、概念形成2.怎样测量地面上两个不能到达的地方之间的距离？例2.设A、B是两个海岛，设计一种测量两点间的距离的方法。ABAB三、概念形成分析：如图，A、B分别是两个海岛上接近海面的两处标志性设施，与问题1类似，如果只选择一个测点C，那么在△ABC中只能测得∠ACB的大小，问题不能得到解决。CAB三、概念形成C因此需要再选择一个测点D。构造一个能测出其一条边长的△BCD。要求出AB，还应先求出AC和BC，为此应先解决△ACD和△BCD。D在△BCD中，由正弦定理，得即在△ACD中，∠A=180°－(α+β+θ)，由正弦定理，得ABCD三、概念形成在△ABC中，由余弦定理，得AB2=BC2+AC2－2BC·ACcosα，把BC、AC代入上式即可求出AB。ABCD三、概念形成问题3.如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10N，且OA、OB都是细杆，只受沿杆方向的力。试求杆OA、OB所受的力。分析：点O处受到三个力的作用：灯线向下的拉力（记为F），O到A方向的拉力（记为F1），从B到O方向的支持力（记为F2），这三个力是平衡的。即F+F1+F2=0，三、概念形成O解：如图作，将F沿A到O，O到B两个方向进行分解，作□OCED，则，由题设条件可知，在△OCE中，由正弦定理得OBA三、概念形成CDEFF1F2因此，答：灯杆AO所受的拉力为11.3N，灯杆OB所受的压力为12.3N。OBACDEFF1F2三、概念形成问题4.如图，在海滨某城市附近海面有一台风，据检测，台风中心位于城市A的南偏东30°方向，据城市300km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西45°方向移动。如果台风侵袭的范围为圆形区域，半径为120km，几小时后该城市开始受到台风的侵袭(精确到0.1h)？三、概念形成60°45°APQ解：如图所示，设台风的中心x小时到达位置Q时，开始侵袭该城市，在△AQP中，依题意，得AQ=120km，AP=300km，PQ=20x，由正弦定理，得方程组60°45°APQ三、概念形成由(1)得所以∠Q≈40.3°(不合题意舍去)，∠Q=139.7°因此∠A≈180°－15°－139.7°=25.3°，代入②得所以答：大约9.9小时后，该城市开始受到台风的侵袭。三、概念形成练习1.甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解：如图所示，设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，有BC=at，AC=at，∠B=90°+30°=120°，四、课堂练习由得因为0°<∠CAB<90°，所以∠CAB=30°。故∠DAC=60°－30°=30°，答：甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇。四、课堂练习练习2.如图所示，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20km处和54km处，某时刻，检测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号，在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s，四、课堂练习（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B，C到P的距离并求x的值；（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离(结果精确到0.01km)。解：（1）依题意知PA－PB=1.5×8=12(km)，PC－PB=1.5×20=30(km)，因此PB=(x－12)(km)，PC=(18+x)(km)，在△PAB中，AB=20，四、课堂练习同理在△PAC中由于cos∠PAB=cos∠PAC，即解得(km)。四、课堂练习（2）作PD⊥a，垂足为D，在Rt△PDA中，PD=PAcos∠APD=PAcos∠PAB四、课堂练习练习3.如图，要测底部不能到达的烟囱的高AB，从与烟囱底部在同一水平直线上的C、D两处，测得烟囱的仰角分别是，CD间的距离是12m.已知测角仪器高1.5m,求烟囱的高。图中给出了怎样的一个几何图形？已知什么，求什么？想一想四、课堂练习AA1BCDC1D1分析：如图，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：答：烟囱的高为29.9m。四、课堂练习练习4.自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杠BC的长度（如图所示）。已知车箱的最大仰角为，油泵顶点B与车箱支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）。图中涉及到一个怎样的三角形？在中，已知什么？求什么？想一想四、课堂练习ABC分析：这个问题就是在中，已知AB=1.95m，AC=1.4m,求BC的长，由于已知的两边和它们的夹角，所以可根据余弦定理求出BC。解：由余弦定理，得答：顶杠BC长约为1.89m.四、课堂练习1、飞机的航线和山顶在同一个竖直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m,速度为经过960s后，又看到山顶的俯角为求山顶的海拔高度(精确到1m).189km/h,飞行员先看到山顶的俯角为2、如图，一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东,30min后航行到B处,在B

处看灯塔S在船的北偏东方向上,

求灯塔S和B处的距离(精确到0.1nmile).AB东西南北S第1题第2题3291m7.8nmile思考?四、课堂练习3.

图中是曲柄连杆机构示意图，当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB0位置时,曲柄和连杠成一条