2023年重庆应用技术职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年重庆应用技术职业学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.在区间[0，1]产生的随机数x1，转化为[-1，3]上的均匀随机数x，实施的变换为（）

A．x=3x1-1

B．x=3x1+1

C．x=4x1-1

D．x=4x1+1答案：C2.在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，“若x2的观测值为6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系”这句话的意思是指（）

A．在100个吸烟的人中，必有99个人患肺病

B．有1%的可能性认为推理出现错误

C．若某人吸烟，则他有99%的可能性患有肺病

D．若某人患肺病，则99%是因为吸烟答案：B3.若对n个向量a1，a2，…，an，存在n个不全为零的实数k1，k2…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”．依此规定，请你求出一组实数k1，k2，k3的值，它能说明a1=（1，0），a2=（1，-1），a3=（2，2）“线性相关”．k1，k2，k3的值分别是______（写出一组即可）．答案：设a1=（1，0），a2=（1，-1），a3=（2，2）“线性相关”．则存在实数，k1，k2，k3，使k1a1+k2a2+k3a3=0∵a1=（1，0），a2=（1，-1），a3=（2，2）∴k1+k2+2k3=0，且-k2+2k3=0令k3=1，则k2=2，k1=-4故为：-4，2，14.如图，I表示南北方向的公路，A地在公路的正东2km处，B地在A地北偏东60°方向2km处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路l和到A地距离相等，现要在河岸PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元）（）

A.（2+）a

B．5a

C.2（+1）a

D．6a

答案：B5.下列说法中正确的有（）

①平均数不受少数几个极端值的影响，中位数受样本中的每一个数据影响；

②抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大

③用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确．

④向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型．A．①②B．③C．③④D．④答案：中位数数不受少数几个极端值的影响，平均数受样本中的每一个数据影响，故①不正确，抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”的概率是14“两枚都是反面朝上的概率是14、“恰好一枚硬币正面朝上的概率是12”，故②不正确，用样本的频率分布估计总体分布的过程中，样本容量越大，估计越准确．正确向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是几何概型，故④不正确，故选B．6.圆（x+2）2+y2=4与圆（x-2）2+（y-1）2=9的位置关系为（）

A．内切

B．相交

C．外切

D．相离答案：B7.已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，F为焦点，A，B，C为抛物线上的三点，且满足FA+FB+FC=0，|FA|+|FB|+|FC|=6，则抛物线的方程为______．答案：设向量FA，FB，FC的坐标分别为（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）由FA+FB+FC=0得x1+x2+x3=0∵XA=x1+p2，同理XB=x2+p2，XC=x3+p2∴|FA|=x1+p2+p2=x1+p，同理有|FB|=x2+p2+p2=x2+p，|FC|=x3+p2+p2=x3+p，又|FA|+|FB|+|FC|=6，∴x1+x2+x3+3p=6，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x．故为：y2=4x．8.若，，，则

(

)

A．

B．

C．

D．答案：A9.根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．答案：画法：（1）画轴如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．（2）画圆台的两底面画出底面⊙O假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′、B′两点．（3）成图连接A′A、B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图．10.若定义运算a⊕b=b，a＜ba，a≥b则函数f（x）=2x⊕(12)x的值域为______（用区间表示）．答案：由题意画出f（x）=2x?(12)x的图象（实线部分），由图可知f（x）的值域为[1，+∞）．故为：[1，+∞）．11.函数f（x）=x2+ax+3，

（1）若f（1-x）=f（1+x），求a的值；

（2）在第（1）的前提下，当x∈[-2，2]时，求f（x）的最值，并说明当f（x）取最值时的x的值；

（3）若f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．答案：（1）∵f（1+x）=f（1-x）∴y=f（x）的图象关于直线x=1对称∴-a2=1即a=-2（2）a=-2时，函数f（x）=x2-2x+3在区间[-2，1]上递减，在区间[1，2]上递增，∴当x=-2时，fmax（x）=f（-2）=11当x=1时，fmin（x）=f（1）=2（3）∵x∈R时，有x2+ax+3-a≥0恒成立，须△=a2-4（3-a）≤0，即a2+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．12.设函数g(x)=ex

x≤0lnx，x＞0，则g(g(12))=______．答案：g(g(12))

=g(ln12)

=eln12=12故为：12．13.一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集是全体实数所满足的条件是(

)

A．

B.

C.

D.答案：D14.方程x（x2+y2-1）=0和x2-（x2+y2-1）2=0表示的图形是（）

A．都是两个点

B．一条直线和一个圆

C．前者为两个点，后者是一条直线和一个圆

D．前者是一条直线和一个圆，后者是两个圆答案：D15.函数f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为

______．答案：∵y=ax与y=loga（x+1）具有相同的单调性．∴f（x）=ax+loga（x+1）在[0，1]上单调，∴f（0）+f（1）=a，即a0+loga1+a1+loga2=a，化简得1+loga2=0，解得a=12故为：1216.椭圆x216+y27=1上的点M到左准线的距离为53，则点M到左焦点的距离为（）A．8B．5C．274D．54答案：根据椭圆的第二定义可知M到左焦点F1的距离与其到左准线的距离之比为离心率，依题意可知a=4，b=7∴c=3∴e=ca=34，∴根据椭圆的第二定义有：MF

1d=34∴M到左焦点的距离为MF1=53×34=54故选D．17.命题“12既是4的倍数，又是3的倍数”的形式是（）A．p∨qB．p∧qC．￢pD．简单命题答案：命题“12既是4的倍数，又是3的倍数”可转化成“12是4的倍数且12是3的倍数”故是p且q的形式；故选B．18.曲线的参数方程为（t是参数），则曲线是（

）

A．线段

B．双曲线的一支

C．圆

D．射线答案：D19.下列命题中，错误的是（）

A．平行于同一条直线的两个平面平行

B．平行于同一个平面的两个平面平行

C．一个平面与两个平行平面相交，交线平行

D．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交答案：A20.给出以下变量①吸烟，②性别，③宗教信仰，④国籍，其中属于分类变量的有______．答案：①因为吸烟不是分类变量，是否吸烟才是分类变量，其他②③④属于分类变量．故为：②③④．21.阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051B．5050C．5049D．5048答案：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2，∵100+99+98+…+2=5049，故选C．22.H：x-y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则______为L的方向向量．答案：∵x-y+z=2为坐标空间中一平面∴平面的一个法向量是n=(1，-1，1)设直线L的方向向量为d=(2，b，c)∵L在H上，∴d与平面H的法向量n=(1，-1，1)垂直故d•n=0⇒2-b+c=0∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点，∴.OP⊥L故OP•d=0⇒(2，1，1)•(2，b，c)=0⇒4+b+c=0解得b=-1，c=-3故为：（2，-1，-3）23.”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件答案：C24.圆锥曲线G的一个焦点是F，与之对应的准线是，过F作直线与G交于A、B两点，以AB为直径作圆M，圆M与的位置关系决定G

是何种曲线之间的关系是：______

圆M与的位置相离相切相交G

是何种曲线答案：设圆锥曲线过焦点F的弦为AB，过A、B分别向相应的准线作垂线AA'，BB'，则由第二定义得：|AF|=e|AA'|，|BF|=e|BB'|，∴|AF|+|BF|2=|AA′|+|BB′|2

?

e．设以AB为直径的圆半径为r，圆心到准线的距离为d，即有r=de，椭圆的离心率

0＜e＜1，此时r＜d，圆M与准线相离；抛物线的离心率

e=1，此时r=d，圆M与准线相切；双曲线的离心率

e＞1，此时r＞d，圆M与准线相交．故为：椭圆、抛物线、双曲线．25.底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为______cm2．答案：∵圆柱的底面直径和高都是4cm，∴圆柱的底面圆的周长是2π×2=4π∴圆柱的侧面积是4π×4=16π，故为：16π．26.已知a，b，c为正数，且两两不等，求证：2（a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）．答案：证明：不妨设a＞b＞c＞0，则（a-b）2＞0，（b-c）2＞0，（c-a）2＞0．由于2（a3+b3+c3）-a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）=a2（a-b）+a2（a-c）+b2（b-c）+b2（b-a）+c2（c-a）+c2（c-b）

=（a-b）2（a+b）+（b-c）2（b+c）+（c-a）2（c+a）＞0，故有2（a3+b3+c3）＞a2（b+c）+b2（a+c）+c2（a+b）成立．27.求证：梯形两条对角线的中点连线平行于上、下底，且等于两底差的一半（用解析法证之）．答案：证明见过程解析：求证：梯形两条对角线的中点连线平行于上、下底，且等于两底差的一半（用解析法证之）．28.如图所示，判断正整数x是奇数还是偶数，（1）处应填______．答案：根据程序的功能是判断正整数x是奇数还是偶数，结合数的奇偶性的定义，我们可得当满足条件是x是奇数，不满足条件时x为偶数故（1）中应填写r=1故为：r=129.函数y=f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy．

（1）求f（0）的值；

（2）若f（1）=1，求f（2），f（3），f（4）的值，猜想f（n）的表达式并用数学归纳法证明你的结论；

（3）若f（1）≥1，求证：f(12n)＞0(n∈N*)．答案：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0（2）f（1）=1，f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16猜想f（n）=n2，下用数学归纳法证明之．①当n=1时猜想成立．②假设n=k时猜想成立，即：f（k）=k2，那么f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=k2+2k+1=（k+1）2．这就是说n=k+1时猜想也成立．对于一切n≥1，n∈N+猜想都成立．（3）f（1）≥1，则f(1)=2f(12)+2×12×12≥1?f(12)≥14＞0假设n=k（k∈N*）时命题成立，即f(12k)≥122k＞0，则f(12k)=2f(12k+1)+2×12k+1×12k+1≥122k?f(12k+1)≥122(k+1)，由上知，则f(12n)＞0(n∈N*)．30.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A=

，其中A的各位数中，a1=1，ak（k=2，3，4，5）出现0的概率为，出现1的概率为．记ξ=a1+a2+a3+a4+a5，当程序运行一次时，ξ的数学期望Eξ=（）

A．

B．

C．

D．答案：C31.若正四面体ABCD的棱长为1，M是AB的中点，则MC

•MD

=______．答案：在正四面体中，因为M是AB的中点，所以CM=12(CA+CB)，DM=12(DA+DB)，所以CM⋅DM=12(CA+CB)⋅12(DA+DB)=14(CA⋅DA+CB⋅DA+CA⋅DB+CB⋅DB)=14(1×1×cos60∘+0+0+1×1×cos60∘)=14×1=14．所以MC

•MD

=CM⋅DM=14．故为：

1

4

．32.若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中正确的是（）

A．若α1＜α2，则两直线斜率k1＜k2

B．若α1=α2，则两直线斜率k1=k2

C．若两直线斜率k1＜k2，则α1＜α2

D．若两直线斜率k1=k2，则α1=α2答案：D33.读下面的程序：

上面的程序在执行时如果输入6，那么输出的结果为（）

A．6

B．720

C．120

D．1答案：B34.设向量与的夹角为θ，，，则cosθ等于（）

A．

B．

C．

D．答案：D35.双曲线的中心是原点O，它的虚轴长为26，右焦点为F（c，0）（c＞0），直线l：x=a2c与x轴交于点A，且|OF|=3|OA|．过点F的直线与双曲线交于P、Q两点．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若AP•AQ=0，求直线PQ的方程．答案：解．（Ⅰ）由题意，设曲线的方程为x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）由已知a2+6=c2c=3a2c解得a=3，c=3所以双曲线的方程：x23-y26=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（1，0），F（3，0），当直线PQ与x轴垂直时，PQ方程为x=3．此时，AP•AQ≠0，应舍去．当直线PQ与x轴不垂直时，设直线PQ的方程为y=k（x-3）．由方程组x23-y26=1y=k(x-3)得（k2-2）x2-6k2x+9k2+6=0由于过点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则k2-2≠0，即k≠±2，由于△=36k4-4（k2-2）（9k2+6）=48（k2+1）＞0得k∈R．∴k∈R且k≠±2（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=6k2k2-2(1)x1x2=9k2+6k2-2(2)由直线PQ的方程得y1=k（x1-3），y2=k（x2-3）于是y1y2=k2（x1-3）（x2-3）=k2[x1x2-3（x1+x2）+9]（3）∵AP•AQ=0，∴（x1-1，y1）•（x2-1，y2）=0即x1x2-（x1+x2）+1+y1y2=0（4）由（1）、（2）、（3）、（4）得9k2+6k2-2-6k2k2-2+1+k2(9k2+6k2-2-36k2k2-2+9)=0整理得k2=12，∴k=±22满足（*）∴直线PQ的方程为x-2y-3=0或x+2y-3=036.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（）

A．充分条件

B．必要条件

C．充要条件

D．等价条件答案：A37.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与F1的夹角为60°，那么F2的大小为（）A．53NB．5NC．10ND．52N答案：由题意可知：对应向量如图由于α=60°，∴F2的大小为|F合|?sin60°=10×32=53．故选A．38.某班一天上午安排语、数、外、体四门课，其中体育课不能排在第一、第四节，则不同排法的种数为（）A．24B．22C．20D．12答案：先排体育课，有2种排法，再排语、数、外三门课，有A33种排法，按乘法原理，不同排法的种数为2×A33=12．故选D．39.过点（0，2）且与圆x2+y2=4只有一个交点的直线方程是______．答案：∵圆x2+y2=4的圆心是O（0，0），半径r=2，点（0，2）到圆心O（0，0）的距离是d=0+4=2=r，∴点（0，2）在圆x2+y2=4上，∴过点（0，2）且与圆x2+y2=4只有一个交点的直线方程是0x+2y=4，即y=2．故为：y=2．40.北京期货商会组织结构设置如下：

（1）会员代表大会下设监事会、会长办公会，而会员代表大会于会长办公会共辖理事会；

（2）会长办公会设会长，会长管理秘书长；

（3）秘书长具体分管：秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会．

根据以上信息绘制组织结构图．答案：绘制组织结构图：41.我市某机构为调查2009年下半年落实中学生“阳光体育”活动的情况，设平均每人每天参加体育锻炼时间为X（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：①0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上，有10000名中学生参加了此项活动，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A．0.62B．0.38C．6200D．3800答案：由图知输出的S的值是运动时间超过20分钟的学生人数，由于统计总人数是10000，又输出的S=6200，故运动时间不超过20分钟的学生人数是3800事件“平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的”频率是380010000=0.38故选B42.直线y=3x的倾斜角为______．答案：∵直线y=3x的斜率是3，∴直线的倾斜角的正切值是3，∵α∈[0°，180°]，∴α=60°，故为：60°43.若A（-1，0，1），B（1，4，7）在直线l上，则直线l的一个方向向量为（）

A．（1，2，3）

B．（1，3，2）

C．（2，1，3）

D．（3，2，1）答案：A44.函数f(x)=x+1x的定义域是______．答案：要使原函数有意义，则x≥0x≠0，所以x＞0．所以原函数的定义域为（0，+∞）．故为（0，+∞）．45.直线y=3的一个单位法向量是______．答案：直线y=3的方向向量是（a，0）（a≠0），不妨取（1，0）设直线y=3的法向量为n=(x，y)∴（x，y）?（1，0）=0∴x=0∴直线y=3的一个单位法向量是（0，1）故为：（0，1）46.若一元二次方程x2+（a-1）x+1-a2=0有两个正实数根，则a的取值范围是（

）

A．（-1，1）

B．(-∞，)∪[1，+∞)

C．(-1，]

D．[，1)答案：C47.已知a，b，c是空间的一个基底，且实数x，y，z使xa+yb+zc=0，则x2+y2+z2=______．答案：∵a，b，c是空间的一个基底∴a，b，c两两不共线∵xa+yb+zc=0∴x=y=z=0∴x2+y2+z2=0故为：048.复数z=sin1+icos2在复平面内对应的点位于第______象限．答案：z对应的点为（sin1，cos2）∵1是第一象限的角，2是第二象限的角∵sin1＞0，cos2＜0所以（sin1，cos2）在第四象限故为：四49.选修4-4：坐标系与参数方程

已知极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．点A，B的极坐标分别为（2，π），(22，π4)，曲线C的参数方程为答案：（Ⅰ）S△AOB=12×2×250.已知|OA|=1，|OB|=3，OA•OB=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设OC=mOA+nOB（m、n∈R），则mn等于______．答案：∵|OA|=1，|OB|=3，OA•OB=0，OA⊥OBOC•OB=OC×3cos60°=32OC=3×12

|OC

|OC•OA=|OC|×1×cos30°=32|OC|=1×32|OC|∴OC在x轴方向上的分量为12|OC|OC在y轴方向上的分量为32|OC|∵OC=mOA+nOB=3ni+mj∴12|OC|=3n，32|OC|=m两式相比可得：mn=3．故为：3第2卷一.综合题(共50题)1.（几何证明选讲选做题）已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B、C两点，AC=2，∠PAB=120°，则⊙O的面积为______．答案：∵PA是圆O的切线，∴OA⊥AP又∵∠PAB=120°∴∠BAO=∠ABO=30°又∵在Rt△ABC中，AC=2∴BC=4，即圆O的直径2R=4∴圆O的面积S=πR2=4π故为：4π．2.阅读如图所示的程序框，若输入的n是100，则输出的变量S的值是（）A．5051B．5050C．5049D．5048答案：根据流程图所示的顺序，该程序的作用是累加并输出S=100+99+98+…+2，∵100+99+98+…+2=5049，故选C．3.一支田径队有男运动员112人，女运动员84人，用分层抽样的方法从全体男运动员中抽出了32人，则应该从女运动员中抽出的人数为（）

A．12

B．13

C．24

D．28答案：C4.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点O，A，B，C一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底．其中正确的命题是[

]A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③答案：C5.为了调查上海市中学生的身体状况，在甲、乙两所学校中各随意抽取了

100名学生，测试引体向上，结果如下表所示：

（1）甲乙两校被测学生引体向上的平均数分别是：甲校______个，乙校______个．

（2）若5个以下（不含5个）为不合格，则甲乙两校的合格率分别为甲校______

乙校______

（3）若15个以上（含15个）为优秀，则甲乙两校中优秀率______校较高（填“甲”或“乙”）

（4）用你所学的统计知识对两所学校学生的身体状况作一个比较．你的结论是______．答案：（1）甲校被测学生引体向上的平均数是=6×3+15×5+44×8+20×11+9×5+6×20100=8.3，乙校被测学生引体向上的平均数是=6×3+11×5+51×8+18×11+8×15+6×20100=9.19；（2）甲校的合格率=15+44+20+9+6100×100%=94%，乙校的合格率=11+51+18+8+6100×100%=94%；（3）甲校中优秀率=9+6100×100%=15%，乙校中优秀率=8+6100×100%=14%，所以甲校较高；（4）虽然合格率相等，但是乙校平均数更高一些，所以乙校更好一些．故为：8.3，9.19，94%，94%，乙校更好一些6.如图，某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．其中圆柱的高为2米，球的半径r为0.5米．

（1）这种“浮球”的体积是多少立方米（结果精确到0.1m3）？

（2）假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元．求该“浮球”的建造费用（结果精确到1元）．答案：（1）∵球的半径r为0.5米，∴两个半球的体积之和为V球=43πr3=43π?18=16πm3，∵圆柱的高为2米，∴V圆柱=πr2?h=π×14×2=12πm3，∴该“浮球”的体积是：V=V球+V圆柱=23π≈2.1m3；（2）圆柱筒的表面积为2πrh=2πm2；两个半球的表面积为4πr2=πm2，∵圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，∴该“浮球”的建造费用为2π×20+π×30=70π≈220元．7.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则＜a，b＞=______．答案：∵b=（m，m）（m＞0），∴b与第一象限的角平分线同向，且由原点指向远处，而a=（1，0）同横轴的正方向同向，∴＜a，b＞=45°，故为：45°8.P为△ABC内一点，且PA+3PB+7PC=0，则△PAC与△ABC面积的比为______．答案：（如图）分别延长

PB、PC

至

B1、C1，使

PB1=3PB，PC1=7PC，则由已知可得：PA+PB1+PC1=0，故点P是三角形

AB1C1

的重心，设三角形

AB1C1

的面积为

3S，则S△APC1=S△APB1=S△PB1C1=S，而S△APC=17S△APC1=S7，S△ABP=13S△APB1=S3，S△PBC=13×17S△PB1C1=S21，所以△PAC与△ABC面积的比为：S7S7+S3+S21=311，故为：3119.已知OA=a，OB=b，，且|a|=|b|=2，∠AOB=60°，则|a+b|=______；a+b与b的夹角为______．答案：∵|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a?b

由|a|=|b|=2，∠AOB=60°，得：a2=b2=

4，a?b

=2∴|a+b|2=12，∴|a+b|=23令a+b与b的夹角为θ则0≤θ≤π，且cosθ=a?(a+b)|a|?|a+b|=32∴θ=π6故为：23，π610.已知两点P（4，-9），Q（-2，3），则直线PQ与y轴的交点分有向线段PQ的比为______．答案：直线PQ与y轴的交点的横坐标等于0，由定比分点坐标公式可得0=4+λ(-2)1+λ，解得λ=2，故直线PQ与y轴的交点分有向线段PQ的比为

λ=2，故为：2．11.设集合A={x|x＜1，x∈R}，B={x|1x＞1，x∈R}，则下列图形能表示A与B关系的是（）A．

B．

C．

D．

答案：B={x|1x＞1}={x|0＜x＜1}，所以B?A．所以对应的关系选A．故选A．12.若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．

(1)方程两根都大于1；

(2)方程一根大于1，另一根小于1。答案：解：设f(x)=x2-2ax+2+a，(1)∵两根都大于1，∴，解得：2＜a＜3；(2)∵方程一根大于1，一根小于1，∴f(1)＜0，∴a＞3。13.某细胞在培养过程中，每15分钟分裂一次（由1个细胞分裂成2个），则经过两个小时后，1个这样的细胞可以分裂成______个．答案：由于每15分钟分裂一次，则两个小时共分裂8次．一个这样的细胞经过一次分裂后，由1个分裂成2个；经过2次分裂后，由1个分裂成22个；…经过8次分裂后，由1个分裂成28个．∴1个这样的细胞经过两个小时后，共分裂成28个，即256个．故为：25614.已知复数z的模为1，且复数z的实部为13，则复数z的虚部为______．答案：设复数的虚部是b，∵复数z的模为1，且复数z的实部为13，∴(13)2+b2=1，∴b2=89，∴b=±223故为：±22315.把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则P（B|A）等于（

）

A．

B．

C．

D．答案：A16.运用三段论推理：

复数不可以比较大小，（大前提）

2010和2011都是复数，（小前提）

2010和2011不可以比较大小．（结

论）

该推理是错误的，产生错误的原因是______错误．（填“大前提”或“小前提”）答案：根据三段论推理，是由两个前提和一个结论组成，大前提：复数不可以比较大小，是错误的，该推理是错误的，产生错误的原因是大前提错误．故为：大前提17.中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（）

A．

B．

C．

D．答案：D18.已知矩阵A=b-2-7a的逆矩阵是B=a273，则a+b=______．答案：根据矩阵A=b-2-7a的逆矩阵是B=a273，得a273b-2-7a=1001，∴ab-14=1-2a+2a=07b-21=0-14+3a=1，解得a=5b=3∴a+b=8．故为：8．19.设O是坐标原点，F是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，A是抛物线上的一个动点，FA与x轴正方向的夹角为60°，求|OA|的值．答案：由题意设A(x+P2，3x)，代入y2=2px得(3x)2=2p(x+p2)解得x=p（负值舍去）．∴A（32p，3p）∴|OA|=(32p)2+3p2=212p20.已知a=（5，4），b=（3，2），则与2a-3b同向的单位向量为

______．答案：∵a=（5，4），b=（3，2），∴2a-3b=（1，2）设与2a-3b平行的单位向量为e=（x，y），则2a-3b=λe，|e|=1∴（1，2）=（λx，λy）；x2+y2=1∴1=λx2=λyx2+y2=1解之x=55y=255或x=-55y=-255故为e=±(55，255)21.设随机变量X～B（10，0.8），则D（2X+1）等于（）

A．1.6

B．3.2

C．6.4

D．12.8答案：C22.若动点P到两个定点F1（-1，0）、F2（1，0）的距离之差的绝对值为定值a（0≤a≤2），试求动点P的轨迹．答案：①当a=0时，||PF1|-|PF2||=0，从而|PF1|=|PF2|，所以点P的轨迹为直线：线段F1F2的垂直平分线．②当a=2时，||PF1|-|PF2||=2=|F1F2|，所以点P的轨迹为两条射线．③当0＜a＜2时，||PF1|-|PF2||=a＜|F1F2|，所以点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线．23.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD=______cm．答案：∵易知AB=32+42=5，又由切割线定理得BC2=BD?AB，∴42=BD?5∴BD=165．故为：16524.在极坐标系中，点（2，)到圆ρ=2cosθ的圆心的距离为（）

A．2

B.

C.

D.答案：D25.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁答案：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故获奖的歌手是丙故先C26.4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）

A．34

B．43

C．24

D．12答案：A27.已知一次函数f（x）=4x+3，且f（ax+b）=8x+7，则a-b=______．答案：∵f（x）=4x+3，f（ax+b）=4（ax+b）+3=4ax+4b+3=8x+7，∴4a=84b+3=7，解得a=2，b=1，∴a-b=1．故为：1．28.如图，P-ABCD是正四棱锥，ABCD-A1B1C1D1是正方体，其中AB=2，PA=6．

（1）求证：PA⊥B1D1；

（2）求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值．答案：以D1为原点，D1A1所在直线为x轴，D1C1所在直线为y轴，D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则D1（0，0，0），A1（2，0，0），B1（2，2，0），C1（0，2，0），D（0，0，2），A（2，0，2），B（2，2，2），C（0，2，2），P（1，1，4）．（1）证明：∵AP=（-1，1，2），D1B1=（2，2，0），∴AP•D1B1=-2+2+0=0，∴PA⊥B1D1．（2）平面BDD1B1的法向量为AC=（-2，2，0）．DA=（2，0，0），OP=（1，1，2）．设平面PAD的法向量为n=（x，y，z），则n⊥DA，n⊥DP．∴2x=0x+y+2z=0∴x=0y=-2z．取n=（0，-2，1），设所求锐二面角为θ，则cosθ=|n•AC||n|•|AC|=|0-4+0|22×5=105．29.由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数有______．答案：由题意，一位数有：1，2，3；两位数有：12，21，23，32，13，31；三位数有：123，132，213，231，321，312故为：1，2，3，12，13，23，21，31，32，123，132，213，231，321，312．30.已知A（-4，6，-1），B（4，3，2），则下列各向量中是平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量的是（）A．（0，1，6）B．（-1，2，-1）C．（-15，4，36）D．（15，4，-36）答案：设平面AOB（O是坐标原点）的一个法向量是u=（x，y，z）则u•OA=0u•OB=0，即-4x+6y-z=04x+3y+2z=0，令x=-1，解得x=-1y=2z=-1，故u=（-1，2，-1），故选B．31.圆x2+y2=1在矩阵10012对应的变换作用下的结果为______．答案：设P（x，y）是圆C：x2+y2=1上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵A=10012对应变换作用下新曲线上的对应点，则x′y′=10012xy=1x12y即x′=xy′=12y，所以x=x′y=2y′，将x=x′y=2y′代入x2+y2=1，得x2+4y2=1，（8分）故为：x2+4y2=1．32.已知曲线C的参数方程为x=4t2y=t（t为参数），若点P（m，2）在曲线C上，则m=______．答案：因为曲线C的参数方程为x=4t2y=t（t为参数），消去参数t得：x=4y2；∵点P（m，2）在曲线C上，所以m=4×4=16．故为：16．33.在极坐标系中，已知点P（2，），则过点P且平行于极轴的直线的方程是（）

A．ρsinθ=1

B．ρsinθ=

C．ρcosθ=1

D．ρcosθ=答案：A34.设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则动点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．圆D．线段答案：对于在平面内，若动点M到F1、F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F1、F2的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．故选D．35.解下列关于x的不等式

（1）

（2）答案：（1）（2）原不等式的解集为解析：（1）

解：（2）

解：分析该题要设法去掉绝对值符号，可由去分类讨论当时原不等式等价于

故得不等式的解集为所以原不等式的解集为36.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A．2

B．4

C．8

D．16

答案：C37.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是______．答案：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系设正方体的棱长等于1，可得D（0，0，0），B（1，1，0），C1（0，1，1），A1（1，0，1），∴BC1=（-1，0，1），A1D=（-1，0，-1），BD=（-1，-1，0）设n=（x，y，z）是平面A1BD的一个法向量，则n•A1D=-x-z=0n•BD=-x-y=0，取x=1，得y=z=-1∴平面A1BD的一个法向量为n=（1，-1，-1）设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，则sinθ=|cos＜BC1，n＞|=BC1•n|BC1|•n=63∴cosθ=1-sin2θ=33，即直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是33故为：3338.方程x2-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，则实数k的取值范围为______．答案：构造函数f（x）=x2-（k+2）x+1-3k∵方程x2-（k+2）x+1-3k=0有两个不等实根x1，x2，且0＜x1＜1＜x2＜2，∴f(0)＞0f(1)＜0f(2)＞0∴1-3k＞0-4k＜01-5k＞0∴0＜k＜15∴实数k的取值范围为（0，15）故为：（0，15）39.已知a=20.5，，，则a，b，c的大小关系是（）

A．a＞c＞b

B．a＞b＞c

C．c＞b＞a

D．c＞a＞b答案：B40.若复数z=（m2-1）+（m+1）i为纯虚数，则实数m的值等于______．答案：复数z=（m2-1）+（m+1）i当z是纯虚数时，必有：m2-1=0且m+1≠0解得，m=1．故为1．41.圆C1x2+y2-4y-5=0与圆C2x2+y2-2x-2y+1=0位置关系是（）

A．内含

B．内切

C．相交

D．外切答案：A42.用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2•…•（2n-1）”（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是______．答案：当n=k时，左边等于（k+1）（k+2）…（k+k）=（k+1）（k+2）…（2k），当n=k+1时，左边等于（k+2）（k+3）…（k+k）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是(2k+1)(2k+2)(k+1)=2（2k+1），故为：2（2k+1）．43.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P（X=4）=______．（用数字表示）答案：由题意P（X=4）=C47×C68C1015=7×6×53×2×1×8×72×115×14×13×12×115×4×3×2×1=140429故为：14042944.在参数方程所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）

A.

B.

C.

D.答案：B45.抛物线y2=4px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．

（1）若线段AB的垂直平分线交x轴于N（x0，0），求证：x0＞3p；

（2）若直线l的斜率依次为p，p2，p3，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N1，N2，N3，…，当0＜p＜1时，求1|N1N2|+1|N2N3|+…+1|N10N11|的值．答案：（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px．得k2x2+（2k2p-4p）x+k2p2=0．△=4（k2p-2p）2-4k2•k2p2＞0，得0＜k2＜1．令A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1+x2=-2k2p-4pk2，y1+y2=k（x1+x2+2p）=4pk，AB中点坐标为（2P-k2Pk2，2pk）．AB垂直平分线为y-2pk=-1k（x-2P-k2Pk2）．令y=0，得x0=k2P+2Pk2=p+2Pk2．由上可知0＜k2＜1，∴x0＞p+2p=3p．∴x0＞3p．（2）∵l的斜率依次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，（0＜p＜1）．∴点Nn的坐标为（p+2p2n-1，0）．|NnNn+1|=|（p+2p2n-1）-（p+2p2n+1）|=2(1-p2)p2n+1，1|NnNn+1|=p2n+12(1-p2)，所求的值为12(1-p2)[p3+p4++p21]=p3(1-p19)2(1-p)2(1+p)．46.下列关于算法的说法不正确的是（）A．算法必须在有限步操作之后停止．B．求解某一类问题的算法是唯一的．C．算法的每一步必须是明确的．D．算法执行后一定产生确定的结果．答案：因为算法具有有穷性、确定性和可输出性．由算法的特性可知，A是指的有穷性；C是确定性；D是可输出性．而解决某一类问题的算法不一定唯一，例如求排序问题算法就不唯一，所以，给出的说法不正确的是B．故选B．47.设m∈R，向量=（1，m）．若||=2，则m等于（）

A．1

B.

C．±1

D.±答案：D48.下面的结构图，总经理的直接下属是（）

A．总工程师和专家办公室

B．开发部

C．总工程师、专家办公室和开发部

D．总工程师、专家办公室和所有七个部答案：C49.已知非零向量，若与互相垂直，则=（

）

A．

B．4

C．

D．2答案：D50.若平面α与β的法向量分别是a=（1，0，-2），b=（-1，0，2），则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断答案：∵a=（1，0，-2），b=（-1，0，2），∴a+b=（1-1，0+0，-2+2）=（0，0，0），即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分别是平面α与β的法向量∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行．第3卷一.综合题(共50题)1.若平面α与β的法向量分别是a=（1，0，-2），b=（-1，0，2），则平面α与β的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交不垂直D．无法判断答案：∵a=（1，0，-2），b=（-1，0，2），∴a+b=（1-1，0+0，-2+2）=（0，0，0），即a+b=0由此可得a∥b∵a、b分别是平面α与β的法向量∴平面α与β的法向量平行，可得平面α与β互相平行．2.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ．

（1）把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）求经过圆O1，圆O2交点的直线的直角坐标方程．答案：以有点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ．所以x2+y2=4x．即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程．…．（3分）同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程．…．（6分）（2）由x2+y2-4x=0x2+y2+4y=0解得x1=0y1=0x2=2y2=-2．即圆O1，圆O2交于点（0，0）和（2，-2）．过交点的直线的直角坐标方程为y=-x．…（10分）3.直线m的倾斜角为30°，则此直线的斜率等于（）A．12B．1C．33D．3答案：因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是：k=tanθ∴倾斜角为30°时，对应的斜率k=tan30°=33故选：C．4.已知M（x0，y0）是圆x2+y2=r2（r＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=r2与此圆有何种位置关系？答案：圆心O（0，0）到直线x0x+y0y=r2的距离为d=r2x20+y20．∵P（x0，y0）在圆内，∴x20+y20＜r．则有d＞r，故直线和圆相离．5.试求288和123的最大公约数是

答案：3解析：，，，.∴和的最大公约数6.两条直线x-y+6=0与x+y+6=0的夹角为（）

A．

B．

C．0

D．答案：D7.命题“对于正数a，若a＞1，则lg

a＞0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．4答案：原命题“对于正数a，若a＞1，则lga＞0”是真命题；逆命题“对于正数a，若lga＞0，则a＞1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lga≤0”是真命题；逆否命题“对于正数a，若lga≤0，则a≤1”是真命题．故选D．8.已知f（x）=x2+4x+8，则f（3）=______．答案：f（3）=32+4×3+8=29，故为：29．9.平行投影与中心投影之间的区别是

______．答案：平行投影与中心投影之间的区别是平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点，故为：平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点10.已知l1、l2是过点P（-2，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2-x2=1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2．

（1）求l1的斜率k1的取值范围；

（2）若|A1B1|=5|A2B2|，求l1、l2的方程．答案：（1）显然l1、l2斜率都存在，否则l1、l2与曲线不相交．设l1的斜率为k1，则l1的方程为y=k1（x+2）．联立得y=k1（x+2），y2-x2=1，消去y得（k12-1）x2+22k12x+2k12-1=0．①根据题意得k12-1≠0，②△1＞0，即有12k12-4＞0．③完全类似地有1k21-1≠0，④△2＞0，即有12•1k21-4＞0，⑤从而k1∈（-3，-33）∪（33，3）且k1≠±1．（2）由弦长公式得|A1B1|=1+k2112k21-4(k21-1)2．⑥完全类似地有|A2B2|=1+1k2112-4k21(k21-1)2．⑦∵|A1B1|=5|A2B2|，∴k1=±2，k2=.+22．从而l1：y=2（x+2），l2：y=-22（x+2）或l1：y=-2（x+2），l2：y=22（x+2）．11.设函数f（x）的定义域为R，如果对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，那么f（3）=______．答案：对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且f（2）=1，∴f（2）=2f（1）=1∴f(1)=12那么f（3）=f（2）+f（1）=1=12=32故为：3212.赋值语句n=n+1的意思是（）

A．n等于n+1

B．n+1等于n

C．将n的值赋给n+1

D．将n的值增加1，再赋给n，即n的值增加1答案：D13.某处有供水龙头5个,调查表明每个水龙头被打开的可能性为,随机变量ξ表示同时被打开的水龙头的个数,则P(ξ=3)为A．0.0081B．0.0729C．0.0525D．0.0092答案：A解析：本题考查n次独立重复试验中,恰好发生k次的概率.对5个水龙头的处理可视为做5次试验,每次试验有2种可能结果：打开或未打开,相应的概率为0.1或1－0.1="0.9."根据题意ξ~B(5,0.1),从而P(ξ=3)=(0.1)3(0.9)2=0.0081.14.过A（-2，3），B（2，1）两点的直线的斜率是（）

A．

B．

C．-2

D．2答案：B15.已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行3km”，则向量a+b表示（）A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行（1+3）km答案：如图，作OA=a，OB=b．则OC=a+b，所以|OC|=3+1=2，且sin∠BOC=12，所以∠BOC=30°．因此

a+b表示向北偏东30°方向航行2km．故选B．16.点（1，2）到直线x+2y+5=0的距离为______．答案：点（1，2）到直线x+2y+5=0的距离为d=|1+2×2+5|12+22=25故为：2517.如图，AC是⊙O的直径，∠ACB=60°，连接AB，过A、B两点分别作⊙O的切线，两切线交于点P．若已知⊙O的半径为1，则△PAB的周长为______．答案：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∠BAC=30°，CB=1，AB=3，∵AP为切线，∴∠CAP=90°，∠PAB=60°，又∵AP=BP，∴△PAB为正三角形，∴周长=33．故填：33．18.设m∈R，向量=（1，m）．若||=2，则m等于（）

A．1

B.

C．±1

D.±答案：D19.“所有9的倍数（M）都是3的倍数（P），某奇数（S）是9的倍数（M），故此奇数（S）是3的倍数（P）”，上述推理是（）

A．小前提错

B．结论错

C．正确的

D．大前提错答案：C20.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则P（X=4）=______．（用数字表示）答案：由题意P（X=4）=C47×C68C1015=7×6×53×2×1×8×72×115×14×13×12×115×4×3×2×1=140429故为：14042921.方程组的解集是（

）

A.{（-3，0）}

B.{-3，0}

C.（-3，0）

D.{（0，-3）}

答案：A22.参数方程x=sinθ+cosθy=sinθ•cosθ化为普通方程是______．答案：把x=sinθ+cosθy=sinθ•cosθ利用同角三角函数的基本关系消去参数θ，化为普通方程可得x2=1+2y，故为x2=1+2y．23.已知函数f（x）对其定义域内任意两个实数a，b，当a＜b时，都有f（a）＜f（b）．试用反证法证明：函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点．答案：证明：假设函数f（x）的图象与x轴至少有两个交点，…（2分）（1）若f（x）的图象与x轴有两个交点，不妨设两个交点的横坐标分别为x1，x2，且x1＜x2，…（5分）由已知，函数f（x）对其定义域内任意实数x1，x2，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）．…（7分）又根据假设，x1，x2是函数f（x）的两个零点，所以，f（x1）=f（x2）=0，…（9分）这与f（x1）＜f（x2）矛盾，…（10分）所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个交点．…（11分）（2）若f（x）的图象与x轴交点多于两个，可同理推出矛盾，…（12分）所以，函数f（x）的图象不可能与x轴有两个以上交点．综上，函数f（x）的图象与x轴至多有一个交点…（14分）24.如图，以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？

答案：模为1的向量；模为2的向量；模为3的向量；模为2的向量；模为5的向量；模为10的向量共有6个模，进而分析方向，正方形的边对应的向量共有四个方向，边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向；1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向；1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向25.已知|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，则a+b在a方向上的投影为______．答案：∵|a|=1，|b|=2，a与b的夹角为60°，∴a?b=a|×|b|×cos60°=1由此可得（a+b）2=|a|2+2a?b+|b|2=1+2+4=7∴|a+b|=7．设a+b与a的夹角为θ，则∵（a+b）?a=|a|2+a?b=2∴cosθ=(a+b)?a|a+b|?|a|=277，可得向量a+b在a方向上的投影为|a+b|cosθ=7×277=2故为：226.设ai∈R+，xi∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…an2=1，x12+x22+…xn2=1，则a1x1，a2x2，…，anxn的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是______．

①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1．答案：由题意ai∈R+，xi∈R+，i=1，2，…n，且a12+a22+…an2=1，x12+x22+…xn2=1，对于a1x1，a2x2，…，anxn的值中，若①成立，则分母都小于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…an2大于1，这与已知矛盾，故①不对；若②成立，则分母都大于分子，由于分母的平方和为1，故可得a12+a22+…an2小于1，这与已知矛盾，故②不对；由于③与①两结论互否，故③对④不可能成立，a1x1，a2x2，…，anxn的值中有多于一个的比值大于1是可以的，故不对⑤与②两结论互否，故正确综上③⑤两结论正确故为③⑤27.α为第一象限角是sinαcosα＞0的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：若α为第一象限角，则sinα＞0，cosα＞0，所以sinαcosα＞0，成立．若sinαcosα＞0，则①sinα＞0，cosα＞0，此时α为第一象限角．或②sinα＜0，cosα＜0，此时α为第三象限角．所以α为第一象限角是sinαcosα＞0的充分不必要条件．故选A．28.1

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为

（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.答案：见解析解析：解：（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件①②③29.已知P（x，y）是椭圆x24+y2=1上的点，求M=x+2y的取值范围．答案：∵x24+y2=1的参数方程是x=2cosθy=sinθ（θ是参数）∴设P（2cosθ，sinθ）（4分）∴M=x+2y=2cosθ+2sinθ=22sin(θ+π4)

（7分）∴M=x+2y的取值范围是[-22，22]．（10分）30.(1)把二进制数化为十进制数；(2)把化为二进制数.答案：(1)45,(2)解析：(1)先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式，再按照十进制的运算规则计算出结果；(2)根据二进制数“满二进一”的原则，可以用连续去除或所得商，然后取余数.(1)(2)，，，，.所以..这种算法叫做除2余法，还可以用下面的除法算式表示；把上式中各步所得的余数从下到上排列，得到【名师指引】直接插入排序和冒泡排序是两种常用的排序方法，通过该例，我们对比可以发现，直接插入排序比冒泡排序更有效一些，执行的操作步骤更少一些.．31.设

是不共线的向量，(k，m∈R)，则A、B、C三点共线的充要条件是（）

A．k+m=0

B．k=m

C．km+1=0

D．km-1=0答案：D32.已知两曲线参数方程分别为x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）和x=54t2y=t（t∈R），它们的交点坐标为______．答案：曲线参数方程x=5cosθy=sinθ（0≤θ＜π）的直角坐标方程为：x25+y2=1；曲线x=54t2y=t（t∈R）的普通方程为：y2=45x；解方程组：x25+y2=1y2=45x得：x=1y=255∴它们的交点坐标为（1，255）．故为：（1，255）．33.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），离心率22，直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点A，B．

（1）求椭圆C的方程；

（2）求弦AB的长度．答案：（本小题满分13分）（1）依题意可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)…（1分）则c=2e=ca=22，解得a=22c=2…（3分）∴b2=a2-c2=8-4=4…（5分）∴椭圆C的方程为x28+y24=1…（6分）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）…（