2023年荆楚理工学院普通专升本数学分析考试大纲

20２3年荆楚理工学院普通专升本《数学分析》考试大纲一、课程名称:数学分析二、合用专业：数学与应用数学三、考试方法:闭卷考试四、考试时间:1０0分钟五、试卷结构：总分:150分,选择题３0分，填空题3０分，计算题50分,证明题４0分。六、参考书目:１、华东师范大学数学系编著,《数学分析》(上、下册)，高等教育出版社，2023年第4版。２、中国科学技术大学常庚哲史济怀编著,《数学分析教程》(上、下册),高等教育出版社,202３年第１版。七、考试的基本规定:数学分析是数学与应用数学专业专升本入学考试中专业课考试内容,考生应理解和掌握《数学分析》中函数、极限、连续、微分学、积分学和级数的基本概念、基本理论、基本方法。应具有抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力,能运用所学知识对的拙推理证明，准确、简捷地计算。能综合运用数学分析中的基本理论、基本方法分析和解决实际问题。八、考试范围第一章实数集与函数（一)考核内容实数及其性质，绝对值与不等式。区间与邻域，有界集与确界原理。函数概念,函数的表达法。函数的四则运算,复合函数,反函数，初等函数。具有某些特性的函数:有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数。（二）考核知识点1、实数：实数的概念，实数的性质，绝对值与不等式;２、数集、确界原理:区间与邻域，有界集与无界集,上确界与下确界，确界原理；3、函数概念：函数的定义，函数的表达法(解析法、列表法、和图象法),分段函数；4、具有某些特性的函数:有界函数，单调函数，奇函数与偶函数,周期函数。（三)考核规定1、了解实数域及性质;2、掌握几种不等式及应用;３、纯熟掌握数域,上确界,下确界,确界原理;4、牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及某些特性(单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。第二章数列极限（一）考核内容数列。数列极限的定义,无穷小数列。收敛数列性质：唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、四则运算法则。子列及子列定理。数列极限存在的条件：数列极限的单调有界定理、柯西收敛准则。(二）考核知识点1、极限概念;2、收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,单调性;3、数列极限存在的条件：单调有界准则,迫敛性法则,柯西准则。（三)考核规定1、纯熟掌握数列极限定义；2、掌握收敛数列的若干性质；３、掌握数列收敛的条件（单调有界原理、迫敛法则、柯西准则等)。第三章函数极限（一）考核内容求函数的极限，单侧极限。函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质、迫敛性和四则运算法则。函数极限存在的条件：归结原则、函数极限的单调有界定理和柯西准则。两个重要极限。无穷小量及其阶的比较,无穷大量,曲线的渐近线。(二）考核知识点1、函数极限的概念，单侧极限的概念;2、函数极限的性质:唯一性，局部有界性,局部保号性,不等式性，迫敛性；3、函数极限存在的条件:归结原则（Hｅｉｎe定理），柯西准则；４、两个重要极限;5、无穷小量与无穷大量,阶的比较。（三)考核规定１、纯熟掌握使用语言,纯熟叙述各类型函数极限；2、掌握函数极限的若干性质；3、掌握函数极限存在的条件。(归结原则，柯西准则，左、右极限,单调有界等)；4、纯熟应用两个特殊极限；5、牢固掌握无穷小（大)的定义、性质、阶的比较。第四章函数连续性(一)考核内容函数在一点的连续性,左、右连续,间断点及其分类，区间上的连续函数。连续函数的局部性质:局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质:最值定理、介值性定理、根的存在定理，反函数的连续性,一致连续与一致连续性定理。指数函数的连续性,初等函数连续性。(二)考核知识点1、函数连续的概念:一点连续的定义，区间连续的定义，单侧连续的定义，间断点及其分类;２、连续函数的性质:局部性质及运算，闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性）,复合函数的连续性，反函数的连续性；3、初等函数的连续性。（三）考核规定１、纯熟掌握在点连续的定义,等价定义;2、掌握间断点及其类型；3、了解在区间上连续的定义;4、掌握在一点连续的性质及闭区间上连续函数的性质；5、了解初等函数的连续性。第五章导数与微分（一）考核内容导数的定义，导函数,导数的几何意义,极值,费马定理。导数的四则运算法则，反函数的导数,复合函数的导数,基本求导法则与公式。参变量函数的导数,隐函数的导数,初等函数的导数。高阶导数。微分概念，微分的几何意义，微分的运算法则，一阶微分形式的不变性，高阶微分，微分在近似计算中的应用。（二）考核知识点１、导数概念：导数的定义、单侧导数、导函数、导数的几何意义;2、求导法则:导数公式、导数的运算(四则运算)、求导法则（反函数的求导法则，复合函数的求导法则，隐函数的求导法则，参数方程的求导法则）;３、微分:微分的定义，微分的运算法则,微分的应用；4、高阶导数与高阶微分。（三)考核规定1、纯熟掌握导数的定义及其几何意义；2、牢固记住求导法则、求导公式;３、会求各类函数的导数（复合函数、含参变量函数、隐函数、幂指函数、高阶导数(莱布尼兹公式）)；4、掌握微分的概念,并会用微分进行近似计算;5、理解连续、可导、可微的关系。第六章微分中值定量、不定式极限（一)考核内容罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,单调函数。柯西中值定理。不定式极限，罗比塔法则。带有皮亚诺型余项、拉格朗日型余项的泰勒公式,泰勒公式在近似计算上的应用(二)考核知识点1、中值定理:罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理；２、几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则；3、泰勒公式。（三）考核规定1、牢固掌握微分中值定理及应用（涉及罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理);2、会用洛比达法则求极限(将其他类型的不定型转化为等类型）。第七章导数的应用（一）考核内容函数单调性与极值。最大值与最小值。函数的凸性与曲线的拐点。函数图象的讨论。方程的近似解。极值的判别法;函数的升降、凸性讨论的有关理论及结果;画函数草图的基本要素和方法。（二）考核知识点1、函数的单调性与极值；2、函数凹凸性与拐点.（三)考核规定１、掌握单调与导数符号的关系，并用它证明单调，不等式、求单调区间、极值等;2、运用的二阶导数鉴定凹凸性及拐点；3、了解凸函数及性质;4、会求曲线各种类型的渐近线性.第八章极限与连续（续)(一)考核内容关于实数集完备性的基本定理:闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、有限覆盖定理与致密性定理，实数完备性基本定理的等价性。闭区间上连续函数性质的证明。（二)考核知识点1、实数完备性六个等价定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理;２、闭区间上连续函数整体性质的证明：有界性定理的证明，最大小值性定理的证明,介值性定理的证明，一致连续性定理的证明；（三)考核规定１、掌握下列基本概念：区间套、覆盖、有限覆盖、聚点、予列;2、了解刻划实数完备性的六个定理的等价性,并掌握各定理的条件与结论;３、学会用六个定理证明其他问题,如连续函数性质定理等.第九章不定积分（一）考核内容原函数与不定积分概念,基本积分表,线性运算法则。换元积分法，分部积分法。有理函数的不定积分,三角函数有理式的不定积分,某些无理函数的不定积分。(二）考核知识点1、不定积分概念;2、换元积分法与分部积分法；3、几类可化为有理函数的积分；(三）考核规定1、掌握原函数与不定积分的概念；2、记住基本积分公式；3、纯熟掌握换元法、分部积分法；4、了解有理函数积分环节,并会求可化为有理函数的积分。第十章定积分（一)考核内容概念引入(曲边梯形面积与变力作功)，定积分定义，定积分的几何意义。牛顿－莱布尼兹公式。可积的必要条件,可积的充要条件，可积函数类：闭区间上的连续函数、只有有限个间断点的有界函数、单调函数。定积分的基本性质，积分中值定理。变限积分与原函数的存在性，微积分学基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法。可积性理论补叙.（二)考核知识点1、定积分的概念：概念的引入、黎曼积分定义,函数可积的必要条件；２、可积性条件：可积的必要条件和充要条件，达布上和与达布下和，可积函数类(连续函数,只有有限个间断点的有界函数,单调函数）;3、微积分学基本定理：可变上限积分,牛顿-莱布尼兹公式；4、非正常积分:无穷积分收敛与发散的概念，审敛法(柯西准则,比较法,狄利克雷与阿贝尔判别法)；瑕积分的收敛与发散的概念，收敛判别法。（三）考核规定1、掌握定积分定义、性质;2、了解可积条件,可积函数类;3、深刻理解微积分基本定理，并会纯熟应用;4、纯熟计算定积分;5、掌握广义积分收敛定义及判别法,会计算广义积分。第十一章定积分应用(一)考核内容微元法。平面图形的面积。由平行截面面积求体积，旋转体体积。平面曲线的弧长、曲率。旋转曲面的面积。定积分的近似计算.（二)考核知识点1、定积分的几何应用：平面图形的面积，微元法，已知截面面积函数的立体体积,旋转体的体积平面曲线的弧长与微分，曲率;（三）考核规定1、纯熟计算各种平面图形面积;2、会求旋转体或已知截面面积的体积；3、会运用定积分求孤长、曲率、旋转体的侧面积.第十二章数项级数（一)考核内容数项级数极其收敛与和的定义，柯西收敛准则,收敛级数的基本性质。正顶级数收敛性的一般判别原则（比较原则),比式判别法与根式判别法,积分判别法。拉贝判别法。交错级数,莱布尼兹判别法，绝对收敛级数与性质,条件收敛,阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。(二)考核知识点1、级数的敛散性:无穷级数收敛,发散等概念，柯西准则,收敛级数的基本性质；2、正项级数：比较原理，达朗贝尔判别法，柯西判别法，积分判别法;3、一般项级数:交错级数与莱布尼兹判别法,绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。(三)考核规定1、掌握数项级数敛散的定义、性质；2、纯熟掌握正项级数的敛、散判别法;3、掌握条件、绝对收敛及莱布尼兹定理。第十三章函数列与函数项级数（一）考核内容函数列与函数项级数的收敛、一致收敛性以及一致收敛的柯西准则,函数项级数的维尔斯特拉斯优级数判别法(M判别法)，阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。函数列极限函数与函数项级数和函数的连续性、可积性与可微性。(二)考核知识点1、一致收敛性及一致收敛判别法(柯西准则,优级数判别法，狄利克雷与阿贝尔判别法);2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质(连续性,可积性,可微性)。(三)考核规定1、掌握函数列及函数项级数的一致收敛定义；2、掌握函数列、函数项级数一致收敛的判别法；；3、函数列的极限函数,函数项级数的和函数的性质。第十四章幂级数（一)考核内容阿贝尔第一定理,幂级数的收敛半径与收敛区间,内闭一致收敛性，幂级数的性质，幂级数的四则运算。泰勒级数,函数可以展开成泰勒级数的条件,初等函数的幂级数展开式。复变量的指数函数和欧拉公式。(二)考核知识点1、幂级数:阿贝尔定理,收敛半径与收敛区间，幂级数的一致收敛性,幂级数和函数的分析性质；２、几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。(三)考核规定1、纯熟掌握幂级数收敛域、收敛半径及和函数的求法；；2、了解幂级数的若干性质；3、了解求一般任意阶可微函数的幂级数展开式的方法;4、会运用间接法求一些初等函数的幂级数展开式。第十六章多元函数极限与连续(一)考核内容平面点集概念,Ｒ2上的完备性定理,二元函数和n元函数概念。二重极限，累次极限。二元函数的连续性,复合函数的连续性。有界闭域上连续函数的性质。(二）考核知识点1、平面点集与多元函数的概念;2、二元函数的极限、累次极限;3、二元函数的连续性:二元函数的连续性概念、连续函数的局部性质及初等函数连续性。（三)考核规定１、了解平面点集的若干概念；2、掌握二元函数二重极限定义、性质;３、掌握二次极限，并掌握二重极限与二次极限的关系;4、掌握二元连续函数定义、性质.第十七章多元函数微分学（一）考核内容多元函数的可微性与全微分,偏导数及其几何意义，全微分存在的必要条件、充足条件，可微性的几何意义及应用。复合函数的求导法则,复合函数的全微分。方向导数与梯度。高阶偏导数，二元函数的中值定理和秦勒公式，二元函数的极值与最值。(二）考核知识点１、可微性：偏导数的概念,偏导数的几何意义,偏导数与连续性;全微分概念;连续性与可微性，偏导数与可微性;2、多元复合函数微分法及求导公式；3、方向导数与梯度;4、泰勒定理与极值。（三)考核规定1、纯熟掌握可微,偏导,可微的意义;２、掌握二元函数可微，连续以及偏导函数连续等概念之间的关系;3、会计算各种类型函数的偏导,函数的全微分;4、会求空间曲面的切平面,法线;5、会求函数的方向导数;6、会求二元函数的无条件极值。第十八章隐函数定理及其应用(一）考核内容隐函数概念，隐函数存在性条件的分析，隐函数(存在惟一性、可微性)定理，隐函数求导。隐函数组概念,函数行列式,隐函数组定理,隐函数组求导,反函数组与坐标变换。几何应用。条件极值与拉格朗日乘数法。（二）考核知识点1、隐函数:隐函数的概念,隐函数的定理，隐函数求导举例；２、隐函数组：隐函数组存在定理，反函数组与坐标变换，雅可比行列式;3、几何应用:平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面和法线;条件极值：条件极值的概念，条件极值的必要条件。（三）考核规定1、掌握一个方程拟定的隐函数的条件,隐函数性质,隐函数的导数(偏导）公式；2、会求空间曲线的切线与法平面;3、会求空间曲面的切平面与法线;4、掌握条件极值的拉格朗日乘子法。第二十章重积分(一)考核内容平面图形的面积,二重积分的定义及其存在性,二重积分性质。直角坐标系下二重积分的计算(化为累计积分）。格林公式,平面曲线积分与路线无关的等价条件,原函数。二重积分的变量替换公式，用极坐标计算二重积分。三重积分的概念与性质，化三重积分为累次积分,三重积分的换元法，柱坐标变换与球坐标变换。重积分在的应用:曲面的面积。（二）考核知识点1、二重积分概念:二重积分的概念，可积条件，可积函数,二重积分的性质；2、二重积分的计算：化二重积分为累次积分，换元法(极坐标变换，一般变换)；3、含参变量的积分;4、三重积分计算：化三重积分为累次积分,换元法(