数字信号处理16

FIR滤波器的最小积分平方误差设计用表示理想的频率响应。由于是关于的周期为的周期函数，可将其写作傅里叶级数的形式其中FIR滤波器的最小积分平方误差设计通常，为一个分段常量函数，在带与带之间存在突变。在这种情况下，是一个无限长、非因果序列。目的找到一个长度为的有限序列在某种程度上，该序列的离散傅里叶变换可近似为理想的。FIR滤波器的最小积分平方误差设计常用的近似准则使积分平方误差最小其中FIR滤波器的最小积分平方误差设计利用帕塞瓦尔定理，上式写为可以看出，当时，最小。

在均方意义下，通过截短获得理想无限冲击响应的最佳有限近似。FIR滤波器的最小积分平方误差设计一个因果的FIR滤波器，冲击响应为可以通过延迟来获得

该因果滤波器和有相同的幅频响应，它的相频响应相对于有一个大小为弧度的线性相位平移。FIR滤波器的最小积分平方误差设计理想低通滤波器理想高通滤波器FIR滤波器的最小积分平方误差设计理想带通滤波器FIR滤波器的最小积分平方误差设计理想带阻滤波器FIR滤波器的最小积分平方误差设计理想多电平滤波器FIR滤波器的最小积分平方误差设计理想希尔伯特变换

为偶数

为奇数FIR滤波器的最小积分平方误差设计理想微分器吉布斯现象吉布斯现象--对给定的理想滤波器的冲激响应系数进行截短，得到的因果FIR滤波器的在其各自的幅度响应中呈现振荡现象吉布斯现象随着滤波器长度的增加，通带和阻带的波纹数也增加，而波纹的宽度相应地减小最大波纹的高度保持不变，与滤波器的长度无关在其他类型理想滤波器的截短形式的幅值响应中也能观察到类似的振荡现象吉布斯现象将截短操作看成是加窗过程来解释产生吉布斯现象的原因在频域

、分别是和的离散傅里叶变换。吉布斯现象是将和进行周期连续卷积得到的

吉布斯现象如果相对于的变化是一个以为中心的窄脉冲，那么将会非常接近。窗函数的长度应该非常大。另一方面，的长度又应该尽可能的小以减小计算复杂度。

吉布斯现象

用矩形窗进行简单的截短

其他中存在振荡现象主要有两个原因：1.理想滤波器是无限长的且不是绝对可和的，因此滤波器是不稳定的。2.矩形窗有一个突然到零的过渡。吉布斯现象研究窗函数的傅里叶变换，很容易对振荡行为进行解释。

有一个以为中心的主瓣。其余波纹都称为旁瓣。吉布斯现象的主瓣用其宽度描述，定义为

两侧的第一个过零点。随着的增大，主瓣宽度将如预料一样减小。随着的增大，每个瓣的宽度减小，然而每个瓣下的面积都保持为常数。随着的增大，在的不连续点之间的波纹出现得越来越近，但振幅没有减小。吉布斯现象矩形窗在以外有一个突然到零的过渡，导致出现吉布斯现象。减弱吉布斯现象：

1）使用两边都是逐渐平滑减小到零的窗函数，或者2）使用在通带到阻带有平滑的过渡带的窗函数固定窗函数使用渐变的窗函数可以使旁瓣的高度减小，但会使主瓣的宽度相应地增加，结果在不连续点间出现了更宽的过渡带。Hann窗：汉明窗（Hamming）:布莱克曼窗（Blackman）:固定窗函数画出当时各窗函数傅里叶变换的幅值固定窗函数每个窗的幅度谱由一个中心在处的大主瓣，和一系列幅度逐渐减小的旁瓣来描述。在滤波器设计中，一个窗函数的主要性能取决于以下参数：1）主瓣宽度2）相对旁瓣电平

固定窗函数主瓣宽度：是主瓣两侧最近的两过零点之间的距离。相对旁瓣电平：是最大旁瓣与主瓣以dB为单位的幅度差。

固定窗函数可看到：因此：通带和阻带波纹是一样的。

固定窗函数最大通带偏移和最小阻带值位置间的距离近似等于窗的主瓣宽度。过渡带宽

固定窗函数为了保证从通带快速过渡到阻带，窗应该有一个非常小的主瓣宽度。为了减小通带和阻带波纹，旁瓣下的面积也应非常小。这两个要求是相互矛盾的。固定窗函数在矩形、Hann、汉明、布莱克曼窗中，波纹值与滤波器的长度或截止频率无关，本质上是一个常数。另外在大多数实际应用中，是一个常数。固定窗函数矩形窗

dB,dB,Hann窗dB，dB，

汉明窗

dB

，dB，布莱克曼窗

dB，dB，固定窗函数滤波器设计步骤1）令2）根据指定的来选择窗函数3）用下式估算滤波器设计示例长度为51，的低通滤波器

滤波器设计示例窗函数的主瓣宽度的增加与过渡带宽的增加有联系。旁瓣振幅的减小会引起阻带衰减的增加。可调节窗函数多尔夫-切比雪夫（Dolph-Chebyshev）窗其中可调节窗函数多尔夫-切比雪夫窗函数可以用任何指定的相对旁瓣电平来进行设计，选择合适的窗长可以调整它的主瓣宽度。滤波器的阶数用下面的式子来估计其中，是归一化过渡带宽。例如，对低通滤波器可调节窗函数多尔夫-切比雪夫窗函的增益响应，窗的长度为51，相对旁瓣电平为50dB可调节窗函数多尔夫-切比雪夫窗的性质：所有的旁瓣是等高的。用这种窗函数设计的滤波器的阻带逼近误差在本质上具有等波纹行为。对于给定窗长，相对于其他的窗函数，它具有最小的主瓣宽度，得到具有最小的过渡带的滤波器。可调节窗函数Kaiser窗：其中，是可调参数，是修正的零阶贝塞尔函数，可用幂级数的形式表示可以看出：对所有都有

实际中可调节窗函数控制加窗滤波器响应阻带上的最小衰减。

由下式估算滤波器的阶数估计其中，是归一化过渡带宽。可调节窗函数给定，，dB因此选，从而有。