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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年浙江机电职业技术学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.点M的直角坐标为(-3,-1),则点M的极坐标为______.答案:∵M的直角坐标为(-3,-1),设M的极坐标为(ρ,θ),则ρ=(-3)2+(-1)2=2,又tanθ=33,∴θ=7π6,∴M的极坐标为(2,7π6).2.对任意实数x,y,定义运算x*y=ax+by+cxy,其中a,b,c是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算。已知1*2=3,2*3=4,并且有一个非零常数m,使得对任意实数x,都有x*m=x,则m的值是(
)。答案:43.已知适合不等式|x2-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值为3,求p的值.答案:因为x的最大值为3,故x-3<0,原不等式等价于|x2-4x+p|-x+3≤5,(3分)即-x-2≤x2-4x+p≤x+2,则x2-5x+p-2≤0x2-3x+p+2≥0
解的最大值为3,(6分)设x2-5x+p-2=0
的根分别为x1和x2,x1<x2,x2-3x+p+2=0的根分别为x3和
x4,x3<x4.则x2=3,或x4=3.若x2=3,则9-15+p-2=0,p=8,若x4=3,则9-9+p+2=0,p=-2.当p=-2时,原不等式无解,检验得:p=8
符合题意,故p=8.(12分)4.(选做题)圆内非直径的两条弦AB、CD相交于圆内一点P,已知PA=PB=4,PC=14PD,则CD=______.答案:连接AC、BD.∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ACP∽△DBP,∴PAPD=PCPB,∴4PD=14PD4,∴PD2=64∴PD=8∴CD=PD+PC=8+2=10,故为:105.设两个正态分布N(μ1,σ12)(σ1>0)和N(μ2,σ22)(σ2>0)曲线如图所示,则有()
A.μ1<μ2,σ1>σ2
B.μ1<μ2,σ1<σ2
C.μ1>μ2,σ1>σ2
D.μ1>μ2,σ1<σ2
答案:A6.双曲线x29-y216=1的两个焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若PF1⊥PF2,则点P到x轴的距离为______.答案:设点P(x,y),∵F1(-5,0)、F2(5,0),PF1⊥PF2,∴y-0x+5•y-0x-5=-1,∴x2+y2=25
①,又x29-y216=1,∴25-y29-y216=1,∴y2=16225,∴|y|=165,∴P到x轴的距离是165.7.用反证法证明命题:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为()
A.a,b,c,d中至少有一个正数
B.a,b,c,d全为正数
C.a,b,c,d全都大于等于0
D.a,b,c,d中至多有一个负数答案:C8.某会议室第一排共有8个座位,现有3人就座,若要求每人左右均有空位,那么不同的坐法种数为()A.12B.16C.24D.32答案:将空位插到三个人中间,三个人有两个中间位置和两个两边位置就是将空位分为四部分,五个空位四分只有1,1,1,2空位五差别,只需要空位2分别占在四个位置就可以有四种方法,另外三个人排列A33=6根据分步计数可得共有4×6=24故选C.9.用反证法证明“如果a<b,那么“”,假设的内容应是()
A.
B.
C.且
D.或
答案:D10.若=(2,-3,1)是平面α的一个法向量,则下列向量中能作为平面α的法向量的是()
A.(0,-3,1)
B.(2,0,1)
C.(-2,-3,1)
D.(-2,3,-1)答案:D11.圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)的标准方程是
______,过这个圆外一点P(2,3)的该圆的切线方程是
______;答案:∵圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)消去参数θ,得:(x-1)2+(y-1)2=1,即圆x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)的标准方程是(x-1)2+(y-1)2=1;∵这个圆外一点P(2,3)的该圆的切线,当切线斜率不存在时,显然x=2符合题意;当切线斜率存在时,设切线方程为:y-3=k(x-2),由圆心到切线的距离等于半径,得|k-1+3-2k|k2+1=
1,解得:k=34,故切线方程为:3x-4y+6=0.故为:(x-1)2+(y-1)2=1;x=2或3x-4y+6=0.12.为了检测某种产品的直径(单位mm),抽取了一个容量为100的样本,其频率分布表(不完整)如下:
分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)
(Ⅰ)完成频率分布表;
(Ⅱ)画出频率分布直方图;
(Ⅲ)据上述图表,估计产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性是百分之几?答案:解(Ⅰ)分组频数累计频数频率[10.75,10.85)660.06[10.85,10.95)1590.09[10.95,11.05)30150.15[11.05,11.15)48180.18[11.15,11.25)72240.24[11.25,11.35)84120.12[11.35,11.45)9280.08[11.45,11.55)9860.06[11.55,11.65)10020.02(Ⅲ)0.15+0.18+0.24+0.12=0.69=69%,所以产品直径落在[10.95,11.35)范围内的可能性为69%.13.△ABC中,若有一个内角不小于120°,求证:最长边与最短边之比不小于3.答案:设最大角为∠A,最小角为∠C,则最大边为a,最小边为c因为A≥120°,所以B+C≤60°,且C≤B,所以2C≤B+C≤60°,C≤30°.所以ac=sinAsinC=sin(B+C)sinC≥sin2CsinC=2cosC≥3.14.如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,E是PB的中点,
cos〈,〉=.
(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;
(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.答案:(1)点E的坐标是(1,1,1)(2)F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB解析:(1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0),设P(0,0,2m),则E(1,1,m),∴=(-1,1,m),=(0,0,2m).∴cos〈,〉==.解得m=1,∴点E的坐标是(1,1,1).(2)∵F∈平面PAD,∴可设F(x,0,z).则=(x-1,-1,z-1),又=(2,0,0),=(0,2,-2)∵EF⊥平面PCB∴⊥,且⊥即∴∴,∴F点的坐标为(1,0,0)即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.15.已知集合M={2,a,b},N={2a,2,b2}且M=N.求a、b的值.答案:由M=N及集合中元素的互异性,得a=2ab=b2
①或a=b2b=2a
②解①得:a=0b=1或a=0b=0,解②得:a=14b=12,当a=0b=0时,违背了集合中元素的互异性,所以舍去,故a、b的值为a=0b=1或a=14b=12.16.直线x=-2+ty=1-t(t为参数)被圆x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ为参数)所截得的弦长为______.答案:∵圆x=2+2cosθy=-1+2sinθ(θ为参数),消去θ可得,(x-2)2+(y+1)2=4,∵直线x=-2+ty=1-t(t为参数),∴x+y=-1,圆心为(2,-1),设圆心到直线的距离为d=|2-1+1|2=2,圆的半径为2∴截得的弦长为222-(2)2=22,故为22.17.已知D是△ABC所在平面内一点,,则()
A.
B.
C.=
D.答案:A18.将一枚骰子连续抛掷600次,请你估计掷出的点数大于2的大约是______次.答案:一颗骰子是均匀的,当抛这颗骰子时,出现的6个点数是等可能的,将一枚骰子连续抛掷600次,估计每一个嗲回溯出现的次数是100,∴掷出的点数大于2的大约有400次,故为:400.19.已知x+5y+3z=1,则x2+y2+z2的最小值为______.答案:证明:35(x2+y2+z2)×(1+25+9)≥(x+5y+3z)2=1∴x2+y2+z2≥135,则x2+y2+z2的最小值为135,故为:135.20.复数(12+32i)3i的值为______.答案:(12+32i)3i=(cosπ3+isinπ3)3cosπ2+isinπ2=cosπ+isinπcosπ2+
isinπ2=cosπ2+isinπ2=i,故为:i.21.关于x的方程x2+4x+k=0有一个根为-2+3i(i为虚数单位),则实数k=______.答案:由韦达定理(一元二次方程根与系数关系)可得:x1•x2=k∵k∈Rx1=-2+3i,∴x2=-2-3i,则k=(-2-3i)(-2+3i)=13故为:1322.若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线,则()
A.A≠0B≠0C≠0
B.A≠0B≠0
C.B≠0C≠0
D.A≠0C≠0答案:B23.圆的极坐标方程是ρ=2cosθ+2sinθ,则其圆心的极坐标是()
A.(2,)
B.(2,)
C.(1,)
D.(1,)答案:A24.设椭圆=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F(c,0),方程ax2+bx-c=0的两个实根分别为x1和x2,则点P(x1,x2)()
A.必在圆x2+y2=2内
B.必在圆x2+y2=2上
C.必在圆x2+y2=2外
D.以上三种情形都有可能答案:A25.某种灯泡的耐用时间超过1000小时的概率为0.2,有3个相互独立的灯泡在使用1000小时以后,最多只有1个损坏的概率是()
A.0.008
B.0.488
C.0.096
D.0.104答案:D26.已知A(k,12,1),B(4,5,1),C(-k,10,1),且A、B、C三点共线,则k=______.答案:∵AB=(4-k,-7,0),BC=(-k-4,5,0),且A、B、C三点共线,∴存在实数λ满足AB=λBC,即4-k=λ(-k-4)-7=5λ0=0,解得k=-23.故为-23.27.已知m2+n2=1,a2+b2=2,则am+bn的最大值是()
A.1
B.
C.
D.以上都不对答案:C28.柱坐标(2,,5)对应的点的直角坐标是
。答案:()解析:∵柱坐标(2,,5),且,2,∴对应直角坐标是()29.(不等式选讲选做题)已知x+2y+3z=1,求x2+y2+z2的最小值______.答案:解法一:由柯西不等式可知:(x+2y+3z)2≤(x2+y2+z2)(12+22+33),∴x2+y2+z2≥114,当且仅当x1=y2=z3,x+2y+3z=1,即x=114,y=17,z=314时取等号.即x2+y2+z2的最小值为114.解法二:设向量a=(1,2,3),b=(x,y,z),∵|a?b|≤|a|
|b|,∴1=x+2y+3z≤12+22+32x2+y2+z2,∴x2+y2+z2≥114,当且仅当a与b共线时取等号,即x1=y2=z3,x+2y+3z=1,解得x=114,y=17,z=314时取等号.故为114.30.已知点A(-3,8),B(2,4),若y轴上的点P满足PA的斜率是PB斜率的2倍,则P点的坐标为______.答案:设P(0,y),则∵点P满足PA的斜率是PB斜率的2倍,∴y-80+3=2•y-40-2∴y=5∴P(0,5)故为:(0,5)31.某小组有3名女生、4名男生,从中选出3名代表,要求至少女生与男生各有一名,共有______种不同的选法.(要求用数字作答)答案:由题意知本题是一个分类计数问题,要求至少女生与男生各有一名有两个种不同的结果,即一个女生两个男生和一个男生两个女生,∴共有C31C42+C32C41=30种结果,故为:3032.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题算合格.
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;
(2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率.答案:(1)(2)解析:(1)设甲、乙考试合格分别为事件A、B,甲考试合格的概率为P(A)=,乙考试合格的概率为P(B)=.(2)A与B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P(AB++A)=×+×+×=.33.利用斜二测画法能得到的()
①三角形的直观图是三角形;
②平行四边形的直观图是平行四边形;
③正方形的直观图是正方形;
④菱形的直观图是菱形.
A.①②
B.①
C.③④
D.①②③④答案:A34.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A(2,3),则过两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的直线方程为______.答案:∵A(2,3)是直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共点,∴2a1+3b1+1=0,且2a2+3b2+1=0,即两点P1(a1,b1),P2(a2,b2)的坐标都适合方程2x+3y+1=0,∴两点(a1,b1)和(a2,b2)都在同一条直线2x+3y+1=0上,故点(a1,b1)和(a2,b2)所确定的直线方程是2x+3y+1=0,故为:2x+3y+1=0.35.求证:三个两两垂直的平面的交线两两垂直.答案:设三个互相垂直的平面分别为α、β、γ,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,三个平面的公共点为O,如图所示:在平面γ内,除点O外,任意取一点M,且点M不在这三个平面中的任何一个平面内,过点M作MN⊥c,MP⊥b,M、P为垂足,则有平面和平面垂直的性质可得MN⊥α,MP⊥β,∴a⊥MN,a⊥MP,∴a⊥平面γ.
再由b、c在平面γ内,可得a⊥b,a⊥c.同理可证,c⊥b,c⊥a,从而证得a、b、c互相垂直.36.设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合S={1,3,5},T={3,6},则CU(S∪T)等于()A.φB.{2,4,7,8}C.{1,3,5,6}D.{2,4,6,8}答案:∵S∪T={1,3,5,6},∴CU(S∪T)={2,4,7,8}.故选B.37.在△ABC中,已知向量=(cos18°,cos72°),=(2cos63°,2cos27°),则△ABC的面积等于()
A.
B.
C.
D.
答案:A38.已知A(1,0).B(7,8),若点A和点B到直线l的距离都为5,且满足上述条件的直线l共有n条,则n的值是()A.1B.2C.3D.4答案:与直线AB平行且到直线l的距离都为5的直线共有两条,分别位于直线AB的两侧,由线段AB的长度等于10,还有一条直线是线段AB的中垂线,故满足上述条件的直线l共有3条,故选C.39.已知命题p:∀x∈R,x2-x+1>0,则命题¬p
是______.答案:∵命题p:∀x∈R,x2-x+1>0,∴命题p的否定是“∃x∈R,x2-x+1≤0”故为:∃x∈R,x2-x+1≤0.40.一圆形纸片的圆心为点O,点Q是圆内异于O点的一定点,点A是圆周上一点.把纸片折叠使点A与Q重合,然后展平纸片,折痕与OA交于P点.当点A运动时点P的轨迹是()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:如图所示,由题意可知:折痕l为线段AQ的垂直平分线,∴|AP|=|PQ|,而|OP|+|PA|=|OA|=R,∴|PO|+|PQ|=R定值>|OQ|.∴当点A运动时点P的轨迹是以点O,D为焦点,长轴长为R的椭圆.故选B.41.给定点A(x0,y0),圆C:x2+y2=r2及直线l:x0x+y0y=r2,给出以下三个命题:
①当点A在圆C上时,直线l与圆C相切;
②当点A在圆C内时,直线l与圆C相离;
③当点A在圆C外时,直线l与圆C相交.
其中正确的命题个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:D42.如图,一个正方体内接于一个球,过球心作一个截面,则截面的可能图形为(
)
A.①③
B.②④
C.①②③
D.②③④答案:C43.命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是
______.答案:∵ab=0的否命题是ab≠0,a、b中至少有一个为零的否命题是a≠0,且b≠0,∴命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是“若a≠0,且b≠0,则ab≠0.”故:若a≠0,且b≠0,则ab≠0.44.已知点M(1,2),N(1,1),则直线MN的倾斜角是()A.90°B.45°C.135°D.不存在答案:∵点M(1,2),N(1,1),则直线MN的斜率不存在,故直线MN的倾斜角是90°,故选A.45.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()
A.长轴在x轴上的椭圆
B.长轴在y轴上的椭圆
C.实轴在x轴上的双曲线
D.实轴在y轴上的双曲线答案:D46.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为
______.答案:如图,过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线,垂足分别为B、C,则:|OF||OA|=|FC||AB|?ca=62=3.故为347.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有40名,高二年级有50名,现用分层抽样的方法在这90名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了8名,则在高二年级的学生中应抽取的人数为______.答案:∵高一年级有40名学生,在高一年级的学生中抽取了8名,∴每个个体被抽到的概率是
840=15∵高二年级有50名学生,∴要抽取50×15=10名学生,故为:10.48.若指数函数f(x)与幂函数g(x)的图象相交于一点(2,4),则f(x)=______,g(x)=______.答案:设f(x)=ax(a>0且a≠1),g(x)=xα将(2,4)代入两个解析式得4=a2,4=2α解得a=2,α=2故为:f(x)=2x,g(x)=x249.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量相等的是()
A.AD与CB
B.OA与OC
C.AC与DB
D.DO与OB
答案:D50.在z轴上与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离的点C的坐标为
______.答案:由题意设C(0,0,z),∵C与点A(-4,1,7)和点B(3,5,-2)等距离,∴|AC|=|BC|,∴16+1+(7-z)2=9+25+(z+2)2,∴18z=28,∴z=149,∴C点的坐标是(0,0,149)故为:(0,0,149)第2卷一.综合题(共50题)1.“a2+b2≠0”的含义为()A.a和b都不为0B.a和b至少有一个为0C.a和b至少有一个不为0D.a不为0且b为0,或b不为0且a为0答案:a2+b2≠0的等价条件是a≠0或b≠0,即两者中至少有一个不为0,对照四个选项,只有C与此意思同,C正确;A中a和b都不为0,是a2+b2≠0充分不必要条件;B中a和b至少有一个为0包括了两个数都是0,故不对;D中只是两个数仅有一个为0,概括不全面,故不对;故选C2.已知向量,,若与共线,则的值为
A
B
C
D
答案:D解析:,,由,得3.3i(1+i)2的虚部等于______.答案:3i(1+i)2=2,所以其虚部等于0,故为04.如图给出了一个算法程序框图,该算法程序框图的功能是()A.求a,b,c三数的最大数B.求a,b,c三数的最小数C.将a,b,c按从小到大排列D.将a,b,c按从大到小排列答案:逐步分析框图中的各框语句的功能,第一个条件结构是比较a,b的大小,并将a,b中的较小值保存在变量a中,第二个条件结构是比较a,c的大小,并将a,c中的较小值保存在变量a中,故变量a的值最终为a,b,c中的最小值.由此程序的功能为求a,b,c三个数的最小数.故选B5.某自动化仪表公司组织结构如图所示,其中采购部的直接领导是()
A.副总经理(甲)
B.副总经理(乙)
C.总经理
D.董事会
答案:B6.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而y=logx是对数函数(小前提),所以y=logx是增函数(结论).”上面推理的错误是()
A.大前提错导致结论错
B.小前提错导致结论错
C.推理形式错导致结论错
D.大前提和小前提都错导致结论错答案:A7.从甲乙丙三人中任选两名代表,甲被选中的概率为()A.12B.13C.23D.1答案:从3个人中选出2个人当代表,则所有的选法共有3种,即:甲乙、甲丙、乙丙,其中含有甲的选法有两种,故甲被选中的概率是23,故选C.8.已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),若AB=2a,则点B的坐标为______.答案:∵向量a=(-3,4,12),AB=2a,∴AB=(-6,8,24)∵点A(1,-2,0)∴B(-6+1,8-2,24-0)=(-5,6,24)故为:(-5,6,24)9.例3.设a>0,b>0,解关于x的不等式:|ax-2|≥bx.答案:原不等式|ax-2|≥bx可化为ax-2≥bx或ax-2≤-bx,(1)对于不等式ax-2≤-bx,即(a+b)x≤2
因为a>0,b>0即:x≤2a+b.(2)对于不等式ax-2≥bx,即(a-b)x≥2①当a>b>0时,由①得x≥2a-b,∴此时,原不等式解为:x≥2a-b或x≤2a+b;当a=b>0时,由①得x∈ϕ,∴此时,原不等式解为:x≤2a+b;当0<a<b时,由①得x≤2a-b,∴此时,原不等式解为:x≤2a+b.综上可得,当a>b>0时,原不等式解集为(-∞,2a+b]∪[2a-b,+∞),当0<a≤b时,原不等式解集为(-∞,2a+b].10.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E,F分别是棱AA1,DD1的中点,则直线EF被球O截得的线段长为()
A.
B.1
C.1+
D.答案:D11.已知点B是点A(2,-3,5)关于平面xOy的对称点,则|AB|=()
A.10
B.
C.
D.38答案:A12.经过两点A(-3,5),B(1,1
)的直线倾斜角为______.答案:因为两点A(-3,5),B(1,1
)的直线的斜率为k=1-51-(-3)=-1所以直线的倾斜角为:135°.故为:135°.13.(理科)若随机变量ξ~N(2,22),则D(14ξ)的值为______.答案:解;∵随机变量ξ服从正态分布ξ~N(2,22),∴可得随机变量ξ方差是4,∴D(14ξ)的值为142D(ξ)=142×4=14.故为:14.14.设某批电子手表正品率为,次品率为,现对该批电子手表进行测试,设第X次首次测到正品,则P(X=3)等于()
A.
B.
C.
D.答案:C15.已知函数f(x)=x21+x2,那么f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=______.答案:∵f(x)=x21+x2,∴f(1x)=11+x2∴f(x)+f(1x)=1∴f(2)+f(12)=1,f(3)+f(13)=1,f(4)+f(14)=1,f(1)=12∴f(1)+f(2)+f(12)+f(3)+f(13)+f(4)+f(14)=72故为:7216.某市为抽查控制汽车尾气排放的执行情况,选择了抽取汽车车牌号的末位数字是6的汽车进行检查,这样的抽样方式是(
)
A.抽签法
B.简单随机抽样
C.分层抽样
D.系统抽样答案:D17.在△ABC中,=,=,且=2,则等于()
A.+
B.+
C.+
D.+答案:A18.|a|=4,a与b的夹角为30°,则a在b方向上的投影为______.答案:a在b方向上的投影为|a|cos30°=4×32=23故为:2319.若抛物线y2=4x上一点P到其焦点的距离为3,则点P的横坐标等于______.答案:∵抛物线y2=4x=2px,∴p=2,由抛物线定义可知,抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的,∴|MF|=3=x+p2=3,∴x=2,故为:2.20.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<0)=0.2,则P(ξ>4)=()
A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2答案:D21.已知a=(2,3),b=(1,2),(a+λb)⊥(a-b),则λ=______.答案:∵a=(2,3),b=(1,2),∴a2=(2,3)•(2,3)=4+9=13,b2=(1,2)•(1,2)=1+4=5∵(a+λb)⊥(a-b)∴(a+λb)•(a-b)=a2-λb2=13-5λ=0∴λ=135故为:13522.下列命题:
①垂直于同一直线的两直线平行;
②垂直于同一直线的两平面平行;
③垂直于同一平面的两直线平行;
④垂直于同一平面的两平面平行;
其中正确的有()
A.③④
B.①②④
C.②③
D.②③④答案:C23.下列数字特征一定是数据组中的数是()
A.众数
B.中位数
C.标准差
D.平均数答案:A24.命题“p:任意x∈R,都有x≥2”的否定是______.答案:命题“任意x∈R,都有x≥2”是全称命题,否定时将量词对任意的x∈R变为存在实数x,再将不等号≥变为<即可.故为:存在实数x,使得x<2.25.(几何证明选讲选选做题)如图,圆的两条弦AC、BD相交于P,弧AB、BC、CD、DA的度数分别为60°、105°、90°、105°,则PAPC=______.答案:连接AB,CD∵弧AB、CD、的度数分别为60°、90°,∴弦AB的长度等于半径,弦CD的长度等于半径的2倍,即ABCD=12,∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ABP∽△CDP∴ABCD=PAPC∴PAPC=12=22,故为:2226.已知:如图,⊙O1与⊙O2外切于C点,AB一条外公切线,A、B分别为切点,连接AC、BC.设⊙O1的半径为R,⊙O2的半径为r,若tan∠ABC=,则的值为()
A.
B.
C.2
D.3
答案:C27.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立.现已知当n=5时,该命题不成立,那么可推得()
A.当n=6时,该命题不成立
B.当n=6时,该命题成立
C.当n=4时,该命题不成立
D.当n=4时,该命题成立答案:C28.(本题满分12分)
已知:
求证:答案:.证明:…………2分由于=………………5分…………①………………6分由于………②……………8分同理:…………③……………10分①+②+③得:即原不等式成立………………12分解析:同答案29.算法框图中表示判断的是()A.
B.
C.
D.
答案:∵在算法框图中,表示判断的是菱形,故选B.30.函数y=f(x)对任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy.
(1)求f(0)的值;
(2)若f(1)=1,求f(2),f(3),f(4)的值,猜想f(n)的表达式并用数学归纳法证明你的结论;
(3)若f(1)≥1,求证:f(12n)>0(n∈N*).答案:(1)令x=y=0得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0?f(0)=0(2)f(1)=1,f(2)=f(1+1)=1+1+2=4f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16猜想f(n)=n2,下用数学归纳法证明之.①当n=1时猜想成立.②假设n=k时猜想成立,即:f(k)=k2,那么f(k+1)=f(k)+f(1)+2k=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说n=k+1时猜想也成立.对于一切n≥1,n∈N+猜想都成立.(3)f(1)≥1,则f(1)=2f(12)+2×12×12≥1?f(12)≥14>0假设n=k(k∈N*)时命题成立,即f(12k)≥122k>0,则f(12k)=2f(12k+1)+2×12k+1×12k+1≥122k?f(12k+1)≥122(k+1),由上知,则f(12n)>0(n∈N*).31.由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线,则切线长的最小值为()
A.1
B.2
C.
D.3答案:C32.为提高广东中小学生的健康素质和体能水平,广东省教育厅要求广东各级各类中小学每年都要在体育教学中实施“体能素质测试”,测试总成绩满分为100分.根据广东省标准,体能素质测试成绩在[85,100]之间为优秀;在[75,85]之间为良好;在[65,75]之间为合格;在(0,60)之间,体能素质为不合格.
现从佛山市某校高一年级的900名学生中随机抽取30名学生的测试成绩如下:
65,84,76,70,56,81,87,83,91,75,81,88,80,82,93,85,90,77,86,81,83,82,82,64,79,86,68,71,89,96.
(1)在答题卷上完成频率分布表和频率分布直方图,并估计该校高一年级体能素质为优秀的学生人数;
(2)在上述抽取的30名学生中任取2名,设ξ为体能素质为优秀的学生人数,求ξ的分布列和数学期望(结果用分数表示);
(3)请你依据所给数据和上述广东省标准,对该校高一学生的体能素质给出一个简短评价.答案:(1)由已知的数据可得频率分布表和频率分布直方图如下:
分组
频数
频率[55,60)
1
130[60,65)
1
130[65,70)
2
230[70,75)
2
230[75,80)
4
430[80,85)
10
1030[85,90)
6
630[90,95)
3
330[95,100)
1
130根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀的有1030×900=300人
…(5分)(2)ξ的可能取值为0,1,2.…(6分)P(ξ=0)=C220C230=3887,P(ξ=1)=C120C110C230=4087,P(ξ=2)=C210C230=987
…(8分)∴ξ分布列为:ξ012P38874087987…(9分)所以,数学期望Eξ=0×3887+1×4087+2×987=5887=23.…(10分)(3)根据抽样,估计该校高一学生中体能素质为优秀有1030×900=300人,占总人数的13,体能素质为良好的有1430×900=420人,占总人数的715,体能素质为优秀或良好的共有2430×900=720人,占总人数的45,但体能素质为不合格或仅为合格的共有630×900=180人,占总人数的15,说明该校高一学生体能素质良好,但仍有待进一步提高,还需积极参加体育锻炼.33.已知函数f(x)=2-x,x≤112+log2x,x>1,则满足f(x)≥1的x的取值范围为______.答案:当x≤1时,2-x≥1,解得-x≥0,即x≤0,所以x≤0;当x>1时,12+log2x≥1,解得x≥2,所以x≥2.所以满足f(x)≥1的x的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞).故为:(-∞,0]∪[2,+∞).34.直线m的倾斜角为30°,则此直线的斜率等于()A.12B.1C.33D.3答案:因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是:k=tanθ∴倾斜角为30°时,对应的斜率k=tan30°=33故选:C.35.平面上动点M到定点F(3,0)的距离比M到直线l:x+1=0的距离大2,则动点M满足的方程()
A.x2=6y
B.x2=12y
C.y2=6x
D.y2=12x答案:D36.随机变量ξ的分布列为k=1、2、3、4,c为常数,则P(<ξ<)的值为()
A.
B.
C.
D.答案:B37.(选做题)已知x+2y=1,则x2+y2的最小值是______.答案:x2+y2表示(0,0)到x+2y=1上点的距离的平方∴x2+y2的最小值是(0,0)到x+2y=1的距离d的平方据点到直线的距离公式得d=11+4=15∴x2+y2的最小值是15故为1538.把点按向量平移到点,则的图象按向量平移后的图象的函数表达式为(
).A.B.C.D.答案:D解析:,由可得,所以平移后的函数解析式为39.在正方形ABCD中,已知它的边长为1,设=,=,=,则|++|的值为(
)
A.0
B.3
C.2+
D.2答案:D40.△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,若p=t(a|a|+b|b|),t∈R,则点P一定在()A.∠AOB平分线所在直线上B.线段AB中垂线上C.AB边所在直线上D.AB边的中线上答案:∵△OAB中,OA=a,OB=b,OP=p,p=t(a|a|+b|b|),t∈R,∵a|a|
和b|b|
是△OAB中边OA、OB上的单位向量,∴(a|a|+b|b|
)在∠AOB平分线线上,∴t(a|a|+b|b|
)在∠AOB平分线线上,∴则点P一定在∠AOB平分线线上,故选A.41.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为有理数的点称为有理点.试根据这一定义,证明下列命题:若直线y=kx+b(k≠0)经过点M(2,1),则此直线不能经过两个有理点.答案:证明:假设此直线上有两个有理点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1、y1、x2、y2均为有理数,则有y1=kx1+b,y2=kx2+b,两式相减,得y1-y2=k(x1-x2).∵斜率k存在,∴x1≠x2,得k=y1-y2x1-x2.而有理数经过四则运算后还是有理数,故k为有理数.又由y1=kx1+b知,b也是有理数.又∵点M(2,1)在此直线上,∴1=2k+b,于是有2=1-bk(k≠0).此式左端为无理数,右端为有理数,显然矛盾,故此直线不能经过两个有理点.42.下列有关相关指数R2的说法正确的有()
A.R2的值越大,说明残差平方和越小
B.R2越接近1,表示回归效果越差
C.R2的值越小,说明残差平方和越小
D.如果某数据可能采取几种不同回归方程进行回归分析,一般选择R2小的模型作为这组数据的模型答案:A43.如图程序框图表达式中N=______.答案:该程序按如下步骤运行①N=1×2,此时i变成3,满足i≤5,进入下一步循环;②N=1×2×3,此时i变成4,满足i≤5,进入下一步循环;③N=1×2×3×4,此时i变成5,满足i≤5,进入下一步循环;④N=1×2×3×4×5,此时i变成6,不满足i≤5,结束循环体并输出N的值因此,最终输出的N等于1×2×3×4×5=120故为:12044.三行三列的方阵.a11a12
a13a21a22
a23a31a32
a33.中有9个数aji(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则它们不同行且不同列的概率是()A.37B.47C.114D.1314答案:从给出的9个数中任取3个数,共有C39;从三行三列的方阵中任取三个数,使它们不同行且不同列:从第一行中任取一个数有C13种方法,则第二行只能从另外两列中的两个数任取一个有C12种方法,第三行只能从剩下的一列中取即可有1中方法,∴共有C13×C12×C11=6.∴从三行三列的方阵中任取三个数,则它们不同行且同列的概率P=6C39=114.故选C.45.下列命题中正确的是()
A.若,则
B.若,则
.若,则
D.若,则答案:C46.把4名男生和4名女生排成一排,女生要排在一起,不同排法的种数为()
A.A88
B.A55A44
C.A44A44
D.A85答案:B47.已知直线的倾斜角为α,且cosα=45,则此直线的斜率是______.答案:∵直线l的倾斜角为α,cosα=45,∴α的终边在第一象限,故sinα=35故l的斜率为tanα=sinαcosα=34故为:3448.如图,P-ABCD是正四棱锥,ABCD-A1B1C1D1是正方体,其中AB=2,PA=6.
(1)求证:PA⊥B1D1;
(2)求平面PAD与平面BDD1B1所成锐二面角的余弦值.答案:以D1为原点,D1A1所在直线为x轴,D1C1所在直线为y轴,D1D所在直线为z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,0),A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D(0,0,2),A(2,0,2),B(2,2,2),C(0,2,2),P(1,1,4).(1)证明:∵AP=(-1,1,2),D1B1=(2,2,0),∴AP•D1B1=-2+2+0=0,∴PA⊥B1D1.(2)平面BDD1B1的法向量为AC=(-2,2,0).DA=(2,0,0),OP=(1,1,2).设平面PAD的法向量为n=(x,y,z),则n⊥DA,n⊥DP.∴2x=0x+y+2z=0∴x=0y=-2z.取n=(0,-2,1),设所求锐二面角为θ,则cosθ=|n•AC||n|•|AC|=|0-4+0|22×5=105.49.巳知椭圆{xn}与{yn}的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为32,且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12,则椭圆G的方程为______.答案:由题设知e=32,2a=12,∴a=6,b=3,∴所求椭圆方程为x236+y29=1.:x236+y29=1.50.若x,y∈R,则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件答案:根据复数的分类,x+yi为纯虚数的充要条件是x=0,y≠0.“若x=0则x+yi为纯虚数”是假命题,反之为真.∴x,y∈R,则“x=0”是“x+yi为纯虚数”的必要不充分条件故选B第3卷一.综合题(共50题)1.设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点,对于下列向量组:①AD与AB;②DA与BC;③CA与DC;④OD与OB.其中能作为一组基底的是______(只填写序号).答案:解析:由于①AD与AB不共线,③CA与DC不共线,所以都可以作为基底.②DA与BC共线,④OD与OB共线,不能作为基底.故为:①③.2.一个口袋中有红球3个,白球4个.
(Ⅰ)从中不放回地摸球,每次摸2个,摸到的2个球中至少有1个红球则中奖,求恰好第2次中奖的概率;
(Ⅱ)从中有放回地摸球,每次摸2个,摸到的2个球中至少有1个红球则中奖,连续摸4次,求中奖次数X的数学期望E(X).答案:(I)“恰好第2次中奖“即为“第一次摸到的2个白球,第二次至少有1个红球”,其概率为C24C27×C23+C13C12C25=935;(II)摸一次中奖的概率为p=C23+C13C14C27=57,由条件知X~B(4,p),∴EX=np=4×57=207.3.(几何证明选讲选选做题)如图,圆的两条弦AC、BD相交于P,弧AB、BC、CD、DA的度数分别为60°、105°、90°、105°,则PAPC=______.答案:连接AB,CD∵弧AB、CD、的度数分别为60°、90°,∴弦AB的长度等于半径,弦CD的长度等于半径的2倍,即ABCD=12,∵∠A=∠D,∠C=∠B,∴△ABP∽△CDP∴ABCD=PAPC∴PAPC=12=22,故为:224.从直径AB的延长线上取一点C,过点C作该圆的切线,切点为D,若∠ACD的平分线交AD于点E,则∠CED的度数是()
A.30°
B.45°
C.60°
D.随点C的变化而变化答案:B5.圆(x+3)2+(y-1)2=25上的点到原点的最大距离是()
A.5-
B.5+
C
D.10答案:B6.用“辗转相除法”求得和的最大公约数是(
)A.B.C.D.答案:D解析:是和的最大公约数,也就是和的最大公约数7.已知x,y之间的一组数据:x1.081.121.191.28y2.252.372.402.55y与x之间的线性性回归方y=bx+a必过定点______.答案:回归直线方程一定过样本的中心点(.x,.y),.x=1.08+1.12+1.19+1.284=1.1675,
.y=2.25+2.37+2.40+2.554=2.3925,∴样本中心点是(1.1675,2.3925),故为(1.1675,2.3925).8.设双曲线的两条渐近线为y=±x,则该双曲线的离心率e为()
A.5
B.或
C.或
D.答案:C9.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,甲被选中的概率为
______.答案:由题意:甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表,共有六种情况:甲和乙、甲和丙、甲和丁、乙和丙、乙和丁、丙和丁,因每种情况出现的可能性相等,所以甲被选中的概率为12.故为:12.10.平面上动点M到定点F(3,0)的距离比M到直线l:x+1=0的距离大2,则动点M满足的方程()
A.x2=6y
B.x2=12y
C.y2=6x
D.y2=12x答案:D11.已知圆x2+y2=r2在曲线|x|+|y|=4的内部,则半径r的范围是()A.0<r<22B.0<r<2C.0<r<2D.0<r<4答案:根据题意画出图形,如图所示:可得曲线|x|+|y|=4表示边长为42的正方形,如图ABCD为正方形,x2+y2=r2表示以原点为圆心的圆,过O作OE⊥AB,∵边AB所在直线的方程为x+y=4,∴|OE|=42=22,则满足题意的r的范围是0<r<22.故选A12.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是(
)
A.4x+3y-13=0
B.4x-3y-19=0
C.3x-4y-16=0
D.3x+4y-8=0答案:A13.已知向量=(1,1,-2),=(2,1,),若≥0,则实数x的取值范围为()
A.(0,)
B.(0,]
C.(-∞,0)∪[,+∞)
D.(-∞,0]∪[,+∞)答案:C14.已知f(x)=2x,g(x)=3x.
(1)当x为何值时,f(x)=g(x)?
(2)当x为何值时,f(x)>1?f(x)=1?f(x)<1?
(3)当x为何值时,g(x)>3?g(x)=3?g(x)<3?答案:(1)作出函数f(x),g(x)的图象,如图所示.∵f(x),g(x)的图象都过点(0,1),且这两个图象只有一个公共点,∴当x=0时,f(x)=g(x)=1.(2)由图可知,当x>0时,f(x)>1;当x=0时,f(x)=1;当x<0时,f(x)<1.(3)由图可知:当x>1时,g(x)>3;当x=1时,g(x)=3;当x<1时,g(x)<3.15.将一个总体分为A、B、C三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为180的样本,则应从C中抽取样本的个数为______个.答案:由分层抽样的定义可得应从B中抽取的个体数为180×25+3+2=36,故为:36.16.圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过圆O1,圆O2交点的直线的直角坐标方程.答案:以有点为原点,极轴为x轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.(1)x=ρcosθ,y=ρsinθ,由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcosθ.所以x2+y2=4x.即x2+y2-4x=0为圆O1的直角坐标方程.….(3分)同理x2+y2+4y=0为圆O2的直角坐标方程.….(6分)(2)由x2+y2-4x=0x2+y2+4y=0解得x1=0y1=0x2=2y2=-2.即圆O1,圆O2交于点(0,0)和(2,-2).过交点的直线的直角坐标方程为y=-x.…(10分)17.某自动化仪表公司组织结构如图所示,其中采购部的直接领导是()
A.副总经理(甲)
B.副总经理(乙)
C.总经理
D.董事会
答案:B18.下列图形中不一定是平面图形的是()
A.三角形
B.四边相等的四边形
C.梯形
D.平行四边形答案:B19.已知三点A(1,2),B(2,-1),C(2,2),E,F为线段BC的三等分点,则AE•AF=______.答案:∵A(1,2),B(2,-1),C(2,2),∴AB=(1,-3),BC=(0,3),AE=AB+13BC=(1,-2),AF=AB+23BC=(1,-1),∴AE•AF=1×1+(-2)×(-1)=3.故为:320.已知随机变量ξ服从正态分布N(1,δ2)(δ>0).若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4,则ξ在(0,2)内取值的概率为(
)
A.
B.
C.
D.答案:D21.点(1,2)到原点的距离为()
A.1
B.5
C.
D.2答案:C22.设P,Q为△ABC内的两点,且AP=mAB+nAC
(m,n>0)AQ=pAB+qAC
(p,q>0),则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为______.答案:设P到边AB的距离为h1,Q到边AB的距离为h2,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为h1h2,设AB边上的单位法向量为e,AB?e=0,则h1=|AP?e|=|(mAB+nAC)?e|=|m?AB?e+nAC?e|=|nAC?e|,同理可得h2=|qAC?e|,∴h1h2=|nq|=nq,故为n:q.23.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在()
A.y轴上
B.xOy平面上
C.xOz平面上
D.第一卦限内答案:C24.我市某机构为调查2009年下半年落实中学生“阳光体育”活动的情况,设平均每人每天参加体育锻炼时间为X(单位:分钟),按锻炼时间分下列四种情况统计:①0~10分钟;②11~20分钟;③21~30分钟;④30分钟以上,有10000名中学生参加了此项活动,右图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是6200,则平均每天参加体育锻炼时间在0~20分钟内的学生的频率是()A.0.62B.0.38C.6200D.3800答案:由图知输出的S的值是运动时间超过20分钟的学生人数,由于统计总人数是10000,又输出的S=6200,故运动时间不超过20分钟的学生人数是3800事件“平均每天参加体育锻炼时间在0~20分钟内的学生的”频率是380010000=0.38故选B25.若方程x2-3x+mx+m=0的两根均在(0,+∞)内,则m的取值范围是(
)
A.m≤1
B.0<m≤1
C.m>1
D.0<m<1答案:B26.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关,应该检验()
A.H0:男性喜欢参加体育活动
B.H0:女性不喜欢参加体育活动
C.H0:喜欢参加体育活动与性别有关
D.H0:喜欢参加体育活动与性别无关答案:D27.下列图象中不能作为函数图象的是()A.
B.
C.
D.
答案:根据函数的概念:如果在一个变化过程中,有两个变量x、y,对于x的每一个值,y都有唯一确定的值与之对应,这时称y是x的函数.结合选项可知,只有选项B中是一个x对应1或2个y故选B.28.在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中,向量是()
A.有相同起点的向量
B.等长的向量
C.共面向量
D.不共面向量答案:C29.已知M(-2,7)、N(10,-2),点P是线段MN上的点,且PN=-2PM,则P点的坐标为______.答案:设P(x,y),则PN=(10-x,-2-y),PM=(-2-x,7-y),∵PN=-2PM,∴10-x=-2(-2-x)-2-y=-2(7-y),∴x=2y=4∴P点的坐标为(2,4).故为:(2,4)30.
已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线交y轴正半轴于点P,交抛物线于A,B两点,其中点A在第一象限,若,,,则μ的取值范围是()
A.[1,]
B.[,2]
C.[2,3]
D.[3,4]答案:B31.如图,已知OA、OB是⊙O的半径,且OA⊥OB,P是线段OA上一点,直线BP交⊙O于点Q,过Q作⊙O的切线交直线OA于点E,求证:∠OBP+∠AQE=45°.答案:证明:连接AB,则∠AQE=∠ABP,而OA=OB,所以∠ABO=45°所以∠OBP+∠AQE=∠OBP+∠ABP=∠ABO=45°32.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M是棱AB的中点,点P是平面ABCD上的一动点,且点P到直线A1D1的距离两倍的平方比到点M的距离的平方大4,则点P的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:在平面ABCD上,以AD为x轴,以AB为y轴建立平面直角坐标系,则M(,12,0),设P(x,y)则|MP|2=y2+(x-12)2点P到直线A1D1的距离为x2+1由题意得4(x2+1)=
y2+(x-12)2+4即3(x+12)2-y2=74选C33.A、B、C、D、E五种不同的商品要在货架上排成一排,其中A、B两种商品必须排在一起,而C、D两种商品不能排在一起,则不同的排法共有______种.答案:先把A、B进行排列,有A22种排法,再把A、B看成一个元素,和E进行排列,有A22种排法,最后再把C、D插
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