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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年河北司法警官职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.如图是《集合》的知识结构图,如果要加入“子集”,那么应该放在()
A.“集合”的下位
B.“含义与表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:C2.在空间坐标中,点B是A(1,2,3)在yOz坐标平面内的射影,O为坐标原点,则|OB|等于()
A.
B.
C.2
D.答案:B3.△ABC中,∠A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P,求证:BP=CP.
答案:证明:∠CBP=∠CAP=∠PAD又∠1=∠2由∠CAD=∠ACB+∠CBA=∠ACB+∠CBP+∠2=∠ACB+∠1+∠CBP=∠BCP+∠CBP∴∠BCP=∠CBP,∴BP=CP.4.已知椭圆的参数方程为(ϕ为参数),点M在椭圆上,点O为原点,则当ϕ=时,OM的斜率为()
A.1
B.2
C.
D.2答案:D5.已知二项分布ξ~B(4,12),则该分布列的方差Dξ值为______.答案:∵二项分布ξ~B(4,12),∴该分布列的方差Dξ=npq=4×12×(1-12)=1故为:16.条件语句的一般形式如图所示,其中B表示的是()
A.条件
B.条件语句
C.满足条件时执行的内容
D.不满足条件时执行的内容
答案:C7.两平行直线x+3y-5=0与x+3y-10=0的距离是______.答案:根据题意,得两平行直线x+3y-5=0与x+3y-10=0的距离为d=|-5+10|12+32=102故为:1028.某市为研究市区居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图(如图).
(Ⅰ)求月收入在[3000,3500)内的被调查人数;
(Ⅱ)估计被调查者月收入的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).
答案:(I)10000×0.0003×500=1500(人)∴月收入在[3000,3500)内的被调查人数1500人(II).x=1250×0.1+1750×0.2+2250×0.25+2750×0.25+3250×0.15+3750×0.05=2400∴估计被调查者月收入的平均数为24009.抛掷甲、乙两骰子,记事件A:“甲骰子的点数为奇数”;事件B:“乙骰子的点数为偶数”,则P(B|A)的值等于()
A.
B.
C.
D.答案:B10.若向量e1,e2不共线,且ke1+e2与e1+ke2可以作为平面内的一组基底,则实数k的取值范围为______.答案:∵当(ke1+e2)∥(e1+ke2),∴ke1+e2=λ(e1+ke2),∴ke1+e2=λe1+λke2,∴k=λ,1=λk,∴k2=1,k=±1,故ke1+e2与e1+ke2可以作为平面内的一组基底,则实数k的取值范围为k≠±1.故为:k≠±1.11.过直线x+y-22=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线,若两条切线的夹角是60°,则点P的坐标是______.答案:根据题意画出相应的图形,如图所示:直线PA和PB为过点P的两条切线,且∠APB=60°,设P的坐标为(a,b),连接OP,OA,OB,∴OA⊥AP,OB⊥BP,PO平分∠APB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=30°,又圆x2+y2=1,即圆心坐标为(0,0),半径r=1,∴OA=OB=1,∴OP=2AO=2BO=2,∴a2+b2=2,即a2+b2=4①,又P在直线x+y-22=0上,∴a+b-22=0,即a+b=22②,联立①②解得:a=b=2,则P的坐标为(2,2).故为:(2,2)12.(2x+1)5的展开式中的第3项的系数是()A.10B.40C.80D.120答案:(2x+1)5的展开式中的第3项为T3=C25(2x)3
×1=80x3,故(2x+1)5的展开式中的第3项的系数是80,故选C.13.已知参数方程x=1+cosθy=sinθ,(参数θ∈[0,2π]),则该曲线上的点与定点A(-1,-1)的距离的最小值是
______.答案:∵参数方程x=1+cosθy=sinθ∴圆的方程为(x-1)2+y2=1∴定点A(-1,-1)到圆心的距离为5∴与定点A(-1,-1)的距离的最小值是d-r=5-1故为5-114.正方体的内切球和外接球的半径之比为
A.:1
B.:2
C.2:
D.:3答案:D15.将包含甲、乙两人的4位同学平均分成2个小组参加某项公益活动,则甲、乙两名同学分在同一小组的概率为()
A.
B.
C.
D.答案:C16.平面向量与的夹角为60°,=(2,0),||=1,则|+2|()
A.
B.2
C.4
D.12答案:B17.若直线l经过点A(-1,1),且一个法向量为n=(3,3),则直线方程是______.答案:设直线的方向向量m=(1,k)∵直线l一个法向量为n=(3,3)∴m•n=0∴k=-1∵直线l经过点A(-1,1)∴直线l的方程为y-1=(-1)×(x+1)即x+y=0故为x+y=018.设P,Q为△ABC内的两点,且AP=mAB+nAC
(m,n>0)AQ=pAB+qAC
(p,q>0),则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为______.答案:设P到边AB的距离为h1,Q到边AB的距离为h2,则△ABP的面积与△ABQ的面积之比为h1h2,设AB边上的单位法向量为e,AB?e=0,则h1=|AP?e|=|(mAB+nAC)?e|=|m?AB?e+nAC?e|=|nAC?e|,同理可得h2=|qAC?e|,∴h1h2=|nq|=nq,故为n:q.19.若直线的参数方程为,则直线的斜率为(
)A.B.C.D.答案:D20.直线被圆x2+y2=9截得的弦长为(
)
A.
B.
C.
D.答案:B21.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB上,DE⊥EB.
(Ⅰ)求证:AC是△BDE的外接圆的切线;
(Ⅱ)若AD=23,AE=6,求EC的长.答案:证明:(Ⅰ)取BD的中点O,连接OE.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠OBE.又∵OB=OE,∴∠OBE=∠BEO,∴∠CBE=∠BEO,∴BC∥OE.…(3分)∵∠C=90°,∴OE⊥AC,∴AC是△BDE的外接圆的切线.
…(5分)(Ⅱ)设⊙O的半径为r,则在△AOE中,OA2=OE2+AE2,即(r+23)2=r2+62,解得r=23,…(7分)∴OA=2OE,∴∠A=30°,∠AOE=60°.∴∠CBE=∠OBE=30°.∴在Rt△BCE中,可得EC=12BE=12×3r=12×3×23=3.
…(10分)22.已知A(4,1,3),B(2,-5,1),C是线段AB上一点,且,则C点的坐标为()
A.
B.
C.
D.答案:C23.点P1,P2是线段AB的2个三等分点,若P∈{P1,P2},则P分有线段AB的比λ的最大值和最小值分别为()
A.3,
B.3,
C.2,
D.2,1答案:C24.函数y=(43)x,x∈N+是()A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数答案:由正整数指数函数不具有奇偶性,可排除C、D;因为函数y=(43)x,x∈N+的底数43大于1,所以此函数是增函数.故选A.25.已知a,b,c,d都是正数,S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c,则S的取值范围是______.答案:∵a,b,c,d都是正数,∴S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c>aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1;S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c<aa+b+bb+a+cc+d+dd+c=2∴1<S<2.故为:(1,2)26.i是虚数单位,若(3+5i)x+(2-i)y=17-2i,则x、y的值分别为()
A.7,1
B.1,7
C.1,-7
D.-1,7答案:B27.若下列算法的程序运行的结果为S=132,那么判断框中应填入的关于k的判断条件是
______.答案:本题考查根据程序框图的运算,写出控制条件按照程序框图执行如下:s=1
k=12s=12
k=11s=12×11=132
k=10因为输出132故此时判断条件应为:K≤10或K<11故为:K≤10或K<1128.若2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,则过点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线方程是______.答案:∵2x1+3y1=4,2x2+3y2=4,∴点A(x1,y1),B(x2,y2)在直线2x+3y=4上,又因为过两点确定一条直线,故所求直线方程为2x+3y=4故为:2x+3y=429.在直角坐标系xoy
中,已知曲线C1:x=t+1y=1-2t(t为参数)与曲线C2:x=asinθy=3cosθ(θ为参数,a>0
)
有一个公共点在X轴上,则a等于______.答案:曲线C1:x=t+1y=1-2t(t为参数)化为普通方程:2x+y-3=0,令y=0,可得x=32曲线C2:x=asinθy=3cosθ(θ为参数,a>0
)化为普通方程:x2a2+y29=1∵两曲线有一个公共点在x轴上,∴94a2=1∴a=32故为:3230.已知F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦AB,若△AF1B的周长为16,椭圆的离心率为e=32,则椭圆的方程为______.答案:根据椭圆的定义,△AF1B的周长为16可知,4a=16,∴a=4,∵e=32,∴c=23,∴b=2,∴椭圆的方程为x216+y24=1,故为x216+y24=131.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为答案:∵直线l1和l2的方向向量分别为32.已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,过F且斜率为1的直线交C于A,B两点.设|FA|>|FB|,则|FA|与|FB|的比值等于______.答案:设A(x1,y1)B(x2,y2)由y=x-1y2=4x⇒x2-6x+1=0⇒x1=3+22,x2=3-22,(x1>x2)∴由抛物线的定义知|FA||FB|=x1+1x2+1=4+224-22=2+22-2=3+22故为:3+2233.选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=33cd,若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=11,属于特征值1的一个特征向量为α2=3-2.求矩阵A的逆矩阵.答案:由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=11,可得33cd11=611,即c+d=6;由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2=3-2可得,33cd3-2=3-2,即3c-2d=-2,解得c=2d=4,即A=3324,A逆矩阵是23-12-1312.34.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()
A.2+
B.
C.
D.1+答案:A35.“a>1”是“1a<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:由1a<1得:当a>0时,有1<a,即a>1;当a<0时,不等式恒成立.所以1a<1?a>1或a<0从而a>1是1a<1的充分不必要条件.故应选:A36.如图的算法的功能是______.输出结果i=______,i+2=______.答案:框图首先输入变量i的值,判断i(i+2)=624,执行输出i,i+2;否则,i=i+2.算法结束.故此算法执行的是求积为624的两个连续偶数,i=24,i+2=26;故为:求积为624的两个连续偶数,24,26.37.已知A(3,4,5),B(0,2,1),O(0,0,0),若,则C的坐标是()
A.(-,-,-)
B.(,-,-)
C.(-,-,)
D.(,,)答案:A38.若3π2<α<2π,则直线xcosα+ysinα=1必不经过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:令x=0,得y=sinα<0,令y=0,得x=cosα>0,直线过(0,sinα),(cosα,0)两点,因而直线不过第二象限.故选B39.平面内有两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆”,那么()A.甲是乙成立的充分不必要条件B.甲是乙成立的必要不充分条件C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件答案:命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时,再加上这个和大于两个定点之间的距离,可以得到动点的轨迹是椭圆,没有加上的条件不一定推出,而点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆,一定能够推出|PA|+|PB|是定值,∴甲是乙成立的必要不充分条件故选B.40.在投掷两枚硬币的随机试验中,记“一枚正面朝上,一枚反面朝上”为事件A,“两枚正面朝上”为事件B,则事件A,B()
A.既是互斥事件又是对立事件
B.是对立事件而非互斥事件
C.既非互斥事件也非对立事件
D.是互斥事件而非对立事件答案:D41.已知A,B两点的极坐标为(6,)和(8,),则线段AB中点的直角坐标为()
A.(,-)
B.(-,)
C.(,-)
D.(-,-)答案:D42.如图,平面中两条直线l1和l2相交于点O,对于平面上任意一点M,若p、q分别是M到直线l1和l2的距离,则称有序非负实数对(p,q)是点M的“距离坐标”.已知常数p≥0,q≥0,给出下列命题:
①若p=q=0,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个;
②若pq=0,且p+q≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有2个;
③若pq≠0,则“距离坐标”为(p,q)的点有且仅有4个.
上述命题中,正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:①正确,此点为点O;②不正确,注意到p,q为常数,由p,q中必有一个为零,另一个非零,从而可知有且仅有4个点,这两点在其中一条直线上,且到另一直线的距离为q(或p);③正确,四个交点为与直线l1相距为p的两条平行线和与直线l2相距为q的两条平行线的交点;故选C.43.如图,⊙O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=()
A.3
B.4
C.5
D.6答案:D44.在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,BC=2.在BC边上任取一点M,则∠AMB≥90°的概率为______.答案:过A点做BC的垂线,垂足为M',当M点落在线段BM'(含M'点不含B点)上时∠AMB≥90由∠A=90°,AB=1,BC=2解得BM'=12,则∠AMB≥90°的概率p=122=14.故为:1445.设A、B、C表示△ABC的三个内角的弧度数,a,b,c表示其对边,求证:aA+bB+cCa+b+c≥π3.答案:证明:法一、不妨设A>B>C,则有a>b>c由排序原理:顺序和≥乱序和∴aA+bB+cC≥aB+bC+cAaA+bB+cC≥aC+bA+cBaA+bB+cC=aA+bB+cC上述三式相加得3(aA+bB+cC)≥(A+B+C)(a+b+c)=π(a+b+c)∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.法二、不妨设A>B>C,则有a>b>c,由排序不等式aA+bB+cC3≥A+B+C3?a+b+c3,即aA+bB+cC≥π3(a+b+c),∴aA+bB+cCa+b+c≥π3.46.设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法.图中给出了程序的一部分,则在横线①上不能填入的数是()
A.13
B.13.5
C.14
D.14.5答案:A47.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是(
)
A.
B.
C.
D.答案:B48.已知sint+cost=1,设s=cost+isint,求f(s)=1+s+s2+…sn.答案:sint+cost=1∴(sint+cost)2=1+2sint?cost=1∴2sint?cost=sin2t=0则cost=0,sint=1或cost=1,sint=0,当cost=0,sint=1时,s=cost+isint=i则f(s)=1+s+s2+…sn=1+i,n=4k+1i,n=4k+20,n=4k+31,n=4(k+1)(k∈N+)当cost=1,sint=0时,s=cost+isint=1则f(s)=1+s+s2+…sn=n+149.设F1,F2分别是椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线l与E相交于A,B两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB|的长为______.答案:∵|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列∴|AF2|+|BF2|=2|AB|,又椭圆E:x2+y2b2=1(0<b<1)中a=1∴|AF2|+|AB|+|BF2|=4,∴3|AB|=4,∴|AB|=43故为:4350.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y关于x的线性回归方程.y=0.7x+0.35,那么表中m的值为______.
x3456y2.5m44.5答案:∵根据所给的表格可以求出.x=3+4+5+64=4.5,.y=2.5+m+4+4.54=11+m4∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上,∴11+m4=0.7×4.5+0.35,∴m=3,故为:3第2卷一.综合题(共50题)1.已知边长为1的正方形ABCD,则|AB+BC+CD|=______.答案:利用向量加法的几何性质,得AB+BC=AC∴AB+BC+CD=AD因为正方形的边长等于1所以|AB+BC+CD|=|AD|
=1故为:12.点(2a,a-1)在圆x2+y2-2y-4=0的内部,则a的取值范围是()
A.-1<a<1
B.0<a<1
C.-1<a<
D.-<a<1答案:D3.已知:正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点.
(1)求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1;
(2)求点D1到平面B1EF的距离.答案:(1)证明略(2)解析:(1)
建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,,0),F(,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4).=(-,,0),=(2,2,0),=(0,0,4),∴·=0,·=0.∴EF⊥DB,EF⊥DD1,DD1∩BD=D,∴EF⊥平面BDD1B1.又EF平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.(2)
由(1)知=(2,2,0),=(-,,0),=(0,-,-4).设平面B1EF的法向量为n,且n=(x,y,z)则n⊥,n⊥即n·=(x,y,z)·(-,,0)=-x+y=0,n·=(x,y,z)·(0,-,-4)=-y-4z=0,令x=1,则y=1,z=-,∴n="(1,1,-")∴D1到平面B1EF的距离d===.4.已知△ABC,D为AB边上一点,若AD=2DB,CD=13CA+λCB,则λ=
.答案:∵AD=2DB,CD=13CA+λCB,CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(
CB-CA)=13CA+23CB,∴λ=23,故为:23.5.已知图形F上的点A按向量平移前后的坐标分别是和,若B()是图形F上的又一点,则在F按向量平移后得到的图形F,上B,的坐标是(
)A.B.C.D.答案:选D解析:设向量,则平移公式为依题意有∴平移公式为将B点坐标代入可得B,点的坐标为.所以选D.6.求两条平行直线3x-4y-11=0与6x-8y+4=0的距离是()
A.3
B.
C.
D.4答案:B7.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的假设为()
A.a,b,c都是奇数
B.a,b,c都是偶数
C.a,b,c中至少有两个偶数
D.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数答案:D8.(本小题满分10分)如图,D、E分别是AB、AC边上的点,且不与顶点重合,已知为方程的两根
(1)证明四点共圆
(2)若求四点所在圆的半径答案:(1)见解析;(2)解析:解:(Ⅰ)如图,连接DE,依题意在中,,由因为所以,∽,四点C、B、D、E共圆。(Ⅱ)当时,方程的根因而,取CE中点G,BD中点F,分别过G,F做AC,AB的垂线,两垂线交于点H,连接DH,因为四点C、B、D、E共圆,所以,H为圆心,半径为DH.,,所以,,点评:此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。9.下表表示y是x的函数,则函数的值域是
______.
答案:有图表可知,所有的函数值构成的集合为{2,3,4,5},故函数的值域为{2,3,4,5}.10.利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时,若有99.5%的把握说事件A和B有关系,则具体计算出的数据应该是()
A.K2≥6.635
B.K2<6.635
C.K2≥7.879
D.K2<7.879答案:C11.如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,据统计,通过两条路径所用的时间互不影响,所用时间落在各时间段内的频率如下表:所用时间(分钟)10~2020~3030~4040~5050~60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.
(Ⅰ)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站,甲和乙应如何选择各自的路径?
(Ⅱ)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数,针对(Ⅰ)的选择方案,求X的分布列和数学期望.答案:(Ⅰ)Ai表示事件“甲选择路径Li时,40分钟内赶到火车站”,Bi表示事件“乙选择路径Li时,50分钟内赶到火车站”,i=1,2.用频率估计相应的概率可得∵P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0.1+0.4=0.5,∵P(A1)>P(A2)∴甲应选择LiP(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,∵P(B2)>P(B1),∴乙应选择L2.(Ⅱ)A,B分别表示针对(Ⅰ)的选择方案,甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(Ⅰ)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知,A,B独立,P(X=0)=P(.A.B)=P(.A)P(.B)=0.4×0.1=0.04P(x=1)=P(.AB+A.B)=P(.A)P(B)+P(A)P(.B)=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42P(X=2)=P(AB)=P(A)(B)=0.6×0.9=0.54X的分布列EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.12.(选做题)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定,需要优选培养温度,实验范围定为29℃~63℃,精确度要求±1℃,用分数法进行优选时,能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为(
)。答案:713.下面是一个算法的伪代码.如果输出的y的值是10,则输入的x的值是______.答案:由题意的程序,若x≤5,y=10x,否则y=2.5x+5,由于输出的y的值是10,当x≤5时,y=10x=10,得x=1;当x>5时,y=2.5x+5=10,得x=2,不合,舍去.则输入的x的值是1.故为:1.14.设S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,则()A.S(2)=12+13B.S(2)=12+14C.S(2)=1+12+13+14D.S(2)=12+13+14答案:∵S(n)=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+1n2,当n=2时,n2=4故S(2)=12+13+14故选D15.参数方程,(θ为参数)表示的曲线是()
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线答案:C16.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望Eξ______(结果用最简分数表示).答案:用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数,ξ可取0,1,2,当ξ=0时,表示没有选到女生;当ξ=1时,表示选到一个女生;当ξ=2时,表示选到2个女生,∴P(ξ=0)=C25C27=1021,P(ξ=1)=C15C12C27=1021,P(ξ=2)=C22C27=121,∴Eξ=0×1021+1×1021+2×121=47.故为:4717.命题“对于正数a,若a>1,则lg
a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为()A.0B.1C.2D.4答案:原命题“对于正数a,若a>1,则lga>0”是真命题;逆命题“对于正数a,若lga>0,则a>1”是真命题;否命题“对于正数a,若a≤1,则lga≤0”是真命题;逆否命题“对于正数a,若lga≤0,则a≤1”是真命题.故选D.18.下面的结论正确的是()A.一个程序的算法步骤是可逆的B.一个算法可以无止境地运算下去的C.完成一件事情的算法有且只有一种D.设计算法要本着简单方便的原则答案:算法需每一步都按顺序进行,并且结果唯一,不能保证可逆,故A不正确;一个算法必须在有限步内完成,不然就不是问题的解了,故B不正确;一般情况下,完成一件事情的算法不止一个,但是存在一个比较好的,故C不正确;设计算法要尽量运算简单,节约时间,故D正确,故选D.19.将4封不同的信随机地投入到3个信箱里,记有信的信箱个数为ξ,试求ξ的分布列.答案:由题意知变量ξ的可能取值是1,2,3,P(ξ=1)=C1334=127,P(ξ=2)=C23(2C14+C24)34=1427,P(ξ=3)=C24A3334=1227,∴ξ的分布列是20.已知点P为y轴上的动点,点M为x轴上的动点,点F(1,0)为定点,且满足PN+12NM=0,PM•PF=0.
(Ⅰ)求动点N的轨迹E的方程;
(Ⅱ)过点F且斜率为k的直线l与曲线E交于两点A,B,试判断在x轴上是否存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,请说明理由.答案:(Ⅰ)设N(x,y),则由PN+12NM=0,得P为MN的中点.∴P(0,y2),M(-x,0).∴PM=(-x,-y2),PF=(1,-y2).∴PM•PF=-x+y24=0,即y2=4x.∴动点N的轨迹E的方程y2=4x.(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1),由y=k(x-1)y2=4x,消去x得y2-4ky-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则
y1+y2=4k,y1y2=-4.假设存在点C(m,0)满足条件,则CA=(x1-m,y1),CB=(x2-m,y2),∴CA•CB=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=(y1y24)2-m(y12+y224)+m2-4=-m4[(y1+y2)2-2y1y2]+m2-3=m2-m(4k2+2)-3.∵△=(4k2+2)2+12>0,∴关于m的方程m2-m(4k2+2)-3=0有解.∴假设成立,即在x轴上存在点C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立.21.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1.
(1)求A1C与DB所成角的大小;
(2)求二面角D-A1B-C的余弦值;
(3)若点E在A1B上,且EB=1,求EC与平面ABCD所成角的大小.答案:(1)如图建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),D(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,1,1).∴DB=(-1,1,0),CA1=(1,1,1).∴cos<DB,CA1>=DB•CA1|DB|•|CA1|=02•3=0.∴A1C与DB所成角的大小为90°.(2)设平面A1BD的法向量n1=(x,y,z),则n1⊥DB,n1⊥A1B,可得-x+y=0x+z=0,∴n1=(1,1,-1).同理可求得平面A1BC的一个法向量n2=(1,0,-1),∴cos<n1,n2>=n1•n2|n1|•|n2|=26=63,∴二面角D-A1B-C的余弦值为63.(3)设n=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量,且CE=(22,1,22),∴cos<n,CE>=n•CE|n|•|CE|=12,∴<n,CE>=60°,∴EC与平面ABCD所成的角是30°.22.已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,,过A点的切线交CB的延长线于E点,求证:AB2=BE·CD。
答案:证明:连结AC,因为EA切⊙O于A,所以∠EAB=∠ACB,因为,所以∠ACD=∠ACB,AB=AD,于是∠EAB=∠ACD,又四边形ABCD内接于⊙O,所以∠ABE=∠D,所以△ABE∽△CDA,于是,即AB·DA=BE·CD,所以。23.在半径为R的球内作一内接圆柱,这个圆柱的底面半径和高为何值时,它的侧面积最大?并求此最大值.答案:解
如图,设内接圆柱的高为h,圆柱的底面半径为r,则h2+4r2=4R2因为h2+4r2≥4rh,当且仅当h=2r时取等.所以4R2≥4rh,即rh≤R2所以,S侧=2πrh≤2πR2,当且仅当h=2r时取等.又因为h2+4r2=4R2,所以r=22R,h=2R时取等综上,当内接圆柱的底面半径为22R,高为2R时,它的侧面积最大,为2πR224.设抛物线C:y2=3px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为()
A.y2=4x或y2=8x
B.y2=2x或y2=8x
C.y2=4x或y2=16x
D.y2=2x或y2=16x答案:C25.若数列{an}(n∈N+)为等差数列,则数列bn=a1+a2+a3+…+ann(n∈N+)也为等差数列,类比上述性质,相应地,若数列{cn}是等比数列且cn>0(n∈N+),则有数列dn=______(n∈N+)也是等比数列.答案:从商类比开方,从和类比到积,可得如下结论:nC1C2C3Cn故为:nC1C2C3Cn26.一只袋中装有2个白球、3个红球,这些球除颜色外都相同.
(Ⅰ)从袋中任意摸出1个球,求摸到的球是白球的概率;
(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,求摸出的两个球都是白球的概率;
(Ⅲ)从袋中任意摸出2个球,求摸出的两个球颜色不同的概率.答案:(Ⅰ)从5个球中摸出1个球,共有5种结果,其中是白球的有2种,所以从袋中任意摸出1个球,摸到白球的概率为25.
…(4分)(Ⅱ)从袋中任意摸出2个球,共有C25=10种情况,其中全是白球的有1种,故从袋中任意摸出2个球,摸出的两个球都是白球的概率为110.…(9分)(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,摸出的两个球颜色不同的情况共有2×3=6种,故从袋中任意摸出2个球,摸出的2个球颜色不同的概率为610=35.
…(14分)27.下列给变量赋值的语句正确的是()
A.5=a
B.a+2=a
C.a=b=4
D.a=2*a答案:D28.已知x,y,z满足(x-3)2+(y-4)2+z2=2,那么x2+y2+z2的最小值是______.答案:由题意可得P(x,y,z),在以M(3,4,0)为球心,2为半径的球面上,x2+y2+z2表示原点与点P的距离的平方,显然当O,P,M共线且P在O,M之间时,|OP|最小,此时|OP|=|OM|-2=32+42-2=52,所以|OP|2=27-102.故为:27-102.29.利用计算机在区间(0,1)上产生两个随机数a和b,则方程有实根的概率为()
A.
B.
C.
D.1答案:A30.已知P(4,-9),Q(-2,3)且Y轴与线段PQ交于M,则Q分的比为()
A.-2
B.-
C.
D.3答案:B31.设F1,F2是双曲线的两个焦点,点P在双曲线上,且·=0,则|PF1|·|PF2|值等于()
A.2
B.2
C.4
D.8答案:A32.(几何证明选讲选做题)
如图,已知PA是圆O的切线,切点为A,直线PO交圆O于B,C两点,AC=2,∠PAB=120°,则切线PA的长度等于______.答案:∵∠PAB=120°,∴优弧ACB=240°,∴劣弧AB=120°,∴∠ACB=60°,又∵OA=OC故∠AOP=60°,OA=AC=2,∠又∵PA是圆O的切线,切点为A,∴∠OAP=90°∴PA=3OA=23故为:2333.一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人,为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中具有初级职称的职工为10人,则样本容量为()
A.10
B.20
C.40
D.50答案:C34.在△ABC中,D为AB上一点,M为△ABC内一点,且满足AD=34AB,AM=AD+35BC,则△AMD与△ABC的面积比为()A.925B.45C.916D.920答案:AP=AD+DP=AD+35BC,DP=35BC.∴三角形ADP的高三角形ABC=ADAB=34,∴S△APDS△ABC=35?34=920.故选D.35.若A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=()
A.{2,1}
B.{(2,1)}
C.{1,2}
D.{(1,2)}答案:D36.已知平面直角坐标系内三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)
(Ⅰ)求过O,A,B三点的圆的方程,并指出圆心坐标与圆的半径.
(Ⅱ)求过点C(-1,0)与条件(Ⅰ)的圆相切的直线方程.答案:(Ⅰ)∵O(0,0),A(1,1),B(4,2),∴线段OA中点坐标为(12,12),线段OB的中点坐标为(2,1),kOA=1,kOB=12,∴线段OA垂直平分线的方程为y-12=-(x-12),线段OB垂直平分线的方程为y-1=12(x-2),联立两方程解得:x=4y=-3,即圆心(4,-3),半径r=42+(-3)2=5,则所求圆的方程为x2+y2-8x+6y=0,圆心是(4,-3)、半径r=5;(Ⅱ)分两种情况考虑:当切线方程斜率不存在时,直线x=-1满足题意;当斜率存在时,设为k,切线方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0,∴圆心到切线的距离d=r,即|5k+3|k2+1=5,解得:k=815,此时切线方程为y=815(x+1),综上,所求切线方程为x=-1或y=815(x+1).37.设a,b,c是正实数,求证:aabbcc≥(abc)a+b+c3.答案:证明:不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc.据排序不等式有:alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algcalga+blgb+clgc≥clga+algb+blgcalga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc上述三式相加得:3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc)即lg(aabbcc)≥a+b+c3lg(abc)故aabbcc≥(abc)a+b+c3.38.一个公司共有240名员工,下设一些部门,要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为20的样本.已知某部门有60名员工,那么从这一部门抽取的员工人数是______.答案:每个个体被抽到的概率是
20240=112,那么从甲部门抽取的员工人数是60×112=5,故为:5.39.圆ρ=5cosθ-5sinθ的圆心的极坐标是()
A.(-5,-)
B.(-5,)
C.(5,)
D.(-5,)答案:A40.已知直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为______.答案:设A(a,0)、B(0,b),a>0,b>0,AB方程为xa+
yb=1,点P(2,1)代入得2a+1b=1≥22ab,∴ab≥8
(当且仅当a=4,b=2时,等号成立),故三角形OAB面积S=12
ab≥4,故为4.41.设集合A={1,2,3,4},集合B={1,3,5,7},则集合A∪B=()A.{1,3}B.{1,2,3,4,5,7}C.{5,7}D.{2,4,5,7}答案:∵A={1,2,3,4},B={1,3,5,7},∴A∪B={1,2,3,4,5,7},故选B.42.制作一个面积为1
m2,形状为直角三角形的铁架框,有下列四种长度的铁管供选择,较经济的(既够用又耗材量少)是().A.5.2mB.5mC.4.8mD.4.6m答案:设一条直角边为x,则另一条直角边是2x,斜边长为x2+4x2故周长
l=x+2x+x2+4x2≥22+2≈4.82当且仅当x=2时等号成立,故较经济的(既够用又耗材量少)是5m故应选B.43.某个命题与正整数n有关,如果当n=k(k∈N+)时命题成立,那么可推得当n=k+1时命题也成立.
现已知当n=7时该命题不成立,那么可推得()
A.当n=6时该命题不成立
B.当n=6时该命题成立
C.当n=8时该命题不成立
D.当n=8时该命题成立答案:A44.如果方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0(a∈R)有实数解,求a的值.答案:设方程的实根为x0,则方程(1+i)x2-2(a+i)x+5-3i=0可化为(x20-2ax0+5)+(x20-2x0-3)i=0由复数相等的充要条件可得x20-2ax0+5=0①x20-2x0-3=0
②由②得x0=3或-1,代入①得a=73或-3∴a=73或-345.已知A(0,1),B(3,7),C(x,15)三点共线,则x的值是()
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C46.若某简单组合体的三视图(单位:cm)如图所示,说出它的几何结构特征,并求该几何体的表面积。答案:解:该几何体由球和圆台组成。球的半径为1,圆台的上下底面半径分别为1、4,高为4,母线长为5,S球=4πcm2,S台=π(12+42+1×5+4×5)=42πcm2,故S表=S球+S台=46πcm2。47.三个数a=60.5,b=0.56,c=log0.56的大小顺序为______.(按大到小顺序)答案:∵a=60.5>60=1,0<b=0.56<0.50=1,c=log0.56<log0.51=0.∴a>b>c.故为a>b>c.48.一口袋内装有5个黄球,3个红球,现从袋中往外取球,每次取出一个,取出后记下球的颜色,然后放回,直到红球出现10次时停止,停止时取球的次数ξ是一个随机变量,则P(ξ=12)=______.(填算式)答案:若ξ=12,则取12次停止,第12次取出的是红球,前11次中有9次是红球,∴P(ξ=12)=C119(38)9×(58)2×38=C911(38)10(58)2
故为C911(38)10(58)249.(1)把二进制数化为十进制数;(2)把化为二进制数.答案:(1)45,(2)解析:(1)先把二进制数写成不同位上数字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进制的运算规则计算出结果;(2)根据二进制数“满二进一”的原则,可以用连续去除或所得商,然后取余数.(1)(2),,,,.所以..这种算法叫做除2余法,还可以用下面的除法算式表示;把上式中各步所得的余数从下到上排列,得到【名师指引】直接插入排序和冒泡排序是两种常用的排序方法,通过该例,我们对比可以发现,直接插入排序比冒泡排序更有效一些,执行的操作步骤更少一些..50.已知a=(5,4),b=(3,2),则与2a-3b同向的单位向量为
______.答案:∵a=(5,4),b=(3,2),∴2a-3b=(1,2)设与2a-3b平行的单位向量为e=(x,y),则2a-3b=λe,|e|=1∴(1,2)=(λx,λy);x2+y2=1∴1=λx2=λyx2+y2=1解之x=55y=255或x=-55y=-255故为e=±(55,255)第3卷一.综合题(共50题)1.抛物线y2=4x,O为坐标原点,A,B为抛物线上两个动点,且OA⊥OB,当直线AB的倾斜角为45°时,△AOB的面积为______.答案:设直线AB的方程为y=x-m,代入抛物线联立得x2-(2m+4)x+m2=0,则x1+x2=2m+4,x1x2=m2,∴|x1-x2|=16m+16∵三角形的面积为S△AOB=|12my1-12my2|=12m(|x1-x2|)=12m16m+16;又因为OA⊥OB,设A(x1,2x1),B(x2,-2x2)所以2x1x1•-2x2x2=-1,求的m=4,代入上式可得S△AOB=12m16m+16=12×4×64+16=85故为:852.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()
①结论相反的判断,即假设
②原命题的条件
③公理、定理、定义等
④原结论
A.①②
B.①②④
C.①②③
D.②③答案:C3.已知x,y的取值如下表所示:
x3711y102024从散点图分析,y与x线性相关,且y=74x+a,则a=______.答案:∵线性回归方程为y=74x+a,,又∵线性回归方程过样本中心点,.x=3+7+113=7,.y=10+20+243=18,∴回归方程过点(7,18)∴18=74×7+a,∴a=234.故为:234.4.有5组(x,y)的统计数据:(1,2),(2,4),(4,5),(3,10),(10,12),要使剩下的数据具有较强的相关关系,应去掉的一组数据是()
A.(1,2)
B.(4,5)
C.(3,10)
D.(10,12)答案:C5.在极坐标系中,极点到直线ρcosθ=2的距离为______.答案:直线ρcosθ=2即x=2,极点的直角坐标为(0,0),故极点到直线ρcosθ=2的距离为2,故为2.6.对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3,…in)
(n是不小于2的正整数),对于任意p,q∈1,2,3,…,n,当p<q时有ip>iq,则称ip,iq是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,则数组(2,4,3,1)中的逆序数等于______.答案:由题意知当p<q时有ip>iq,则称ip,iq是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”,在数组(2,4,3,1)中逆序有2,1;4,3;4,1;3,1共有4对逆序数对,故为:4.7.编号为A、B、C、D、E的五个小球放在如图所示的五个盒子中,要求每个盒子只能放一个小球,且A不能放1,2号,B必需放在与A相邻的盒子中,则不同的放法有()种.A.42B.36C.30D.28答案:根据题意,A不能放1,2号,则A可以放在3、4、5号盒子,分2种情况讨论:①当A在4、5号盒子时,B有1种放法,剩下3个有A33=6种不同放法,此时,共有2×1×6=12种情况;②当A在3号盒子时,B有3种放法,剩下3个有A33=6种不同放法,此时,共有1×3×6=18种情况;由加法原理,计算可得共有12+18=30种不同情况;故选C.8.已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2.问是否存在这样的实数λ、μ,使向量d=λa+μb与c共线?答案:∵d=λ(2e1-3e2)+μ(2e1+3e2)=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,若d与c共线,则存在实数k≠0,使d=kc,即(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2=2ke1-9ke2,由2λ+2μ=2k-3λ+3μ=-9k得λ=-2μ.故存在这样的实数λ、μ,只要λ=-2μ,就能使d与c共线.9.已知指数函数f(x)的图象过点(3,8),求f(6)的值.答案:设指数函数为:f(x)=ax,因为指数函数f(x)的图象过点(3,8),所以8=a3,∴a=2,所求指数函数为f(x)=2x;所以f(6)=26=64所以f(6)的值为64.10.若直线l的方程为x=2,则该直线的倾斜角是()A.60°B.45°C.90°D.180°答案:∵直线l的方程为x=2∴直线l与x轴垂直∴直线l的倾斜角为90°故选C11.在复平面内,复数z=sin2+icos2对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:∵sin2>0,cos2<0,∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限,故选D.12.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()
A.
B.
C.
D.答案:D13.用一枚质地均匀的硬币,甲、乙两人做抛掷硬币游戏,甲抛掷4次,记正面向上的次数为ξ;乙抛掷3次,记正面向上的次数为η.
(Ⅰ)分别求ξ和η的期望;
(Ⅱ)规定:若ξ>η,则甲获胜;否则,乙获胜.求甲获胜的概率.答案:(Ⅰ)由题意,ξ~B(4,0.5),η~B(3,0.5),所以Eξ=4×0.5=2,Eη=3×0.5=1.5…(4分)(Ⅱ)P(ξ=1)=C14(12)4=14,P(ξ=2)=C24(12)4=38,P(ξ=3)=C34(12)4=14,P(ξ=4)=C44(12)4=116P(η=0)=C03(12)3=18,P(η=1)=C13(12)3=38,P(η=2)=C23(12)3=38,P(η=3)=C33(12)3=18…(8分)甲获胜有以下情形:ξ=1,η=0;ξ=2,η=0,1;ξ=3,η=0,1,2;ξ=4,η=0,1,2,3则甲获胜的概率为P=14×18+38(18+38)+14(18+38+38)+116×1=12.…(13分)14.在同一坐标系下,函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象如图,则a、b、c、d、1之间从小到大的顺序是______.答案:作直线x=1与各图象相交,交点的纵坐标即为底数,故从下到上依次增大.所以b<a<1<d<c故为:b,a,1,d,c15.下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本:
甲批次:0.598
0.625
0.628
0.595
0.639
乙批次:0.618
0.613
0.592
0.622
0.620
我们将比值为0.618的矩形称为“完美矩形”,0.618为标准值,根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数,正确结论是()
A.甲批次的总体平均数与标准值更接近
B.乙批次的总体平均数与标准值更接近
C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同
D.以上选项均不对答案:A16.若直线l经过原点和点A(-2,-2),则它的斜率为()
A.-1
B.1
C.1或-1
D.0答案:B17.AB是圆O的直径,EF切圆O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC长为()
A.
B.3
C.2
D.2答案:A18.设四边形ABCD中,有且,则这个四边形是()
A.平行四边形
B.矩形
C.等腰梯形
D.菱形答案:C19.已知两个点M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P,使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“B型直线”给出下列直线①y=x+1;②y=2;③y=x④y=2x+1;其中为“B型直线”的是()
A.①③
B.①②
C.③④
D.①④答案:B20.若与垂直,则k的值是()
A.2
B.1
C.0
D.答案:D21.已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),若AB=2a,则点B的坐标为______.答案:∵向量a=(-3,4,12),AB=2a,∴AB=(-6,8,24)∵点A(1,-2,0)∴B(-6+1,8-2,24-0)=(-5,6,24)故为:(-5,6,24)22.若向量n与直线l垂直,则称向量n为直线l的法向量.直线x+2y+3=0的一个法向量为()
A.(2,-1)
B.(1,-2)
C.(2,1)
D.(1,2)答案:D23.设=(-2,2,5),=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量,则平面α,β的位置关系是()
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.不能确定答案:B24.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()
①y=sin
x(x∈R
)是三角函数;②三角函数是周期函数;
③y=sin
x(x∈R
)是周期函数.
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①答案:B25.如图,△ABC是圆的内接三角形,PA切圆于点A,PB交圆于点D.若∠ABC=60°,PD=1,BD=8,则∠PAC=______°,PA=______.答案:∵PD=1,BD=8,∴PB=PD+BD=9由切割线定理得PA2=PD?PB=9∴PA=3又∵PE=PA∴PE=3又∠PAC=∠ABC=60°故:60,326.已知关于的不等式的解集为,且,求的值答案:,,解析:用数形结合法,如图显然解集是,即,从而此时=与交点横坐标为5,从而纵坐标为4,将交点坐标代入可得所以,,27.若关于x,y的二元一次方程组m11mxy=m+12m至多有一组解,则实数m的取值范围是______.答案:关于x,y的二元一次方程组m11mxy=m+12m即二元一次方程组mx+y=m+1①x+my=2m②①×m-②得(m2-1)x=m(m-1)当m-1≠0时(m2-1)x=m(m-1)至多有一组解∴m≠1故为:(-∞,1)∪(1,+∞)28.平面向量、的夹角为60°,=(2,0),=1,则=(
)
A.
B.
C.3
D.7答案:B29.若圆锥的侧面展开图是弧长为2πcm,半径为2cm的扇形,则该圆锥的体积为______cm3.答案:∵圆锥的侧面展开图的弧长为2πcm,半径为2cm,故圆锥的底面周长为2πcm,母线长为2cm则圆锥的底面半径为1,高为1则圆锥的体积V=13?π?12?1=π3.故为:π3.30.若将方程|(x-4)2+y2-(x+4)2+y2|=6化简为x2a2-y2b2=1的形式,则a2-b2=______.答案:方程|(x-4)2+y2-(x+4)2+y2|=6,表示点(x,y)到(4,0),(-4,0)两点距离差的绝对值为6,∴轨迹为以(4,0),(-4,0)为焦点的双曲线,方程为x29-y27=1∴a2-b2=2故为:231.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-3,那么|PF|=()A.43B.8C.83D.16答案:抛物线的焦点F(2,0),准线方程为x=-2,直线AF的方程为y=-3(x-2),所以点A(-2,43)、P(6,43),从而|PF|=6+2=8故选B.32.如图所示,已知A、B、C三点不共线,O为平面ABC外的一点,若点M满足
(1)判断三个向量是否共面;
(2)判断点M是否在平面ABC内.答案:解:(1)由已知,得,∴向量共面.(2)由(1)知向量共面,三个向量的基线又有公共点M,∴M、A、B、C共面,即点M在平面ABC内,33.求由曲线围成的图形的面积.答案:面积为解析:当,时,方程化成,即.上式表示圆心在,半径为的圆.所以,当,时,方程表示在第一象限的部分以及轴,轴负半轴上的点,.同理,当,时,方程表示在第四象限的部分以及轴负半轴上的点;当,时,方程表示圆在第二象限的部分以及轴负半轴上的点;当,时,方程表示圆在第三象限部分.以上合起来构成如图所示的图形,面积为.34.抛物线顶点在坐标原点,以y轴为对称轴,过焦点且与y轴垂直的弦长为16,则抛物线方程为______.答案:∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍.∴所求抛物线方程为x2=±16y.故为:x2=±16y.35.选修4-4:坐标系与参数方程
已知极点O与原点重合,极轴与x轴的正半轴重合.点A,B的极坐标分别为(2,π),(22,π4),曲线C的参数方程为答案:(Ⅰ)S△AOB=12×2×236.若关于x的不等式(1+k2)x≤k4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有(
)
A.
B.
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