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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年河北劳动关系职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.如果椭圆x225+y216=1上一点P到焦点F1的距离为6,则点P到另一个焦点F2的距离为()A.5B.4C.8D.6答案:由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,|PF1|=6,故|PF2|=4.故选B.2.已知x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a2+b2与(x+y)2的大小关系为
______.答案:由已知x2a2+y2b2=1(a>b>0)和柯西不等式的二维形式.得a2+b2=(a2+b2)(x2a2+y2b2)≥(a?xa+b?yb)2=(x+y)2.故为a2+b2≥(x+y)2.3.某厂一批产品的合格率是98%,检验单位从中有放回地随机抽取10件,则计算抽出的10件产品中正品数的方差是______.答案:用X表示抽得的正品数,由于是有放回地随机抽取,所以X服从二项分布B(10,0.98),所以方差D(X)=10×0.98×0.02=0.196故为:0.196.4.解不等式:2<|3x-1|≤3.答案:由原不等式得-3≤3x-1<-2或2<3x-1≤3,∴-2≤3x<-1或3<3x≤4,∴-23≤x<-13或1<x≤43,∴不等式的解集是{x|-23≤x<-13或1<x≤43}.5.现有编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九道不同的数学题,某同学从这九道题中一次随机抽取两道题,每题被抽到的概率是相等的,用符号(x,y)表示事件“抽到两题的编号分别为x,y,且x<y”.
(1)共有多少个基本事件?并列举出来.
(2)求该同学所抽取的两道题的编号之和小于17但不小于11的概率.答案:(1)共有36种基本事件,列举如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7)(1,8),(1,9),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8),(3,9),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9),(8,9);(2)设事件A=“两道题的编号之和小于17但不小于11”则事件A包含事件有:(2,9),(3,8),(3,9),(4,7),(4,8),(4,9),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(6,7),(6,8),(6,9),(7,8),(7,9)共15种.∴P(A)=1536=512.6.某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料,在自动包装传送带上每隔30min抽取一包产品,称其重量,分别记录抽查数据如下:
甲:86、72、92、78、77;
乙:82、91、78、95、88
(1)这种抽样方法是哪一种?
(2)将这两组数据用茎叶图表示;
(3)将两组数据比较,说明哪个车间产品较稳定.答案:(1)因为间隔时间相同,故是系统抽样.(2)茎叶图如下:.(3)因为.x甲=15(86+72+92+78+77)=81,.x乙=15(82+92+78+95+88)=87,所以s甲2=15(52+92+92+72+42)=50.4,s乙2=15(52+52+92+82+12)=39.2,而s甲2>s乙2,所以乙车间产品较稳定.7.山东鲁洁棉业公司的科研人员在7块并排、形状大小相同的试验田上对某棉花新品种进行施化肥量x对产量y影响的试验,得到如下表所示的一组数据(单位:kg).
施化肥量x15202530354045棉花产量y330345365405445450455(1)画出散点图;
(2)判断是否具有相关关系.答案:(1)根据已知表格中的数据可得施化肥量x和产量y的散点图如下所示:(2)根据(1)中散点图可知,各组数据对应点大致分布在一个条形区域内(一条直线附近)故施化肥量x和产量y具有线性相关关系.8.P为椭圆x225+y216=1上一点,F1,F2分别为其左,右焦点,则△PF1F2周长为______.答案:由题意知△PF1F2周长=2a+2c=10+6=16.9.已知两个函数f(x)和g(x)的定义域和值域都是集合1,2,3,其定义如下表:
表1:
x123f(x)231表2:
x123g(x)321则方程g[f(x)]=x的解集为______.答案:由题意得,当x=1时,g[f(1)]=g[2]=2不满足方程;当x=2时,g[f(2)]=g[3]=1不满足方程;x=3,g[f(3)]=g[1]=3满足方程,是方程的解.故为:{3}10.已知a=(1,-2,1),a+b=(3,-6,3),则b等于()A.(2,-4,2)B.(-2,4,-2)C.(-2,0,-2)D.(2,1,-3)答案:∵a+b=(3,-6,3),∴b=a+b-a=(3,-6,3)-(1,-2,1)=(2,-4,2).故选A.11.(参数方程与极坐标)已知F是曲线x=2cosθy=1+cos2θ(θ∈R)的焦点,M(12,0),则|MF|的值是
______.答案:y=1+cos2θ=2cos2θ=2•(x2)2化简得x2=2y∴F(0,12)而M(12,0),∴|MF|=22故为:2212.要使直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆x27+y2a=1总有公共点,实数a的取值范围是______.答案:要使方程x27+y2a=1表示焦点在x轴上的椭圆,需a<7,由直线y=kx+1(k∈R)恒过定点(0,1),所以要使直线y=kx+1(k∈R)与椭圆x27+y2a=1总有公共点,则(0,1)应在椭圆上或其内部,即a>1,所以实数a的取值范围是[1,7).故为[1,7).13.向量化简后等于()
A.
B.
C.
D.答案:C14.给定点A(x0,y0),圆C:x2+y2=r2及直线l:x0x+y0y=r2,给出以下三个命题:
①当点A在圆C上时,直线l与圆C相切;
②当点A在圆C内时,直线l与圆C相离;
③当点A在圆C外时,直线l与圆C相交.
其中正确的命题个数是()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:D15.不等式的解集是(
)
A.(-∞,-1)∪(-1,2]
B.[-1,2]
C.(-∞,-1)∪[2,+∞)
D.(-1,2]答案:D16.在直角坐标系xOy中,i,j分别是与x轴,y轴平行的单位向量,若在Rt△ABC中,AB=i+j,AC=2i+mj,则实数m=______.答案:把AB、AC平移,使得点A与原点重合,则AB=(1,1)、AC=(2,m),故BC=(1,m-1),若∠B=90°时,AB•BC=0,∴(1,1)•(2-1,m-1)=0,得m=0;若∠A=90°时,AB•AC=0,∴(1,1)•(2,m)=0,得m=-2.若∠C=90°时,AC•BC=0,即2+m2-m=0,此方程无解,综上,m为-2或0满足三角形为直角三角形.故为-2或017.如图,在四棱柱的上底面ABCD中,AB=DC,则下列向量相等的是()
A.AD与CB
B.OA与OC
C.AC与DB
D.DO与OB
答案:D18.已知集合A={1,2,3},集合B={4,5},映射f:A→B,且满足1对应的元素是4,则这样的映射有()A.2个B.4个C.8个D.9个答案:∵满足1对应的元素是4,集合A中还有两个元素2和3,2可以和4对应,也可以和5对应,3可以和4对应,也可以和5对应,每个元素有两种不同的对应,∴共有2×2=4种结果,故选B.19.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为()A.123B.363C.273D.6答案:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是33,设底面边长为a,则32a=33,∴a=6,故三棱柱体积V=12?62?32?4=363.故选B20.设O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上的一点,FA与x轴正向的夹角为60°,则|OA|为______.答案:过A作AD⊥x轴于D,令FD=m,则FA=2m,p+m=2m,m=p.∴OA=(p2+p)2+(3p)2=212p.故为:212p21.函数数列{fn(x)}满足:f1(x)=x1+x2(x>0),fn+1(x)=f1[fn(x)]
(1)求f2(x),f3(x);
(2)猜想fn(x)的表达式,并证明你的结论.答案:(1)f2(x)=f1(f1(x))=f1(x)1+f21(x)=x1+2x2f3(x)=f1(f2(x))=f2(x)1+f22(x)=x1+3x2(2)猜想:fn(x)=x1+nx2(n∈N*)下面用数学归纳法证明:①当n=1时,f1(x)=x1+x22,已知,显然成立②假设当n=K(K∈N*)4时,猜想成立,即fk(x)=x1+kx2则当n=K+1时,fk+1(x)=f1(fk(x))=fk(x)1+f2k(x)=x1+kx21+(x1+kx2)2=x1+(k+1)x2即对n=K+1时,猜想也成立.结合①②可知:猜想fn(x)=x1+nx2对一切n∈N*都成立.22.如图是容量为150的样本的频率分布直方图,则样本数据落在[6,10)内的频数为()A.12B.48C.60D.80答案:根据频率分布直方图,样本数据落在[6,10)内的频数为0.08×4×150=48故选B.23.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名,执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作,每个场地由两名来自不同国家的裁判组成,则不同的安排方案总数有()
A.12种
B.48种
C.90种
D.96种答案:B24.如图,△ABC中,CD=2DB,设AD=mAB+nAC(m,n为实数),则m+n=______.答案:∵CD=2DB,∴B、C、D三点共线,由三点共线的向量表示,我们易得AD=23AB+13AC,由平面向量基本定理,我们易得m=23,n=13,∴m+n=1故为:125.求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的方程.答案:设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)由题意有:b=-4a|a+b+1|2=rb+2a-3•(-1)=-1解之得a=1b=-4r=22∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=826.已知向量a=(8,x,x).b=(x,1,2),其中x>0.若a∥b,则x的值为()
A.8
B.4
C.2
D.0答案:B27.在△ABC中,D为AB上一点,M为△ABC内一点,且满足AD=34AB,AM=AD+35BC,则△AMD与△ABC的面积比为()A.925B.45C.916D.920答案:AP=AD+DP=AD+35BC,DP=35BC.∴三角形ADP的高三角形ABC=ADAB=34,∴S△APDS△ABC=35?34=920.故选D.28.已知A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则下列说法中正确的是()A.A,B,C三点可以构成直角三角形B.A,B,C三点可以构成锐角三角形C.A,B,C三点可以构成钝角三角形D.A,B,C三点不能构成任何三角形答案:∵|AB|=2,|BC|=3,|AC|=1,∴|BC|2=|AC|2+|AB|2,∴A,B,C三点可以构成直角三角形,故选A.29.已知三角形ABC的一个顶点A(2,3),AB边上的高所在的直线方程为x-2y+3=0,角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0,求此三角形三边所在的直线方程.答案:由题意可得AB边的斜率为-2,由点斜式求得AB边所在的直线方程为y-3=-2(x-2),即2x+y-7=0.由2x+y-7=0x+y-4=0
求得x=3y=1,故点B的坐标为(3,1).设点A关于角B的平分线所在的直线方程为x+y-4=0的对称点为M(a,b),则M在BC边所在的直线上.则由b-3a-2=-1a+22+b+32-4=0
求得a=1b=2,故点M(1,2),由两点式求得BC的方程为y-12-1=x-31-3,即x+2y-5=0.再由x-2y+3=0x+2y-5=0求得点C的坐标为(2,52),由此可得得AC的方程为x=2.30.位于直角坐标原点的一个质点P按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向向左或向右,并且向左移动的概率为,向右移动的概率为,则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是()
A.
B.
C.
D.答案:D31.已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,F(0,-5)为双曲线的一个焦点,则双曲线的方程为()
A.
B.
C.
D.答案:B32.半径为5,圆心在y轴上,且与直线y=6相切的圆的方程为______.答案:如图所示,因为半径为5,圆心在y轴上,且与直线y=6相切,所以可知有两个圆,上圆圆心为(0,11),下圆圆心为(0,1),所以圆的方程为x2+(y-1)2=25或x2+(y-11)2=25.33.过点A(-1,4)作圆C:(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.答案:设方程为y-4=k(x+1),即kx-y+k+4=0∴d=|2k-3+k+4|k2+1=1∴4k2+3k=0∴k=0或k=-34∴切线l的方程为y=4或3x+4y-13=034.如图为某平面图形用斜二测画法画出的直观图,则其原来平面图形的面积是(
)
A.4
B.
C.
D.8
答案:A35.如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出S的值为254,则判断框①中应填入的条件是()A.n≤5B.n≤6C.n≤7D.n≤8答案:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是输出满足条件S=2+22+23+…+2n=126时S的值∵2+22+23+…+27=254,故最后一次进行循环时n的值为7,故判断框中的条件应为n≤7.故选C.36.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+n,若利用如图所示的种序框图计算该数列的第10项,则判断框内的条件是()
A.n≤8?
B.n≤9?
C.n≤10?
D.n≤11?
答案:B37.若=(2,0),那么=(
)
A.(1,2)
B.3
C.2
D.1答案:C38.已知{x1,x2,x3,…,xn}的平均数是2,则3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数=_______.答案:∵x1,x2,x3,…,xn的平均数是2即(x1+x2+x3+…+xn)÷n=2∴3x1+2,3x2+2,…,3xn+2的平均数为(3x1+2+3x2+2+…+3xn+2)÷n=[3(x1+x2+x3+…+xn)+2n]÷n=3×2+2=8故为:839.若f(x)是定义在R上的函数,满足对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,且f(2)=3,则f(8)=______.答案:由题意可知:对任意的x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)成立,所以x=y=2,可知f(4)=f(2+2)=f(2)?f(2),所以f(4)=9;令x=y=4,可知f(8)=f(4+4)=f(4)?f(4)=92=81.故为:81.40.如图,平行四边形ABCD中,AE:EB=1:2,若△AEF的面积为6,则△ABC的面积为()A.18B.54C.64D.72答案:∵ABCD为平行四边形∴AB平行于CD∴△AEF∽△CDF∵AE:EB=1:2∴AE:CD=AE:AB=1:3∴S△CDF=32×S△AEF=9×6=54∵AF:CF=AE:CD=1:3∴S△ADF=S△CDF÷3=54÷3=18∴S△ABC=S△ACD=S△CDF+S△ADF=54+18=72故选D41.复数,且A+B=0,则m的值是()
A.
B.
C.-
D.2答案:C42.读下面的程序:
上面的程序在执行时如果输入6,那么输出的结果为()
A.6
B.720
C.120
D.1答案:B43.已知A(0,1),B(3,7),C(x,15)三点共线,则x的值是()
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C44.在△ABC中,“A=45°”是“sinA=22”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:当A=45°时,sinA=22成立.若当A=135°时,满足sinA=22.所以,“A=45°”是“sinA=22”的充分不必要条件.故选A.45.若log
23(x-2)≥0,则x的范围是______.答案:由log
23(x-2)≥0=log231,可得0<x-2≤1,解得2<x≤3,故为(2,3].46.设a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:因为a,b∈R.“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”.“复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立.所以a,b∈R.“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.故选B.47.如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OD=3,点P为△BCD内(含边界)的动点,设(α,β∈R),则α+β的最大值等于
()
A.
B.
C.
D.1
答案:B48.已知圆C:x2+y2-4x-6y+12=0的圆心在点C,点A(3,5),求:
(1)过点A的圆的切线方程;
(2)O点是坐标原点,连接OA,OC,求△AOC的面积S.答案:(1)⊙C:(x-2)2+(y-3)2=1.当切线的斜率不存在时,对直线x=3,C(2,3)到直线的距离为1,满足条件;当k存在时,设直线y-5=k(x-3),即y=kx+5-3k,∴|-k+2|k2+1=1,得k=34.∴得直线方程x=3或y=34x+114.(2)|AO|=9+25=34,l:5x-3y=0,d=134,S=12d|AO|=12.49.如图所示,有两个独立的转盘(A)、(B),其中三个扇形区域的圆心角分别为60°、120°、180°.用这两个转盘玩游戏,规则是:依次随机转动两个转盘再随机停下(指针固定不动,当指针恰好落在分界线时,则这次转动无效,重新开始)为一次游戏,记转盘(A)指针所对的数为X转盘(B)指针对的数为Y设X+Yξ,每次游戏得到的奖励分为ξ分.
(1)求X<2且Y>1时的概率
(2)某人玩12次游戏,求他平均可以得到多少奖励分?答案:(1)由几何概型知P(x=1)=16,P(x=2)=13,P(x=3)=12;
P(y=1)=13,P(y=2)=12,P(y=3)=16.则P(x<2)=P(x=1)=16,P(y>1)=p(y=2)+P(y=3)=23,P(x<2且y>1)=P(x<2)?P(y>1)=19.(2)ξ的取值范围为2,3,4,6.P(ξ=2)=P(x=1)?P(y=1)=16×13=118;P(ξ=3)=P(x=1)?P(y=2)+P(x=2)?P(y=1)=16×12+13×13=736;P(ξ=4)=P(x=1)?P(y=3)+P(x=2)?P(y=2)+P(x=3)?P(y=1)=16×16+13×12+12×13=1336;P(ξ=5)=P(x=2)P(y=3)+P(x=3)P(y=2)=13×16+12×12=1136;P(ξ=6)=P(x=3)?P(y=3)=12×16=112.其分布为:ξ23456P11873613361136112他平均每次可得到的奖励分为Eξ=2×118+3×736+4×1336+5×1136+6×112=256,所以,他玩12次平均可以得到的奖励分为12×Eξ=50.50.若关于x的方程3x2-5x+a=0的一个根在(-2,0)内,另一个根在(1,3)内,求a的取值范围。答案:解:设f(x)=3x2-5x+a,则f(x)为开口向上的抛物线,如右图所示,∵f(x)=0的两根分别在区间(-2,0),(1,3)内,∴,即,解得-12<a<0,故所求a的取值范围是{a|-12<a<0}。第2卷一.综合题(共50题)1.已知直线过点A(2,0),且平行于y轴,方程:|x|=2,则(
)
A.l是方程|x|=2的曲线
B.|x|=2是l的方程
C.l上每一点的坐标都是方程|x|=2的解
D.以方程|x|=2的解(x,y)为坐标的点都在l上答案:C2.“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1的”()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:当“a=18”时,由基本不等式可得:“对任意的正数x,2x+ax≥1”一定成立,即“a=18”?“对任意的正数x,2x+ax≥1”为真命题;而“对任意的正数x,2x+ax≥1的”时,可得“a≥18”即“对任意的正数x,2x+ax≥1”?“a=18”为假命题;故“a=18”是“对任意的正数x,2x+ax≥1的”充分不必要条件故选A3.一个水平放置的平面图形,其斜二测直观图是一个等腰梯形,其底角为45°,腰和上底均为1(如图),则平面图形的实际面积为______.答案:恢复后的原图形为一直角梯形,上底为1,高为2,下底为1+2,S=12(1+2+1)×2=2+2.故为:2+24.在平面直角坐标系xOy中,点P的坐标为(-1,1),若取原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则在下列选项中,不是点P极坐标的是()
A.()
B.()
C.()
D.()答案:D5.若f(x)在定义域[a,b]上有定义,则在该区间上()A.一定连续B.一定不连续C.可能连续也可能不连续D.以上均不正确答案:f(x)有定义是f(x)在区间上连续的必要而不充分条件.有定义不一定连续.还需加上极限存在才能推出连续.故选C.6.若定义运算a⊕b=b,a<ba,a≥b则函数f(x)=2x⊕(12)x的值域为______(用区间表示).答案:由题意画出f(x)=2x?(12)x的图象(实线部分),由图可知f(x)的值域为[1,+∞).故为:[1,+∞).7.某科目考试有30道题每小题有三个选项,每题2分,另有20道题,每题有四个选项每题3分,每题只有一个答案,某人随机去选答案,则平均能得______分.答案:由题意,30道题每小题有三个选项,每题2分,每题只有一个,某人随机去选,则可得2×30×13=20分;20道题,每题有四个选项每题3分,每题只有一个,某人随机去选,则可得3×20×14=15分故平均能得35分故为:35分.8.赋值语句M=M+3表示的意义()
A.将M的值赋给M+3
B.将M的值加3后再赋给M
C.M和M+3的值相等
D.以上说法都不对答案:B9.如图程序输出的结果是()
A.3,4
B.4,4
C.3,3
D.4,3
答案:B10.函数y=ax2+1的图象与直线y=x相切,则a=______.答案:设切点为(x0,y0),∵y′=2ax,∴k=2ax0=1,①又∵点(x0,y0)在曲线与直线上,即y0=ax20+1y0=x0,②由①②得a=14.故为14.11.从1,2,3,4,5中不放回地依次取2个数,事件A=“第一次取到的是奇数”,B=“第二次取到的是奇数”,则P(B|A)=()
A.
B.
C.
D.答案:D12.“∵四边形ABCD为矩形,∴四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提为()
A.正方形都是对角线相等的四边形
B.矩形都是对角线相等的四边形
C.等腰梯形都是对角线相等的四边形
D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案:B13.教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是______.答案:这两章的内容都是通过建立直角坐标系,用代数中的函数思想来解决图形中的几何性质.故为用代数的方法研究图形的几何性质解析:教材中“坐标平面上的直线”与“圆锥曲线”两章内容体现出解析几何的本质是______.14.下面五个命题:(1)所有的单位向量相等;(2)长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量;(3)由于零向量的方向不确定,故0与任何向量不平行;(4)对于任何向量a,b,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正确命题的序号为:______.答案:(1)单位向量指模为1的向量,方向可为任意的,故错误;(2)由共线向量的定义,方向相反的两个向量一定是共线向量,故错误;(3)规定:零向量与任何向量为平行向量,故错误;(4)因为|a+b|2=a2+b2+2a?b≤a2+b2+2|a|?|b|=(|a|+|b|)2,故正确故为:(4)15.甲射击运动员击中目标为事件A,乙射击运动员击中目标为事件B,则事件A,B为()
A.互斥事件
B.独立事件
C.对立事件
D.不相互独立事件答案:B16.某超市推出如下优惠方案:
(1)一次性购物不超过100元不享受优惠;
(2)一次性购物超过100元但不超过300元的一律九折;
(3)一次性购物超过300元的一律八折,有人两次购物分别付款80元,252元.
如果他一次性购买与上两次相同的商品,则应付款______.答案:该人一次性购物付款80元,据条件(1)、(2)知他没有享受优惠,故实际购物款为80元;另一次购物付款252元,有两种可能,其一购物超过300元按八折计,则实际购物款为2520.8=315元.其二购物超过100元但不超过300元按九折计算,则实际购物款为2520.9=280元.故该人两次购物总价值为395元或360元,若一次性购买这些商品应付款316元或288元.故为316元或288元.17.已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于(
)
A.2
B.1
C.0
D.-1答案:D18.若一元二次方程ax2+2x+1=0有一个正根和一个负根,则有
A.a<0
B.a>0
C.a<-1
D.a>1答案:A19.若P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B的关系是()
A.互斥事件
B.对立事件
C.不是互斥事件
D.前者都不对答案:D20.已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求3a+1+3b+1+3c+1的最大值.答案:根据柯西不等式,可得(3a+1+3b+1+3c+1)2=(1?3a+1+1?3b+1+1?3c+1)2≤(12+12+12)[(3a+1)2+(3b+1)2+(3c+1)2]=3[3(a+b+c)+3]=18当且仅当3a+1=3b+1=3c+1,即a=b=c=13时,(3a+1+3b+1+3c+1)2的最大值为18因此,3a+1+3b+1+3c+1的最大值为18=3221.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线,垂足为M,且|PM|=5,设抛物线的焦点为F,则△MPF的面积为()
A.6
B.8
C.10
D.15答案:C22.已知,棱长都相等的正三棱锥内接于一个球,某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形,如下图所示,则
A、以上四个图形都是正确的
B、只有(2)(4)是正确的
C、只有(4)是错误的
D、只有(1)(2)是正确的答案:C23.把点按向量平移到点,则的图象按向量平移后的图象的函数表达式为(
).A.B.C.D.答案:D解析:,由可得,所以平移后的函数解析式为24.已知向量a,b,向量c=2a+b,且|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为60°
(1)求|c|2;(2)若向量d=ma-b,且d∥c,求实数m的值.答案:(1)∵|a|=1,|b|=2,a和b的夹角为60°∴a•b=|a||b|cos60°=1∴|c|2=(
2a+b)2=4a2+4ab+b2=4+4+4=12(2)∵d∥c∴存在实数λ使得d=λc即ma-b=λ(2a+b)又∵a,b不共线∴2λ=m,λ=-1∴m=-225.已知正方形ABCD的边长为1,=,=,=,则|++|等于(
)
A.0
B.2
C.
D.3答案:B26.把38化为二进制数为()A.101010(2)B.100110(2)C.110100(2)D.110010(2)答案:可以验证所给的四个选项,在A中,2+8+32=42,在B中,2+4+32=38经过验证知道,B中的二进制表示的数字换成十进制以后得到38,故选B.27.设P是边长为23的正△ABC内的一点,x,y,z是P到三角形三边的距离,则x+y+z的最大值为______.答案:正三角形的边长为a=23,可得它的高等于32a=3∵P是正三角形内部一点∴点P到三角形三边的距离之和等于正三角形的高,即x+y+z=3∵(x+y+z)2=(1×x+1×y+1×z)2≤(1+1+1)(x+y+z)=9∴x+y+z≤3,当且仅当x=y=z=1时,x+y+z的最大值为3故为:328.设双曲线(a>0,b>0)的右顶点为A,P为双曲线上的一个动点(不是顶点),从点A引双曲线的两条渐近线的平行线,与直线OP分别交于Q,R两点,其中O为坐标原点,则|OP|2与|OQ|•|OR|的大小关系为()
A.|OP|2<|OQ|•|OR|
B.|OP|2>|OQ|•|OR|
C.|OP|2=|OQ|•|OR|
D.不确定答案:C29.双曲线的中心在坐标原点,离心率等于2,一个焦点的坐标为(2,0),则此双曲线的渐近线方程是______.答案:∵离心率等于2,一个焦点的坐标为(2,0),∴ca=2,
c=2且焦点在x轴上,∴a=1∵c2=a2+b2∴b2=3∴b=3.所以双曲线的渐进方程为y=±3x.故为y=±3x30.“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点…,用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图与故事情节相吻合的是()
A.
B.
C.
D.
答案:B31.(上海卷理3文8)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x+2=0的距离相等,则P的轨迹方程为______.答案:由抛物线的定义知点P的轨迹是以F为焦点的抛物线,其开口方向向右,且p2=2,解得p=4,所以其方程为y2=8x.故为y2=8x32.若向量a=(4,2,-4),b=(6,-3,2),则(2a-3b)•(a+2b)=______.答案:∵2a-3b=(-10,13,-14),a+2b=(16,-4,0)∴(2a-3b)•(a+2b)=-10×16+13×(-4)=-212故为-21233.直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点F2并与椭圆交与A、B两点,则△ABF1的周长是()A.4B.6C.8D.16答案:根据题意结合椭圆的定义可得:|AF1|+|AF2|=2a=4,,并且|BF1|+|BF2|=2a=4,又因为|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故选C.34.定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的=(m,n),=(p,q)
,令⊙=mq-np,下面说法错误的序号是()
①若若a与共线,则⊙=0
②⊙=⊙a
③对任意的λ∈R,有(λ)⊙=λ(⊙)
④(⊙)2+(a)2=||2||2
A.②
B.①②
C.②④
D.③④答案:A35.AB是圆O的直径,EF切圆O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,则AC长为()
A.
B.3
C.2
D.2答案:A36.构成多面体的面最少是(
)
A.三个
B.四个
C.五个
D.六个答案:B37.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是()
A.直线
B.椭圆
C.抛物线
D.双曲线答案:D38.先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.
(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率;
(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.答案:(1)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.∵直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是5a2+b2=1即:a2+b2=25,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5;或a=4,b=3,c=5两种情况.∴直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的概率是236=118(2)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.∵三角形的一边长为5∴当a=1时,b=5,(1,5,5)1种当a=2时,b=5,(2,5,5)1种当a=3时,b=3,5,(3,3,5),(3,5,5)2种当a=4时,b=4,5,(4,4,5),(4,5,5)2种当a=5时,b=1,2,3,4,5,6,(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5)6种当a=6时,b=5,6,(6,5,5),(6,6,5)2种故满足条件的不同情况共有14种故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1436=718.39.若向量且与的夹角余弦为则λ等于()
A.4
B.-4
C.
D.答案:C40.已知椭圆C的左右焦点坐标分别是(-2,0),(2,0),离心率22,直线y=x-1与椭圆C交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求弦AB的长度.答案:(本小题满分13分)(1)依题意可设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)…(1分)则c=2e=ca=22,解得a=22c=2…(3分)∴b2=a2-c2=8-4=4…(5分)∴椭圆C的方程为x28+y24=1…(6分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2)…(7分)联立方程x28+y24=1y=x-1,消去y,并整理得:3x2-4x-6=0…(9分)∴x1+x2=43x1•x2=-2…(10分)∴|AB|=1+12|x2-x1|=2[(x1+x2)2-4x1x2]
=2[(43)2-4×(-2)]=4113…(12分)∴|AB|=4113…(13分)41.设随机变量ζ~N(2,p),随机变量η~N(3,p),若,则P(η≥1)=()
A.
B.
C.
D.答案:D42.已知直线的参数方程为x=1+ty=3+2t.(t为参数),圆的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ.
(I)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(II)求直线被圆截得的弦长.答案:(I)直线的普通方程为:2x-y+1=0;圆的直角坐标方程为:(x-1)2+(y-2)2=5(4分)(II)圆心到直线的距离d=55,直线被圆截得的弦长L=2r2-d2=4305(10分)43.过点A(0,2),且与抛物线C:y2=6x只有一个公共点的直线l有()条.A.1B.2C.3D.4答案:∵点A(0,2)在抛物线y2=6x的外部,∴与抛物线C:y2=6x只有一个公共点的直线l有三条,有两条直线与抛物线相切,有一条直线与抛物线的对称轴平行,故选C.44.如果e1,e2是平面a内所有向量的一组基底,那么()A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0B.空间任一向量可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2∈RC.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面a内D.对平面a中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对答案:∵由基底的定义可知,e1和e2是平面上不共线的两个向量,∴实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0,不是空间任一向量都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,而是平面a中的任一向量a,可以表示为a=λ1e1+λ2e2的形式,此时实数λ1,λ2有且只有一对,而对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2一定在平面a内,故选A.45.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中x∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围。答案:解A={0,-4}∵A∩B=B
∴BA由x2+2(a+1)x+a2-1=0
得△=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)(1)当a<-1时△<0
B=φA(2)当a=-1时△=0
B={0}A(3)当a>-1时△>0
要使BA,则A=B∵0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根∴解之得a=1综上可得a≤-1或a=146.已知复数w满足w-4=(3-2w)i(i为虚数单位),z=5w+|w-2|,求一个以z为根的实系数一元二次方程.答案:[解法一]∵复数w满足w-4=(3-2w)i,∴w(1+2i)=4+3i,∴w(1+2i)(1-2i)=(4+3i)(1-2i),∴5w=10-5i,∴w=2-i.∴z=52-i+|2-i-2|=5(2+i)(2-i)(2+i)+1=2+i+1=3+i.若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共轭虚根.z=3-i.∵z+.z=6,z•.z=10,∴所求的一个一元二次方程可以是x2-6x+10=0.[解法二]设w=a+b,(a,b∈Z),∴a+bi-4=3i-2ai+2b,得a-4=2bb=3-2a解得a=2b=-1,∴w=2-i,以下解法同[解法一].47.直线l只经过第一、三、四象限,则直线l的斜率k()
A.大于零
B.小于零
C.大于零或小于零
D.以上结论都有可能答案:A48.设A=xn+x-n,B=xn-1+x1-n,当x∈R+,n∈N+时,求证:A≥B.答案:证明:A-B=(xn+x-n)-(xn-1+x1-n)=x-n(x2n+1-x2n-1-x)=x-n[x(x2n-1-1)-(x2n-1-1)]=x-n(x-1)(x2n-1-1).由x∈R+,x-n>0,得当x≥1时,x-1≥0,x2n-1-1≥0;当x<1时,x-1<0,x2n-1<0,即x-1与x2n-1-1同号.∴A-B≥0.∴A≥B.49.已知x∈{1,2,x2},则实数x=______.答案:∵x∈{1,2,x2},分情况讨论可得:①x=1此时集合为{1,2,1}不合题意②x=2此时集合为{1,2,4}合题意③x=x2解得x=0或x=1当x=0时集合为{1,2,0}合题意故为0或2.50.已知空间三点的坐标为A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),若A,B,C三点共线,则p=______,q=______.答案:∵A(1,5,-2),B(2,4,1),C(p,3,q+2),∴AB=(1,-1,3),AC=(p-1,-2,q+4)∵A,B,C三点共线,∴AB=λAC∴(1,-1,3)=λ(p-1,-2,q+4),∴1=λ(p-1)-1=-2λ,3=λ(q+4),∴λ=12,p=3,q=2,故为:3;2第3卷一.综合题(共50题)1.已知函数f(x)=x+3x+1(x≠-1).设数列{an}满足a1=1,an+1=f(an),数列{bn}满足bn=|an-3|,Sn=b1+b2+…+bn(n∈N*).
(Ⅰ)用数学归纳法证明bn≤(3-1)n2n-1;
(Ⅱ)证明Sn<233.答案:证明:(Ⅰ)当x≥0时,f(x)=1+2x+1≥1.因为a1=1,所以an≥1(n∈N*).下面用数学归纳法证明不等式bn≤(3-1)n2n-1.(1)当n=1时,b1=3-1,不等式成立,(2)假设当n=k时,不等式成立,即bk≤(3-1)k2k-1.那么bk+1=|ak+1-3|=(3-1)|ak-3|1+ak3-12bk≤(3-1)k+12k.所以,当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知不等式对任意n∈N*都成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn≤(3-1)n2n-1.所以Sn=b1+b2+…+bn≤(3-1)+(3-1)22+…+(3-1)n2n-1=(3-1)•1-(3-12)n1-3-12<(3-1)•11-3-12=233.故对任意n∈N*,Sn<233.2.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为______;
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为______.答案:(1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0,0),圆心到直线的距离是d=2532+42=5,(2)由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心做一条直线交直线l与一点,根据上一问可知圆心到直线的距离是5,在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线,根据弦心距,半径,弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P=60°360°=16故为:5;163.若a>0,b>0,则不等式-b<aA.<x<0或0<x<
答案:D解析:试题分析:4.函数y=()|x|的图象是()
A.
B.
C.
D.
答案:B5.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为
______.答案:如图,过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线,垂足分别为B、C,则:|OF||OA|=|FC||AB|?ca=62=3.故为36.“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:若a>2且b>2,则必有a+b>4且ab>4成立,故充分性易证若a+b>4且ab>4,如a=8,b=1,此时a+b>4且ab>4成立,但不能得出a>2且b>2,故必要性不成立由上证明知“a>2且b>2”是“a+b>4且ab>4”的充分不必要条件,故选A7.对于非零的自然数n,抛物线y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴相交于An,Bn两点,若以|AnBn|表示这两点间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|的值
等于______.答案:令(n2+n)x2-(2n+1)x+1=0,得x1=1n,x2=1n+1所以An(1n,0),Bn(1n+1,0)所以|AnBn|=1n-1n+1,所以|A1B1|+|A2B2|+|A3B3|+┅+|A2009B2009|=(11-12)+(12-13)+┉+(12009-12010)=1-12010=20092010.故为:20092010.8.在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的14,且样本容量是160,则中间一组的频数为()A.32B.0.2C.40D.0.25答案:设间一个长方形的面积S则其他十个小长方形面积的和为4S,所以频率分布直方图的总面积为5S所以中间一组的频率为S5S=0.2所以中间一组的频数为160×0.2=32故选A9.若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三点共线
则m的值为()
A.
B.-
C.-2
D.2答案:A10.在repeat语句的一般形式中有“until
A”,其中A是
(
)A.循环变量B.循环体C.终止条件D.终止条件为真答案:D解析:此题考查程序语句解:Until标志着直到型循环,直到终止条件为止,因此until后跟的是终止条件为真的语句.答案:D.11.把38化为二进制数为()A.101010(2)B.100110(2)C.110100(2)D.110010(2)答案:可以验证所给的四个选项,在A中,2+8+32=42,在B中,2+4+32=38经过验证知道,B中的二进制表示的数字换成十进制以后得到38,故选B.12.某射手射击所得环数X的分布列为:
ξ
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为()
A.0.28
B.0.88
C.0.79
D.0.51答案:C13.已知矩阵M=2a21,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P'(-4,0)
(1)求实数a的值;
(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.答案:(1)由2a211-2=-40,∴2-2a=-4⇒a=3.(2)由(1)知M=2321,则矩阵M的特征多项式为f(λ)=.λ-2-3-2λ-1.=(λ-2)(λ-1)-6=λ2-3λ-4令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.当λ=-1时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒x+y=0∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为1-1;当λ=4时,(λ-2)x-3y=0-2x+(λ-1)y=0⇒2x-3y=0∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为32.14.双曲线x2a2-y2b2=1,(a>0,b>0)的一条渐近线方程是y=3x,坐标原点到直线AB的距离为32,其中A(a,0),B(0,-b).
(1)求双曲线的方程;
(2)若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点,过点B作直线交双曲线于点M,N,求B1M⊥B1N时,直线MN的方程.答案:(1)∵A(a,0),B(0,-b),∴设直线AB:xa-yb=1∴ba=3aba2+b2=32,∴a=3b=3,∴双曲线方程为:x23-y29=1.(2)∵双曲线方程为:x23-y29=1,∴A1(-3,0),A2(3,0),设P(x0,y0),∴kPA1=y0x0+3,kPA2=y0x0-3,∴k1k2=y02x02-3=3x02-9x02-3=3.B(0,-3)B1(0,3),设M(x1,y1),N(x2,y2)∴设直线l:y=kx-3,∴y=kx-33x2-y2=9,∴3x2-(kx-3)2=9.(3-k2)x2+6kx-18=0,∴x1+x2=6kk2-3
y1+y2=k(x1+x2)-6=18k2-3x1x2=18k2-3
y1y2=k2(x1x2)-3k(x1+x2)+9∵B1M=(x1,y1-3)
B1N=(x2,y2-3)∵B1M•B1N=0∴x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9=018k2-3+9-54k2-3+9=0k2=5,即k=±5代入(1)有解,∴lMN:y=±5x-3.15.来自中国、英国、瑞典的乒乓球裁判各两名,执行北京奥运会的一号、二号和三号场地的乒乓球裁判工作,每个场地由两名来自不同国家的裁判组成,则不同的安排方案总数有()
A.12种
B.48种
C.90种
D.96种答案:B16.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是()
A.2+
B.
C.
D.1+答案:A17.已知空间三点A(1,1,1)、B(-1,0,4)、C(2,-2,3),则AB与CA的夹角θ的大小是
______答案:AB=(-2,-1,3),CA=(-1,3,-2),cos<AB,CA>=(-2)×(-1)+(-1)×3+3×(-2)14•14=-714=-12,∴θ=<AB,CA>=120°.故为120°18.已知P是以F1,F2为焦点的椭圆(a>b>0)上的一点,若PF1⊥PF2,tan∠PF1F2=,则此椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.答案:D19.已知椭圆C的中心在原点,焦点F1,F2在轴上,离心率e=22,且经过点M(0,2),求椭圆c的方程答案:若焦点在x轴很明显,过点M(0,2)点M即椭圆的上端点,所以b=2ca=22c2=12a2∵a2=b2+c2所以b2=c2=2a2=4椭圆:x24+y22=1若焦点在y轴,则a=2,ca=22,c=1∴b=1椭圆方程:x22+y2=1.20.给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为90°.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,若OC=xOA+yOB,其中x,y∈R,则xy的范围是______.答案:由OC=xOA+yOB?OC2=x2OA2+y2OB2+2xyOA?OB,又|OC|=|OA|=|OB|=1,OA?OB=0,∴1=x2+y2≥2xy,得xy≤12,而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,得x,y∈[0,1],于是,0≤xy≤12,故为[0,12].21.如图,在⊙O中,AB是弦,AC是⊙O的切线,A是切点,过
B作BD⊥AC于D,BD交⊙O于E点,若AE平分
∠BAD,则∠BAD=()
A.30°
B.45°
C.50°
D.60°
答案:D22.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,现从袋中任意取出3个小球,假设每个小球被取出的可能性都相等.
(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字分别为1,2,3的概率;
(Ⅱ)求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率;
(Ⅲ)用X表示取出的3个小球上的最大数字,求P(X≥4)的值.答案:(I)记“取出的3个小球上的数字分别为1,2,3”的事件记为A,则P(A)=C12C12C12C310=8120=115;(Ⅱ)记“取出的3个小球上的数字恰有2个相同”的事件记为A,则P(B)=C15C18C310=40120=13;(Ⅲ)用X表示取出的3个小球上的最大数字,则X≥4包含取出的3个小球上的最大数字为4或5两种情况,当取出的3个小球上的最大数字为4时,P(X=4)=C12C26+C22C16C310=36120=310;当取出的3个小球上的最大数字为5时,P(X=5)=C12C28+C22C18C310=64120=815故P(X≥4)=56.23.每一吨铸铁成本y
(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y=56+8x,下列说法正确的是()A.废品率每增加1%,成本每吨增加64元B.废品率每增加1%,成本每吨增加8%C.废品率每增加1%,成本每吨增加8元D.如果废品率增加1%,则每吨成本为56元答案:∵回归方程y=56+8x,∴当x增加一个单位时,对应的y要增加8个单位,这里是平均增加8个单位,故选C.24.已知=(-3,2,5),=(1,x,-1),且=2,则x的值为()
A.3
B.4
C.5
D.6答案:C25.参数方程表示什么曲线?答案:见解析解析:解:显然,则即得,即26.有一个质地均匀的正四面体,它的四个面上分别标有1,2,3,4这四个数字.现将它连续抛掷3次,其底面落于桌面,记三次在正四面体底面的数字和为S,则“S恰好为4”的概率为______.答案:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次,共有4×4×4=64种结果,满足条件的事件是三次在正四面体底面的数字和为S,S恰好为4,可以列举出这种事件,(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1)共有3种结果,根据古典概型概率公式得到P=364,故为:364.27.对于函数f(x),若存在区间M=[a,b],(a<b),使得{y|y=f(x),x∈M}=M,则称区间M为函数f(x)的一个“稳定区间”现有四个函数:
①f(x)=ex②f(x)=x3③f(x)=sinπ2x④f(x)=lnx,其中存在“稳定区间”的函数有()A.①②B.②③C.③④D.②④答案:①对于函数f(x)=ex若存在“稳定区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有ea=a,eb=b,即方程ex=x有两个解,即y=ex和y=x的图象有两个交点,这与即y=ex和y=x的图象没有公共点相矛盾,故①不存在“稳定区间”.②对于f(x)=x3存在“稳定区间”,如x∈[0,1]时,f(x)=x3∈[0,1].③对于f(x)=sinπ2x,存在“稳定区间”,如x∈[0,1]时,f(x)=sinπ2x∈[0,1].④对于f(x)=lnx,若存在“稳定区间”[a,b],由于函数是定义域内的增函数,故有lna=a,且lnb=b,即方程lnx=x有两个解,即y=lnx
和y=x的图象有两个交点,这与y=lnx和y=x的图象没有公共点相矛盾,故④不存在“稳定区间”.故选B.28.满足{1,2}∪A={1,2,3}的集合A的个数为______.答案:由{1,2}∪A={1,2,3},所以A={3},或{1,3},或{2,3},或{1,2,3}.所以集合A的个数为4.29.在平面直角坐标系中,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksinθ,t)(0≤θ≤π2).
(1)若AB⊥a,且|AB|=5|OA|(O为坐标原点),求向量OB;
(2)若向量AC与向量a共线,当k>4,且tsinθ取最大值4时,求OA•OC.答案:(1)∵点A(8,0),B(n,t),∴AB=(n-8,t),∵AB⊥a,∴AB•a=(n-8,t)•(-1,2)=0,得n=2t+8.则AB=(2t,t),又|AB|=5|OA|,|OA|=8.∴(2t)2+t2=5×64,解得t=±8,当t=8时,n=24;当t=-8时,n=-8.∴OB=(24,8)或OB=(-8,-8).(2)∵向量AC与向量a共线,∴t=-2ksinθ+16,tsinθ=(-2ksinθ+16)sinθ=-2k(sinθ-4k)2+32k.∵k>4,∴0<4k<1,故当sinθ=4k时,tsinθ取最大值32k,有32k=4,得k=8.这时,sinθ=12,k=8,tsinθ=4,得t=8,则OC=(4,8).∴OA•OC=(8,0)•(4,8)=32.30.4位学生与2位教师并坐合影留念,针对下列各种坐法,试问:各有多少种不同的坐法?(用数字作答)
(1)教师必须坐在中间;
(2)教师不能坐在两端,但要坐在一起;
(3)教师不能坐在两端,且不能相邻.答案:(1)先排4位学生,有A44种坐法,2位教师坐在中间,可以交换位置,有A22种坐法,则共有A22A44=48种坐法;(2)先排4位学生,有A44种坐法,2位教师坐在一起,将其看成一个整体,可以交换位置,有2种坐法,将这个“整体”插在4个学生的空位中,又由教师不能坐在两端,则有3个空位可选,则共有2A44A31=144种坐法;(3)先排4位学生,有A44种坐法,教师不能相邻,将其依次插在4个学生的空位中,又由教师不能坐在两端,则有3个空位可选,有A32种坐法,则共有A44A32=144种坐法..31.①附中高一年级聪明的学生;
②直角坐标系中横、纵坐标相等的点;
③不小于3的正整数;
④3的近似值;
考察以上能组成一个集合的是______.答案:因为直角坐标系中横、纵坐标相等的点是确定的,所以②能构成集合;不小于3的正整数是确定的,所以③能构成集合;附中高一年级聪明的学生,不是确定的,原因是没法界定什么样的学生为聪明的,所以①不能构成集合;3的近似值没说明精确到哪一位,所以是不确定的,故④不能构成集合.32.在某项体育比赛中,七位裁判为一选手打出分数的茎叶图如图,去掉一个最高分和一个摄低分后,该选手的平均分为()A.90B.91C.92D.93答案:由图表得到评委为该选手打出的7个分数数据为:89,90,90,93,93,94,95.去
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