2023年江苏联合职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析

长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年江苏联合职业技术学院高职单招（数学）试题库含答案解析（图片大小可自由调整）全文为Word可编辑，若为PDF皆为盗版，请谨慎购买！第1卷一.综合题(共50题)1.已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示向量MN为（）A．12a+12b+12cB．12a-12b+12cC．-12a+12b+12cD．-12a+12b-12c答案：如图所示，连接ON，AN，则ON=12（OB+OC）=12（b+c），AN=12（AC+AB）=12（OC-2OA+OB）=12（-2a+b+c）=-a+12b+12c，所以MN=12（ON+AN）=-12a+12b+12c．故选C．2.用“斜二测画法”作正三角形ABC的水平放置的直观图△A′B′C′，则△A′B′C′与△ABC的面积之比为______．答案：设正三角形的标出为：1，正三角形的高为：32，所以正三角形的面积为：34；按照“斜二测画法”画法，△A′B′C′的面积是：12×1×34×sin45°=616；所以△A′B′C′与△ABC的面积之比为：61634=24，故为：243.如图把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8分，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+…+|P7F|=______．答案：如图，把椭圆x225+y216=1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则根据椭圆的对称性知，|P1F1|+|P7F1|=|P1F1|+|P1F2|=2a，同理其余两对的和也是2a，又|P4F1|=a，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|+|P4F|+|P5F|+|P6F|+|P7F|=7a=35，故为35．4.一个底面是正三角形的三棱柱的侧视图如图所示，则该几何体的侧面积等于（）A．3B．6C．23D．2答案：由正视图知：三棱柱是以底面边长为2，高为1的正三棱柱，侧面积为3×2×1=6，故为：B．5.已知直线l的斜率为k=-1，经过点M0（2，-1），点M在直线上，以M0M的数量t为参数，则直线l的参数方程为______．答案：∵直线l经过点M0（2，-1），斜率为k=-1，倾斜角为3π4，∴直线l的参数方程为x=2+tcos3π4y=-1+tsin3π4

（t为参数）；即为x=2-22ty=-1+22t(t为参数)．故为：x=2-22ty=-1+22t(t为参数)．6.（几何证明选讲选做题）已知PA是⊙O的切线，切点为A，直线PO交⊙O于B、C两点，AC=2，∠PAB=120°，则⊙O的面积为______．答案：∵PA是圆O的切线，∴OA⊥AP又∵∠PAB=120°∴∠BAO=∠ABO=30°又∵在Rt△ABC中，AC=2∴BC=4，即圆O的直径2R=4∴圆O的面积S=πR2=4π故为：4π．7.斜二测画法的规则是：

（1）在已知图形中建立直角坐标系xoy，画直观图

时，它们分别对应x′和y′轴，两轴交于点o′，使∠x′o′y′=______，它们确定的平面表示水平平面；

（2）

已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成

______；

（3）已知图形中平行于x轴的线段的长度，在直观图中

______；平行于y轴的线段，在直观图中

______．答案：按照斜二测画法的规则填空故为：（1）45°或135°；（2）平行于x′轴和y′轴；（3）长度不变；长度减半8.平面内有n条直线，其中无任何两条平行，也无任何三条共点，求证：这n条直线把平面分割成12（n2+n+2）块．答案：证明：（1）当n=1时，1条直线把平面分成2块，又12（12+1+2）=2，命题成立．（2）假设n=k时，k≥1命题成立，即k条满足题设的直线把平面分成12（k2+k+2）块，那么当n=k+1时，第k+1条直线被k条直线分成k+1段，每段把它们所在的平面块又分成了2块，因此，增加了k+1个平面块．所以k+1条直线把平面分成了12（k2+k+2）+k+1=12[（k+1）2+（k+1）+2]块，这说明当n=k+1时，命题也成立．由（1）（2）知，对一切n∈N*，命题都成立．9.图是正方体平面展开图，在这个正方体中

①BM与ED垂直；

②DM与BN垂直．

③CN与BM成60°角；④CN与BE是异面直线．

以上四个命题中，正确命题的序号是______．答案：由已知中正方体的平面展开图，我们可以得到正方体的直观图如下图所示：由正方体的几何特征可得：①BM与ED垂直，正确；

②DM与BN垂直，正确；③CN与BM成60°角，正确；④CN与BE平行，故CN与BE是异面直线，错误；故为：①②③10.如图程序框图箭头a指向①处时，输出

s=______．箭头a指向②处时，输出

s=______．答案：程序在运行过程中各变量的情况如下表所示：（1）当箭头a指向①时，是否继续循环

S

i循环前/0

1第一圈

是

1

2第二圈

是

2

3第三圈

是

3

4第四圈

是

4

5第五圈

是

5

6第六圈

否故最终输出的S值为5，即m=5；（2）当箭头a指向②时，是否继续循环

S

i循环前/0

1第一圈

是

1

2第二圈

是

1+2

3第三圈

是

1+2+3

4第四圈

是

1+2+3+4

5第五圈

是

1+2+3+4+5

6第六圈

否故最终输出的S值为1+2+3+4+5=15；则n=15．故为：5，15．11.关于x的方程（m+3）x2-4mx+2m-1=0的两根异号，且负数根的绝对值比正数根大，那么实数m的取值范围是（）

A．-3＜m＜0

B．0＜m＜3

C．m＜-3或m＞0

D．m＜0或m＞3答案：A12.若A(0，2，198)，B(1，-1，58)，C(-2，1，58)是平面α内的三点，设平面α的法向量a=(x，y，z)，则x：y：z=______．答案：AB=(1，-3，-74)，AC=(-2，-1，-74)，α•AB=0，α•AC=0，∴x=23yz=-43y，x：y：z=23y：y：(-43y)=2：3：(-4)．故为2：3：-4．13.在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ2）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.4，则ξ在（0，2）内取值的概率为（）

A．0.9

B．0.5

C．0.6

D．0.8答案：D14.“x2＞2012”是“x2＞2011”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：由于“x2＞2

012”时，一定有“x2＞2

011”，反之不成立．所以“x2＞2

012”是“x2＞2

011”的充分不必要条件．故选A．15.如图，平行四边形ABCD中，AE：EB=1：2，若△AEF的面积等于1cm2，则△CDF的面积等于______cm2．答案：平行四边形ABCD中，有△AEF～△CDF∴△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方，∵AE：EB=1：2，∴AE：CD=1：3∵△AEF的面积等于1cm2，∴∵△CDF的面积等于9cm2故为：916.曲线（t为参数）上的点与A（-2，3）的距离为，则该点坐标是（）

A．（-4，5）

B．（-3，4）或（-1，2）

C．（-3，4）

D．（-4，5）或（0，1）答案：B17.如右图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，求不同着色方法共有多少种？（以数字作答）．答案：本题是一个分类和分步综合的题目，根据题意可分类求第一类用三种颜色着色，由乘法原理C14C41

C12=24种方法；第二类，用四种颜色着色，由乘法原理有2C14C41

C12

C11=48种方法．从而再由加法原理得24+48=72种方法．即共有72种不同的着色方法．18.从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（）

A．432

B．288

C．216

D．108答案：C19.已知向量，，若与共线，则的值为

A

B

C

D

答案：D解析：，，由，得20.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（

）

A．

B．

C．

D．2

答案：A21.根据给出的空间几何体的三视图，用斜二侧画法画出它的直观图．答案：画法：（1）画轴如下图，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy=45°，∠xOz=90°．（2）画圆台的两底面画出底面⊙O假设交x轴于A、B两点，在z轴上截取O′，使OO′等于三视图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′，设⊙O′交x′轴于A′、B′两点．（3）成图连接A′A、B′B，去掉辅助线，将被遮挡的部分要改为虚线，即得到给出三视图所表示的直观图．22.用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）

A．b都能被3整除

B．b都不能被3整除

C．b不都能被3整除

D．a不能被3整除答案：B23.已知二次函数f（x）=x2+bx+c，f（0）＜0，则该函数零点的个数为（）

A．1

B．2

C．3

D．0答案：B24.下面程序框图输出的S表示什么？虚线框表示什么结构？答案：由框图知，当r=5时，输出的s=πr2所以程序框图输出的S表示：求半径为5的圆的面积的算法的程序框图，虚线框是一个顺序结构．25.设向量=（0，2），=，则，的夹角等于（

）

A．

B．

C．

D．答案：A26.设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A1A3=λA1A2（λ∈R），A1A4=μA1A2（μ∈R），且1λ+1μ=2，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，d∈R）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）A．C可能是线段AB的中点B．D可能是线段AB的中点C．C，D可能同时在线段AB上D．C，D不可能同时在线段AB的延长线上答案：由已知可得（c，0）=λ（1，0），（d，0）=μ（1，0），所以λ=c，μ=d，代入1λ+1μ=2得1c+1d=2（1）若C是线段AB的中点，则c=12，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的中，A错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0≤c≤1，0≤d≤1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误．故选D27.直线（t为参数）的倾斜角是（）

A．20°

B．70°

C．45°

D．135°答案：D28.已知矩阵A=12-14，向量a=74．

（1）求矩阵A的特征值λ1、λ2和特征向量α1、α2；

（2）求A5α的值．答案：（1）矩阵A的特征多项式为f(λ)=.λ-1-21λ-4.=λ2-5λ+6，令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，当λ1=2时，得α1=21，当λ2=3时，得α2=11．（7分）（2）由α=mα1+nα2得2m+n=7m+n=4，得m=3，n=1．∴A5α=A5(3α1+α2)=3(A5α1)+A5α2=3(λ51α1)+λ52α2=3×2521+3511=435339．（15分）29.若x～B（3，13），则P（x=1）=______．答案：∵x～B（3，13），∴P（x=1）=C13(13)(1-13)2=49．故为：49．30.若A=1324，B=-123-3，则3A-B=______．答案：∵A=1324，B=-123-3，则3A-B=31324--123-3=39612--123-3=47315．故为：47315．31.下列输入语句正确的是（）

A．INPUT

x，y，z

B．INPUT“x=”；x，“y=”；y

C．INPUT

2，3，4

D．INPUT

x=2答案：A32.若直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，则b的值为

______．答案：由题意知，直线y=x+b与圆x2+y2=2相切，∴2=|b|2，解得b=±2．故为：±2．33.“所有10的倍数都是5的倍数，某数是10的倍数，则该数是5的倍数，”上述推理（）

A．完全正确

B．推理形式不正确

C．错误，因为大小前提不一致

D．错误，因为大前提错误答案：A34.下列说法正确的是（）

A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大

D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小答案：B35.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4，2），则它的离心率为（）

A.

B.

C.

D.答案：D36.已知a，b，c，d都是正数，S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c，则S的取值范围是______．答案：∵a，b，c，d都是正数，∴S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c＞aa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=a+b+c+da+b+c+d=1；S=aa+b+d+bb+c+a+cc+d+a+dd+a+c＜aa+b+bb+a+cc+d+dd+c=2∴1＜S＜2．故为：（1，2）37.将6位志愿者分成4组，每组至少1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有______种（用数字作答）．答案：由题意，六个人分为四组，若有三个人一组，则四组人数为3，1，1，1，则不同的分法为C63=20种，若存在两人一组，则分法为2，2，1，1，不同的分法有C26×C24A22=45分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有（20+45）×A44=1560种故为：1560．38.若图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）A．k1＜k2＜k3B．k2＜k1＜k3C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2答案：因为直线的斜率是其倾斜角的正切值，当倾斜角大于90°小于180°时，斜率为负值，当倾斜角大于0°小于90°时斜率为正值，且正切函数在（0°，90°）上为增函数，由图象三条直线的倾斜角可知，k2＜k1＜k3．故选C．39.在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.7KΩ，1.1KΩ，1.9KΩ，2.0KΩ，3.5KΩ，4.5KΩ，5.5KΩ七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的电阻的阻值是（

）.答案：3.5kΩ40.将一根长为3m的绳子在任意位置剪断，则剪得两段的长都不小于1m的概率是（）A．14B．13C．12D．23答案：记“两段的长都不小于1m”为事件A，则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，所以事件A发生的概率

P（A）=13．故选B41.已知斜二测画法得到的直观图△A′B′C′是正三角形，画出原三角形的图形．答案：由斜二测法知：B′C′不变，即BC与B′C′重合，O′A′由倾斜45°变为与x轴垂直，并且O′A′的长度变为原来的2倍，得到OA，由此得到原三角形的图形ABC．42.已知x与y之间的一组数据：

x

0

1

2

3

y

2

4

6

8

则y与x的线性回归方程为y=bx+a必过点（）

A．（1.5，4）

B．（1.5，5）

C．（1，5）

D．（2，5）答案：B43.如图，四条直线互相平行，且相邻两条平行线的距离均为h，一直正方形的4个顶点分别在四条直线上，则正方形的面积为（）

A．4h2

B．5h2

C．4h2

D．5h2

答案：B44.下列函数中，与函数y=1x有相同定义域的是（）A．f（x）=log2xB．f(x)=1xC．f（x）=|x|D．f（x）=2x答案：∵函数y=1x定义域为x＞0，又函数f（x）=log2x定义域x＞0，故选A．45.甲、乙、丙、丁四名射击选手在选拨赛中所得的平均环数，其方差S2如下表所示，则选送参加决赛的最佳人选是（）

甲

乙

丙

丁

8

9

9

8

S2

5.7

6.2

5.7

6.4

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁答案：C46.把38化为二进制数为（）A．101010（2）B．100110（2）C．110100（2）D．110010（2）答案：可以验证所给的四个选项，在A中，2+8+32=42，在B中，2+4+32=38经过验证知道，B中的二进制表示的数字换成十进制以后得到38，故选B．47.数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2（n∈N*）”时，第一步验证的表达式为______．答案：根据数学归纳法的步骤，首先要验证证明当n取第一个值时命题成立；结合本题，要验证n=1时，2n+1≥n2+n+2的成立；即21+1≥12+1+2成立；故为：21+1≥12+1+2（22≥4或4≥4也算对）．48.设a，b，c都是正数，求证：bca+cab+abc≥a+b+c．答案：证明：∵2（bca+acb+abc）=（bca+acb）+（bca+abc）+（acb+abc）≥2abc2ab+2acb2ac+2bca2bc=2c+2b+2a，∴bca+acb+abc≥a+b+c当且仅当a=b=c时，等号成立．49.现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，名额分配的方法共有______种（用数字作答）．答案：根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C96=84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种．50.想要检验是否喜欢参加体育活动是不是与性别有关，应该检验（）

A．H0：男性喜欢参加体育活动

B．H0：女性不喜欢参加体育活动

C．H0：喜欢参加体育活动与性别有关

D．H0：喜欢参加体育活动与性别无关答案：D第2卷一.综合题(共50题)1.圆x2+y2-6x+4y+12=0与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是______．答案：∵圆x2+y2-6x+4y+12=0化成标准形式，得（x-3）2+（y+2）2=1∴圆x2+y2-6x+4y+12=0的圆心为C1（3，-2），半径r1=1同理可得圆x2+y2-14x-2y+14=0的C2（7，1），半径r2=6∵两圆的圆心距|C1C2|=(7-3)2+(1+2)2=5∴|C1C2|=r2-r1=5，可得两圆的位置关系是内切故为：内切2.（理）已知函数f(x)=sinπxx∈[0，1]log2011xx∈(1，+∞)若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是______．答案：作出函数的图象如图，直线y=y0交函数图象于如图，由正弦曲线的对称性，可得A（a，y0）与B（b，y0）关于直线x=12对称，因此a+b=1当直线线y=y0向上平移时，经过点（2011，1）时图象两个图象恰有两个公共点（A、B重合）所以0＜y0＜1时，两个图象有三个公共点，此时满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），说明1＜c＜2011，因此可得a+b+c∈（2，2012）故为（2，2012）3.有一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字．现将它连续抛掷3次，其底面落于桌面，记三次在正四面体底面的数字和为S，则“S恰好为4”的概率为______．答案：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是抛掷这颗正四面体骰子两次，共有4×4×4=64种结果，满足条件的事件是三次在正四面体底面的数字和为S，S恰好为4，可以列举出这种事件，（1，1，2），（1，2，1），（2，1，1）共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P=364，故为：364．4.如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，求证：CBCO=CDCA．答案：证明：连接AD，如图所示：由垂径定理得：AD=AC又∵OC=OB∴∠ADC=∠OBC=∠ACD=∠OCB∴△CAD∽△COB∴CBCO=CDCA．5.下列说法：

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选择的模型比较合适；

②用相关指数可以刻画回归的效果，值越大说明模型的拟和效果越好；

③比较两个模型的拟和效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型拟和效果越好．

其中说法正确的个数为（）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个答案：C6.若A∩B=A∪B，则A______B．答案：设有集合W=A∪B=B∩C，根据并集的性质，W=A∪B?A?W，B?W，根据交集的性质，W=A∩B?W?A，W?B由集合子集的性质，A=B=W，故为：=．7.某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是______；众数是______．

答案：将比赛中的得分按照从小到大的顺序排，中间两个数为23，23，所以这组数据的中位数是23，所有的数据中出现次数最多的数是23故为23；238.平面ABCD中，点A坐标为（0，1，1），点B坐标为（1，2，1），点C坐标为（-1，0，-1）．若向量a=（-2，y，z），且a为平面ABC的法向量，则yz=（）A．2B．0C．1D．-1答案：AB=(1，1，0)，AC=(-1，-1，-2)，与平面ABC垂直的向量应与上面的向量的数量积为零，向量a=（-2，y，z），且a为平面ABC的法向量，则a⊥AB且a⊥AC，即a•AB=0，且a•AC=0，即-2+y+0=0且2-y-2z=0，即y=2z=0，∴则yz=20=1，故选C．9.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为（）

A．（2，）

B．（2，-）

C．（2，）

D．（2,2kπ+）（k∈Z）答案：C10.在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：∵sin2＞0，cos2＜0，∴z=sin2+icos2对应的点在第四象限，故选D．11.对于各数互不相等的整数数组（i1，i2，i3，…in）

（n是不小于2的正整数），对于任意p，q∈1，2，3，…，n，当p＜q时有ip＞iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于______．答案：由题意知当p＜q时有ip＞iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，在数组（2，4，3，1）中逆序有2，1；4，3；4，1；3，1共有4对逆序数对，故为：4．12.已知△ABC是边长为4的正三角形，D、P是△ABC内部两点，且满足AD=14(AB+AC)，AP=AD+18BC，则△APD的面积为______．答案：取BC的中点E，连接AE，根据△ABC是边长为4的正三角形∴AE⊥BC，AE=12(AB+AC)而AD=14(AB+AC)，则点D为AE的中点，AD=3取AF=18BC，以AD，AF为边作平行四边形，可知AP=AD+18BC=AD+AF而△APD为直角三角形，AF=12∴△APD的面积为12×12×3=34故为：3413.已知过点A（-2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为（）

A．0

B．-8

C．2

D．10答案：B14.已知α、β均为锐角，若p：sinα＜sin（α+β），q：α+β＜π2，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：当sinα＜sin（α+β）时，α+β＜π2不一定成立故sinα＜sin（α+β）?α+β＜π2，为假命题；而若α+β＜π2，则由正弦函数在（0，π2）单调递增，易得sinα＜sin（α+β）成立即α+β＜π2?sinα＜sin（α+β）为真命题故p是q的必要而不充分条件故选B．15.抽样调查在抽取调查对象时（）A．按一定的方法抽取B．随意抽取C．全部抽取D．根据个人的爱好抽取答案：一般地，抽样方法分为3种：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样无论是哪种抽样方法，都遵循机会均等的原理，即在抽样过程中，各个体被抽到的概率是相等的．根据以上分析，可知只有A项符合题意．故选：A16.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是______答案：在等式1+2+3+…+(n+3)=(n+3)(n+4)2(n∈N+)中，当n=1时，n+3=4，而等式左边起始为1的连续的正整数的和，故n=1时，等式左边的项为：1+2+3+4故为：1+2+3+417.向量化简后等于（）

A.

B.

C.

D.答案：C18.如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是（）

A．

B．

C．

D．2答案：C19.已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25．

（1）圆C的圆心到直线l的距离为______；

（2）圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为______．答案：（1）由题意知圆x2+y2=12的圆心是（0，0），圆心到直线的距离是d=2532+42=5，（2）由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，根据上一问可知圆心到直线的距离是5，在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P=60°360°=16故为：5；1620.如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A，B为左、右焦点，且过C，D两顶点．若AB=4，BC=3，则此双曲线的标准方程为______．答案：由题意可得点OA=OB=2，AC=5设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1．则2a=AC-BC=5-3=2，所以a=1．所以b2=c2-a2=4-1=3．所以双曲线的标准方程是x2-y23=1．故为：x2-y23=121.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是______米．答案：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=-2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，-2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=-8y当水面升高1米后，y=-1代入方程得：x=±22∴水面宽度是42米故为：4222.已知：a={2，-3，1}，b={2，0，-2}，c={-1，-2，0}，r=2a-3b+c，

则r的坐标为______．答案：∵a=(2，-3，1)，b=(2，0，-2)，c=(-1，-2，0)∴r=2a-

3b+c=2(2，-3，1)-3(2，0，-2)+(-1，-2，0)=（4，-6，2）-（6，0，-6）+（-1，-2，0）=（-3，-8，8）故为：（-3，-8，8）23.一个口袋内有5个白球和3个黑球，任意取出一个，如果是黑球，则这个黑球不放回且另外放入一个白球，这样继续下去，直到取出的球是白球为止．求取到白球所需的次数ξ的概率分布列及期望．答案：由题意知变量的可能取值是1，2，3，4P（ξ=1）=58，P（ξ=2）=932，P（ξ=3）=21256

P（ξ=1）=3256

∴ξ的分布列是ξ1234P58932212563256∴Eξ=1×58+2×923+3×21256+4×3256=37925624.在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为______．答案：直线ρcosθ=2即x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，故为2．25.如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为矩形，俯视图为直角梯形（尺寸如图所示）

（1）求证：AE∥平面DCF；

（2）若M是AE的中点，AB=3，∠CEF=90°，求证：平面AEF⊥平面BMC．答案：（1）证法1：过点E作EG⊥CF交CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形，又四边形ABCD为矩形，所以AD=EG，从而四边形ADGE为平行四边形故AE∥DG

因为AE?平面DCF，DG?平面DCF，所以AE∥平面DCF

证法2：（面面平行的性质法）因为四边形BEFC为梯形，所以BE∥CF．又因为BE?平面DCF，CF?平面DCF，所以BE∥平面DCF．因为四边形ABCD为矩形，所以AB∥DC．同理可证AB∥平面DCF．又因为BE和AB是平面ABE内的两相交直线，所以平面ABE∥平面DCF．又因为AE?平面ABE，所以AE∥平面DCF．（2）在Rt△EFG中，∠CEF=90°，EG=3，EF=2．∴∠GEF=30°，GF=12EF=1．在RT△CEG中，∠CEG=60°，∴CG=EGtan60°=3，BE=3．∵AB=3，M是AE中点，∴BM⊥AE，由侧视图是矩形，俯视图是直角梯形，得BC⊥AB，BC⊥BE，∵AB∩BM=B，∴AE⊥平面BCM又∵AE?平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCM．26.设a,b,c都是正数，求证：

（1）（a+b+c)≥9;

(2)(a+b+c)≥.答案：证明略解析：证明

（1）∵a,b,c都是正数，∴a+b+c≥3,++≥3.∴(a+b+c)≥9,当且仅当a=b=c时，等号成立.（2）∵（a+b）+(b+c)+(c+a)≥3,又≥,∴(a+b+c)≥,当且仅当a=b=c时，等号成立.27.若A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=（）

A．{2，1}

B．{（2，1）}

C．{1，2}

D．{（1，2）}答案：D28.椭圆的两个焦点坐标是（）

A．（-3，5），（-3，-3）

B．（3，3），（3，-5）

C．（1，1），（-7，1）

D．（7，-1），（-1，-1）答案：B29.在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个．用系统抽样法从中抽取容量为20的样本、则每个个体被抽取到的概率是（）

A．

B．

C．

D．答案：D30.将函数的图象F按向量平移后所得到的图象的解析式是，求向量．答案：向量解析：将函数的图象F按向量平移后所得到的图象的解析式是，求向量．31.一个箱中原来装有大小相同的

5

个球，其中

3

个红球，2

个白球．规定：进行一次操

作是指“从箱中随机取出一个球，如果取出的是红球，则把它放回箱中；如果取出的是白

球，则该球不放回，并另补一个红球放到箱中．”

（1）求进行第二次操作后，箱中红球个数为

4

的概率；

（2）求进行第二次操作后，箱中红球个数的分布列和数学期望．答案：（1）设A1表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球”，B1表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球”，A2表示事件“第二次操作从箱中取出的是红球”，B2表示事件“第二次操作从箱中取出的是白球”．则A1B2表示事件“第一次操作从箱中取出的是红球，第二次操作从箱中取出的是白球”．由条件概率计算公式得P（A1B2）=P（A1）P（B2|A1）=35×25=625．B1A2表示事件“第一次操作从箱中取出的是白球，第二次操作从箱中取出的是红球”．由条件概率计算公式得P（B1A2）=P（B1）P（A2|B1）=25×45=825．A1B2+B1A2表示“进行第二次操作后，箱中红球个数为

4”，又A1B2与B1A2是互斥事件．∴P（A1B2+B1A2）=P（A1B2）+P（B1A2）=625+825=1425．（2）设进行第二次操作后，箱中红球个数为X，则X=3，4，5．P（X=3）35×35=925，P（X=4）=1425，P（X=5）=25×15=225．进行第二次操作后，箱中红球个数X的分布列为：进行第二次操作后，箱中红球个数X的数学期望EX=3×925+4×1425+5×225=9325．32.已知向量a表示“向东航行1km”，向量b表示“向北航行3km”，则向量a+b表示（）A．向东北方向航行2kmB．向北偏东30°方向航行2kmC．向北偏东60°方向航行2kmD．向东北方向航行（1+3）km答案：如图，作OA=a，OB=b．则OC=a+b，所以|OC|=3+1=2，且sin∠BOC=12，所以∠BOC=30°．因此

a+b表示向北偏东30°方向航行2km．故选B．33.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CDB．AB与CD相交C．AB⊥CDD．AB与CD所成的角为60°答案：将正方体的展开图，还原为正方体，AB，CD为相邻表面，且无公共顶点的两条面上的对角线∴AB与CD所成的角为60°故选D．34.已知a=log132，b=(13)12，c=(23)12，则a，b，c大小关系为______．答案：∵a=log132＜log131=0，又∵函数y=x12在（0，+∞）是增函数，∴(23)12＞(13)12＞0．所以，c＞b＞a．故为c＞b＞a．35.设U={三角形}，M={直角三角形}，N={等腰三角形}，则M∩N=______．答案：∵M={直角三角形}，N={等腰三角形}，∴M∩N={直角三角形且等腰三角形}={等腰直角三角形}故为{等腰直角三角形}36.在下面的图示中，结构图是（）

A．

B．

C．

D．

答案：B37.点P（x，y）是椭圆2x2+3y2=12上的一个动点，则x+2y的最大值为______．答案：把椭圆2x2+3y2=12化为标准方程，得x26+y24=1，∴这个椭圆的参数方程为：x=6cosθy=2sinθ，（θ为参数）∴x+2y=6cosθ+4sinθ，∴(x+2y)max=6+16=22．故为：22．38.若复数（1+bi）•（2-i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（）A．-2B．-12C．12D．2答案：由（1+bi）•（2-i）=2+b+（2b-1）i是纯虚数，则2+b=02b-1≠0，解得b=-2．故选A．39.若90°＜θ＜180°，曲线x2+y2sinθ=1表示（）

A．焦点在x轴上的双曲线

B．焦点在y轴上的双曲线

C．焦点在x轴上的椭圆

D．焦点在y轴上的椭圆答案：D40.在方程（θ为参数且θ∈R）表示的曲线上的一个点的坐标是（）

A．（，）

B．（，）

C．（2，-7）

D．（1，0）答案：B41.数集{1，x，2x}中的元素x应满足的条件是______．答案：根据集合中元素的互异性可得1≠x，x≠2x，1≠2x∴x≠1且x≠12且x≠0．故为：x≠1且x≠12且x≠0．42.如图P为空间中任意一点，动点Q在△ABC所在平面内运动，且，则实数m=（）

A．0

B．2

C．-2

D．1

答案：C43.已知F1、F2为椭圆x225+y29=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|+|F2B|=12，则|AB|=______．答案：由椭圆的定义得|AF1|+|AF2|=10|BF1|+|BF2|=10两式相加得|AB|+|AF2|+|BF2|=20，即|AB|+12=20，∴|AB|=8．故：844.从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，这个两位数大于40的概率（）A．15B．25C．35D．45答案：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从数字1，2，3，4，5中任取两个不同的数字构成一个两位数，共有A52=20种结果，满足条件的事件可以列举出有，41，41，43，45，54，53，52，51共有8个，根据古典概型概率公式得到P=820=25，故选B．45.以数集A={a，b，c，d}中的四个元素为边长的四边形只能是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形答案：∵数集A={a，b，c，d}中的四个元素互不相同，∴以数集A={a，b，c，d}中的四个元素为边长的四边形，四条边不相等∴四边形只可能是梯形故选D．46.设是的相反向量，则下列说法一定错误的是（）

A．∥

B．与的长度相等

C．是的相反向量

D．与一定不相等答案：D47.已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF与AD交于点E，与BC的延长线交于点F，若CF=4，BC=5，则DF=______．答案：连接FA，如下图所示：∵EF垂直平分AD，∴FA=FD，∠FAD=∠FDA．即∠FAC+∠CAD=∠B+∠BAD．又∠CAD=∠BAD．故∠FAC=∠B；又∠AFC=∠BFA．∴△ABF∽△CAF．∴AF2=CF?BF=4?（4+5）=36∴DF=AF=6故为：648.由1、2、3可以组成______个没有重复数字的两位数．答案：没有重复数字的两位数共有3×2=6个故为：649.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0（a＞0）的公共弦的长为23，则a=______．答案：由已知x2+y2+2ay-6=0的半径为6+a2，由图可知6+a2-(-a-1)2=(3)2，解之得a=1．故为：1．50.已知复数z满足（1-i）•z=1，则z=______．答案：∵复数z满足（1-i）•z=1，∴z=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i，故为12+i2．第3卷一.综合题(共50题)1.|a|=4，a与b的夹角为30°，则a在b方向上的投影为______．答案：a在b方向上的投影为|a|cos30°=4×32=23故为：232.4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（）

A．34

B．43

C．24

D．12答案：A3.若关于x的方程x2-2ax+2+a=0有两个不相等的实根，求分别满足下列条件的a的取值范围．

(1)方程两根都大于1；

(2)方程一根大于1，另一根小于1。答案：解：设f(x)=x2-2ax+2+a，(1)∵两根都大于1，∴，解得：2＜a＜3；(2)∵方程一根大于1，一根小于1，∴f(1)＜0，∴a＞3。4.复数(12+32i)3i的值为______．答案：(12+32i)3i=(cosπ3+isinπ3)3cosπ2+isinπ2=cosπ+isinπcosπ2+

isinπ2=cosπ2+isinπ2=i，故为：i．5.如图，四边形ABCD内接于圆O，且AC、BD交于点E，则此图形中一定相似的三角形有（）对．

A．0

B．3

C．2

D．1

答案：C6.平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量其中，若且0≤μ≤λ≤1，那么C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是（）

A．

B．

C．

D．

答案：A7.已知△ABC中，过重心G的直线交边AB于P，交边AC于Q，设AP=pPB，AQ=qQC，则pqp+q=（）A．1B．3C．13D．2答案：取特殊直线PQ使其过重心G且平行于边BC∵点G为重心∴APPB=AQQC=21∵AP=pPB，AQ=qQC∴p=2，q=2∴pqp+q=44=1故选项为A8.若A={（x，y）|4x+y=6}，B={（x，y）|3x+2y=7}，则A∩B=（）

A．{2，1}

B．{（2，1）}

C．{1，2}

D．{（1，2）}答案：D9.已知圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm，高为3cm，求圆台的体积．答案：∵圆台的上下底面半径分别是2cm、5cm，高为3cm，∴圆台的体积V=13×3×(4π+4π?25π+25π)=39πcm3．10.设函数f（x）定义如下表，数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数均有xn+1=f（xn），则x2004的值为（）

A．1B．2C．4D．5答案：由于函数f（x）定义如下表：故数列{xn}满足：5，2，1，4，5，2，1，…是一个周期性变化的数列，周期为：4．∴x2004=x0=5．故选D．11.空间向量a=（2，-1，0），.b=（1，0，-1），n=（1，y，z），若n⊥a，n⊥b，则y+z=______．答案：∵n⊥a，n⊥b，∴n•a=0n•b=0，即2-y=01-z=0，解得y=2z=1，∴y+z=3．故为3．12.设A（1，-1，1），B（3，1，5），则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是（）

A．在y轴上

B．在xOy面内

C．在xOz面内

D．在yOz面内答案：C13.设复数z=cosθ+sinθi，0≤θ≤π，则|z+1|的最大值为______．答案：复数z=cosθ+sinθi，0≤θ≤π，则|z+1|=|cosθ+1+isinθ|=(1+cosθ)2+sin2θ=2+2cosθ≤2．故为：2．14.已知函数f(x)=(12)x，a，b∈R*，A=f(a+b2)，B=f(ab)，C=f(2aba+b)，则A、B、C的大小关系为______．答案：∵a+b2≥ab，2aba+b=21a+1b≤221ab=ab，∴a+b2≥ab≥2aba+b＞0又

f(x)=(12)x在R上是减函数，∴f(a+b2)≤f(ab)

≤f(2aba+b)即A≤B≤C故为：A≤B≤C．15.下列各图象中，哪一个不可能是函数

y=f（x）的图象（）A．

B．

C．

D．

答案：函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系．选项D，对于x=1时有两个输出值与之对应，故不是函数图象故选D．16.有以下四个结论：

①lg（lg10）=0；

②lg（lne）=0；

③若e=lnx，则x=e2；

④ln（lg1）=0．

其中正确的是（）

A．①②

B．①②③

C．①②④

D．②③④答案：A17.复数i2000=______．答案：复数i2009=i4×500=i0=1故为：118.参数方程表示什么曲线？答案：见解析解析：解：显然，则即得，即19.圆x2+y2-6x+4y+12=0与圆x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是______．答案：∵圆x2+y2-6x+4y+12=0化成标准形式，得（x-3）2+（y+2）2=1∴圆x2+y2-6x+4y+12=0的圆心为C1（3，-2），半径r1=1同理可得圆x2+y2-14x-2y+14=0的C2（7，1），半径r2=6∵两圆的圆心距|C1C2|=(7-3)2+(1+2)2=5∴|C1C2|=r2-r1=5，可得两圆的位置关系是内切故为：内切20.已知向量，，若与共线，则的值为

A

B

C

D

答案：D解析：，，由，得21.将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”和“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率各是多少？答案：将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“2次正面朝上，2次反面朝上”的概率p1=C24(12)2(12)2=38．将一枚质地均匀的硬币连续投掷4次，出现“3次正面朝上，1次反面朝上”的概率p2=C34(12)3?12=14．22.下面四个结论：

①偶函数的图象一定与y轴相交；

②奇函数的图象一定通过原点；

③偶函数的图象关于y轴对称；

④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R），

其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4答案：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与y轴相交，因此①错误，③正确；奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，只有在原点处有定义才通过原点，因此②错误；若y=f（x）既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f（x）=0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，因此④错误．故选A．23.证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC+zOD．答案：（必要性）依题意知，B、C、D三点不共线，则由共面向量定理的推论知：四点A、B、C、D共面⇔对空间任一点O，存在实数x1、y1，使得OA=OB+x1BC+y1BD=OB+x1（OC-OB）+y1（OD-OB）=（1-x1-y1）OB+x1OC+y1OD，取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1，则有OA=xOB+yOC+zOD，且x+y+z=1．（充分性）对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC+zOD．所以x=1-y-z得OA=（1-y-z）OB+yOC+zOD．OA=OB+yBC+zBD，即：BA=yBC+zBD，所以四点A、B、C、D共面．所以，空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是：对于空间任一点O，存在实数x、y、z且x+y+z=1，使得OA=xOB+yOC+zOD．24.对于函数f（x），在使f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值称为函数f（x）的“上确界”则函数f（x）=(x+1)2x2+1的上确界为（）A．14B．12C．2D．4答案：因为f（x）=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1又因为x2+1=|x|2+1≥2|x|≥2x∴2xx2+1≤1．∴f（x）≤2．即在使f（x）≤M成立的所有常数M中，M的最小值为2．故选C．25.椭圆x=5cosαy=3sinα（α是参数）的一个焦点到相应准线的距离为______．答案：椭圆x=5cosαy=3sinα（α是参数）的标准方程为：x225+y29=1，它的右焦点（4，0），右准线方程为：x=254．一个焦点到相应准线的距离为：254-4=94．故为：94．26.已知（2x+1）3的展开式中，二项式系数和为a，各项系数和为b，则a+b=______．（用数字表示）答案：由题意可得（2x+1）3的展开式中，二项式系数和为a=23=8令x=1可得各项系数和为b=（2+1）3=27∴a+b=35故为：3527.直角三角形两直角边边长分别为3和4，将此三角形绕其斜边旋转一周，求得到的旋转体的表面积和体积．答案：根据题意，所求旋转体由两个同底的圆锥拼接而成它的底面半径等于直角三角形斜边上的高，高分别等于两条直角边在斜边的射影长∵两直角边边长分别为3和4，∴斜边长为32+42=5，由面积公式可得斜边上的高为h=3×45=125可得所求旋转体的底面半径r=125因此，两个圆锥的侧面积分别为S上侧面=π×125×4=48π5；S下侧面=π×125×3=36π5∴旋转体的表面积S=48π5+36π5=84π5由锥体的体积公式，可得旋转体的体积为V=13π×(125)2×5=48π528.从抛物线y2=4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为（）

A．6

B．8

C．10

D．15答案：C29.现有10个保送上大学的名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，名额分配的方法共有______种（用数字作答）．答案：根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额，可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空；相当于用6块档板插在9个间隔中，共有C96=84种不同方法．所以名额分配的方法共有84种．30.设某种动物由出生算起活到10岁的概率为0.9，活到15岁的概率为0.6．现有一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是______．答案：设活过10岁后能活到15岁的概率是P，由题意知0.9×P=0.6，解得P=23即一个10岁的这种动物，它能活到15岁的概率是23故为：23．31.将1，2，3，9这9个数字填在如图的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当3，4固定在图中的位置时，填写空格的方法数为（）

A．6种

B．12种

C．18种

D．24种

答案：A32.若（1+2）5=a+b2（a，b为有理数），则a+b=（）A．45B．55C．70D．80答案：解析：由二项式定理得：（1+2）5=1+C512+C52（2）2+C53（2）3+C54（2）4+C55?（2）5=1+52+20+202+20+42=41+292，∴a=41，b=29，a+b=70．故选C33.某人射击一次击中的概率