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文档简介

第七章机械振动和机械波第1讲机械振动一、简谐运动1.五个概念物理量定义意义回复力F促使振动物体返回①

平衡位置

的力。来源:振动物体在②振动方向

的合力位移x由③平衡位置

指向质点所在位置的有向线段描述质点振动中某时刻的位置相对于④平衡位置

的位移,矢量振幅A振动物体离开平衡位置的⑤

最大距离

描述振动的⑥

强弱

和能量,标量知识梳理周期T振动物体完成一次⑦

全振动

所需时间描述振动的⑨

快慢

,两者关系:⑩

频率f振动物体在⑧单位时间

内完成全振动的次数

2.三个特征及表达式(1)受力特征:F回=

-kx

(2)运动特征:a=-

x。x、v、a均按

正弦或余弦

规律发生周期性变化(注意v、a的变化趋势相反)。(3)能量特征:系统机械能守恒,振幅A不变。3.简谐运动的表达式与图像(1)表达式x=

Asin(ωt+φ0)

,其中ωt+φ0为相位。(2)图像a.从平衡位置开始计时,函数表达式为x=Asinωt,图像如图甲所示。b.从最大位移处开始计时,函数表达式为x=Acosωt,图像如图乙所示。模型弹簧振子单摆示意图

特点(1)忽略弹簧的

质量

和摩擦力(2)弹簧对小球的弹力提

回复力

(1)忽略细线的质量且细线不可伸缩

(2)小球的直径和摆角要

足够小

公式回复力

F=-kx

回复力

周期

4.简谐运动的两种模型振动类项目

自由振动受迫振动共振受力情况系统内部的相互作

用力周期性驱动力作用周期性驱动力作用振动周期或频率由系统本身性质决定,即固有周期或固有频率由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱T驱=T固或f驱=f固振动能量振动物体的机械能

不变由产生驱动力的物体提供振动物体获得的能量最大常见例子弹簧振子或单摆(θ<10°)机械工作时底座发生的振动共振筛、转速计等二、受迫振动1.自由振动、受迫振动和共振2.共振曲线

由图可知当f驱=f0时振幅①最大

。1.简谐运动的平衡位置是指

(

)A.速度为零的位置B.回复力为零的位置C.加速度为零的位置D.位移最大的位置

答案

B简谐运动的物体,平衡位置是回复力为零的位置,而合外力是否为零,不同的系统是不同的,因此加速度不一定为零,比如单摆在平衡位置时存在向心加速度。简谐运动的物体经过平衡位置时速度最大,位移为零。2.悬挂在竖直方向上的弹簧振子,周期为2s,从最低点的位置向上运动时开始计时,它的振动图像如图所示,由图可知

(

)A.t=1.25s时振子的加速度为正,速度为正B.t=1.7s时振子的加速度为负,速度为负C.t=1.0s时振子的速度为零,加速度为负的最大值D.t=1.5s时振子的速度为零,加速度为负的最大值

答案

C弹簧振子振动时,加速度的方向总是指向平衡位置,且在最大位移处,加速度值最大,在平衡位置处加速度的值为0,由图可知,A、B、D均错误,只有C正确。3.(2013北京朝阳期末)弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动,在振子向着平衡位置运动的过程中

(

)A.振子所受的回复力逐渐增大B.振子离开平衡位置的位移逐渐增大C.振子的速度逐渐增大D.振子的加速度逐渐增大

答案

C由F=-kx知,振子向着平衡位置运动过程中,位移x逐渐减小,则回复力减小,A、B、D错。由能量守恒得弹性势能减小,则动能增大,速度增大,C对。4.如图甲所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,如图乙是振子做简谐运动时的位移-时间图像,则关于振子的加速度随时间的变化规律,下列四个图像(选项)中正确的是

(

)

答案

C根据简谐运动的运动特点知a=

,因x随t按正弦函数变化,所以C选项正确。A.2π

B.2π

C.

+

D.π

答案

D

T=

+

,故选D。5.如图所示,一单摆悬于O点,摆长为L,若在O点的竖直线上的O‘点钉一个钉子,使OO’=L/2,将单摆拉至A处释放,小球将在A、B、C间来回振动,若振动中摆线与竖直方向夹角小于10°,则此摆的周期是

(

)重难一简谐运动的“五个”特征

1.受力特征:回复力满足F=-kx,即回复力大小与位移的大小成正比,方向与位移的方向相反。2.运动特征:简谐运动是变速运动,位移x、速度v、加速度a都随时间按正弦规律周期性变化。当振子靠近平衡位置时,a、F、x都减小,v增大;当振子远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小。3.能量特征:振幅越大,能量越大。在运动过程中,动能和势能相互转化,机械能守恒。重难突破4.周期性特征相隔T或nT的两个时刻振子处于同一位置且振动状态相同。5.对称性特征(1)如图所示,振子经过关于平衡位置O对称(OP=OP‘)的两点P、P’时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等。(2)振子由P到O所用时间等于由O到P'所用时间,即tPO=tOP'。(3)振子往复运动过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等即tOP=tPO。

典例1一简谐振子沿x轴振动,平衡位置在坐标原点。t=0时刻振子的位移

x=-0.1m;t=

s时刻x=0.1m;t=4s时刻x=0.1m。该振子的振幅和周期可能为

(

)A.0.1m,

sB.0.1m,8sC.0.2m,

sD.0.2m,8s

解析若振幅A=0.1m,T=

s,则

s为半周期,从-0.1m处运动到0.1m,符合运动实际,4s-

s=

s为一个周期,正好返回0.1m处,所以A项正确。若A=0.1m,T=8s,

s只是T的

,不可能由负的最大位移处运动到正的最大位移处,所以B错。若A=0.2m,T=

s,

s=

,振子可以由-0.1m运动到对称位置,4s-

s=

s=T,振子可以由0.1m返回0.1m,所以C对。若A=0.2m,T=8s,

s=2×

,而sin

=

,即

时间内,振子可以从平衡位置运动到0.1m处;再经

s又恰好能由0.1m处运动到0.2m处后,再返回0.1m处,故D项正确。

答案

ACD1-1

(2013北京西城一模)一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1sin2.5πt,位移y的单位为m,时间t的单位为s。则

(

)A.弹簧振子的振幅为0.2mB.弹簧振子的周期为1.25sC.在t=0.2s时,振子的运动速度为零D.在任意0.2s时间内,振子的位移均为0.1m

答案

C

解析由y=Asinωt和y=0.1sin2.5πt,可知A=0.1m,ω=2.5π;又有T=

,得T=0.8s,则A、B均错误。当t=0.2s时,弹簧振子位于最大位移处,此时振子的运动速度为零,C正确。0.2s是四分之一周期,而四分之一周期内振子的位移是不确定的,故D错误。重难二简谐运动的图像

1.图像的物理意义图像描述的是振动物体对平衡位置的位移随时间的变化情况,不是物体的运动轨迹。2.从简谐运动的图像上获得的信息(1)确定振动物体在任一时刻的位移(2)确定振动的振幅(3)确定振动的周期和频率(4)确定各质点的振动方向(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向典例2

(2012北京理综,17,6分)一个弹簧振子沿x轴做简谐运动,取平衡位置O为x轴坐标原点。从某时刻开始计时,经过四分之一周期,振子具有沿x轴正方向的最大加速度。能正确反映振子位移x与时间t关系的图像是(

)

解析如图所示,O为平衡位置,由题意知t=

时,振子具有正向最大加速度,故此时振子应在A处,位移x为负的最大值。分析各图像知,只有A项正确。

答案

A

答案

C解析由x-t图像可知,t1时刻和t2时刻,弹簧振子具有相同的动能,但动量只有大小相等,方向则相反,A错误;由题图知t2到1.0s时间内加速度变小,但速度增大,B错误;由题图知弹簧振子振动周期T=2.0s,则ω=

=π,故振动方程为x=Asinωt=0.10sinπt(m),即C正确;由三解函数知识可知,t2应为t1的5倍,D错误。2-1

(2013北京海淀零模)图是一弹簧振子在水平面内做简谐运动的x-t图像,则下列说法正确的是

(

)A.t1时刻和t2时刻具有相同的动能和动量B.t2到1.0s时间内加速度变小,速度减小C.弹簧振子的振动方程是x=0.10sinπt(m)D.t2等于3倍的t12-2弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动,从某次经过O点开始计时,振子第一次到达M点用了0.3s,又经过0.2s第二次通过M点。则振子第三次通过M点,还要经过的时间可能是

(

)A.

s

B.

s

C.1.4s

D.1.6s

答案

AC解析

(1)取质点开始运动的方向为正方向,且向着M点运动,即M点位移为正,作出图像如图所示。第一次经M点时为t1时刻,第二次经M点时为t2时刻,第三次经M点时为t3时刻。由题意知t1=0.3s,t2-t1=0.2s。根据t1、t2时刻关于最大位移的对称性得:

=0.3s+

=0.4s,T=1.6s,同理得:t3-t2=(T+t1)-t2=1.4s,C正确。(2)仍取质点开始运动的方向为正方向,而背离M运动,即M点位移为负,即图

中的A、B、C点对应的时刻分别为第一、二、三次经过M点的时刻,因A到

B为0.2s,由对称性知,

T=0.3s+

=0.4s,得T=

s,则B到C为T+tA-tB=

s,A正确。重难三单摆的周期公式的应用

1.单摆的周期公式T=2π

,该公式提供了一种测定重力加速度g的方法。2.l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离。3.g为当地重力加速度。4.T=2π

只与l及g有关,而与振子的质量及振幅无关。

典例3如图所示为同地点的两单摆甲、乙的振动图像,下列说法中正确的是

(

)A.甲、乙两单摆的周期相等B.甲摆的振幅比乙摆大C.甲摆的机械能比乙摆大D.在t=0.5s时有正向最大加速度的是乙摆

解析由图像可看出两单摆的周期相等,都为2.0s,A正确;从题图上可看出甲摆振幅大,B对;因质量关系不明确,无法比较机械能,C项错误。t=0.5s时,乙摆球在负的最大位移处,故有正向最大加速度,D正确。

答案

ABD3-1如图所示,AC是一段半径为2m的光滑圆弧轨道,圆弧与水平面相切于

A点,BC=7cm。现将一个小球先后从曲面的顶端C和圆弧中点D由静止开

始释放,到达底端时的速度分别为v1和v2,所用的时间分别为t1和t2,则

(

)A.v1>v2,t1=t2

B.v1>v2,t1>t2C.v1<v2,t1=t2

D.v1=v2,t1=t2

答案

A

解析

小球两次沿光滑圆弧轨道下滑,其重力的切向分力提供回复力,又因弧长远远小于半径,即最大摆角小于10°,小球两次运动均可视为单摆的

简谐运动,摆长等于圆弧槽半径,所以有T=2π

,则t1=t2=

。球运动中只有重力做功,机械能守恒,mgh=

mv2,v=

,因为h1>h2,所以v1>v2,A项正确。应用图像分析机械振动的方法简谐运动图像能够反映简谐运动的运动规律,因此将简谐运动图像跟具体

的运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。思想方法典例一弹簧振子做简谐运动,周期为T

(

)A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移大小相等、方向相同,则Δt一定等于T的整数倍B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度大小相等、方向相反,则Δt一定等于T的整数倍C.若Δt=T,则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动的加速度一定相等D.若Δt=

,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长度一定相等

解析此题可应用振动图像来分析解答。如图甲所示,两虚线与图线的交点处对应的时刻的位移都相等,设t1、t2的

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