第1章条件概率,全概率公式(二)

第一章随机事件与概率（二）本章要点了解概率论中的一些基本概念:随机试验,样本点,样本空间.事件的关系和运算.了解概率的统计定义和古典概型.了解概率的公理化定义及相关性质,掌握古典概型中概率的计算方法.五、条件概率与事件的独立性1.条件概率引例某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的相同牌号的冰箱台,甲厂生产的台中有台次品.乙厂生产的台中有台是次品.今工商质检队随机地从库存的冰箱中抽检一台,那么抽检到的台是次品（记为事件）的概率有多大？转变为在事件发生的前提下（增加了一个附带条件）,由古典概率的计算,知若商店有意让质检队从甲厂生产的产品中抽检台,那么这台是次品的概率又是多少？容易得到,此时的概率为注意到这两个概率是不同的,想想为什么?从甲厂生产的产品中抽取台（记为事件）,则问题即在“抽到的产品是甲厂生产”的条件下,求事件发生注意到,的概率.如此概率称为条件概率,记为从而有关系:⑴下面就几何概率,验证上式的正确性.设样本空间是某个区域,每个样本点出现的可能性相同,则由几何概率的计算公式得:在事件发生的前提下（样本空间从缩小到）,事件发生的概率为由此得到定义给定一个随机试验,是相应的样本空间,对于任意两个事件其中称为在已知事件发生的条件下,事件的条件概率.可以验证,条件概率满足概率公理化定义中的条公理.例21某建筑物按设计要求使用寿命超过年的概率为超过年的概率为该建筑物使用寿命超过年后,它将在年内倒塌的概率有多大?解设事件表示“该建筑物使用寿命超过年”,事件表示“该建筑物使用寿命超过年”.由题意,得又因为故所求的条件概率为例22某袋中有红球6个,白球4个,取二次球,每次取一解记分别表示第一、第二次取红球的事件.由条注意到,此时且个.求在第一次取到红球的条件下,第二次也取到红球的概率（不放回）.件在第一次取红球的条件下第二次取红球的概率为:由⑴得设为事件,且由条件概率公式变形后有2.乘法公式⑵进一步地有设为事件,则⑶例23（机遇问题）解以表示第人摸到奖券这一事件,则由乘法公式得四个人摸到的概率.设有十人摸一张有奖的奖券,求第第四人摸到的事件为例23设袋中有个红球和个白球.每次随机地从袋的球,共取了次,试求次取到的都是红球的概率.解设事件表示第次取到的是红球,则中取球,然后把原球放进,再放进个与取出的球同色所以⑴独立的意义问题的引出:设是随机试验,是相应的样本空间,是两个事件.在前面的众多例子中,我们看到,在一般情况下,事件的发生都会对事件的发生产生影响,但某些情况下,事件的发生与的发生没有任何影响.用数学公式来反映的话即为:2.随机事件的独立性例24一袋中装有个4白球,2个黑球,从中有放回取两次,解以表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的又有条件概率公式每次取一个.求在第一次取到的是白球的条件下,第二次取到的也是白球的概率.也是白球,则有即:上式表明:事件的发生对事件的发生没有任何影响.再由条件概率公式:实际上,由于该问题是一个放回抽样问题,常识告诉我们,事件不应该对事件产生影响.由上式:和前式相比较,有为此,我们引入下面概念.定义设为事件,且满足则称事件是独立的.⑵独立性⑷定理如果件是则事件独立的充分必要条定理下列个命题是等价的:⑴事件与相互独立;⑵事件与相互独立;⑶事件与相互独立;⑷事件与相互独立.注意该定理的意义.定义设为事件组,且任取有则称是相互独立的.当时,事件组独立的含义是:当⑸成立,则称事件组是两两独立的.⑸⑹例25 某项工作交由三个人独立完成,设这三人完成的解设分别表示第一,第二,第三人完成该工再设事件表示工作被完成,则因又概率分别为求该项工作被完成的概率.作,则所以所以注意求解该类题的一般方法.例26已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为解事件“混合后的血清中含有肝炎病毒”等价于“100个且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的.今混合100个人的血清,试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”.设事件表则所求概率为:示“第个人的血清中含有肝炎病毒”,即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为0.33.此例说明,小概率事件在多次的重复试验中会有较大可能出现.3.独立性在可靠性问题中的应用可靠性问题是系统设计,产品质量控制中的一类重要问题.在以下讨论中,假设各元件是否能正常工作是相互独立的.解设表示各部件正常,靠度为因此系统的可靠度为例27设一个系统由个元件串联而成,第个元件的可试求这个串联系统的可靠度.表示系统正常,则系统正常等价于每个部件正常.这样的问题称为串联系统问题.例28设某台设备由六部件组成,已知该设备出故障解设表示各部件正常,表示设备正常,又每个部件都出故障.又,每个部件工作出故障的可能性为求设备正常工作的概率.则有该问题称为并联系统问题.例29设一个系统由个元件组成,其连接方式如图所示,试求这个混合系统的可靠度.解元件组成一个并联系统,相应的可靠度为该系统与元件组成一个串联系统,此时可靠度为最后与元件构成并联系统,故相应的可靠度为⑴贝努利试验目标是相互独立的.则称这个试验为贝努利试验,相应的数学模型称为贝努4.贝努利概型和二项概率甲、乙、丙名射手向同一目标射击,把每个射手的射击看做是一个试验,共有个试验.假定每个射手射中假定个试验的试验结果是相互独立的,便称这个试验相互独立.如果在次试验中,我们只关心某个事件是否发生,利概型.通常记则如果把贝努利试验独立地重复做次,这个试验合在一起称为重贝努利概型.设事件表示“重贝努利试验中事件恰好发生次”在指定的次试验中发生而其余的为的概率为:注意到,这样的指定方式总共有个,所以所求概率为又因为这样的概率仅和数有关,因而上式常常简记为通常又称上式为二项概率.⑺例30抛起一枚均匀的硬币次,试求恰出现次正面向上的概率.解此时由公式⑺得例31设某人开车回家,途经6个道口,已知在每个道口解此为的二项概率.由公式⑺得1.2.遇红灯的概率为0.4,求1.恰好遇到4个红灯的概率;2.至少遇到二个红灯的概率.例32某小区有10部电梯,每部电梯发生故障的概率为解此问题是的二项概率,以表示在0.2,求在同一时刻有三部电梯发生故障的概率.同一时刻电梯发生故障的台数,则问题为求概率由公式⑺得该问题可以进一步延伸为:某小区有200部电梯,每部电梯发生故障的概率为0.02,电梯发生故障时,物业管理部门需要派出一名维修工人进行修理.要保证电梯发生故障时,物业管理部门一定有维修工人可以派遣,则一个最可靠的方法是,为每一部电梯都安排一个维修人员.但实际上,没有一个物业管理部门会这样做.现在的问题是,如果我们要求以95%的把握保证当电梯发生故障时,物业部门有维修人员可以派遣,则应该聘用多少名维修人员？若以表示发生故障的电梯台数,表示聘用的维修人即要找到适当的使上式成立.若用公式⑺进行计算,员数,则问题为则问题是比较复杂的.在下一章中,我们寻找更好的方法来解决该问题.例33甲、乙两名选手进行比赛,已知甲的实力较强,每盘棋获胜的概率为假定每盘棋的胜负是相互独立的,在下列种情况下,试求甲最终获胜的概率.⑴采用三盘比赛制;⑵采用五盘比赛制;⑶采用九盘比赛制.解每盘比赛只有“甲胜”（记作）与甲负（记作）两种结果，此为一个贝努利概型.⑴⑵⑶1.完备事件组六、全概率公式和贝叶斯公式设为随机试验,为相应的样本空间,⑴⑵则称该事件组为完备事件组.为事件组,若满足是一个完备事件组.例34设而注完备事件组实质上是样本空间的一个划分.2.全概率公式与逆概率公式⑵贝叶斯公式⑴全概率公式定理设个事件构成样本空间的一个划分,是一个事件,当时,当时,⑻⑼公式⑼称为贝叶斯公式或逆概率公式不合格率分别为机地取了一台.⑴求该产品为不合格品的概率;⑵顾客开箱测试后发现冰箱不合格,但这台冰箱的厂标例35某商店有台相同型号的冰箱待售,其中台是甲厂生产的,台是乙厂生产的,台是丙厂生产的,一位顾客从这批冰箱中随已经脱落,试问这台冰箱是甲厂、乙厂、丙厂生产的概率各为多少?解以分别表示“顾客买到的冰箱是甲厂、乙厂、丙厂生产的”,由全概率公式⑻得:则是样本空间的一个划分,且⑴再设表示“买到的是不合格品”,则⑵由贝叶斯公式⑼:注意对一个较为复杂的由多种“原因”形成的概率问题,使用全概率公式是一个很好的选择.例36甲袋中有红球6个,白球3个,乙袋中有红球5个,白解以分别表示从甲袋及乙袋中取到的是红球,则由全概率公式⑻得球4个,今随机地从甲袋中取一球放入乙袋,再从乙袋中取一球,求从乙袋中取红球的概率.注意该概率的具体意义.例37设有三箱产品,其中甲箱有产品120件,次品率⑴随机取一箱,再取一件,取到的是次品;⑵开箱后混放,从中取一件,取到的是次品;乙箱有100件,次品率丙箱有200件,次品率求以下概率:⑶在第二种情况下,发现是次品,该产品是由乙厂生产的.解设表示从甲、乙、丙三箱中取产品,表⑴由于是随机取箱,所以示取到的是次品,则由全概率公式⑻又⑵由于第二个问题是开箱后混放产品,故取到各箱产品的概率就不同了,此时产品总数为420件,所以再由全概率公式得⑶因由贝叶斯公式⑼例37一批产品中,由甲、乙、丙三厂共同生产的,其中解以分别表示从甲、乙、丙三厂取产品,则又设表示取到的是次品,则甲厂的产品占次品率为乙厂的产品占次品率为丙厂的产品占次品率今随机地抽取一产品,已知取到的是次品,则该产品是由乙厂生产的概率是多少?及由全概率公式,得再由公式⑼得例38某架飞机有可能飞过三城市上空,飞过甲地的概解设表示飞机飞过甲、乙、丙三城市的上空,率为0.2;飞过乙地的概率为0.5;飞过丙地的概率为0.3;当飞机飞过城市,有可能被击落,击落的概率分别为现已知飞机被击落,问飞机在哪个城市上空被击落的可能性最大？表示飞机被击落,则由已知条件得:及则由全概率公式得,再由贝叶斯公式⑼得:所以,在乙城市上空被击落的可能性最大.例39三人独立向一飞机射击,命中率分别为解设分别表示第一、二、三人击中飞机,则又设表示有一人击中飞机,则已知飞机被一人击中而被击落的概率为0.4,如果被二人击中,被击落的概率为0.7,三人击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.上式中的事件是两两互不相容的,因而有设表示飞机被击落,则由已知条件得及和最后设表示有三人同理,设表示有二人击中飞机,则有击中飞机,则有及由全概率公式得例40（桥式系统）设一个系统由个元件组成,连接方式如下图.每个元件的可靠度都是每个元件是否正常工作是相互独立的,试求这个桥式系统的可靠度.当元件正常时,系统相当于下图所示一个混联系统:解记表示元件处于正常工作,表示系统正常.因而可靠度为若不发生时,系统如下图所示的混联系统:因而可靠度为由全概率公式得七、部分作业解答1.2化简下列各式⑴⑵解⑴⑶⑵⑶1.3某建筑物倒塌（记为事件）的原因有以下三个:1.地震（记为事件）；2.台风（记为事件）;3.暴雨（记为事件）.已知台风时必有暴雨,试用简明的形式表达下列事件解1.6已知件产品中有是不合格品,今从中随机地抽件,试求:⑴产品中恰有不合格品的概率;⑵产品中至少有一件不合格的概率.解⑴以表示取到的件产品中恰有件是次品,则取法总数为而取到的产品中恰有件是次品的取法数为因而所求的概率为⑵以表示取到的产品中至少有一件是次品,则表示取到的产品都是正品.所以所求概率为所求概率为:中取,相应的取法数是1.7一个口袋里装了球,编号分别是今随机地从袋取只球,试求:⑴最小号码是的概率;⑵最大号码是的概率.解⑴以表示取到的最小号码是此意味着另外球从⑵记事件表示“最大号码是”，则同样地有1.11设是两个事件,已知试求解因所以1.12设是个事件,已知试求中至少有个发生的概率和全不发生的概率.解1.14一盒子中装有只晶体管,其中有只是不合格品.现在做不放回抽样,连接取次,每次随机地取只,试求下面事件的概率:⑴只都是合格品;⑵只是合格品,是不合格品;⑶至少有只是合格品.解连续两次取产品的所有可能的取法总数是⑴以表示取到的都是合格品,则取法总数是所以⑵以表示取到的产品中有一个是合格品,则取法数为所以⑶以表示取到的产品中至少有一个是合格品,则表示取到的产品中全部是不合格品.因而所以1.15一商店出售晶体管,每盒装只.已知每盒中有只为不合格品.商店采用“缺一赔十”的销售方式.顾客买一盒晶体管,如果随机地取只,发现是不合格品,商店要立刻把只合格的晶体管放入盒中.不合格的那只晶体管就不再放回.顾客在一只盒子中随机地先后取只晶体管进行测试,试求他发现全是不合格品的概率.解以表示第次取到的是不合格品,则由已知条件得:由乘法公式得1.16设是两个相互独立事件,已知求解由独立性由此得1.18设一名情报员能破译一份密码的概率是试问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概率大于解设总共使用名情报员破译密码.则密码被破译的概率为又由已知条件即所以要使用名情报员.1.20有个元件,每个元件的可靠度都是试求下列系统的可靠度:⑴每个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并连;⑵每两个元件并联成一个子系统,再把这个子系统串连.解⑴个元件串联之后的可靠度为:所以两个子系统并联之后的可靠度为⑵两个元件并联后构成的子系统的可靠度为因而个这样的子系统串联后所形成的系统的可靠度为1.22名篮球运动员独立地投篮,每个运动员投篮的命中率都是他们各投篮一次,试求:⑴恰有次投中的概率;⑵至少有次投中的概率;⑶至多有次投中的概率;解该问题是一个的二项概率.⑴⑵所以⑶1.24某厂生产的钢琴中有可以直接出厂,剩下的经调试后,其中