流体力学 第1章

流体力学李忠贤E-mail:lizhongxian@南京信息工程大学大气科学学院2流体力学是研究流体（宏观）运动规律，以及流体与固体之间相互作用等方面的一门学科。水－－液体空气－－气体流体地球物理流体海洋大气自然界的物质,按照其凝聚态（或分子平均间距）的不同，可以分为固体、液体和气体，液体和气体统称为流体。第1章流体力学的基础概念3(1)流动性流体的抗拉强度很小，只有在适当的约束下才能承受压力；处于静止状态的流体不能承受任何剪切力作用，即在不论怎样小的剪切力作用下，流体将发生连续不断的变形，直到剪切力消失时，流体的变形才会停止。流体的这一特性称之为流动性。1.1流体的主要物理性质第1节流体的物理性质和宏观模型4(2)黏性处于相对运动状态流体对剪切形变的阻碍的度量。当流体层之间存在相对运动时，流体就会反抗这种相对运动，使流体渐渐失去相对运动；这种阻碍流体相对运动的特性，称为黏性。1.1流体的主要物理性质第1节流体的物理性质和宏观模型5(3)压缩性流体体积在外力作用下可以改变的特性。液体的压缩性一般情况下很小，可略去不计，可视为不可压缩流体。例如，水在温度不变条件下，每增加一个大气压，体积减少率为0.005%。但在压力变化很大或很突然时，则液体的压缩性必须考虑。气体的压缩性一般较大，一般不能当做不可压缩流体处理。例如，空气在温度不变条件下，当压力由1个标准大气压增加到1.1个标准大气压时，体积减小率为0.1。真实流体都是可压缩的，不可压缩流体是一种抽象的理论模型，是对流场中体积（密度）变化较小的实际流体的一种近似。1.1流体的主要物理性质第1节流体的物理性质和宏观模型6

在普通物理的质点力学中，通常把实际物体抽象概括为“质点”这样一个理论模型，较简便地研究物体的运动规律。

流体力学中也需要把实际流体抽象概括为一个宏观理论模型，再来讨论它的运动规律。这里理论模型不是质点力学中的“质点”，而是下文所介绍的连续介质。

7实际流体是由无数流体分子（2.7X1019/cm3）构成的不连续的离散系。若以单个分子为研究对象，由于其运动的随机性，相应的物理量（如分子速度）随时间作随机变化，同时由于分子间存在间距，则物理量（如分子速度）在空间上存在不连续性。因而将流体视为分子构成的粒子系求解流体运动方程是不可能的。1.2流体的连续介质假设日常生活中所指的流体运动，属于经典力学范畴的宏观运动，它并不要求涉及分子运动和分子的微观结构。连续介质假设：把离散分子构成的实际流体抽象为由无数流体质点没有空隙的连续分布而构成的连续介质这样一种理想的物理模型。使用这一模型可以简化流体运动的数学分析，描述流体物理性质的各种物理量均视为时间和空间的连续函数，可直接应用牛顿定律及相应的数学工具（如，微积分）。89流体质点，是宏观质点，每一个质点均包含大量分子，流体质点所具有的宏观物理性质是所含分子相应物理性质的统计平均。在微观上足够大，以保证流体质点中包含足够多的分子，对它们进行统计平均能取得稳定的宏观量值，不会因少量分子出入流体质点而影响该宏观量值；同时，又要求宏观上充分地小，要求流体质点的线尺度和流动范围相比要充分地小，以致可以把流体质点近似地看成在几何没有维度的点。流体质点10例如，在通常条件下，1cm3的空气中含有2.7x1019个分子。因此，取10-3cm为边长的立方体作为流体质点，它对于一般流动规模已是充分地小，可当作一点（宏观上充分小），而它还含有2.7x1010个分子，可认为它在微观上充分大，足够具有确定的统计平均效应。对于大多数情况的流体，一般均可以当做连续介质来考虑，但对稀薄气体运动或空气动力学中的激波区则流体连续介质模型不能使用。在50km左右（平流层顶以下）的高空大气，仍然可以作为连续介质。本课程仅讨论连续介质模型适用的情况。1112(1)拉格郎日(Lagrange)方法（随体观点）该方法观察流体运动的出发点是设法描述每一个流体质点自始至终的运动过程，即它们的位置随时间变化的规律。第2节 流体的速度和加速度2.1描写流体运动的两种方法13考虑确定的参考系，取流体质点的位置矢径为，且可以表示为：Oxyz笛卡尔坐标系如果x,y,z在流体域内连续取值，则上式就描述了流体域所有流体质点的位置。14假定某一流体质点的初始时刻位置位于点：则该流体质点不同时刻的位置矢径为，可以表示为：分量形式：变量x,y,z为Lagrange变量。15Lagrange观点下有： 据速度的定义，求位置矢量随时间的变化率，即：Lagrange观点下流体运动的速度16例1-2-1已知Lagrange变量，求流体运动的速度。17(2)欧拉(Euler)方法（场的观点）该方法观察流体运动的出发点是设法描述任意瞬时流体质点的物理量(例如，温度、压强、速度矢量等)在空间场的分布。18

流体运动的流速矢量是空间和时间的函数:分量形式：Euler观点下流体运动的速度场19分量形式：上式通常称为流速场或流场。Euler观点下流体运动的速度场变量u,v,w为Euler变量。20若某时刻流场不随空间变化-----------均匀流场；反之，为非均匀流场；若流场不随时间变化-----------定常（稳定）流场；反之，为非定常（不稳定）场。几个与流场有关的基本概念Euler观点下流体运动的速度场21例1-2-2已知Lagrange变量，其中均为常数,且，求流体运动的加速度。2.2流体运动的加速度加速度是指流体质点的速度矢量随时间的变化率，即：22已知Euler变量，求流体运动的加速度场例如流体速度场如下：Euler观点下的流体运动的加速度场23求解Euler观点下的流体运动的加速度场24引入那勃勒算子25定义微商算符：上式适用于任意物理量，包括如力、速度、位移等矢量，以及如温度、气压等标量。26物理意义？27微商算符的常用形式：①②③普通情况下：

物理量的局地变化由两部分组成，个别变化和平流变化。28流体运动加速度场产生的原因流体运动加速度场产生的原因：流场的非定常性和非均匀性。定常流场均匀流场29例题1-2-3已知流体运动的速度场如下，分别求流体运动的加速度场；并说明各种情况下产生加速度的原因。（a为常数）；（m、n为常数）；

①②③30例题1-2-4已知流体运动的速度场，求流体运动的加速度场。31第3节迹线和流线流体运动的物理图象？直观和形象地描述流体的运动情况迹线和流线的概念引入323.1迹线用拉格朗日方法描述流体的流动时，流体质点在流动过程中所形成的轨迹，称为流体质点的迹线。每个流体质点都具有自己的迹线。同一空间点，在不同瞬时，可能为不同的流体质点所占据，因此，不同流体质点的迹线在空间相互间是可能相交的。33参数方程迹线消去参数t迹线-----拉格郎日(Lagrange)变量密切相关34例1-3-1假设流体运动的Lagrange变量为：解：消去参数t，即可得迹线方程：

求迹线方程？35为了用几何的方法来表示流动流体的速度场，在某一瞬时t，可以在流动流体所占据的空间中画出一系列曲线，使得曲线上的每一点的切线方向正好与该时刻该处的流速方向相同，这样的曲线，称为该瞬时的流线。3.2流线362015年1月1日00时的流线。2015年2月1日00时的流线。37同一瞬时，每个空间点上均只可能有一个流体速度矢量，因此，除非在速度等于零或等于无穷大这两种特殊情况下，同一瞬时的流线在空间是不可能相交的。非定常流场的局地速度是随时在变化的，因此，其流线是随时变化的空间曲线。38式中x、y、z、t为四个相互独立的变量，积分时将t作常数处理。积分流线设为流线的线元矢量：流线的求解39例1-3-2已知流体运动的速度场如下：求出t=0时刻，过点M（1,1）的流线方程。40下列有关流线的描述正确吗？定常流场流线不随时间变化流线不随时间变化定常流场41定常流动即流体质点经过某固定空间位置时流速是相同的，其流线是一些不随时变化的空间曲线，而且其每条流线上的所有流体质点的迹线均和这条流线相重合。42例1-3-3流体运动的速度场由Euler变量表示为：

其中k为常数：（1）求流线方程；（2）请问同一地点不同时刻流速是否相同？同一流体质点不同时刻的流速是否相同？

(3)求出t=0时刻，过点（a，b，c）的迹线方程。43第4节速度分解刚体运动的速度构成：经典力学中，刚体运动的速度刚体上任一质点A的速度VA可以分为随同刚体上任意一点M0的平动VM0和绕M0的相对转动线速度。有平动和转动速度44流动性和压缩性等形变流体运动的速度构成平动、转动亥姆霍兹速度分解定理：流体运动的速度可分解为平动速度、转动线速度和形变线速度三部分。45选择参考点及邻近一点某瞬时t，以位于流动流体中的任意一个空间点M0处的流体质点为基点，对流体微团内的任意一个与M0点的相对失径为处的流体质点M的流动速度进行速度分解。46某瞬时t4748定义:49y方向作类似处理：50z方向作类似处理：51亥姆霍兹速度分解定理：流体运动的速度可分解为平动速度、转动线速度和形变线速度三部分。52形变张量矩阵53流体转动的角速度54刚体运动：转动是作为一个整体来进行的；

流体运动：流体的转动角速度是一个局地量，流体域内各点可以以不同的角速度转动。

55例1-4-1已知流场：其中m为常数，计算坐标原点O附近点的转动线速度和形变线速度。O56第5节涡度、散度和形变率引进其他的物理量，表征流体质点在运动过程中的各种特征。流体质点运动位置变化形状大小变化流体质点自身可以旋转。575.1涡度定义涡度矢为矢量微商符和速度矢的矢性积，即：①涡度的定义58表示流体沿闭合曲线流动趋势的程度。②涡度的物理意义首先引入速度环流的概念在流体中取任一闭合曲线,

沿闭合曲线对该曲线上的每一点的流速分量求和：59应用斯托克斯（Stokes）公式，线积分曲面积分：60当闭合曲线l向内无限收缩（闭合曲线所围面积趋向零）涡度是度量流体旋转程度的物理量。表示流体沿闭合曲线流动趋势的程度。61③涡度与流体旋转角速度的关系例1-5-1流体质点在xoy平面上围绕oz轴作逆时针圆周运动（假设旋转角速度大小为a），其流速与流体质点到oz轴的距离成正比，试求流体的涡度场。

62④与涡度有关的几个问题：A直线有旋运动B无旋圆周运动C有旋圆周运动63例1-5-2已知流体运动的速度场为，求流体运动的涡度。

645.2散度定义散度为矢量微商符和速度矢的数性积，即：①散度的定义65为了说明散度的概念及意义，引入流体通量F②散度的物理意义σ为流体中的任一封闭曲面上式表示单位时间内经整个闭合曲面的流体体积通量66流体散度即为单位体积的流体通量。当曲面面元向内无限收缩时，即体积元趋于零：应用奥—高公式，将以上曲面积分转化为体积分，则有：Ostrovski-Gaussformula67流体净流出源(辐散)

流体净流入汇(辐合)场的观点若流体中的任一封闭曲面为几何面时：散度的物理意义（一）：68封闭曲面向外膨胀

封闭曲面向内收缩流体中的任一封闭曲面为流体质点组成的物质面时：体现了流体体积的变化。散度的物理意义（二）：69例1-5-3已知流体二维速度场为，分别计算涡度和散度。70①法形变率法形变率（线形变率）：即单位长度的速度变化率（单位长度单