流体力学434相似定理

第三节相似原理原型(Prototype)：天然水流和实际建筑物称为原型。模型(Model)：通常把原型（工程实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。水力学模型试验的目的：利用模型水流来模拟和研究原型水流问题。关键问题：使模型水流和原型水流保持流动相似。

相似原理就是研究相似现象之间的联系的理论，是模型试验的理论基础,为对流动现象进行理论分析的一个重要手段。

一、比尺1、比尺λ：原型和模型对应的物理量之比比尺的数目与物理量的个数相同2、基本比尺：对应基本量纲，互相独立的基本物理量的原型和模型的比值，对于力学

λl=lp/lmλt=tp/tmλF=Fp/Fm3、导出比尺：由基本比尺以指数形式的乘积组成的比尺

λv、λQ、λa……二、流动相似若两个流动的对应点上的同名物理量（如速度、压强及各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。模型和原型保证流动相似，应满足：

几何相似

运动相似

动力相似

初始条件和边界条件相似1.几何相似（geometricsimilarity）

指原型和模型两个流场的几何形状相似，即对应的线段长度成比例、夹角相等。

以脚标p表示原型、m表示模型，则有长度比尺面积比尺

体积比尺2.运动相似（kinematicsimilarity）

指原型和模型流体运动的速度场相似，即两流场各相应点（包括边界上各点）的速度u及加速度a方向相同，且大小具有同一比值。速度比尺

加速度比尺

3.动力相似（dynamicsimilarity）

指原型和模型流动相应点处质点受同名力作用，力的方向相同，大小成比例。

分别以符号T、G、P、Tw和I代表影响流体运动的作用力，如粘滞力、重力、压力、表面张力和惯性力，则有力的比尺达朗贝尔原理：对于运动的质点，设想加上该质点的惯性力，则惯性力与质点所受作用力平衡，形式上构成封闭力多边形。动力相似可表述为响应点上的力多边形相似，相应力（同名力）成比例。4.初始条件和边界条件相似#边界条件相似指两个流动相应边界性质相同，如原型中有固体壁面，模型中相应部分也是固体壁面；原型中的自由液面，模型相应部分也是自由液面。

#对于非恒定流动，还要满足初始条件相似；而对于恒定流动，无需初始条件相似。流动相似的进一步解释：边界条件和初始条件相似以及几何相似是流动相似的前提与依据；动力相似是决定流体运动相似的主导因素；运动相似是几何相似和动力相似的最终表现，是流动相似的目标；

凡流动相似的原型与模型流动，必然同时满足几何相似、动力相似和运动相似。三、相似准则

相似准则：要使两个流动动力相似，前面定义的各项比尺须符合一定的约束关系，这种约束关系称为相似准则。

动力相似准则：在两相似的流动中，各种力之间保持某种固定不变的比例关系。1、雷诺准则Re（粘滞力）考虑原型与模型之间粘滞力与惯性力的关系

无量纲数Re称雷诺数（Reynoldsnumber）

雷诺数表示惯性力与粘滞力之比。两相似流动，粘滞力起主要作用时，雷诺数相等。适用范围：水流阻力即粘滞力起主要作用的流体流动，如层流状态下的管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。2.弗劳德准则

Fr（重力）考虑原型与模型之间重力与惯性力的关系弗劳德数（Froudenumber）表征惯性力与重力之比。两相似流动，重力起主要作用时，弗劳德数相等。适用范围：凡有自由水面并且允许水面上下自由变动的各种流动（重力起主要作用的流动），如堰坝溢流、孔口出流、明槽流动、紊流阻力平方区的有压管流与隧洞流动等。

3.欧拉准则

Eu（压力）考虑原型与模型之间压力与惯性力的关系

欧拉数（Eulernumber）表征压力与惯性力之比。两相似流动，压力起主要作用时，欧拉数相等。由于压力通常是待求量，这样只要粘滞力、重力相似，压力将自行相似。换言之，当雷诺准则、弗劳德准则成立，欧拉准则可自行成立。4.韦伯准则

We（表面张力）当流动受表面张力影响时Tw=σl

I=ρl2v2Wep=Wem

韦伯数表征惯性力与表面张力之比，两流动相应的韦伯数相等，则表面张力相似Webernumber.5.马赫准则

Ma（表面张力）Machnumber

在高速气流中，存在着弹性力和惯性力的关系FE=El2

E=ρa2Map=Mam

马赫数表征惯性力与弹性力的关系，两流动相应的马赫数相等，则弹性力相似。I=ρl2v2FE=ρl2a2第四节模型实验

建立与原型相似的小尺度模型进行实验研究，并以模型实验的结果预测原型将会发生的流动现象及规律。一、模型律的选择

为了使模型和原型流动完全相似，除要几何相似外，各独立的相似准则应同时满足。但实际上要同时满足各准则很困难，甚至是不可能的。原型与模型流动雷诺数相等的这个相似条件，称为雷诺模型律。原型与模型流动弗劳德数相等的这个相似条件，称为弗劳德模型律。

1、雷诺模型律通常采用同一种流体作实验按雷诺准则(Re)p=(Re)m

2、弗劳德模型律按弗劳德准则(Fr)p=(Fr)m

通常实验在地球表面进行，各地g=c模型实验想做到与原型完全流动相似是困难的，一般只能达到近似相似，就是保证对流动起主要作用的力相似，这就是模型律的选择问题。实际模型试验中，根据流动的特点，抓住主要矛盾。在几何相似的基础上，只满足雷诺模型律，或者只满足弗劳德模型律，或者两者都不满足（处于自模区，只需满足几何相似），即可近似认为流动相似，在主要方面满足试验要求。若要同时满足Re、Fr准则若要同时考虑Re、Fr准则,并涉及所有量λg≠1

转轮实验、微重力实验λg=1

二、模型设计

步骤：1、通常是先根据实验场地，模型制做和量测条件定出长度比尺λl；再以选定的比尺缩小原型的几何尺寸，得出模型区的几何边界；2、根据对流动受力情况分析，满足对流动起主要作用的力相似，抓住主要矛盾选择模型律；3、最后按所选用的相似准则，确定流速比尺λv及模型的流量。

例题：书P84例：为研究输油管道水力特征，用水管作模型实验。已知油管直径dp=600mm，νp=40×10-6m2/s，输油量Qp=90l/s，水管dm=50mm，νm=1.31×10-6m2/s，求输水量Qm=?解：本实验应满足Re准则（有压管流）法一

(Re)p=(Re)m

法二2、举例说明由重力、粘滞力起主要作用的水流。粘滞力：层流状态下的、管道、隧洞中的有压流动和潜体绕流问题等。重力：堰坝溢流、孔口出流及明槽流动及处于阻力平方区的有压隧洞等。

作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律流动的变化就是惯性力与其他上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。1、为什么每个相似准则都要表征惯性力？3、原型和模型能否同时满足重力相