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长风破浪会有时,直挂云帆济沧海。住在富人区的她2023年山西工程职业学院高职单招(数学)试题库含答案解析(图片大小可自由调整)全文为Word可编辑,若为PDF皆为盗版,请谨慎购买!第1卷一.综合题(共50题)1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是()
A.至少有1个白球;都是白球
B.至少有1个白球;至少有1个红球
C.恰有1个白球;恰有2个白球
D.至少有一个白球;都是红球答案:C2.如图,弯曲的河流是近似的抛物线C,公路l恰好是C的准线,C上的点O到l的距离最近,且为0.4千米,城镇P位于点O的北偏东30°处,|OP|=10千米,现要在河岸边的某处修建一座码头,并修建两条公路,一条连接城镇,一条垂直连接公路l,以便建立水陆交通网.
(1)建立适当的坐标系,求抛物线C的方程;
(2)为了降低修路成本,必须使修建的两条公路总长最小,请给出修建方案(作出图形,在图中标出此时码头Q的位置),并求公路总长的最小值(精确到0.001千米)答案:(1)过点O作准线的垂线,垂足为A,以OA所在直线为x轴,OA的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系…(2分)由题意得,p2=0.4…(4分)所以,抛物线C:y2=1.6x…(6分)(2)设抛物线C的焦点为F由题意得,P(5,53)…(8分)根据抛物线的定义知,公路总长=|QF|+|QP|≥|PF|≈9.806…(12分)当Q为线段PF与抛物线C的交点时,公路总长最小,最小值为9.806千米…(16分)3.先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.
(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率;
(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.答案:(1)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.∵直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是5a2+b2=1即:a2+b2=25,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5;或a=4,b=3,c=5两种情况.∴直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的概率是236=118(2)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.∵三角形的一边长为5∴当a=1时,b=5,(1,5,5)1种当a=2时,b=5,(2,5,5)1种当a=3时,b=3,5,(3,3,5),(3,5,5)2种当a=4时,b=4,5,(4,4,5),(4,5,5)2种当a=5时,b=1,2,3,4,5,6,(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5)6种当a=6时,b=5,6,(6,5,5),(6,6,5)2种故满足条件的不同情况共有14种故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为1436=718.4.关于x的方程(m+3)x2-4mx+2m-1=0的两根异号,且负数根的绝对值比正数根大,那么实数m的取值范围是()
A.-3<m<0
B.0<m<3
C.m<-3或m>0
D.m<0或m>3答案:A5.参数方程,(θ为参数)表示的曲线是()
A.直线
B.圆
C.椭圆
D.抛物线答案:C6.经过抛物线y2=2x的焦点且平行于直线3x-2y+5=0的直线的方程是()
A.6x-4y-3=0
B.3x-2y-3=0
C.2x+3y-2=0
D.2x+3y-1=0答案:A7.方程|x|-1=2y-y2表示的曲线为()A.两个半圆B.一个圆C.半个圆D.两个圆答案:两边平方整理得:(|x|-1)2=2y-y2,化简得(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|-1≥0得x≥1或x≤-1,当x≥1时,方程为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆;当x≤1时,方程为(x+1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(-1,1)且半径为1的圆的右半圆综上所述,得方程|x|-1=2y-y2表示的曲线为为两个半圆故选:A8.已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是()
A.2
B.6
C.4
D.12答案:C9.已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是:x=22t+1y=22t,求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长.答案:曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0,即(x-2)2+y2=4直线l的参数方程x=22t+1y=22t,化为普通方程为x-y-1=0,曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为12=22所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24-12=14.10.已知定点A(12.0),M为曲线x=6+2cosθy=2sinθ上的动点,若AP=2AM,试求动点P的轨迹C的方程.答案:设M(6+2cosθ,2sinθ),动点(x,y)由AP=2AM,即M为线段AP的中点故6+2cosθ=x+122,2sinθ=y+02即x=4cosθy=4sinθ即x2+y2=16∴动点P的轨迹C的方程为x2+y2=1611.根据下面的要求,求满足1+2+3+…+n>500的最小的自然数n.
(1)画出执行该问题的程序框图;
(2)以下是解决该问题的一个程序,但有2处错误,请找出错误并予以更正.答案:(12分)(1)程序框图如图:(两者选其一即可,不唯一)(2)①直到型循环结构是直到满足条件退出循环,While错误,应改成LOOP
UNTIL;②根据循环次数可知输出n+1
应改为输出n;12.(几何证明选讲选做题)如图,梯形,,是对角线和的交点,,则
。
答案:1:6解析:,
,,∵,,而∴。13.口袋中有5只球,编号为1,2,3,4,5,从中任取3球,以ξ表示取出的球的最大号码,则Eξ的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5答案:由题意,ξ的取值可以是3,4,5ξ=3时,概率是1C35=110ξ=4时,概率是C23C35=310(最大的是4其它两个从1、2、3里面随机取)ξ=5时,概率是C24C35=610(最大的是5,其它两个从1、2、3、4里面随机取)∴期望Eξ=3×110+4×310+5×610=4.5故选B.14.已知函数f(x)满足:x≥4,则f(x)=(12)x;当x<4时f(x)=f(x+1),则f(2+log23)═______.答案:∵2+log23<4,∴f(2+log23)=f(3+log23)=f(log224)=(12)log224=124故应填12415.已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.
(1)圆C的圆心到直线l的距离为______;
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为______.答案:(1)由题意知圆x2+y2=12的圆心是(0,0),圆心到直线的距离是d=2532+42=5,(2)由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点,对应的圆上整个圆周的弧长,满足条件的事件是到直线l的距离小于2,过圆心做一条直线交直线l与一点,根据上一问可知圆心到直线的距离是5,在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线,根据弦心距,半径,弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°根据几何概型的概率公式得到P=60°360°=16故为:5;1616.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()
①y=sin
x(x∈R
)是三角函数;②三角函数是周期函数;
③y=sin
x(x∈R
)是周期函数.
A.①②③
B.②①③
C.②③①
D.③②①答案:B17.设和为不共线的向量,若2-3与k+6(k∈R)共线,则k的值为()
A.k=4
B.k=-4
C.k=-9
D.k=9答案:B18.(难线性运算、坐标运算)已知0<x<1,0<y<1,求M=x2+y2+x2+(1-y)2+(1-x)2+y2+(1-x)2+(1-y)2的最小值.答案:设A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),P(x,y),则M=|PA|+|PD|+|PB|+|PC|=(|PA|+|PC|)+(|PB|+|PD|)=(|AP|+|PC|)+(|BP|+|PD|)≥|AP+PC|+|BP+PD|=|AC|+|BD|.而AC=(1,1),BD=(-1,1),得|AC|+|BD|=2+2=22.∴M≥22,当AP与PC同向,BP与PD同向时取等号,设PC=λAP,PD=μBP,则1-x=λx,1-y=λy,-x=μx-μ,1-y=μy,解得λ=μ=1,x=y=12.所以,当x=y=12时,M的最小值为22.19.等于()
A.a16
B.a8
C.a4
D.a2答案:C20.△ABC中,若有一个内角不小于120°,求证:最长边与最短边之比不小于3.答案:设最大角为∠A,最小角为∠C,则最大边为a,最小边为c因为A≥120°,所以B+C≤60°,且C≤B,所以2C≤B+C≤60°,C≤30°.所以ac=sinAsinC=sin(B+C)sinC≥sin2CsinC=2cosC≥3.21.(选做题)已知x+2y=1,则x2+y2的最小值是______.答案:x2+y2表示(0,0)到x+2y=1上点的距离的平方∴x2+y2的最小值是(0,0)到x+2y=1的距离d的平方据点到直线的距离公式得d=11+4=15∴x2+y2的最小值是15故为1522.给定两个长度为1且互相垂直的平面向量OA和OB,点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=2xOA+yOB,其中x,y∈R,则x+y的最大值是______.答案:由题意|OC|=1,即4x2+y2=1,令x=12cosθ,y=sinθ则x+y=12cosθ+sinθ=(12)2+1sin(θ+φ)≤52故x+y的最大值是52故为:5223.x=5
y=6
x+y=11
END
上面程序运行时输出的结果是()
A.x+y=11
B.11
C.x+y
D.出错信息答案:B24.已知中心在原点,对称轴为坐标轴,长半轴长与短半轴长的和为92,离心率为35的椭圆的标准方程为______.答案:由题意可得a+b=92e=ca=35a2=b2+c2,解得a2=50b2=32.∴椭圆的标准方程为x250+y232=1或y250+x232=1.故为x250+y232=1或y250+x232=1.25.2005年10月,我国载人航天飞船“神六”飞行获得圆满成功.已知“神六”飞船变轨前的运行轨道是一个以地心为焦点的椭圆,飞船近地点、远地点离地面的距离分别为200公里、250公里.设地球半径为R公里,则此时飞船轨道的离心率为______.(结果用R的式子表示)答案:(I)设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1由题设条件得:a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=R+200,a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=R+250,解得a=225+R,c=25则此时飞船轨道的离心率为25225+R故为:25225+R.26.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为______.答案:由题意可得点OA=OB=2,AC=5设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1.则2a=AC-BC=5-3=2,所以a=1.所以b2=c2-a2=4-1=3.所以双曲线的标准方程是x2-y23=1.故为:x2-y23=127.已知直线l过点P(2,1)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为______.答案:设A(a,0)、B(0,b),a>0,b>0,AB方程为xa+
yb=1,点P(2,1)代入得2a+1b=1≥22ab,∴ab≥8
(当且仅当a=4,b=2时,等号成立),故三角形OAB面积S=12
ab≥4,故为4.28.已知复数z满足(1-i)•z=1,则z=______.答案:∵复数z满足(1-i)•z=1,∴z=11-i=1+i(1-i)(1+i)=12+12i,故为12+i2.29.已知=(-3,2,5),=(1,x,-1),且=2,则x的值为()
A.3
B.4
C.5
D.6答案:C30.下面四个结论:
①偶函数的图象一定与y轴相交;
②奇函数的图象一定通过原点;
③偶函数的图象关于y轴对称;
④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R),
其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:偶函数的图象关于y轴对称,但不一定与y轴相交,因此①错误,③正确;奇函数的图象关于原点对称,但不一定经过原点,只有在原点处有定义才通过原点,因此②错误;若y=f(x)既是奇函数,又是偶函数,由定义可得f(x)=0,但不一定x∈R,只要定义域关于原点对称即可,因此④错误.故选A.31.如图,以1×3方格纸中的格点为起点和终点的所有向量中,有多少种大小不同的模?有多少种不同的方向?
答案:模为1的向量;模为2的向量;模为3的向量;模为2的向量;模为5的向量;模为10的向量共有6个模,进而分析方向,正方形的边对应的向量共有四个方向,边长为1的正方形的对角线对应的向量共四个方向;1×2的矩形的对角线对应的向量共四个方向;1×3的矩形对角线对应的向量共有四个方向共有16个方向32.某商场举行购物抽奖促销活动,规定每位顾客从装有编号为0,1,2,3四个相同小球的抽奖箱中,每次取出一球记下编号后放回,连续取两次,若取出的两个小球号码相加之和等于6则中一等奖,等于5中二等奖,等于4或3中三等奖.
(1)求中三等奖的概率;
(2)求中奖的概率.答案:(1)设“中三等奖”为事件A,“中奖”为事件B,从四个小球中有放回的取两个共有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1)(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)16种不同的结果两个小球号码相加之和等于4的取法有3种:(1,3),(2,2),(3,1)两个小球号相加之和等于3的取法有4种:(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)由互斥事件的加法公式得:P(A)=316+416=716,即中三等奖的概率为716;(2)两个小球号码相加之和等于3的取法有4种;(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)两个小球相加之和等于4的取法有3种;(1,3),(2,2),(3,1)两个小球号码相加之和等于5的取法有2种:(2,3),(3,2)两个小球号码相加之和等于6的取法有1种:(3,3)由互斥事件的加法公式得:P(B)=116+216+316+416=58.即中奖的概率为:58.33.若事件与相互独立,且,则的值等于A.B.C.D.答案:B解析:事件“”表示的意义是事件与同时发生,因为二者相互独立,根据相互独立事件同时发生的概率公式得:.34.每一吨铸铁成本y
(元)与铸件废品率x%建立的回归方程y=56+8x,下列说法正确的是()A.废品率每增加1%,成本每吨增加64元B.废品率每增加1%,成本每吨增加8%C.废品率每增加1%,成本每吨增加8元D.如果废品率增加1%,则每吨成本为56元答案:∵回归方程y=56+8x,∴当x增加一个单位时,对应的y要增加8个单位,这里是平均增加8个单位,故选C.35.将一个总体分为A、B、C三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为180的样本,则应从C中抽取样本的个数为______个.答案:由分层抽样的定义可得应从B中抽取的个体数为180×25+3+2=36,故为:36.36.在某电视歌曲大奖赛中,最有六位选手争夺一个特别奖,观众A,B,C,D猜测如下:A说:获奖的不是1号就是2号;A说:获奖的不可能是3号;C说:4号、5号、6号都不可能获奖;D说:获奖的是4号、5号、6号中的一个.比赛结果表明,四个人中恰好有一个人猜对,则猜对者一定是观众
获特别奖的是
号选手.答案:C,3.解析:推理如下:因为只有一人猜对,而C与D互相否定,故C、D中一人猜对。假设D对,则推出B也对,与题设矛盾,故D猜错,所以猜对者一定是C;于是B一定猜错,故获奖者是3号选手(此时A错).37.半径为R的球内接一个正方体,则该正方体的体积为()A.22RB.4π3R3C.893R3D.193R3答案:∵半径为R的球内接一个正方体,设正方体棱长为a,正方体的对角线过球心,可得正方体对角线长为:a2+a2+a2=2R,可得a=2R3,∴正方体的体积为a3=(2R3)3=83R39,故选C;38.某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则
即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率.
(注:本小题结果可用分数表示)答案:(1)该选手进入第四轮才被淘汰的概率.(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率.解析:(Ⅰ)记“该选手能正确回答第轮的问题”的事件为,则,,,,该选手进入第四轮才被淘汰的概率.(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率.39.设i为虚数单位,若(x+i)(1-i)=y,则实数x,y满足()
A.x=-1,y=1
B.x=-1,y=2
C.x=1,y=2
D.x=1,y=1答案:C40.在极坐标系中,点A(2,π2)关于直线l:ρcosθ=1的对称点的一个极坐标为______.答案:在直角坐标系中,A(0,2),直线l:x=1,A关于直线l的对称点B(2,2).由于|OB|=22,OB直线的倾斜角等于π4,且点B在第一象限,故B的极坐标为(22,π4),故为
(22,π4).41.集合{1,2,3}的真子集总共有()A.8个B.7个C.6个D.5个答案:集合{1,2,3}的真子集有?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}共7个.故选B.42.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是()A.1B.3C.4D.8答案:A={1,2},A∪B={1,2,3},则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合A={1,2}的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B共有22=4个.故选择C.43.下列特殊命题中假命题的个数是()
①有的实数是无限不循环小数;
②有些三角形不是等腰三角形;
③有的菱形是正方形.
A.0
B.1
C.2
D.3答案:B44.已知直线l:kx-y+1+2k=0.
(1)证明:直线l过定点;
(2)若直线l交x负半轴于A,交y正半轴于B,△AOB的面积为S,试求S的最小值并求出此时直线l的方程.答案:(1)证明:由已知得k(x+2)+(1-y)=0,∴无论k取何值,直线过定点(-2,1).(2)令y=0得A点坐标为(-2-1k,0),令x=0得B点坐标为(0,2k+1)(k>0),∴S△AOB=12|-2-1k||2k+1|=12(2+1k)(2k+1)=(4k+1k+4)≥12(4+4)=4.当且仅当4k=1k,即k=12时取等号.即△AOB的面积的最小值为4,此时直线l的方程为12x-y+1+1=0.即x-2y+4=045.参数方程x=sinθ+cosθy=sinθ•cosθ化为普通方程是______.答案:把x=sinθ+cosθy=sinθ•cosθ利用同角三角函数的基本关系消去参数θ,化为普通方程可得x2=1+2y,故为x2=1+2y.46.为了了解学校学生的身体发育情况,抽查了该校100名高中男生的体重情况,根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示,根据此图,估计该校2000名高中男生中体重大于70.5公斤的人数为()
A.300B.350C.420D.450答案:∵由图得,∴70.5公斤以上的人数的频率为:(0.04+0.035+0.016)×2=0.181,∴70.5公斤以上的人数为2000×0.181=362,故选B47.如图,在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.
(Ⅰ)若AP=λa+μb,求λ和μ的值;
(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,求平行四边形ANPM和三角形ABC的面积之比S平行四边形ANPMS△ABC.答案:(Ⅰ)∵在△ABC中,设AB=a,AC=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点恰为P.AP=AR+AC2,AR=AQ+AB2,AQ=12AP,消去AR,AQ∵AP=λa+μb,可得AP=12(AQ+AB2)+12AC=14×12AP+14AB+12AC,可得AP=27AB+47AC=λa+μb,∴λ=27μ=47;(Ⅱ)以AB,AC为邻边,AP为对角线,作平行四边形ANPM,∵得AP=27AB+47AC,∴S平行四边形ANPMS平行四边形ABC=|AN|?|AM|?sin∠CAB12|AB|?|AC|?sin∠CAB=2?|AN||AB|?|AM||AC|=2×27×47=1649;48.对于函数f(x),在使f(x)≤M成立的所有常数M中,我们把M的最小值称为函数f(x)的“上确界”则函数f(x)=(x+1)2x2+1的上确界为()A.14B.12C.2D.4答案:因为f(x)=(x+1)2x2+1=x2+2x+1x2+1=1+2xx2+1又因为x2+1=|x|2+1≥2|x|≥2x∴2xx2+1≤1.∴f(x)≤2.即在使f(x)≤M成立的所有常数M中,M的最小值为2.故选C.49.抛物线y=-12x2上一点N到其焦点F的距离是3,则点N到直线y=1的距离等于______.答案:∵抛物线y=-12x2化成标准方程为x2=-2y∴抛物线的焦点为F(0,-12),准线方程为y=12∵点N在抛物线上,到焦点F的距离是3,∴点N到准线y=12的距离也是3因此,点N到直线y=1的距离等于3+(1-12)=72故为:7250.设b是a的相反向量,则下列说法错误的是()
A.a与b的长度必相等
B.a与b的模一定相等
C.a与b一定不相等
D.a是b的相反向量答案:C第2卷一.综合题(共50题)1.如图,在平行四边形OABC中,点C(1,3).
(1)求OC所在直线的斜率;
(2)过点C做CD⊥AB于点D,求CD所在直线的方程.答案:(1)∵点O(0,0),点C(1,3),∴OC所在直线的斜率为kOC=3-01-0=3.(2)在平行四边形OABC中,AB∥OC,∵CD⊥AB,∴CD⊥OC.∴CD所在直线的斜率为kCD=-13.∴CD所在直线方程为y-3=-13(x-1),即x+3y-10=0.2.将一个总体分为A、B、C三层,其个体数之比为5:3:2,若用分层抽样的方法抽取容量为180的样本,则应从C中抽取样本的个数为______个.答案:由分层抽样的定义可得应从B中抽取的个体数为180×25+3+2=36,故为:36.3.过点P(4,-1)且与直线3x-4y+6=0垂直的直线方程是(
)
A.4x+3y-13=0
B.4x-3y-19=0
C.3x-4y-16=0
D.3x+4y-8=0答案:A4.已知复数z0=1-mi(m>0),z=x+yi和,其中x,y,x',y'均为实数,i为虚数单位,且对于任意复数z,有w=.z0•.z,|w|=2|z|.
(Ⅰ)试求m的值,并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式:
(Ⅱ)将(x、y)用为点P的坐标,(x'、y')作为点Q的坐标,上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点P变到这一平面上的点Q.已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(3,2),试求点P的坐标;
(Ⅲ)若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上,试求k的值.答案:(I)由题设得,|w|=|.z0•.z|=|z0||z|=2|z|,∴|z0|=2,由1+m2=4,且m>0,得m=3,∴z0=1-3i,∵w=.z0•.z,∴x′+y′i=.(1-3i)•.(x+yi))=(1+3i)(x-yi)=x+3y+(3x-y)i,由复数相等得,x′=x+3yy′=3x-y,(Ⅱ)由(I)和题意得,x+3y=33x-y=2,解得x=343y=14
,即P点的坐标为(343,14).
(Ⅲ)∵直线y=kx上的任意点P(x,y),其经变换后的点Q(x+3y,3x-y)仍在该直线上,∴3x-y=k(x+3y),即(3k+1)y=(3-k)x∵当k=0时,y=0,y=3x不是同一条直线,∴k≠0,于是3k+11=3-kk,即3k2+2k-3=0,解得k=33或k=-35.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为60°,那么F2的大小为()A.53NB.5NC.10ND.52N答案:由题意可知:对应向量如图由于α=60°,∴F2的大小为|F合|?sin60°=10×32=53.故选A.6.已知直线l的斜率为k=-1,经过点M0(2,-1),点M在直线上,以M0M的数量t为参数,则直线l的参数方程为______.答案:∵直线l经过点M0(2,-1),斜率为k=-1,倾斜角为3π4,∴直线l的参数方程为x=2+tcos3π4y=-1+tsin3π4
(t为参数);即为x=2-22ty=-1+22t(t为参数).故为:x=2-22ty=-1+22t(t为参数).7.已知点P1的球坐标是P1(4,,),P2的柱坐标是P2(2,,1),则|P1P2|=()
A.
B.
C.
D.4答案:A8.已知x,y之间的一组数据:
x0123y1357则y与x的回归方程必经过()A.(2,2)B.(1,3)C.(1.5,4)D.(2,5)答案:∵.x=0+1+2+34=1.5,.y=1+3+5+74=4∴这组数据的样本中心点是(1.5,4)根据线性回归方程一定过样本中心点,∴线性回归方程y=a+bx所表示的直线必经过点(1.5,4)故选C9.抛物线y2=4x的焦点坐标为()
A.(0,1)
B.(1,0)
C.(0,2)
D.(2,0)答案:B10.若直线的参数方程为,则直线的斜率为(
)A.B.C.D.答案:D11.(a+b)6的展开式的二项式系数之和为______.答案:根据二项式系数的性质:二项式系数和为2n所以(a+b)6展开式的二项式系数之和等于26=64故为:64.12.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列各式中正确的是()A.z1>z2B.z1<z2C.|z1|>|z2|D.|z1|<|z2|答案:∵z1=5+3i,z2=5+4i,∴z1与z2为虚数,故不能比较大小,可排除A,B;又|z1|=34,|z2|=52+42=41,∴|z1|<|z2|,可排除C.故选D.13.在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CD、CE分别为斜边AB上的高和中线,且∠BCD与∠ACD之比为3:1,求证CD=DE.
答案:证明:∵∠A+∠ACD=∠A+∠B=90°,∴∠ACD=∠B又∵CE是直角△ABC的斜边AB上的中线∴CE=EB∠B=∠ECB,∠ACD=∠ECB但∵∠BCD=3∠ACD,∠ECD=2∠ACD=12∠ACB=12×90°=45°,△EDC为等腰直角三角形∴CE=DE.14.已知x、y的取值如下表所示:
x0134y2.24.34.86.7若从散点图分析,y与x线性相关,且
y=0.95x+
a,则
a的值等于()A.2.6B.6.3C.2D.4.5答案:∵.x=0+1+3+44=2,.y=2.2+4.3+4.8+6.74=4.5,∴这组数据的样本中心点是(2,4.5)∵y与x线性相关,且y=0.95x+a,∴4.5=0.95×2+a,∴a=2.6,故选A.15.某厂2011年的产值为a万元,预计产值每年以7%的速度增加,则该厂到2022年的产值为______万元.答案:2011年产值为a,增长率为7%,2012年产值为a+a×7%=a(1+7%),2013年产值为a(1+7%)+a(1+7%)×7%=a(1+7%)2,…,2022年的产值为a(1+7%)11.故为:a(1+7%)11.16.给出的下列几个命题:
①向量共面,则它们所在的直线共面;
②零向量的方向是任意的;
③若则存在唯一的实数λ,使
其中真命题的个数为()
A.0
B.1
C.2
D.3答案:B17.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()
A.2-1
B.2-2
C.-1
D.-2答案:C18.已知圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆心为C,点P的极坐标为(4,π3),则|CP|=______.答案:圆的极坐标方程为ρ=4cosθ,圆的方程为:x2+y2=4x,圆心为C(2,0),点P的极坐标为(4,π3),所以P的直角坐标(2,23),所以|CP|=(2-2)2+(23-0)2=23.故为:23.19.______称为向量的长度(或称为模),记作
______,______称为零向量,记作
______,______称为单位向量.答案:向量AB所在线段AB的长度,即向量AB的大小,称为向量AB的长度(或成为模),记作|AB|;长度为零的向量称为零向量,记作0;长度等于1个单位的向量称为单位向量.故为:向量AB所在线段AB的长度,即向量AB的大小,|AB|;长度为零的向量,0;长度等于1个单位的向量.20.函数f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a,则a的值为
______.答案:∵y=ax与y=loga(x+1)具有相同的单调性.∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调,∴f(0)+f(1)=a,即a0+loga1+a1+loga2=a,化简得1+loga2=0,解得a=12故为:1221.设直线的参数方程是x=2+12ty=3+32t,那么它的斜截式方程是______.答案:∵直线的参数方程为x=2+12ty=3+32t(t为参数),消去参数化为普通方程可得y-3=3(x-2),那么它的斜截式方程是y=3x+3-23.故为:y=3x+3-23.22.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩(单位:秒),随机选择了50名学生进行调查.如图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在[13,15](单位:秒)内的人数大约是______.答案:∵由图知,前面两个小矩形的面积=0.02×1+0.18×1=0.2,即频率,∴1200名学生中成绩在[13,15](单位:s)内的人数大约是0.2×1200=240.故为240.23.若0<x<1,则2x,(12)x,(0.2)x之间的大小关系为()A.2x<(0.2)x<(12)xB.2x<(12)x<(0.2)xC.(12)x<(0.2)x<2xD.(0.2)x<(12)x<2x答案:由题意考察幂函数y=xn(0<n<1),利用幂函数的性质,∵0<n<1,∴幂函数y=xn在第一象限是增函数,又2>12>0.2∴2x>(12)x>(0.2)x故选D24.P是直线3x+y+1=0上一点,P到点Q(0,2)距离的最小值是______.答案:过点Q作直线的垂线段,当P是垂足时,线段PQ最短,故最小距离是点Q(0,2)到直线3x+y+1=0的距离d,d=|0+2+1|3+1=32=1.5.∴P到点Q(0,2)距离的最小值是1.5;故为1.5.25.已知向量a表示“向东航行1km”,向量b表示“向北航行3km”,则向量a+b表示()A.向东北方向航行2kmB.向北偏东30°方向航行2kmC.向北偏东60°方向航行2kmD.向东北方向航行(1+3)km答案:如图,作OA=a,OB=b.则OC=a+b,所以|OC|=3+1=2,且sin∠BOC=12,所以∠BOC=30°.因此
a+b表示向北偏东30°方向航行2km.故选B.26.用数学归纳法证明等式时,第一步验证n=1时,左边应取的项是()
A.1
B.1+2
C.1+2+3
D.1+2+3+4答案:D27.如果:在10进制中2004=4×100+0×101+0×102+2×103,那么类比:在5进制中数码2004折合成十进制为()A.29B.254C.602D.2004答案:(2004)5=2×54+4=254.故选B.28.如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左、右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为______.答案:由题意可得点OA=OB=2,AC=5设双曲线的标准方程是x2a2-y2b2=1.则2a=AC-BC=5-3=2,所以a=1.所以b2=c2-a2=4-1=3.所以双曲线的标准方程是x2-y23=1.故为:x2-y23=129.若向量、、满足++=,=3,=1,=4,则等于(
)
A.-11
B.-12
C.-13
D.-14答案:C30.集合{1,2,3}的真子集的个数为()A.5B.6C.7D.8答案:集合的真子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},?.共有7个.故选C.31.某海域有A、B两个岛屿,B岛在A岛正东40海里处.经多年观察研究发现,某种鱼群洄游的路线像一个椭圆,其焦点恰好是A、B两岛.曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群.某日,研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同),A、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5:3.你能否确定鱼群此时分别与A、B两岛的距离?答案:以AB的中点为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系设椭圆方程为:x2a2+y2b2=1(a>b>0)且c=a2-b2------(3分)因为焦点A的正西方向椭圆上的点为左顶点,所以a-c=20------(5分)又|AB|=2c=40,则c=20,a=40,故b=203------(7分)所以鱼群的运动轨迹方程是x21600+y21200=1------(8分)由于A,B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5:3,因此设此时距A,B两岛的距离分别为5k,3k-------(10分)由椭圆的定义可知5k+3k=2×40=80⇒k=10--------(13分)即鱼群分别距A,B两岛的距离为50海里和30海里.------(14分)32.用反证法证明“3是无理数”时,第一步应假设“______.”答案:反证法肯定题设而否定结论,从而得出矛盾,题设“3是无理数”,那么假设为:3是有理数.故为3是有理数.33.参数方程x=3cosθy=4sinθ,(θ为参数)化为普通方程是______.答案:由参数方程x=3cosθy=4sinθ,得cosθ=13xsinθ=14y∵cos2θ+sin2θ=1,∴(13x)2+(14y)2=1,化简得x29+y216=1,即为椭圆的普通方程故为:x29+y216=134.抛物线的顶点在原点,焦点与椭圆=1的一个焦点重合,则抛物线方程是()
A.x2=±8y
B.y2=±8x
C.x2=±4y
D.y2=±4x答案:A35.观察下列各式:1=0+1,2+3+4=1+8,5+6+7+8+9=8+27,…,猜想第5个等式应为______.答案:由题意,(i)等式左边为一段连续自然数之和,且最后一个和数恰为各等式序号的立方,最前一个和数恰为等式序号减1平方加1;(ii)等式右边均为两数立方和,且也与等式序号具有明显的相关性.故猜想第5个等式应为17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+125故为:17+18+19+20+21+22+23+24+25=64+12536.用综合法或分析法证明:
(1)如果a>0,b>0,则lga+b2≥lga+lgb2(2)求证6+7>22+5.答案:证明:(1)∵a>0,b>0,a+b2≥ab,∴lga+b2≥lgab=lga+lgb2,即lga+b2≥lga+lgb2;(2)要证6+7>22+5,只需证明(6+7)
2>(8+5)2,即证明242>
240,也就是证明42>40,上式显然成立,故原结论成立.37.已知曲线x2a+y2b=1和直线ax+by+1=0(a,b为非零实数),在同一坐标系中,它们的图形可能是()A.
B.
C.
D.
答案:A选项中,直线的斜率大于0,故系数a,b的符号相反,此时曲线应是双曲线,故不对;B选项中直线的斜率小于0,故系数a,b的符号相同且都为负,此时曲线不存在,故不对;C选项中,直线斜率为正,故系数a,b的符号相反,且a正,b负,此时曲线应是焦点在x轴上的双曲线,图形符合结论,可选;D选项中不正确,由C选项的判断可知D不正确.故选D38.根据一组数据判断是否线性相关时,应选用(
)
A.散点图
B.茎叶图
C.频率分布直方图
D.频率分布折线图答案:A39.若两直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,则下列四个命题中正确的是()
A.若α1<α2,则两直线斜率k1<k2
B.若α1=α2,则两直线斜率k1=k2
C.若两直线斜率k1<k2,则α1<α2
D.若两直线斜率k1=k2,则α1=α2答案:D40.下列表述正确的是()
①归纳推理是由部分到整体的推理;
②归纳推理是由一般到一般的推理;
③演绎推理是由一般到特殊的推理;
④类比推理是由特殊到一般的推理;
⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.
A.①②③
B.②③④
C.②④⑤
D.①③⑤答案:D41.用反证法证明命题“如果a>b>0,那么a2>b2”时,假设的内容应是()
A.a2=b2
B.a2<b2
C.a2≤b2
D.a2<b2,且a2=b2答案:C42.一个样本a,99,b,101,c中五个数恰成等差数列,则这个样本的极差与标准差分别为(
)。答案:4;43.已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,短轴的一个顶点B与两个焦点F1,F2组成的三角形的周长为4+23,且∠F1BF2=2π3,求椭圆的标准方程.答案::设长轴长为2a,焦距为2c,则在△F2OB中,由∠F2BO=π3得:c=32a,所以△F2BF1的周长为2a+2c=2a+3a=4+23,∴a=2,c=3,∴b2=1;故所求椭圆的标准方程为x24+y2=1.44.设集合A={1,2,4},B={2,6},则A∪B等于()A.{2}B.{1,2,4,6}C.{1,2,4}D.{2,6}答案:∵集合A={1,2,4},B={2,6},∴A∪B={1,2,4}∪{2,6}={1,2,4,6},故选B.45.若命题p:2是偶数;命题q:2是5的约数,则下列命题中为真命题的是()A.p∧qB.(¬p)∧(¬q)C.¬pD.p∨q答案:∵2是偶数,∴命题p为真命题∵2不是5的约数,∴命题q为假命题∴p或q为真命题故选D46.已知某一随机变量ξ的分布列如下,且Eξ=6.3,则a的值为()
ξ
4
a
9
P
0.5
0.1
b
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C47.数列{an}满足a1=1且an+1=(1+1n2+n)an+12n(n≥1).
(Ⅰ)用数学归纳法证明:an≥2(n≥2);
(Ⅱ)已知不等式ln(1+x)<x对x>0成立,证明:an<e2(n≥1),其中无理数e=2.71828….答案:(Ⅰ)证明:①当n=2时,a2=2≥2,不等式成立.②假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即ak≥2(k≥2),那么ak+1=(1+1k(k+1))ak+12k≥2.这就是说,当n=k+1时不等式成立.根据(1)、(2)可知:ak≥2对所有n≥2成立.(Ⅱ)由递推公式及(Ⅰ)的结论有an+1=(1+1n2+n)an+12n≤(1+1n2+n+12n)an(n≥1)两边取对数并利用已知不等式得lnan+1≤ln(1+1n2+n+12n)+lnan≤lnan+1n2+n+12n故lnan+1-lnan≤1n(n+1)+12n(n≥1).上式从1到n-1求和可得lnan-lna1≤11×2+12×3+…+1(n-1)n+12+122+…+12n-1=1-12+(12-13)+…+1n-1-1n+12•1-12n1-12=1-1n+1-12n<2即lnan<2,故an<e2(n≥1).48.如图,已知AB是⊙O的直径,AB⊥CD于E,切线BF交AD的延长线于F,若AB=10,CD=8,则切线BF的长是
______.答案:连接OD,AB⊥CD于E,根据垂径定理得到DE=4,在直角△ODE中,根据勾股定理得到OE=3,因而AE=8,易证△ABF∽△AED,得到DEBF=AEAB=810,解得BF=5.49.已知x=-3-2i(i为虚数单位)是一元二次方程x2+ax+b=0(a,b均为实数)的一个根,则a+b=______.答案:∵x=-3-2i(i为虚数单位)是一元二次方程x2+ax+b=0(a,b均为实数)的一个根,∴(-3-2i)2+a(-3-2i)+b=0,化为5-3a+b+(12-2a)i=0.根据复数相等即可得到5-3a+b=012-2a=0,解得a=6b=13.∴a+b=19.故为19.50.在空间直角坐标系中,点(-2,1,4)关于x轴的对称点的坐标为()
A.(-2,1,-4)
B.(-2,-1,-4)
C.(2,1,-4)
D.(2,-1,4)答案:B第3卷一.综合题(共50题)1.为如图所示的四块区域涂色,要求相邻区域不能同色,现有3种不同颜色可供选择,则共有______种不同涂色方案(要求用具体数字作答).答案:由题意,首先给左上方一个涂色,有三种结果,再给最左下边的上面的涂色,有两种结果,右上方,如果与左下边的同色,则右方的涂色,有两种结果,右上方,如果与左下边的不同色,则右方的涂色,有1种结果,∴根据分步计数原理得到共有3×2×(2+1)=18种结果,故为18.2.如图,四边形ABCD是圆O的内接四边形,延长AB和DC相交于点P.若PB=1,PD=3,则BCAD的值为______.答案:因为A,B,C,D四点共圆,所以∠DAB=∠PCB,∠CDA=∠PBC,因为∠P为公共角,所以△PBC∽△PAD,所以BCAD=PBPD=13.故为:13.3.已知图形F上的点A按向量平移前后的坐标分别是和,若B()是图形F上的又一点,则在F按向量平移后得到的图形F,上B,的坐标是(
)A.B.C.D.答案:选D解析:设向量,则平移公式为依题意有∴平移公式为将B点坐标代入可得B,点的坐标为.所以选D.4.若把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排,则A、B必须相邻,且C、D不能相邻的概率是______(结果用数值表示).答案:把AB看成一个整体,CD不能相邻,就用插空法,则有A22A44A25种方法把A、B、C、D、E、F、G七人排成一排,随便排的种数A77所以概率为A22A44A25A77=421故为:421.5.(参数方程与极坐标)已知F是曲线x=2cosθy=1+cos2θ(θ∈R)的焦点,M(12,0),则|MF|的值是
______.答案:y=1+cos2θ=2cos2θ=2•(x2)2化简得x2=2y∴F(0,12)而M(12,0),∴|MF|=22故为:226.若A={(x,y)|4x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=7},则A∩B=()
A.{2,1}
B.{(2,1)}
C.{1,2}
D.{(1,2)}答案:D7.(1)在数轴上求一点的坐标,使它到点A(9)与到点B(-15)的距离相等;
(2)在数轴上求一点的坐标,使它到点A(3)的距离是它到点B(-9)的距离的2倍.答案:(1)设该点为M(x),根据题意,得A、M两点间的距离为d(A,M)=|x-9|,B、M两点间的距离为d(M,B)=|-15-x|,结合题意,可得|x-9|=|-15-x|,∴x-9=15+x或x-9=-15-x,解之得x=-3,得M的坐标为-3故所求点的坐标为-3.(2)设该点为N(x'),则A、N两点间的距离为d(A,N)=|x'-3|,B、N两点间的距离为d(N,B)=|-9-x'|,根据题意有|x'-3|=2|9+x'|,∴x'-3=18+2x'或x'-3=-18-2x',解之得x'=-21,或x'=-5.故所求点的坐标是-21或-5.8.用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是______.答案:∵证明y=x2是增函数时,依据的原理就是增函数的定义,∴用演绎法证明y=x2是增函数时的大前提是:增函数的定义故填增函数的定义9.已知M和N分别是四面体OABC的边OA,BC的中点,且,若=a,=b,=c,则用a,b,c表示为()
A.
B.
C.
D.
答案:B10.设a,b,c是三个不共面的向量,现在从①a+b;②a-b;③a+c;④b+c;⑤a+b+c中选出使其与a,b构成空间的一个基底,则可以选择的向量为______.答案:构成基底只要三向量不共面即可,这里只要含有向量c即可,故③④⑤都是可以选择的.故为:③④⑤(不唯一,也可以有其它的选择)11.在空间直角坐标系O-xyz中,已知=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当取得最小值时,点Q的坐标为()
A.(,,)
B.(,,)
C.(,,)
D.(,,)答案:C12.如图所示直角梯形ABCD中,∠A=90°,PA⊥面ABCD,AD||BC,AB=BC=a,AD=2a,与底面ABCD成300角.若AE⊥PD,E为垂足,PD与底面成30°角.
(1)求证:BE⊥PD;
(2)求异面直线AE与CD所成的角的大小.答案:为了计算方便不妨设a=1.(1)证明:根据题意可得:以A为原点,AB,AD,AP所在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图)则A(0,0,0),B(1,0,0)D(0,2,0)P(0,0,233)AB•PD=(1,0,0)•(0,2,-233)=0又AE•PD=0∴AB⊥PD,AE⊥PD所以PD⊥面BEA,BE⊂面BEA,∴PD⊥BE(2)∵PA⊥面ABCD,PD与底面成30°角,∴∠PDA=30°过E作EF⊥AD,垂足为F,则AE=AD•sin30°=1,∠EAF=60°AF=12,EF=32∴E(0,12,32),于是AE=(0,12,32)又C(1,1,0),D(0,2,0),CD=(-1,1,0)则COSθ=AE•CD|AE||CD|=24∴AE与CD所成角的余弦值为24.13.已知函数f(x)=ax,(a>0,a≠1)的图象经过点P(12,12),则常数a的值为()A.2B.4C.12D.14答案:∵函数f(x)=ax,(a>0,a≠1)的图象经过点P(12,12),∴a12=12,?a=14.故选D.14.已知a、b是不共线的向量,AB=λa+b,AC=a+μb(λ,μ∈R),则A、B、C三点共线的充要条件是______.答案:由于AB,AC有公共点A,∴若A、B、C三点共线则AB与AC共线即存在一个实数t,使AB=tAC即λ=at1=μt消去参数t得:λμ=1反之,当λμ=1时AB=1μa+b此时存在实数1μ使AB=1μAC故AB与AC共线又由AB,AC有公共点A,∴A、B、C三点共线故A、B、C三点共线的充要条件是λμ=115.设有三个命题:“①0<12<1.②函数f(x)=log
12x是减函数.③当0<a<1时,函数f(x)=logax是减函数”.当它们构成三段论时,其“小前提”是______(填序号).答案:三段话写成三段论是:大前提:当0<a<1时,函数f(x)=logax是减函数,小前提:0<12<1,结论:函数f(x)=log
12x是减函数.其“小前提”是①.故为:①.16.若向量a,b的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,c=a+b,则有()A.c⊥aB.c⊥bC.c‖bD.c‖a答案:由题意知ac=a
(a+b)=a2+
a
b=1+1×2cos120°=0,所以a⊥c.故选A.17.在下列图象中,二次函数y=ax2+bx+c与函数(的图象可能是()
A.
B.
C.
D.
答案:A18.某品牌平板电脑的采购商指导价为每台2000元,若一次采购数量达到一定量,还可享受折扣.如图为某位采购商根据折扣情况设计的算法程序框图,若一次采购85台该平板电脑,则S=______元.答案:分析程序中各变量、各语句,其作用是:表示一次采购共需花费的金额,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计算分段函数S=200×0.8?x,x>100200×0.9?x,50<x≤100200?x,0<x≤50的值,∵x=85,∴S=200×0.9×85=15300(元),故为:15300.19.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上一个动点,那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()
A.2-1
B.2-2
C.-1
D.-2答案:C20.直线l过椭圆x24+y23=1的右焦点F2并与椭圆交与A、B两点,则△ABF1的周长是()A.4B.6C.8D.16答案:根据题意结合椭圆的定义可得:|AF1|+|AF2|=2a=4,,并且|BF1|+|BF2|=2a=4,又因为|AF2|+|BF2|=|AB|,所以△ABF1的周长为:|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=8.故选C.21.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=,则当n=k+1时左端应在n=k的基础上加上()
A.k2+1
B.(k+1)2
C.
D.(k2+1)+(k2+2)+(k2+3)+…+(k+1)2答案:D22.在语句PRINT
3,3+2的结果是()
A.3,3+2
B.3,5
C.3,5
D.3,2+3答案:B23.甲、乙两人参加一次考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中6题,乙能答对其中8题.若规定每次考试分别都从这10题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题算合格.
(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率;
(2)求甲、乙两人至少有一人合格的概率.答案:(1)(2)解析:(1)设甲、乙考试合格分别为事件A、B,甲考试合格的概率为P(A)=,乙考试合格的概率为P(B)=.(2)A与B相互独立,且P(A)=,P(B)=,则甲、乙两人至少有一人合格的概率为P(AB++A)=×+×+×=.24.复数32i+11-i的虚部是______.答案:复数32i+11-i=32i+1+i(1-i)(1+i)=32i+1+i2=12+2i∴复数的虚部是2,故为:225.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2),则它的离心率为()
A.
B.
C.
D.答案:D26.已知a=(2,3),b=(1,2),(a+λb)⊥(a-b),则λ=______.答案:∵a=(2,3),b=(1,2),∴a2=(2,3)•(2,3)=4+9=13,b2=(1,2)•(1,2)=1+4=5∵(a+λb)⊥(a-b)∴(a+λb)•(a-b)=a2-λb2=13-5λ=0∴λ=135故为:13527.α为第一象限角是sinαcosα>0的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:若α为第一象限角,则sinα>0,cosα>0,所以sinαcosα>0,成立.若sinαcosα>0,则①sinα>0,cosα>0,此时α为第一象限角.或②sinα<0,cosα<0,此时α为第三象限角.所以α为第一象限角是sinαcosα>0的充分不必要条件.故选A.28.方程|x|-1=2y-y2表示的曲线为()A.两个半圆B.一个圆C.半个圆D.两个圆答案:两边平方整理得:(|x|-1)2=2y-y2,化简得(|x|-1)2+(y-1)2=1,由|x|-1≥0得x≥1或x≤-1,当x≥1时,方程为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1)且半径为1的圆的右半圆;当x≤1时,方程为(x+1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(-1,1)且半径为1的圆的右半圆综上所述,得方程|x|-1=2y-y2表示的曲线为为两个半圆故选:A29.写出求1+2+3+4+5+6+…+100的一个算法.可运用公式1+2+3+…+n=n(n+1)2直接计算.
第一步______;
第二步______;
第三步
输出计算的结果.答案:由条件知构成等差数列,从而前n项和公式求得其值,求1+2+3+4+5+6+…+100,故先取n=100,再代入计算S=n(n+1)2.故为:取n=100;计算S=n(n+1)2.30.在同一坐标系中,y=ax与y=a+x表示正确的是()A.
B.
C.
D.
答案:由y=x+a得斜率为1排除C,由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增,则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上,由此排除B;若y=ax递减,则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上,由此排除D,知A是正确的;故选A.31.将5位志愿者分成4组,其中一组为2人,其余各组各1人,到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方案有______种(用数字作答).答案:由题意,先分组,再到4个路口协助交警执勤,则不同的分配方案有C25A44=240种故为:240.32.已知a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两平行平面的法向量,则λ=______.答案:∵a=(3λ,6,λ+6),b=(λ+1,3,2λ)为两平行平面的法向量,∴a∥b.∴存在实数k,使得a=kb,∴3λ=k(λ+1)6=3kλ+6=2λk,解得k=2λ=2,故为233.如图是《集合》一章的知识结构图,如果要加入“交集”,则应该放在()
A.“集合”的下位
B.“概念”的下位
C.“表示”的下位
D.“基本运算”的下位
答案:D34.正方体AC1中,S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,如果∠TSC=90°,那么∠TSB=______.答案:由题意,BC⊥平面A1B,∵S,T分别是棱AA1,A1B1上的点,∴BC⊥ST∵∠TSC=90°,∴ST⊥SC∵BC∩SC=C∴ST⊥平面SBC∴ST⊥SB∴∠TSB=90°,故为:90°35.下列命题中为真命题的是(
)
A.平行直线的倾斜角相等
B.平行直线的斜率相等
C.互相垂直的两直线的倾斜角互补
D.互相垂直的两直线的斜率互为相反数答案:A36.抛物线y=ax2(其中a>0)的焦点坐标是(
)
A.(,0)
B.(0,)
C.(,0)
D.(0,)答案:D37.下列关于算法的说法不正确的是()A.算法必须在有限步操作之后停止.B.求解某一类问题的算法是唯一的.C.算法的每一步必须是明确的.D.算法执行后一定产生确定的结果.答案:因为算法具有有穷性、确定性和可输出性.由算法的特性可知,A是指的有穷性;C是确定性;D是可输出性.而解决某一类问题的算法不一定唯一,例如求排序问题算法就不唯一,所以,给出的说法不正确的是B.故选B.38.已知随机变量X的分布列是:(
)
X
4
a
9
10
P
0.3
0.1
b
0.2
且EX=7.5,则a的值为()
A.5
B.6
C.7
D.8答案:C39.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右侧的平面图形,则标“△”的面的方位()
A.南
B.北
C.西
D.下
答案:B40.某海域有A、B两个岛屿,B岛在A岛正东40海里处.经多年观察研究发现,某
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