理论力学-理力讲稿16原理

第16章达朗贝尔原理返回总目录TheoreticalMechanics主讲郭翔第三篇动力学

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第16章达朗贝尔原理16.1质点和质点系的达朗贝尔原理16.2刚体惯性力系的简化16.3定轴转动刚体的轴承动约束力16.4静平衡和动平衡简介TheoreticalMechanics

第16章达朗贝尔原理

引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量表示为惯性力，并应用静力学方法研究动力学问题——达朗贝尔原理。它将非自由质点系的动力学方程用静力学平衡方程的形式写出来。这种处理动力学问题的方法又叫做动静法。它广泛应用于刚体动力学求解动约束力。引言

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第16章达朗贝尔原理16.1达朗贝尔原理TheoreticalMechanics16.1达朗贝尔原理16.1.1质点的达朗贝尔原理16.1.2质点系的达朗贝尔原理

返回首页TheoreticalMechanics16.1达朗贝尔原理16.1.1质点的达朗贝尔原理FNFRFaxzyOmA非自由质点Am——质量；sS——运动轨迹；FN——约束力；F——主动力；

返回首页TheoreticalMechanicsFI根据牛顿定律ma＝F+FNF+FN

－ma＝0F+FN

＋FI

＝0非自由质点的达朗贝尔原理

返回首页16.1达朗贝尔原理16.1.1质点的达朗贝尔原理FNFRFaxzyOmAsFI

＝－ma惯性力TheoreticalMechanicsF＋FN＋FI=0：质点的达朗贝尔原理

-在质点运动的任意瞬时，如果在其质点上假想地加上一惯性力FI，则此惯性力与主动力、约束力在形式上组成一平衡力系。讨论

返回首页16.1达朗贝尔原理16.1.1质点的达朗贝尔原理TheoreticalMechanics对于质点本身，惯性力是假想的。但确有大小等于ma的力-ma存在，它作用在使质点运动状态发生改变的物体上。例如，人推车前进，这个力向后作用在人手上。正是通过这个力，我们感到了物体运动的惯性，称这个力为惯性力。惯性力

返回首页16.1达朗贝尔原理16.1.1质点的达朗贝尔原理TheoreticalMechanicsF+FN

＋

FI

＝0应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法动静法1.分析质点所受的主动力和约束力；2.分析质点的运动，确定加速度；3.在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。质点的达朗贝尔原理

返回首页16.1达朗贝尔原理16.1.1质点的达朗贝尔原理TheoreticalMechanics非自由质点达朗贝尔原理的投影形式

返回首页16.1达朗贝尔原理16.1.1质点的达朗贝尔原理TheoreticalMechanics16.1.2质点系的达朗贝尔原理a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系

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在质点系中，取质量为mi的质点研究。a2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2由质点的达朗贝尔原理可知，FIi、Fi、FNi将组成一平衡力系。

返回首页16.1.2质点系的达朗贝尔原理16.1达朗贝尔原理在任意瞬时，该质点在主动力Fi、约束力FNi作用下，加速度为ai。在此质点上假想地加上一惯性力FIi＝–miai

Fi

+FNi

＋

FIi

＝0TheoreticalMechanicsa2a1aiF1F2FiFN1FN2FNiFI1FI2FIim1mim2对于整个质点系来说，在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该系上的主动力、约束力将组成一平衡力系。

返回首页16.1.2质点系的达朗贝尔原理16.1达朗贝尔原理TheoreticalMechanics质点系的达朗贝尔原理：在运动的任意瞬时，虚加于质点系上各质点的惯性力与作用于该系上的外力将组成一平衡力系。对质点系应用达朗贝尔原理，由动静法得到另一种表示

返回首页16.1.2质点系的达朗贝尔原理16.1达朗贝尔原理TheoreticalMechanics例题例球磨机的滚筒以匀角速度绕水平轴O转动，内装钢球和需要粉碎的物料。钢球被筒壁带到一定高度的A处脱离筒壁，然后沿抛物线轨迹自由落下，从而击碎物料。设滚筒内壁半径为r，试求脱离处半径OA与铅直线的夹角1（脱离角）。解：以随着筒壁一起转动、尚未脱离筒壁的某个钢球为研究对象，它所受到的力有重力P、筒壁的法向约束力FN和切向摩擦力F及惯性力FI，如图所示。

返回首页16.1达朗贝尔原理TheoreticalMechanics钢球随着筒壁作匀速圆周运动，只有法向惯性力ＦI，大小，方向背离中心O。列出沿法线方向的平衡方程：脱离角当时，1＝0，钢球始终不脱离筒壁，球磨机不工作。

钢球不脱离筒壁的角速度

为了保证钢球在适当的角度脱离筒壁，故要求

返回首页例题16.1达朗贝尔原理TheoreticalMechanics例质量为m的均质杆AB用球铰链A和绳子BC与铅直轴OD相连，绳子在C点与重量可略去的小环相连，小环可沿轴滑动，如图示。设AC＝BC＝l，CD＝OA＝l/2，该系统以角速度匀速转动，求绳子的张力、铰链A的约束力及轴承O、D的附加动约束力。

解：研究AB杆，画受力图其作用点在距A点AB处首先将AB杆上三角形分布的惯性力简化

返回首页例题16.1达朗贝尔原理TheoreticalMechanics由达朗贝尔原理

返回首页例题16.1达朗贝尔原理研究整体，画受力图，由达朗贝尔原理解得

FOy＝mg

附加动约束力为TheoreticalMechanics

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第16章达朗贝尔原理16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics16.2刚体惯性力系的简化刚体惯性力系的特点

刚体惯性力的分布与刚体的质量分布以及刚体上各点的绝对加速度有关。FIi＝－miai

对于平面问题，刚体的惯性力为面积力，组成平面力系。对于一般问题，刚体的惯性力为体积力，组成空间一般力系。在用达朗伯原理研究刚体的运动时，必须研究其简化问题，并以刚体质心为简化中心。

返回首页TheoreticalMechanics刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关惯性力系的主矢惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。这一简化结果与运动形式无关。把刚体质心坐标公式对时间取二阶导数得：

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关惯性力系的主矩过C作平动坐标系，将刚体运动分解为平动及转动LC为刚体相对质心的动量矩

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics1.平移刚体平移时，惯性力系简化为通过刚体质心的合力。其方向与平移加速度的方向相反，大小等于刚体质量与加速度的乘积。

刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关以刚体质心为简化中心

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics2.定轴转动向转轴上任一点O简化主矢主矩：以简化中心O为坐标原点。设刚体的角速度为，角加速度为，刚体内任一质点的质量为mi，到转轴的垂直距离为ri，质点的坐标为xi、yi、zi。

质点的惯性力分解为切向惯性力

法向惯性力

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics惯性力系对x轴的矩惯性积惯性力系对于y轴的矩

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics惯性力系对z轴的矩转动惯量

结论：当刚体绕定轴转动时，惯性力系向转轴上任一点简化得一个力和一个力偶。这个力等于刚体的质量与质心加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反；这个力偶的矩矢在直角坐标轴上的投影，分别等于惯性力系对于三个轴的矩。

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics如果刚体有对称平面S，并且该平面与转轴z垂直，则惯性力系简化为在对称面内的平面力系。2.定轴转动向转轴上点O简化主矢：主矩：对称平面的刚体绕垂直于该平面的轴转动时，惯性力系简化为在平面内的一个力和一个力偶。

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics3.平面运动以刚体质心为简化中心主矢：主矩：MI=–IC

具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量对称平面互相平行。这种情形下，惯性力系向质心简化的结果得到一个合力和一个合力偶，二者都位于质量对称平面内。

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics合力偶的力偶矩即为惯性力系的主矩，其大小等于刚体对通过质心的转动轴的转动惯量与角加速度的乘积，方向与角加速度方向相反。合力的矢量即为惯性力系的主矢，其大小等于刚体质量与质心加速度大小的乘积，方向与质心加速度方向相反。MI=–IC

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刚体惯性力系的简化结果

刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关1.平行移动2.定轴转动3.平面运动

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics

惯性力系的主矩

——惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。2.定轴转动3.平面运动

刚体惯性力系的简化结果

返回首页16.2刚体惯性力系的简化1.平行移动TheoreticalMechanics例题例长度为、质量为m的均质杆AB静置于半径为r的光滑圆槽内。当圆槽以匀加速度a在水平面上运动时，AB杆的平衡位置用角表示。如果要求AB杆在＝30时保持平衡，试求此时圆槽的加速度a应该多大？作用在AB杆上的约束力FAR、FBR分别是多少？不计摩擦。

解：这是刚体的平行移动问题，研究杆AB，画受力图，其中惯性力为

返回首页16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics杆AB惯性力为由达朗贝尔原理∴FAR＝FBR

；解得：a＝2.625m/s2

；0.732mg

返回首页例题16.2刚体惯性力系的简化解法2:三力平衡汇交定理TheoreticalMechanics例图示圆轮的质量m＝2kg，半径r＝150mm，质心离几何中心O的距离e＝50mm，轮对质心的回转半径＝75mm。当轮滚而不滑时，它的角速度是变化的。在图示C、O位于同一高度之瞬时，＝12rad/s。求此时轮的角加速度。解：这是刚体的平面运动问题，研究圆轮。设角加速度和受力分析如图所示，其中

返回首页例题16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics由达朗贝尔原理由运动学关系

返回首页例题16.2刚体惯性力系的简化直接对接触点取矩更简单！TheoreticalMechanics得负号表示方向与图示方向相反。

返回首页例题16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics例图中均质杆AB的长度为l，质量为m，可绕O轴在铅直面内转动，OA=，用细线静止悬挂在图示水平位置。若将细线突然剪断，求AB杆运动到与水平线成角时转轴O的约束力。

解：设AB杆转至角位置时，角速度、角加速度为、。质心C至转轴O的距离OC=，因此质心的加速度、杆对转轴的转动惯量分别为

返回首页例题16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics虚加于转轴O处的惯性力主矢、主矩，大小为它们与重力mg，轴承约束力FOx、FOy在形式上组成一平衡力系。由达朗贝尔原理

返回首页例题16.2刚体惯性力系的简化注意取矩点的选取和投影轴方向的选取TheoreticalMechanics分离变量、积分，即

返回首页例题16.2刚体惯性力系的简化TheoreticalMechanics解得AB杆转动至角位置时的轴承约束力

由此可以看出，运用达朗贝尔原理，可用平衡方程的形式建立动力学方程式，为了求解角速度，仍需进行积分计算。也可先用动能定理解出，再用达朗贝尔原理解出FOx、FOy。这种做法具有一定的普遍意义(why)。

返回首页例题16.2刚体惯性力系的简化注意：能否选择向质心简化？是否便捷？TheoreticalMechanics

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第16章达朗贝尔原理16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics16.3定轴转动刚体的轴承动约束力在工程实际中，通常将转动机械的转动部件称为转子。如果忽略其本身的变形，转子是定轴转动的刚体。转子运转时，由于偏心和偏角误差将产生惯性力。动压力：转子处于运行状态作用于轴承上的力；静压力：转子处于静止状态作用于轴承上的力；附加动压力：动压力与静压力之差。如果考虑轴承对转子的作用，则分别称为静约束力、动约束力和附加动约束力。

返回首页TheoreticalMechanics附加动约束力的计算方法

在一般情况下，刚体在主动力F1，F2，…，Fn作用下绕定轴AB转动。质心、转动惯量、惯性积分别为C(xC、yC、zC)、Iz、Ixz、Iyz。轴承动约束力分别为FAx、FAy、FAz、FBx、FBy。在图示瞬时，设动坐标系的角位移、角速度、角加速度分别为

=

k，=

k，=

k。

A

返回首页16.3定轴转动刚体的轴承动约束力ATheoreticalMechanics刚体上的惯性力系向A点简化的主矢和主矩为根据达朗贝尔原理，它们与主动力F1，F2，…，Fn，约束力FAx、FAy、FAz、FBx、Fby在形式上组成一空间的平衡力系，平衡方程为：

返回首页16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics平衡方程：A此方程组的最后一个方程式不包含轴承约束力，这表明惯性力主矩只作用在促使该刚体加速（或减速）转动的物体上。

返回首页16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics求出此瞬时轴承的动约束力：轴承动约束力由两部分组成：一是由主动力引起的，与运动无关，为静约束力；二是由惯性力主矢、主矩引起的，为附加动约束力。

返回首页16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics消除附加动约束力，有效地控制：满足以下条件时，才能消除附加动约束力

xC＝yC＝0Ixz＝Iyz＝0 即：为了消除轴承的附加动约束力，刚体绕定轴转动时，刚体的转轴必须是中心惯性主轴。

返回首页16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics例题例一电机水平放置，转子质量m＝300kg，对其转轴z的回转半径＝0.2m。质心偏离转轴e＝2mm。已知该电机在起动过程中的起动力矩M＝150kN·m，当转子转至图示的瞬时位置，转速n＝2400r/min。试求此瞬时转子的角加速度和轴承的动约束力。不计轴承的摩擦。解：首先，运用方程组中的最后一个方程式，计算图示瞬时的角加速度，即

返回首页16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics而此瞬时的角速度为由此可得质心C的加速度：惯性力系向O点简化的主矢、主矩为方向如图

返回首页例题16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics

根据空间力系的平衡条件，列平衡方程并计算轴承约束力为

返回首页例题16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics在y向的静约束力和附加动约束力分别为

返回首页例题16.3定轴转动刚体的轴承动约束力TheoreticalMechanics附加动约束力与静约束力之比为

由此可见，仅仅由于质心偏离转轴2mm，轴承的附加动约束力竟高达静约束力的12.89倍。这说明，在制造安装转速比较高的转子时，必须尽量减小质心偏离转轴的距离e。

返回首页例题16.3定轴转动刚体的轴承动约束力

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第16章达朗贝尔原理16.4静平衡和动平衡简介TheoreticalMechanics16.4静平衡和动平衡简介16.4.1转子质量均衡的调试为了消除绕定轴转动刚体的轴承附加动约束力，刚体的转轴必须是中心惯性主轴。为此，需要对转子部件进行质量均衡调试工作。通过调试，改变转子的质量分布状况，使其转轴成为中心惯性主轴，或者接近于中心惯性主轴。转子的质量均衡调试工作分两大类：一是在非运转条件下调试转子，称为静平衡，它只能将转子的质心足够精确地调至转轴上；二是在运转条件下调试转子，称为动平衡，它能将转子的转轴足够精确地调试成为中心惯性主轴。

返回首页TheoreticalMechanics16.4.2静平衡静平衡就是校正转子质心的位置。校正转子静平衡的方法：将转子放在静平衡架的水平刀口上，使其自由滚动或住复摆动，当转子停止转动时，可把校正用的平衡重量附加在转子的上（轻）边；再让其滚动或摆动，试验校正反复多次，直至转子能够达到随遇平衡时为止，然后按所加平衡重量的大小和位置，在适当位置焊上锡块或镶上铅块，也可以在转子重的—边用钻孔的方法去掉相当的重量，使校正后的转子不再偏心，即达到静平衡。

返回首页16.4静平衡和动平衡简介TheoreticalMechanics原理：设转子重G，偏心距为e，平衡重量为P，距轴O的距离为l，当部件处于随遇平衡时，有

平衡重量P与l的乘积Pl称为重径积，它表示转动部件的不平衡程度。实际上，静平衡校正的精度不可能很高，因此静平衡方法仅适用于轴向尺寸不大、要求不高、转速一般的转子或为动平衡校正作初步平衡。

返回首页16.4.2静平衡16.4静平衡和动平衡简介TheoreticalMechanics16.4.3动平衡

若转子的轴向尺寸较大，尤其是形状不对称的或转速很高的转子，虽然作了