自动控制第五章

1例绘制开环系统Bode图的步骤⑴化G(s)为尾1标准型⑵顺序列出转折频率⑶确定基准线0.2惯性环节0.5一阶复合微分1振荡环节基准点斜率惯性环节-20dB/dec复合微分+20dB/dec振荡环节-40dB/dec复合微分+40dB/dec⑷叠加作图一阶二阶w=0.2

惯性环节-20w=0.5

一阶复合微分+20w=1

振荡环节-40最小转折频率之左的特性及其延长线例4

已知Bode图，确定G(s)。解解法Ⅰ解法Ⅱ截止频率：3最小相位（角）系统——

仅在左半s平面存在开环零、极点或带纯延时环节的系统非最小相角系统由L(w)不能唯一确定G(s)★最小相角系统由L(w)可以唯一确定G(s)最小相位系统非最小相位系统第五章控制系统的稳定性分析45第一节系统稳定的基本概念第二节劳斯稳定判据第三节奈氏稳定判据第四节玻德稳定判据6第五章控制系统的稳定性分析

稳定性是控制系统的重要性能，是系统正常工作的首要条件。分析系统的稳定性，并提出保证系统稳定的条件，是设计控制系统的基本任务之一。系统的稳定性判据

1)、劳斯判据——是一种代数判据2)、奈奎斯特判据——用开环奈氏曲线判断闭环系统的稳定性，是一种几何判据.3)、玻德判据——用开环玻德图判断闭环系统的稳定性，并可判断稳定的程度7第一节系统稳定的基本概念一、稳定的概念如果系统受到扰动，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复原来的平衡状态，则称系统是稳定的，或具有稳定性。否则，称系统是不稳定的，或不具有稳定性。8

系统稳定性是表示系统在去掉外在作用后自己恢复到原平衡状态的能力。因此，线性系统的稳定性是系统本身的固有属性。这种固有的稳定性，只取决于系统的结构参数而与初始条件及外作用无关。9二、稳定的数学条件系统稳定的充要条件：系统的所有闭环极点均具有负的实部，

或所有闭环极点均严格位于左半s平面。必要性：充分性：10根据系统稳定的定义，若,则系统是稳定的。

第二节劳斯稳定判断

要判断系统的稳定性，必须知道特征根实部的符号。解特征方程，求出全部根，可直接判断。但对高阶系统，求根很困难。因为系统特征方程的根与特征方程的系数有唯一对应的关系，可根据特征方程的的各项系数直接判断其根的稳定性。

——代数判断，古尔维茨稳定判据，劳斯稳定判据。11系统稳定的必要条件特征方程的各项系数存在并同号一、劳斯判据的必要条件

特征方程12例不稳定不稳定可能稳定劳斯（Routh）判据劳斯表劳斯表第一列元素均大于零时系统稳定，否则系统不稳定且第一列元素符号改变的次数就是特征方程中正实部根的个数

二、劳斯稳定判据的充要条件特征方程系数所组成的劳斯阵列中第一列所有元素的符号一致，则系统稳定e13三、二阶至四阶系统的稳定条件二阶系统稳定的条件：各项系数大于零劳斯表14劳斯表三阶系统稳定的充要条件：（1）各项系数大于零

（2）15劳斯表四阶系统稳定的充要条件:

(1)各项系数大于零(3)(2)16四、特殊情况

（1）劳斯阵列中，某一行的第一列为零可用一个很小的正数ε来代替零元素例：17第一列元素值符号有两次变化，系统不稳定特征方程在[s]平面的右半平面内有两个根，判断稳定性，判断右半平面根数。

(2)劳斯阵列中某一行的元素均为零表明存在着一些大小相等，径向位置相反的根，即存在着一些大小相等、符号相反的实根和（或）共轭虚根。所以，系统要么不稳定，要么临界稳定。a、取元素为零的前一行，以其系数组成辅助多项式。b、辅助多项式对s求导，以其系数代替全为零值的一行。c、由辅助多项式求取各对称根。18121620006168/3160在S右半平面上没有特征根19令得两对大小相等的，符号相反的根另外一对根显然系统处于临界稳定状态。6168/3160

为保证系统具有良好的动态响应，常希望系统特征根与S平面上虚轴之间有一定的距离a。设一个新变量，以代入原系统特征方程，得到一个的方程，应用劳斯判据。21例要求闭环系统的特征根全部位于垂线s=-1左侧，系统的闭环传递函数系统的特征方程以代入上式，整理得22劳斯判据的应用

例

某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。解依题意有系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系

23例

系统结构图如右，

(1)确定使系统稳定的参数(K,x)的范围;(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。解.(1)24(2)当x=2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。当x=2时，进行平移变换：25系统稳定性：(1)系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型、形式无关。(2)系统稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。闭环零点影响系数Ci

，会改变动态性能，但不影响稳定性。(3)闭环系统的稳定性与其开环是否稳定没有直接关系。26第三节奈氏稳定判据

用解出微分方程的根或者用劳斯判据判断系统的稳定性，对复杂的系统都是不方便的。另外，他们虽能判断系统的稳定性，却不能看出稳定的程度如何，元件参数对稳定性的影响。

频率判据是利用系统的开环频率特性判断闭环系统的稳定性，并可求出稳定裕度。

奈氏判据建立在幅角原理上，并引入辅助函数建立开环与闭环传递函数的关系；根据开环传递函数奈奎斯特图形包围（-1，0j），判断闭环系统稳定性2728一、幅角原理设系统开环传递函数为ReImReIm29ReImReIm二、辅助函数30左图所示，开环传递函数为

由于D(s)的阶次一般高于M(s)，所以F(s)的分子分母阶次相等，n阶。三、奈氏稳定判据三种描述1、辅助函数方法F(s)的分子分母阶次相等，即稳定的充要条件：2、开环奈氏图是否包含（-1，0w）稳定不稳定3、开环奈氏图与单位圆交点根据辅助函数或者开环奈氏图判断闭环传递函数稳定性以上准则基于开环稳定作为先决条件，研究闭环系统稳定性的方法。对于开环不稳定系统闭环也可能稳定，需要借助开环奈氏图包围（-1，0j）点的圈数进行判断。幅角原理验证31例单位负反馈系统的开环传递函数为32不稳定不稳定§奈奎斯特稳定判据

Z=P-2N

P——开环右极点数

Z——闭环右极点数（Z=0稳定）

N——开环奈氏曲线绕点转过的圈数注：逆时针转为正，顺时针转为负33例

已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。(不稳定)(稳定)稳定条件劳斯判据验证：解：34例

已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解依题有(稳定)(不稳定)35“交警站岗”例

已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。解依题有(稳定)(不稳定)36闭环系统不稳定闭环系统稳定有误！注意问题2.N的最小单位为二分之一1.当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧Z:在右半s平面中的闭环极点个数P:在右半s平面中的开环极点个数N:开环幅相曲线GH(jw)包围[G]平面(-1,j0)点的圈数奈奎斯特稳定判据37例

已知单位反馈系统开环传递函数，开环系统稳定,分析系统稳定性。Nyquist稳定判据：开环曲线不包围（-1，0jw）第四节玻德稳定判据A:B:Bode图：A：零分贝线B：相频-180度A:B:A:增益交界频率相位交界频率AB闭环系统稳定充要条件：

38稳定裕度的定义：截止频率相角裕度：距离的相位差的物理意义系统在方面的稳定储备量幅值相角一般要求相角交界频率幅值裕度39解法I：由幅相曲线求(1)令试根得§稳定裕度的计算例4，求相角裕度和幅值裕度相角裕度40令得幅值裕度41由L(w):得解法II：由Bode图求42例，求解.作L(w)求43整理得求wg解出44(稳定)(不稳定)例

已知单位反馈系统开环传递函数,分析系统稳定性。对数稳定判据以上研究是在开环传递函数稳定情况下研究闭环系统稳定性，若开环传递函数不稳定：4546已知开环系统稳定：例

开环系统Bode图如图所示，求G(s)。解依题有求K:47⑴⑵⑶⑷48非最小相角系统——

在右半s平面存在开环零、极点或带纯延时环节的系统★非最小相角系统未必不稳定非最小相角系统由L(w)不能唯一确定G(s)★最小相角系统由L(w)可以唯一确定G(s)★非最小相角系统相角变化的绝对值一般比最小相角系统的大§最小相角系统和非最小相角系统课程小结闭环系统不稳定闭环系统稳定有误！注意问题2.N的最小单位为二分之一1.当[s]平面虚轴上有开环极点时，奈氏路径要从其右边绕出半径为无穷小的圆弧；[G]平面对应要补充大圆弧Z:在右半s平面中的闭环极点个数P:在右半s平面中的开环极点个数N:开环幅相曲线GH(jw)包围[G]平面(-1,j0)点的圈数奈奎斯特稳定判据50对数稳定判据（bode）51开环传递函数稳定，闭环系统稳定充要条件：

开环传递函数不稳定，闭环系统稳定判据：

谢谢！52第四章作业小结存在问题：1）直尺作图；按照对数坐标指作图2）半对数坐标错误4）4-1（2）nyquist图是单调减函数3）