高中数学人教A版第二章数列等差数列的前n项和 全市获奖

等差数列前n项和同步检测一、选择题1.设等差数列的前项和为，若,,，则（）A. B. C. D.答案：C解析：解答：由已知得，当m≥2时，,，因为数列为等差数列，所以，又因为，所以，因为，所以，又，解得.故选C.分析：利用当n≥2时，求出及的值，从而确定等差数列的公差，再利用前项和公式求出的值.2．已知{an}是等差数列，a1+a2=4，a7+a8=28，则该数列前10项和S10等于（）A、64 B、100C、110 D、120答案：B解析：解答：设公差为d，由a1+a2=4，a7+a8=28得故选B．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1和d，代入等差数列的前n项和公式求解即可．3．等差数列{an}的前n项为Sn，若a2＋a6＋a7＝18，则S9的值是()A．64 B．72C．54 D．以上都不对答案：C解析：解答：设公差为d，由a2＋a6＋a7＝3a1＋12d＝3a5＝18，得a5＝6.所以S9＝＝9a5＝54，故选C分析：根据等差数列的性质m+n=p+q，am+an=ap+aq，代入等差数列的前n项和公式求解即可．4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A、13 B、35C、49 D、63答案：C解析：解答：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2=3，a6=11，得故选C．分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1和d，代入等差数列的前n项和公式求解即可．5．已知数列{an}的通项公式为an=2n﹣49，则当Sn取最小值时，项数n（）A、1 B、23C、24 D、25答案：C解析：解答：由an=2n﹣49,当n=1时，a1=-47数列，则{an}为等差数列（n﹣24）2﹣242结合二次函数的性质可得当n=24时和有最小值故选：C分析：由an=2n﹣49可得数列{an}为等差数列，则可得，结合二次函数的性质可求.6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a7＞0，a8＜0，则下列结论正确的是()A．S7＜S8 B．S15＜S16C．S13＞0 D．S15＞0答案：C解析：解答：根据数列的增减性，由已知可知该等差数列{an}是递减的，且S7最大即Sn≤S7对一切n∈N*恒成立．可见选项A错误；易知a16＜a15＜0，S16＝S15＋a16＜S15，选项B错误；S15＝(a1＋a15)＝15a8＜0，选项D错误；S13＝(a1＋a13)＝13a7＞0.分析：因为公差非零的等差数列具有单调性(递增数列或递减数列)，根据数列的增减性，即可.7．在等差数列{an}中，a9＝a12＋6，则数列{an}的前11项和S11＝()A．24C．66答案：D解析：解答：由a9＝a12＋6，得2a9－a12＝12.由等差数列的性质得，a6＋a12－a12＝12，a6＝12，S11＝＝＝132，故选D.分析：根据等差数列的性质m+n=p+q，am+an=ap+aq，代入等差数列的前n项和公式求解即可．8、数列{an}中，a1=﹣60，且an+1=an+3，则这个数列的前30项的绝对值之和为（）A、495 B、765C、3105 D、120答案：B解析：解答：∵an+1﹣an=3，∴an=3n﹣63，知数列的前20项为负值，∴数列的前30项的绝对值之和为：﹣a1﹣a2﹣…﹣a20+a21+…+a30=﹣s20+（s30﹣s20）=765故选B.分析：在理解概念的基础上，由学生将等差数列的文字语言转化为数学语言，归纳出数学表达式，对于绝对值的应用，若记不住它的前几项的绝对值和的表示，可以自己推导出来，但以后要记住．9、已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（）A、21 B、20C、19 D、18答案：B解析：解答：设{an}的公差为d，由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②由①②联立得a1=39，d=﹣2，∴sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，故当n=20时，Sn达到最大值400．故选B．分析：求等差数列前n项和的最值问题可以转化为利用二次函数的性质求最值问题，但注意n取正整数这一条件．10．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝－3，ak＋1＝eq\f(3,2)，Sk＝－12，则正整数k的值为（）.A．12答案：B解析：解答：根据数列前n项和性质，可得Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝，又Sk＋1＝＝＝，解得k＝13.分析：本题考查等差数列的前n项和公式的合理运用，解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式的合理运用即可．11．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）A、5 B、4C、3 D、2答案：C解析：解答：因为等差数列共有10项，奇数项之和为a1+a3+a5+a7+a9=15①，偶数项之和为a2+a4+a6+a8+a10=30②，则②-①得5d=15，故d=3，故选C．分析：等差数列的奇数项和和偶数项和的问题也可以这样解，让每一个偶数项减去前一奇数项，有几对得到几个公差，让偶数项和减去奇数项和的差除以公差的系数．12．如果等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝12，那么S7＝()A．14B．21C．28D．35答案：C解析：解答：由等差数列的性质知，a3＋a4＋a5＝3a4＝12⇒a4＝4，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝(a1＋a7)＋(a2＋a6)＋(a3＋a5)＋a4＝7a4＝28.分析：根据等差数列的性质m+n=p+q，am+an=ap+aq，代入等差数列的前n项和公式求解即可．13．等差数列{an}中，Sn是其前n项和，a1＝－2023，＝2，则S2023的值为()A．－8064B．8065C．8064D．8062答案：C解析：解答：，∴{}为以a1为首项，以eq\f(d,2)为公差的等差数列．∴＝2×eq\f(d,2)＝2.∴d＝2.∴S2023＝2023×(－2023)＋8064.分析：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，认真审题即可。14.已知Sn表示数列{an}的前n项和，若对任意的n∈N*满足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，则S2023＝()A．1006×2023B．1006×2023C．1008×2023D．1007×2023答案：C解析：解答：在an+1=an+a2中，令n=1，得a2=a1+a2，a1=0，令n=2，得a3=2=2a2，a2=1，于是an＋1-an=1，故数列{an}是首项为0，公差为1的等差数列，∴S2023==1008×2023．故选：C．分析：由已知条件推导出数列{an}是首项为0，公差为1的等差数列，由此能求出S2023．15.已知数列{an}的前n项和Sn=n2﹣8n，第k项满足4＜ak＜7，则k=（）A、6 B、7C、8 D、9答案：B解析：解答：由an=，得，当n=1时适合，故，因为4＜ak＜7，所以4＜2k-1＜7，所以＜k＜8，又因为所以k=7.分析：先利用公式an=求出an，再由第k项满足4＜ak＜7，建立不等式，求出k的值．二、填空题16.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a1＝4，则公差d等于答案：－2解析：解答：由题意，得6＝3×4＋d，解得d＝－2.分析：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，认真审题即可。17.等差数列{an}的前n项和为QUOTE，且记，如果存在正整数M，使得对一切正整数n，≤M都成立，则M的最小值是.答案：2解析：解答：∵{an}为等差数列，设公差为d，首项为a1，因为，解得a1=1，d=4，可解得，∴.若≤M对一切正整数n恒成立，则只需的最大值≤M即可.又<2，∴只需2≤M，故M的最小值是2.分析：利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1和d，代入等差数列的前n项和公式，代入求解即可．18、已知f（n）=1+3+5+…+（2n﹣5），且n是大于2的正整数，则f（10）=．答案：64解析：解答：由题意得，f（10）=1+3+5+…+（2×10﹣5）=1+3+5+…+15=1+3+5+7+9+11+13+15=64，故答案为：64．分析：由题意知f（n）是求大于等于1的奇数和，令n=10代入求出f（10）中最后一项，再求出所有的奇数和．19．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*，若a3＝16，S20＝20，则S10的值为__________．答案：110解析：解答：∵{an}为等差数列，设公差为d，首项为a1，因为a3＝16，S20＝20，解得a1=20，d=-2，∴S10＝10×20＋.分析：利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1和d，代入等差数列的前n项和公式，求解即可．20．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若－1＜a3＜1，0＜a6＜3，则S9的取值范围是__________．答案：(－3,21)解析：解答：∵{an}为等差数列，设公差为d，首项为a1，因为S9＝9a1＋36d＝x(a1＋2d)＋y(a1＋5d)，由待定系数法得x＝3，y＝6.因为－3＜3a3＜3,0＜6a6＜18，两式相加即得－3＜S9＜21.分析：利用等差数列的通项公式和等差数列的前n项和公式及“待定系数法”求解即可．三、解答题21、已知等差数列{an}中，a1=1，a3=﹣3．（1）求数列{an}的通项公式；答案：设出等差数列{an}的公差为d，由，因为a1=1，a3=﹣3，所以=1+2d=-3，解得d=-2，故=3-2n。（2）若数列{an}的前k项和Sk=﹣35，求k的值．答案：由（1）可得=3-2n，所以所以Sk=﹣35，故2k-2k2=35，解得k=7或k=-5，又因为解析：分析：（1）设出等差数列的公差为d，然后根据首项为1和第3项等于﹣3，利用等差数列的通项公式即可得到关于d的方程，求出方程的解即可得到公差d的值，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；（2）根据等差数列的通项公式，由首项和公差表示出等差数列的前k项和的公式，当其等于﹣35得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，根据k为正整数得到满足题意的k的值．22．等差数列{an}中，a2＋a3＝－38，a12＝0，求Sn的最小值以及相对应的n值．答案：(单调性法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则有，解得∴当即时，Sn有最小值，解得11≤n≤12，∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.(配方法)由解法一得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－22,d＝2))，∴Sn＝－22n＋×2＝n2－23n＝－，∴当n＝11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11＝S12＝－132.解析：分析：可由已知条件，求出a1，d，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))求解，亦可用Sn利用二次函数求最值．23.已知函数f（x）=-2x2+22x，数列{QUOTEan}的前n项和为QUOTE，点（n，）（n∈QUOTE）均在函数y=f（x）的图象上.（1）求数列{QUOTEan}的通项公式QUOTEan及前n项和；答案：因为点QUOTE（n，QUOTE）（n∈QUOTE）均在函数y=f（x）的图象上，所以QUOTE=-2QUOTE+22n.当n=1时，QUOTE=QUOTE=20;当n≥2时，QUOTEan=QUOTE-QUOTE=-4n+24.所以an=-4n+24（n∈QUOTE）.（2）存在k∈N*，使得QUOTE++…+QUOTE<k对任意n∈N*恒成立，求出k的最小值；答案：存在k∈QUOTE，使得QUOTE++…+QUOTE<k对任意n∈QUOTE恒成立，只需k>（QUOTE++…+QUOTE）maxQUOTE，由（1）知=-2+22n，所以＝-2n+22=2（11-n）.当n<11时，QUOTE>0；当n=11时，QUOTE=0；当n>11时，QUOTE<0.所以当n=10或n=11时，QUOTE\*MER