3 凹函数与拟凹函数 课件

PAGEPAGE66第3章凹函数3.1光滑函数与齐次函数3.2光滑函数的凹性3.3保持凹性的运算3.4拟凹函数

3.1光滑函数与齐次函数3.1.1梯度的几何性质3.1.2Hessi矩阵的定性3.1.3Taylor展开3.1.4齐次函数

光滑函数(smoothfunction)是可以近似表达为线性函数的非线性函数，它们的图形没有间断和折点光滑函数的线性近似实际上属于微积分的范畴

3.1.1梯度的几何性质梯度向量表示从出发的变化方向，具体取决于每一个分量变化的大小。图3-1向量的几何含义全微分(3.1)即在点处的全微分恰好是梯度和向量的内积。曲线的水平集(levelset)常见例子无差异曲线：效用函数的水平集等产量曲线：生产函数的水平集。

梯度的几何含义是与切平面垂直的向量，即法向量。在点处指向变化的法方向。图3.2梯度向量的几何含义

例3.1(水平集的斜率)设在点处可微存在超平面在点处与水平集相切。由下式定义：其斜率为：即在点处的偏导数之比。若为效用函数，则水平集为无差异曲线，而两种商品之间的边际替代率衡量无差异曲线的斜率；若为生产函数，则水平集为等产量曲线，而两种投入之间的边际技术替代率衡量等产量曲线的斜率。3.1.2Hessi矩阵的定性矩阵的定性：为阶方阵正半定正定负半定正半定负定正定不定既有正值也有负值

主子式和顺序主子式的阶主子阵从中划去行和相同的列，由此形成的阶子矩阵对应的行列式称为的阶主子式的阶顺序主子阵从中划去后后行和列，由此形成的阶子矩阵对应的行列式称为的阶主子式

例3.2三阶方阵有1个三阶主子式，3个二阶主子式，3个一阶主子式 有3个顺序主子式

定理3.1对称矩阵的定性正定的个顺序主子式都为正数负定的个顺序主子式依次改变符号：奇数顺序的为负，而偶数顺序的为正正半定的个主子式都非负负半定的个主子式依次改变符号：奇数顺序的为负，而偶数顺序的为正

例3.3Cobb-Douglas函数的梯度向量为： Hessi矩阵为：，则在点的梯度为Hessi矩阵为它的三个主子式因此，在点处，海赛矩阵是负半定的。 3.1.3Taylor展开中的Taylor定理是开区间上的单值函数，，在和之间存在，使得中的二次近似表示是开区间上的实值函数，，，满足 中的二次近似表示是点的凸邻域上的单值函数，，满足其中，余项为可以忽略不计的向量的模的平方的无穷小量。进一步地，在点和之间存在点,使得：

例3.3(Cobb-Douglas函数)例3.1中的Cobb-Douglas函数在点处的二次Taylor展开近似表示为：

3.1.4齐次函数齐次函数是次齐次,，。经济分析中的齐次函数生产者理论：规模报酬不变意味着生产函数是1次齐次的价格函数：如利润函数中，它对应于相对价格不变时的规模。经济学中最常见的情形是0次或1次齐次。0次齐次函数沿着任何射线都是常数1次齐次函数沿着所有射线都是线性的，有时也称为线性齐次的(linearlyhomogeneous)。例3.4(Cobb-Douglas函数)Cobb-Douglas函数是次齐次的。因为对

经济学中的一些齐次函数：规模弹性不变(constantelasticscale,CES)函数是1次齐次的。需求函数衡量给定价格和收入时商品的需求量(例1.1)，它是0次齐次的。间接效用函数在和中是0次齐次的。竞争性厂商的利润函数是1次齐次的。竞争性厂商的成本函数在投入价格中是1次齐次的。

齐次函数的性质是次齐次可微函数的偏导数次齐次是1次齐次可微是次齐次可微

3.2光滑函数的凹性3.2.1凹性的定义3.2.2一阶条件3.2.3二次条件3.2.4例子3.2.5上水平集3.2.6下图

3.2.1定义凹，，(3.9)严格凹，，上式严格成立凸凹严格凸严格凹

例3.5(利润函数)竞争性厂商的利润函数在中是凸的，设最大化价格时的利润，最大化价格时的利润。对，设加权平均价格设最大化时的利润，则由于、分别最大化、时的利润，因此利润函数在中是凸的。函数是仿射的(从而线性的)该函数既凸又凹 凸集上的是凹的和，在上是凹的。通过将函数限定在一条直线上，这一性质可检查函数是否为凹。凸函数在定义域的内部是连续的，但可能在边界上不连续。

3.2.2一阶条件是开凸集上的单值函数，凹，(3.10)凹函数的图像位于经过其上任一点的切线的下方。图3.4凹函数的一阶条件式(3.10)表明凹函数的一次泰勒近似是的全局高估量(globaloverestimator)。反之，如果函数的一阶泰勒近似总是函数的全局高估量，则函数是凹的借助凹函数的局部信息(即它在一点的值和导数)，可以导出全局信息(即它的全局高估量)。例子：式(3.10)表明，，也即，是的全局最大点。

严格凹性严格凹，，凹，

一阶凹性条件的证明的情形凹，，凹(3.11)，可得式(3.11)。，满足式(3.11)，，令。应用式(3.11)凹一般的情形，考虑，有。凹凹(3.12)，，凹

3.2.3二阶条件，凹负半定在上，在点有负曲率。

例3.6(二次函数)其中为阶实对称矩阵，，。，凹负半定凸正半定严格凹负定严格凸正定

3.2.4例子上的一些例子：指数函数。，在上凸幂函数。，在上凹；或时是凸的。绝对值的幂。，在上凸。对数。在上凹。非负熵。在上(严格)凸。证明方法1．验证式(3.11)2．检验二次导数上的例子：范数。上的每个范数都是凸函数。最大值函数。在上凸“二次与线性之比”函数上的是凸的(图3.2)。图3.2函数“指数之和的对数”函数在上凸。时的情形如图3.3。图3.3函数几何平均函数。在上凹

验证方法直接验证式(3.11)验证Hessi矩阵是正半定的函数约束在任意直线上，并验证所产生的一元函数的凹性。

范数 范数，，则不等式基于范数满足三角不等式，等式源于范数的齐次性。最大值函数 ，满足

“二次与线性之比”函数 对，“指数之和的对数”函数 其中。为验证是正半定的，必须表明，，即设，应用Cauchy-Schwartz不等式，可得上式。几何平均函数 海赛矩阵由以下两式给定表示为其中。须表明负半定。即对，设，，应用Cauchy-Schwartz不等式，可得上式。3.1.5上水平集凸集上的的上水平集(superlevelset)凹它的上水平集是凸的。相反的情形不成立如的上水平集是凸的，但它在上不是凹的，而是严格凸的。凸它的下水平集凸

例3.9的几何和算术平均分别为在的定义中，取。算术—几何平均不等式表明，设，考察即几何平均不小于算术平均的倍的向量的集合。这一集合是凸的，因为它是凹函数的上水平集。事实上，该集合是非负齐次的，因而是凸锥。

3.1.6下图的图形(graph)为，它是的子集。的下图(hypograph)为

凹它的下图是凸集。凸上图(epigraph)凸。凹函数的许多结果可以利用下图进行几何解释如凹性的一阶条件其中是凹的，。这意味由向量确定的超平面在点处支撑，如图3.8。图3.8向量确定的在点处的的支撑超平面

例3.8生产函数厂商用种投入生产一种产出的技术投入要求集生产函数(productionfunction)：生产函数与生产可能性集给定，，定义是的下图。凹凸生产函数凹技术呈现规模报酬非递增生产函数严格凹技术呈现规模报酬递减。 3.3保持凹性的运算3.3.1非负加权之和3.3.2仿射映射的复合函数3.3.3复合函数

3.3.1非负加权之和凹，凹和凹凹凹，凹类似地：凸函数的非负加权之和是凸的严格凹(凸)函数的正加权之和是严格凹的(凸的) 3.3.2仿射映射的复合函数设，矩阵，。定义为，其中，凹凹凸凸

3.3.3复合函数设，，其复合函数定义为其中。复合函数的凹(凸)性凹和非递减，凹凹凹和非递增，凸凹凸和非递减，凸凸凸和非递增，凹凸 例3.9一些简单的复合结果凹凹凹和正的凹凸和正的凹凹和非负，凹凹在上是凹的。

3.4拟凹函数3.4.1定义拟凹(quasiconcave)，，严格拟凹(quasiconcave)，，拟凸(quasiconvex)拟凹严格拟凸严格拟凹拟线性(quasilinear)既拟凹又拟凸几何意义：设，，拟凹性要求：从“低点”沿直线移动到“高点”时，的函数值不低于。图3.9 拟凹函数

定理3.6设定义在凸集上：拟凹上水平集凸拟凸下水平集凸拟线性水平集凸直接结论凹拟凹拟凹函数不具有凹函数的某些性质在定义域中的某些内点处可能不连续其非负线性组合未必是拟凹函数

例3.11(凸偏好)凸偏好(convexpreference)指在平均的和极端的消费组合之间，消费者更偏爱平均的消费组合反映凸偏好关系的效用函数拟凹

例3.12凸技术投入要求集是生产函数的上水平集凸拟凹。生产函数凹生产可能性集凸凸技术假定凸或拟凹，该假定不排除规模报酬递增的存在

拟凸函数的经济学例子例3.13(间接效用函数)消费者间接效用函数(例1.3)在价格向量中是拟凸的。

上的拟凹函数图中上水平集是区间，因而是凸的上水平集是区间。图3.10上的拟凹函数

拟凹函数可以是凸的，或者是不连续的对数函数。上的既是拟凹的，又是拟凸的，因而是拟线性的。上限函数。是既是拟凹的，又是拟凸的，因而是拟线性的。其中是整数集。

上的一些例子例3.13上的单值函数既非凹也非凸，因为是不定的，它有一个正的、一个负的特征根。但是拟凹的，因为它的上水平集是凸的。不过，在上不是拟凹的。

例3.14(线性分式函数)在上的线性分式函数既拟凹的又拟凸，因而是拟线性的。它的上水平集是凸的，因为它是一个开半空间和一个闭半空间的交。

可微拟凹函数的一阶条件定理3.7是开凸集上的函数，拟凹，

拟凹性和凹性的一阶条件的重要区别凹，是的全局最大点拟凹，，未必是全局最大点伪凹性伪凹，伪凹函数的每个局部极大点都是全局最大点!经济学中的多数拟凹函数是伪凹的，这一特征在解决最优化问题中将带