统计学基础第4章综合指标

第四章综合指标第一节总量指标一、总量指标的意义与作用意义：总量指标是反映社会经济现象发展的总规模、总水平的综合指标。它是对统计调查来的原始资料经过分组和汇总得到的各种统计数字，是统计整理阶段的直接结果，为统计研究进入统计分析阶段提供可靠的基础。总量指标是最基本的综合指标。作用：是对社会经济现象总体认识的起点是编制计划，实行经营管理的主要依据是计算相对指标和平均指标的基础二、总量指标种类（一）按其反映现象总体内容不同，分为总体单位总量和总体标志总量，简称为单位总量和标志总量（如下表）。（二）按反映时状总的不同，可分为时期指标和时点指标。时点指标是存量，时期指标是流量。比如月工资是流量，而银行存款数则是存量。时期指标可以加总，而时点指标不能进行加总。经济类型企业数工人数总产值（万元）实现利税（万元）年末固定资产原值（万）全民16473900020451063850022375集体160758001975855978022398单位总量标志总量统计学上将实物计量的指标称为实物指标，其主要特点是能直接反映产品的使用价值或现象的具体内容，因而能够具体地表明事物的规模和水平。但是这样使实物总量汇总成为不可能。因为不同事物有不同的单位，不同的计量方法，对于不同事物则无从汇总。以货币单位计算的总量指标又称为货币指标或价值指标。它具有综合的概括能力。但是价值指标也有局限性，就是它脱离了物质内容，有时也不能反映真实性况。比如通货膨胀情况发生时，就更不能反映实际，特别是在不同时期时行比较时更易脱离实际。（比如开国第一大案中刘清山、张子善涉案金额达155亿之多，但看到这一数字时需考虑到当时的货币购买力）三、总量指标的计量单位1、对总量指标的实质，包括期涵义、范围做严格的确定。即使用概念时一定要对概念进行界定。2、计算实物总量时，要注意现象的同类性。3、应使用统一的计量单位四、总量指标资料的统计要求第二节相对指标一、相对指标的意义及表现形式相对指标又称统计相对数，它是两个有相互关联的现象数量的比率，用以反映现象的发展程度、结构、强度、普遍程度或比率关系。它为人们深入认识事物发展质量与状况提供客观的依据。计算相对指标可以使不能直接对比的现象找到可以对比的基础，进行更为有效的分析。如考察企业生产经营状况，由于条件不同，产品不同，不能用产值指标作为依据。二、相对指标的种类及计算方法1、结构相对指标：结构相对指标就是在资料分组的基础上，以总体总量作为比较标准，求出各组总量占总体总量的比重，以反应事物的内部构成。基公式如下：第i组的结构相对指标是第i组总量除以各组总量之和如：2005年我国GDP182321亿元，其中第一产业22718亿元，第二产业86208亿元，第三产业73395亿元。分别占GDP的12.4%，47.3%，40.3%.2、比例相对指标。它是指同总体中不同部分数量对比，用于分析各组之间的比例协调关系。其公式如下3、比较相对指标。它是指不同总体的同类现象数量对比而确定的相对指标，用以说明某同一类现象在同一时间内各单位发展的不平衡程度，以表明同类事物在不同条件不的数量对比关系。公式如下：4、强度相对指标。强度相对指标是同总体的两个性质不同而有联系的总量指标之间的对比，用以表明某一现象中发展的强度、密度和普遍程度。表达公式如下：5、动态相对指标。它是指发展速度，表示同类事物报告期水平同基期对比的发展变化程度。公式如下：

6、计划完成程度指标（详例请参见课后习题第9-11题解答）

该公式的子项与母项的指标涵义、计算口径、计算方法、计算单位以及空间长短和时间范围等方面都要一致。例如，某企业2004年产品产计划达到1500，实际产量为2000吨，则产量计划完成程度=2000/1500*100%=133%（1）计划任务数以绝对数形式出现：检查其计划完成情况一般分为长期计划完成与短期计划完成情况。A、短期分子分母为同期的，用于说明本期计划完成情况计划完成度相对指标=本期实际数/本期计划数B、长期计划完成情况检查长期累计法水平法（1）计划任务数以相对数形式出现其中a1指实际水平，an指计划水平，a0指上年水平。动态相对指标：a1/a0计划任务相对指标：a1/an计划完成相对指标a1/an例：某工厂2003产量计划完成110%，2003产量计划比2002年增长%，则2003年同2002年比较增长百分数=108%*110%=118.8%第三节数据分布的集中趋势指标

一、描述分布集中趋势的主要指标及其作用1、描述分布集中趋势的主要指标：平均数、众数、中位数2、作用：（1）反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平；（2）便于比较同类现象在不同单位间的发展水平；（3）能够比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律；（4）分析现象之间的依存关系时也常借助于平均指标。一、算术平均数(一)概述算术平均数(Arithmeticmean)也称为均值(Mean)，是全部数据算术平均的结果。算术平均法是计算平均指标最基本、最常用的方法。计算公式为

算术平均数在统计学中具有重要的地位，是集中趋势的最主要度量值，通常用（读作）表示。根据所掌握数据形式的不同，算术平均数有简单算术平均数和加权算术平均数。（二）简单算术平均未经分组整理的原始数据，其算术平均数的计算就是直接将一组数据的各个数值相加除以数值个数。例：40名同学统计学原始成绩请求出平均成绩（可以用EXCEL求解更为方便，见第四章：算术平均.xls文件）该班40名同学统计学的平均成绩为：（二）加权算术平均数(Weightedarithmeticmean)1、根据分组整理的数据计算算术平均数，就要以各组变量值出现的次数或频数为权数计算加权的算术平均数。公式为：其中：Xi是各组变量值（组中值），fi为各组频次40名同学统计学成绩汇总表例：如右表，求解如下，详解过程请参见：第四章：加权平均.xls文件。2、加权平均值影响因素分析

从上式可能看出，加权平均数受两方面因素影响，一是各组标志值；二是各组频次。这样加权平均值可以表示为各组变量值与其频率之积再求和。上例中的加权平均亦可以按如下方法求解右上表为原始数据，下表为计算后数据，结果为平均起重量14起重量（吨）X台数f起重总量xf4014025250103305420合计10140起重量（吨）X台数构成4010425205103035402合计10143、相对数的加权平均数

相对数与平均数的资料求平均数时，则要区别情况对待。需要按题意分子分母分别计算总数进行平均。如例题：平均值为1050/1000=105%，详解过程请参见“第四章：相对数加权平均.xls”文件计划完成程度（%）组中值X企业数计划任务数f实际完成数（万元）XF90-10095510095100-1101058800840110-1201152100115合计加权平均数的性质⑴各变量值与其算术平均数的离差之和等于零，⑵各变量值与其算术平均数的离差平方和最小，二、调和平均数

在前面的加权平均数求解中，分子部分（标志值总量）是通过各组标志值乘以总体单位数之后再和求得，而分母部分都是给出的。在实际工作中，经常会遇到只有各组变量值和各组标志总量而缺少总体单位数的情况，这时就得反求分线，这是是调和平均数法计算平均指标。1、简单调和平均2、加权调和平均某商品有三种不同的规格，销售单价与销售量如表所示，求这三种不同规格商品的平均销售单价。

请先比较两表的异同

如果上面两表的前三列均是已知数，而最后一列是示知的话，那么前一表中缺少销售额即标志值总量；后一表中缺少的是销售量即总体单位数。而下表中的其实就是上表中的。因而：调和平均数与算术平均数没有本质的不同，所不同的是已知条件不同。在算术平均数里总体单位数已知，而标志值总量未知；而在调和平均数中，标志值总量已知，而总体单位数却不知，因而首先得求出总体单位数，即，然后用标志总量除以已求出的总体单位数即得出平均数。三、众数（一）概念众数是指一组数据中出现次数最多的变量值.从变量分布的角度看，众数是具有明显集中趋势点的数值，一组数据分布的最高峰点所对应的数值即为众数。当然，如果数据的分布没有明显的集中趋势或最高峰点，众数也可以不存在；如果有多个高峰点，也就有多个众数。单项数列资料众数的确定单项数列确定众数，只需要直接判断哪一组的次数最多，该组的变量值即为众数。组距数列分组资料的近似计算组距数列确定众数，是先根据数列数最多的组确定为众数所在组，再利用插补法求其近似值。计算公式如下：………………（公式4-19）式中，m0代表众数；lm0代表众数组下限；dm0代表众数组组距；ƒm0-1代表众数组前一组的次数；ƒm0代表众数组的次数；ƒm0+1代表众数组的后一组的次数。例题，概据下表计算众数某地区农民家庭收入资料

=1511.8（元）

四、中位数（一）概念：中位数是将总体各单位标志值按大小顺序排列后，处于中间位置的那个数值。（二）中位数的计算对于未分组的原始资料，首先必须将标志值按大小排序。设排序的结果为：

则中位数就可以按下面的方式确定： ，当n为奇数……（4-16），当n为偶数………………（4-17）3、分组中位数的算法中位数计算公式如下：……（公式4-18）式中，Lme代表中位数组的下限；dme代表中位数组组距；∑ƒ代表数列频数总和；Sme-1代表累计至中位数所在组前一组止的频数；ƒme代表中位数所在组的频数。第三节数据分布的离散趋势一、变异指标含义（一）变异指标的概念在统计研究中，通常把一组数值之间的差异程度叫做标志变动度。测定标志变动度大小的指标叫做标志变异指标。标志变动度与标志变异指标在数值上成正比。如果说平均指标说明总体分布的集中趋势的话，标志变异指标则说明总体分布的离中趋势。（二）变异指标的作用1.反映总体各单位变量值分布的均衡性2.判断平均指标对总体各单位变量值代表性的高低3.在实际工作中，借助标志变异指标还可以对社会经济活动过程的节奏性和均衡性进行评价4.标志变异指标是衡量风险大小的重要指标。（三）变异指标的类型根据所依据数据类型的不同，变异指标有全距、平均差、方差和标准差、离散系数等。二、全距全距又称极差，是一组数据的最大值与最小值之差，用表示。计算公式为：如果资料经过整理，并形成组距分配数列，全距可近似表示为：

R=末组上限-首组下限三、方差和标准差(Variance、Standarddeviation)

涵义：方差是各变量值与其算术平均数离差平方的算术平均数。标准差是方差的平方根。（一）总体的方差和标准差设总体的方差为，标准差为，对于未分组整理的原始资料，方差和标准差的计算公式分别为：对于分组数据，方差和标准差的计算公式分别为：例：见右表。方=178/11

=16.18

标准差=4.02

(计算过程见：第四章：方差标准差1.xls文件)日产零件x(1)(2)=(1)-22(3)=(2)平方15-74917-52519-3920-24220022002311231125392641630864合计0178例：如下表，求方差与标准差解：方差=12200/200=61标准差=7.8(具体求解过程请参见“第四章：方差、标准差2.xls”文件)日产量（KG）工人数组中值KGf20-301025407035-749343040-5090453981050-603055131695070合计200——————12200（二）样本的方差和标准差样本的方差、标准差与总体的方差、标准差在计算上有所差别。总体的方差和标准差在对各个离差平方平均时是除以数据个数或总频数，而样本的方差和标准差在对各个离差平方平均时是用样本数据个数或总频数减1去除总离差平方和。设样本的方差为，标准差为，对于未分组整理的原始资料，方差和标准差的计算公式为：对于分组数据，方差和标准差的计算公式为：

在计算中，如果是未分组数据，样本方差的函数是var()，标准差函数为stdev().如果是分组数据，计算过程类比总体方差与标准差计算（三）是非标志的平均数、方差与标准差在实际生活中，有些事物或现象的特征只表现为两种性质上的差异，例如，产品的质量表现为合格或不合格，人的性别表现为男或女，人们对某种意见表示为同意或不同意；对学生考试成绩分为及格和不及格，等等。这些只表现为是与否、有或无的标志，称为是非标志，也称为交替标志。在进行抽样估计时，是非标志的方差或标准差具有很重要的意义。若以表示总体中具有某种表现的单位数，表示总体中不具有某种表现的单位数，表示总体单位数，则成数可表示为：或

2.是非标志的平均数