初中数学竞赛-有理数篇

一、有理数及其运算1、基本概念的提升“有理数”——神马东西？定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式；分类：两种分法如下图、数轴-长啥样儿呢？定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴（numberline），它满足以下要求：

（1）方向（通常规定右为正，左为负）；

（2）原点；

（3）单位长度；

【注：（1）（2）（3）缺一不可，缺少就不叫数轴】如下图所示：数轴上的点和实数是一一对应的。（任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。）数轴练习题

相反数、绝对值中文名：数轴英文名：numberaxis相反数：只有符号不同的两个数，其余相同绝对值：点到原点的距离作用：比较大小说明：一切正数大于0，0大于一切负数，正数大于一切负数。相反数：-2和2互为相反数；；.....绝对值：在数轴上表示一个数的点离原点的距离就叫做这个数的绝对值；用代数式表示：|a|=?(讨论a为何值)数轴上右边的数总比左边的数大，两个负数相比较，绝对值大的反而小。相反数、绝对值练习相反数·例题详解例2、化简例1、按要求作答

-[-(-0.5)]=______;+[-()]=____;-[+(-50)]=______;-|-()|=_____;绝对值的性质【绝对值具有非负性】例1、|-5|=___;|+5|=____;|-[-(-5)]|=____;例2、(1)||=3;||=5;

（2）已知x是有理数，且|x|=|-4|，那么x=;

(3)解方程：|4x+8|=15;经典例题【B卷题型——代数式求值】解：经典例题【B卷题型—含绝对值运算】解：【巩固练习】结合数轴化简代数式【A、B卷】解：解：【巩固练习】解：经典例题解：解：巩固练习解：例题·零点分段法解：例题·零点分段法求值解：绝对值的几何意义|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离原点的距离；|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a,b对应数轴上两点间的距离。【思路导航】分析以下A、E两个点，不论这个邮筒放在AE之间的哪一点，A到邮筒的距离加上E到邮筒的距离就是AE的长度。也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使B、D两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD。最后，只需要考虑C点到邮筒的距离最近就行了。那么当然也就是把邮筒放在C点了。这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”结论：【巩固练习】【竞赛衔接】解：【竞赛衔接】解：【竞赛衔接】解：【竞赛衔接】解：利用已有的知识，灵活熟练地运用数的四则运算法则和有关公式，学会巧算的方法。二、有理数计算学习与提升分析：这个算式中的分母均是99，分子依次是1到296，而1+296=297，而297恰好是99的3倍，可以看出，算式中的首末两项或与首末两项等距离的两项之和为3×99，并且这样的和只有296/2个。1、巧用运算律：例1.计算：1/99+2/99+3/99+···+296/99解：1/99+2/99+3/99+···+296/99=（1/99+296/99）+（2/99+259/99）+···（148/99+149/99）=3X148=444解：设S=5+8+11++14+17+·····+32反过来写S=32+29+26+······+52S=(5+32)+(8+29)+·······(32+5)=37X10=370所以S=185例2：5+8+11++14+17+·····+322、倒写相加分析：可利用“倒写相加”的方法来计算上式的和

观察上例我们发现：它的每两个相邻的加数的差相等，一般地，给出一列数a1、a2、a3……an(其中a1称为首项，an称为末项)，如果从第二项开始，后项与前项的差都相等，那么就称这列数a1、a2……an为等差数列，这个差用d来表示。即d=a2-a1=a3-a2=·······=an-an-1d叫公差，n为项数如何来推算等差数列a1、a2……an的和呢？例2：5+8+11++14+17+·····+32设S=a1+a2···+an反过来写，则s=an+an-1+a1两式相加得：2S=(a1+an)+(a2+an-1)···+(an+a1)由于a1+an=a2+an-1=···=an+a1因为2S=(a1+an)·n所以S=(a1+an)/2·n例3.利用等差数列求和公式计算：

分析：这里a1=1，an=1991，d=3-1=2，n=996

1+3+5+……+1991解：设S=1+3+32+……+32014(1)则3S=3+32+……+32015(2)（2）-(1)得：3S-S=(3+32+···+32015)-(1+3+32+···+32014）2S=32015-1所以S=32015-1/2

3、先乘后减例4：求1+3+32+……+32014的值。分析：和式中从第二项起，相邻的后一项与前一项的比都是3，如先用3乘以和式两边，然后与原式对应相减，即可得解。解：原式=(90+900+9000+90000+……+900000)-5=999990-5=999985

4、凑数与分拆：例5.计算89+899+8999+89999+899999分析：观察各数的特征：都是由8和9组成，只要将第一个数加上1就凑成90，第二个数加上1就凑成900，……再求和即可。

分析：

证明：

……

分析：算式中的每一项“分拆”成正负两项，利用“正负相消”的方法计算。

解：

人类的祖先经过长期的实践，在数的范围内确定了一些运算符号及法则：如加（+）、减（－）、乘（×）、除（÷），这使数学更加简明。然而，这些符号都是“公认的”，其实，除了四则运算以外，还可以有一些新的符号，让它代表新的运算，这就是定义新运算。

我们定义的这种新运算，其运算结果应该是等于参加运算的第一个数加上第二个数的2倍的和与3的商。若a=－2，b=3

5、定义新运算在数学竞赛中，常常会遇到这种题。

解：

解：

解：原式

6、一些运算技巧(——凑整）例1.计算：例2.计算：

解：原式——整数、分数分离

例3.计算

解：原式例4.计算：

分析：因为

——逆用分配律——倒数求值与互为倒数，而容易计算。故此题只需计算后部分的结果即可。

解：原式——零因式定值

分析：解答时切忌从左至右按顺序运算，因为解：原式例5.计算：

例6.计算

解：原式

【训练1