2023年初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习含答案解析

初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点:１、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2、平行四边形的性质:＝１\*GB２⑴平行四边形的对边相等;=2\*ＧB2⑵平行四边形的对角相等:=3＼*ＧB2⑶平行四边形的对角线互相平分。３平行四边形的鉴定：=１＼*GB2⑴．两组对边分别相等的四边形是平行四边形;=2＼＊ＧB２⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；＝3\＊GB2⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形；=４＼*GB2⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。4、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形。ﻫ5、矩形的性质:=1\*GB2⑴矩形的四个角都是直角；＝2\*GB２⑵矩形的对角线相等。

6、矩形鉴定定理:=1\*GB2⑴有三个角是直角的四边形是矩形;=2\*GB2⑵对角线相等的平行四边形是矩形。7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。)8、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形。

９、菱形的性质：＝1\*ＧB２⑴菱形的四条边都相等；=2\＊GB2⑵菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角。S菱形=1/2×ab(a、ｂ为两条对角线长）

10、菱形的鉴定定理:＝1\*GB２⑴四条边相等的四边形是菱形。=2\*ＧB2⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。１1、正方形定义:一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。12正方形鉴定定理:=１\＊ＧB2⑴邻边相等的矩形是正方形。=２＼＊ＧB2⑵有一个角是直角的菱形是正方形。（矩形＋菱形＝正方形）常考题:一．选择题(共14小题）１.矩形具有而菱形不具有的性质是(）Ａ.两组对边分别平行ﻩB.对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等2．平行四边形ABCD中,AC、BD是两条对角线，假如添加一个条件,即可推出平行四边形AＢCＤ是矩形，那么这个条件是（）A.AB=BCﻩＢ．ＡC=BDﻩＣ．ＡＣ⊥BDﻩD.AB⊥ＢD３．如图,已知四边形ＡＢCD是平行四边形，下列结论中不对的的是（)A.当AB=BC时,它是菱形 B.当AC⊥BD时,它是菱形C．当∠AＢＣ=90°时,它是矩形 D.当AＣ=BD时,它是正方形4.顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是(）A．平行四边形 B．矩形 C.菱形ﻩD.正方形5.在平面直角坐标系中，平行四边形ＡBCＤ的顶点A,Ｂ，Ｄ的坐标分别是(0，0),(5，0)，（2,3)，则顶点Ｃ的坐标是()A.（3，７) Ｂ．（５,3）ﻩＣ.(７,３） Ｄ．（8,2）6.如图,▱ABCＤ的对角线ＡC与BD相交于点O，AＢ⊥AＣ,若AB=4，AＣ=6，则ＢD的长是（）A.8ﻩＢ．9ﻩC．10 Ｄ.１17．如图,把矩形ＡＢCD沿ＥF翻折,点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2,DE＝6，∠EＦB=6０°,则矩形ABＣD的面积是(）Ａ.１2ﻩB．2４ﻩC．12ﻩＤ．168.如图,在菱形ABCD中,∠ＢＡD＝80°，AＢ的垂直平分线交对角线AC于点Ｆ,垂足为E,连接DF，则∠CＤF等于（）A．５0°ﻩB.６０°ﻩＣ．70° D．80°9．如图，在▱AＢCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BＦ=6,AＢ=5，则AE的长为（）A.4ﻩＢ.6 C.8ﻩＤ．1010.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB＝4,则以AＣ为边长的正方形AＣＥＦ的周长为（）Ａ.1４ﻩB．15ﻩＣ.16 D．1７１1.如图，在平行四边形ＡBCD中，AＢ=4,∠BAＤ的平分线与BC的延长线交于点E,与DＣ交于点F,且点F为边DＣ的中点,ＤＧ⊥ＡＥ,垂足为G,若ＤＧ=1，则ＡE的边长为（)Ａ．２ﻩB.4 Ｃ．４ D．８１2.如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+Ｓ2的值为()A．１6 B.１７ Ｃ．18ﻩD．１9１3.如图，正方形ABCＤ的边长为４,点E在对角线ＢＤ上，且∠ＢＡＥ=２2.5°,EF⊥AB，垂足为F，则EＦ的长为（）A.1ﻩB. Ｃ．4﹣2 D.3﹣4１４．如图,在正方形ABＣD的外侧，作等边三角形AＤE,AＣ、BE相交于点F,则∠ＢFＣ为（)Ａ.45° B.55° Ｃ.６0°ﻩD．75°二.填空题(共1３小题)1５．已知菱形的两对角线长分别为６ｃm和8cm，则菱形的面积为ｃm２．１6.如图,在▱ABＣＤ中，BE平分∠ＡBC,BC＝6，ＤE＝2,则▱ABＣD的周长等于.１7．如图，▱ABCＤ的对角线ＡC，BD相交于点O，点E，Ｆ分别是线段AO，BO的中点，若AC+ＢD=24厘米，△OＡB的周长是１8厘米,则EF＝厘米.１8．如图，矩形ABＣD的对角线ＡＣ和BＤ相交于点O,过点O的直线分别交AD和BＣ于点E、Ｆ，AB=2,BC=3,则图中阴影部分的面积为．1９．如图,在平面直角坐标系xOy中,若菱形AＢCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3,０)，(2，0)，点D在ｙ轴上,则点C的坐标是．20．如图,在正方形ABＣＤ中,点F为CD上一点，ＢF与ＡC交于点E．若∠CBＦ=２0°,则∠AED等于度.21．如图,▱ABCＤ中，∠ABC=6０°,E、F分别在CＤ和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，ＥＦ=，则AＢ的长是．2２．如图所示，菱形ABCD的边长为４，且ＡE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B＝60°,则菱形的面积为.23．如图，D是△ABC内一点,ＢD⊥ＣＤ，AD＝6，BD=4,CＤ=3,E、F、G、H分别是AＢ、AC、CD、BＤ的中点,则四边形EFGH的周长是．24．如图,在平面直角坐标系中,Ｏ为坐标原点，矩形ＯABC中，A（１0，0)，C(０,4),D为OA的中点,Ｐ为BC边上一点.若△POD为等腰三角形,则所有满足条件的点P的坐标为.２5．如图,已知△ABC的三个顶点的坐标分别为Ａ（﹣2,０）,B（﹣1,2),Ｃ（2,0）．请直接写出以A，Ｂ,C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标.26．如图，在菱形ABCＤ中,ＡB=４cm，∠ADC=1２0°,点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AＢ、ＣB方向向点Ｂ匀速移动（到点Ｂ为止），点E的速度为1cm/s,点F的速度为2cm／ｓ,通过t秒△DEF为等边三角形，则ｔ的值为．２7.如图,四边形ABCD中，∠Ａ=90°,ＡＢ=3,AD=3,点M，Ｎ分别为线段BC，ＡＢ上的动点（含端点，但点M不与点B重合）,点E,F分别为DM,MN的中点,则EF长度的最大值为．三．解答题(共13小题）28．如图,已知:AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CＦ⊥ＡD，垂足为点Ｆ,并且AＥ=DF.求证：四边形BECF是平行四边形.２9．已知:如图,在△ABC中,ＡB=AC，AD⊥BC，垂足为点Ｄ，AＮ是△ABC外角∠ＣAM的平分线,ＣE⊥AN，垂足为点E,(1）求证:四边形ADCE为矩形;(2)当△ABC满足什么条件时，四边形AＤCE是一个正方形？并给出证明.3０．如图,分别以Rt△AＢＣ的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ＡBE．已知∠BAC=3０°，ＥF⊥AB，垂足为F，连接DF.（1）试说明AC＝EＦ;（2）求证:四边形ADFE是平行四边形．31．如图,矩形AＢＣD中,ＡC与BD交于点O，ＢE⊥ＡＣ,CF⊥BD,垂足分别为E，Ｆ.求证:BE=CF．３2．如图，在△ABC中,D是BC边上的一点,Ｅ是AＤ的中点，过A点作BＣ的平行线交CE的延长线于点Ｆ,且AF=BD，连接BＦ．（1)线段BD与CＤ有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ＡＦBＤ是矩形?并说明理由．3３．如图，在△ABＣ中，Ｄ、E分别是AＢ、ＡC的中点，BE＝2DE，延长DE到点Ｆ,使得EＦ=BE,连接CF.（1)求证：四边形ＢCFE是菱形；（２)若CＥ=4，∠ＢCＦ＝1２0°,求菱形BCFＥ的面积．３4.如图,在正方形ＡＢCＤ中,E是AB上一点,F是AＤ延长线上一点,且DＦ=BE.(1）求证:CE=CF;(2）若点G在AD上,且∠ＧＣＥ=4５°，则ＧE＝BE+ＧＤ成立吗？为什么？３5．如图，在△AＢＣ中，点O是AＣ边上的一个动点,过点Ｏ作直线ＭN∥BC,设MN交∠BCＡ的角平分线于点E,交∠BＣA的外角平分线于点F.(1)求证：ＥO＝FO；(２）当点O运动到何处时，四边形AＥＣＦ是矩形？并证明你的结论．36．如图，已知:在平行四边形ＡBCＤ中,点Ｅ、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上,AE＝CＧ，ＡＨ=CF,且ＥG平分∠HEＦ．求证：（1)△AEＨ≌△CGＦ;（2)四边形ＥFGH是菱形．３7.如图,四边形AＢＣD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC＝DC，BE⊥CＤ于点E．(1）求证：△ABD≌△EBD；（２）过点E作ＥF∥DA，交BＤ于点F,连接ＡF.求证:四边形AFＥＤ是菱形.３８.如图①,在正方形ABCD中,P是对角线AＣ上的一点，点E在ＢＣ的延长线上,且PE=ＰB．(1）求证：△BCＰ≌△ＤCP；(2）求证:∠DPE＝∠ＡBC；(3)把正方形AＢCＤ改为菱形,其它条件不变（如图②)，若∠ABC=58°,则∠DPＥ＝度.３9．在数学活动课中,小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上,如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=ＣＦ.(１)他将正方形ODEＦ绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断ＡD与CF还相等吗？说明你的理由;（2)他将正方形ODＥF绕Ｏ点逆时针旋转,使点E旋转至直线l上,如图3,请你求出ＣＦ的长．40．数学课上,张老师出示了问题:如图1，四边形ABＣD是正方形，点Ｅ是边ＢC的中点.∠AEF=90°，且ＥＦ交正方形外角∠DCＧ的平分线ＣＦ于点Ｆ,求证:AE=EF.通过思考,小明展示了一种对的的解题思绪：取AB的中点M，连接ME，则ＡM=ＥC,易证△AME≌△ECF,所以AE=EＦ．在此基础上,同学们作了进一步的研究：(1）小颖提出：如图2，假如把“点E是边BC的中点”改为“点E是边ＢC上（除B,Ｃ外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=ＥF”仍然成立，你认为小颖的观点对的吗？假如对的，写出证明过程；假如不对的,请说明理由;（2）小华提出：如图3，点Ｅ是BC的延长线上（除C点外）的任意一点,其他条件不变，结论“ＡE=ＥF”仍然成立.你认为小华的观点对的吗?假如对的，写出证明过程;假如不对的,请说明理由．ﻬ初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（２02３•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B.对角线相等C.对角线互相平分ﻩＤ．两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后运用排除法求解．【解答】解：Ａ、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误;B、矩形的对角线相等,菱形的对角线不相等,故本选项对的;Ｃ、矩形与菱形的对角线都互相平分,故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等,故本选项错误.故选Ｂ.【点评】本题考察了矩形的性质，菱形的性质,熟记两图形的性质是解题的关键．2.（２０23•河池)平行四边形AＢCD中,AC、ＢD是两条对角线，假如添加一个条件,即可推出平行四边形AＢＣD是矩形,那么这个条件是(）A.AＢ=ＢC Ｂ．AＣ=ＢＤﻩC．AC⊥BDﻩD.AB⊥ＢＤ【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断.【解答】解：A、是邻边相等,可得到平行四边形ABCＤ是菱形,故不对的；B、是对角线相等,可推出平行四边形AＢCD是矩形，故对的；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ＡBCD是菱形,故不对的；D、无法判断．故选B.【点评】本题重要考察的是矩形的鉴定定理.但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及鉴定.3.（2023•扬州)如图,已知四边形ＡＢCD是平行四边形,下列结论中不对的的是(）A.当AB=BC时，它是菱形ﻩB.当ＡC⊥BD时,它是菱形C.当∠ABC=90°时，它是矩形 D．当AＣ=ＢD时，它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解:A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知:四边形ABＣＤ是平行四边形，当ＡB=BC时,它是菱形,故A选项对的;Ｂ、∵四边形ABＣD是平行四边形,∴ＢO=OD，∵AC⊥ＢD,∴AB２=BO２+AO2,AD2=DO2+AＯ2,∴AＢ＝AD，∴四边形ＡBＣＤ是菱形,故B选项对的;Ｃ、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项对的;D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时,它是矩形,不是正方形,故Ｄ选项错误；综上所述,符合题意是Ｄ选项；故选：D．【点评】此题重要考察学生对正方形的鉴定、平行四边形的性质、菱形的鉴定和矩形的鉴定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易犯错.4．(２０2３•张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（)A.平行四边形ﻩB.矩形 C．菱形 D．正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于本来四边形某一对角线的一半,说明新四边形的对边平行且相等.所以是平行四边形.【解答】解:连接BD,已知任意四边形ABＣD,E、F、G、H分别是各边中点．∵在△ＡＢＤ中，Ｅ、H是AB、AD中点,∴EH∥BD,EH=BＤ．∵在△BCD中，G、Ｆ是DC、BＣ中点,∴GF∥ＢD，GF＝BD,∴EH＝GF，EH∥ＧF，∴四边形EFＧH为平行四边形.故选:A．【点评】本题三角形的中位线的性质考察了平行四边形的鉴定:三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．５．(２０２3•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点Ａ,Ｂ,D的坐标分别是(０,０），（5，0)，（２,3），则顶点C的坐标是（)A.（3，７)ﻩＢ.(5,3) C．(7，3) D．(8,2)【分析】由于D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质,可知C点的纵坐标一定是３，又由Ｄ点相对于A点横坐标移动了2,故可得Ｃ点横坐标为２＋5=7,即顶点C的坐标(7，3)．【解答】解:已知A,B,D三点的坐标分别是(０，0），(5，0）,(2,3），∵ＡB在x轴上，∴点C与点D的纵坐标相等,都为3,又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，∴C点横坐标为２＋5=7,∴即顶点C的坐标（7，3）．故选:C.【点评】本题重要是对平行四边形的性质与点的坐标的表达及平行线的性质和互为余（补)角的等知识的直接考察．同时考察了数形结合思想,题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形,体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的规定并不高．6.（20２3•河南）如图，▱ＡBCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥ＡC,若AＢ＝4,AＣ=6，则BＤ的长是（)A．8 B．９ C．1０ Ｄ.1１【分析】运用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BＤ的长.【解答】解:∵▱AＢCD的对角线AC与BD相交于点O，∴ＢO=ＤO，AO=CO，∵AB⊥ＡC,AB=4，AC=6,∴BO==5，∴BD=2BO=10，故选:Ｃ．【点评】本题考察了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型,比较简朴.7．（20２３•南充)如图，把矩形ABCD沿EＦ翻折,点Ｂ恰好落在ＡD边的B′处,若AＥ＝2,DE=6,∠EＦB=6０°，则矩形ABＣD的面积是()A.１２ﻩB.２4 C.1２ﻩD.16【分析】在矩形AＢＣD中根据AD∥BC得出∠DＥF=∠EFＢ＝60°,由于把矩形ＡＢCD沿EF翻折点B恰好落在ＡD边的Ｂ′处,所以∠EＦＢ＝∠DEF=6０°,∠B=∠A′B′F＝90°,∠A=∠A′=90°,ＡE=A′E=2,AB=Ａ′Ｂ′,在△EＦB′中可知∠DＥF=∠EＦB=∠EB′F=6０°故△ＥFB′是等边三角形，由此可得出∠Ａ′Ｂ′E＝90°﹣60°=3０°,根据直角三角形的性质得出A′B′＝AＢ=2,然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解.【解答】解:在矩形ABCD中,∵AD∥BC,∴∠DEF＝∠ＥＦB=60°，∵把矩形ＡBＣD沿EＦ翻折点Ｂ恰好落在AD边的Ｂ′处,∴∠DEF=∠EFＢ=60°,∠B=∠Ａ′B′F=9０°，∠Ａ=∠A′=90°，AＥ＝A′E＝2，ＡB=A′B′，在△EFＢ′中，∵∠DEＦ=∠EFB＝∠EＢ′F=６０°∴△EFＢ′是等边三角形，Rt△Ａ′EB′中,∵∠A′B′E＝90°﹣６0°=30°,∴Ｂ′Ｅ＝2A′E,而A′E=2,∴B′Ｅ=4,∴A′B′＝2，即AB＝2,∵AＥ=2,DE＝6，∴AＤ=AE+DE=2+6=８，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=２×８＝16.故选Ｄ．【点评】本题考察了矩形的性质,翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补,两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形,作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．8．（2023•扬州)如图,在菱形ABＣD中,∠ＢAＤ=80°，AＢ的垂直平分线交对角线AＣ于点F，垂足为E，连接ＤF，则∠CDＦ等于（）Ａ.50°ﻩB．６０° C.７０°ﻩＤ.80°【分析】连接BＦ,根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAＣ,∠BCF=∠ＤＣF，四条边都相等可得ＢC＝DC，再根据菱形的邻角互补求出∠AＢC,然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF,根据等边对等角求出∠ABF＝∠BＡC，从而求出∠CBF，再运用“边角边”证明△ＢCＦ和△ＤCＦ全等，根据全等三角形相应角相等可得∠CＤF＝∠ＣBF.【解答】解:如图，连接BF，在菱形ＡBCD中，∠ＢAC=∠BＡD=×80°=40°，∠BCF=∠ＤCＦ,ＢC=DC，∠ＡＢC=1８0°﹣∠BAD=1８0°﹣８0°=1００°,∵EF是线段ＡB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ＡBF=∠BＡC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠AＢF=1０0°﹣４0°=60°，∵在△ＢCF和△DCF中,，∴△BCF≌△ＤＣF(ＳAS）,∴∠CDF=∠ＣBF＝６0°.故选:Ｂ.【点评】本题考察了菱形的性质，全等三角形的鉴定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强,但难度不大，熟记各性质是解题的关键．9．（2023•河南）如图，在▱AＢCD中,用直尺和圆规作∠BＡD的平分线AG交BC于点Ｅ.若BＦ=6，AB=５,则ＡE的长为()A．4ﻩB.6ﻩＣ.8 Ｄ．１0【分析】由基本作图得到AB=AF,加上AO平分∠BＡＤ,则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BＦ,BＯ=FＯ＝BF=3,再根据平行四边形的性质得AＦ∥BE，所以∠１=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的鉴定得AＢ=ＥB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=ＯE，最后运用勾股定理计算出AＯ，从而得到AE的长．【解答】解：连结EＦ，AE与BＦ交于点O，如图，∵AB＝AF，ＡO平分∠BAD,∴AO⊥BF,ＢO=FO=ＢF=3，∵四边形AＢCD为平行四边形，∴AF∥BE,∴∠１=∠３，∴∠2=∠３，∴AＢ=EB,而BO⊥AE,∴AO＝OＥ，在Rt△AＯB中,ＡO=＝=４,∴AE=2ＡＯ=8．故选C.【点评】本题考察了平行四边形的性质:平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考察了等腰三角形的鉴定与性质和基本作图．1０．(202３•凉山州）如图，菱形AＢＣD中,∠B=60°,AB=4，则以AC为边长的正方形ＡCEF的周长为()Ａ.1４ B.１5ﻩC．16ﻩD．17【分析】根据菱形得出AB=BC,得出等边三角形ＡＢC，求出AC,长,根据正方形的性质得出ＡＦ=EＦ=EC＝AＣ=4,求出即可．【解答】解：∵四边形AＢCD是菱形，∴ＡB＝ＢC,∵∠B=6０°,∴△ＡBＣ是等边三角形,∴AＣ＝AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF＝4×4＝16，故选C.【点评】本题考察了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和鉴定的应用,关键是求出AC的长．11．（202３•泰安）如图,在平行四边形ABＣD中，AＢ＝４,∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为边ＤC的中点，DG⊥ＡE,垂足为Ｇ,若ＤG=1,则AＥ的边长为（）A．2ﻩB.4ﻩC．４ D.8【分析】由AE为角平分线,得到一对角相等，再由ＡＢCＤ为平行四边形，得到AD与BE平行,运用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD＝DF,由Ｆ为DC中点,AＢ=ＣＤ,求出AD与DＦ的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AＦ中点，在直角三角形ADＧ中，由ＡD与DG的长,运用勾股定理求出ＡG的长，进而求出AＦ的长,再由三角形AＤF与三角形ECF全等,得出ＡF＝ＥF，即可求出AE的长.【解答】解：∵ＡE为∠DＡB的平分线，∴∠DAＥ=∠BＡＥ,∵ＤC∥AＢ,∴∠BＡＥ=∠ＤＦA,∴∠DAＥ=∠DFA,∴AD＝FD,又Ｆ为ＤC的中点，∴ＤF＝CＦ，∴AＤ＝DF＝DC=AB=2,在Ｒt△ADG中,根据勾股定理得：ＡG＝，则ＡF＝２AG=２，∵平行四边形ABCD,∴AD∥BC,∴∠ＤＡF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ＥCF中,,∴△AＤF≌△ECF（ＡAS),∴AＦ=EF,则AE=2AＦ＝４．故选:B【点评】此题考察了平行四边形的性质,全等三角形的鉴定与性质,勾股定理，等腰三角形的鉴定与性质，纯熟掌握平行四边形的鉴定与性质是解本题的关键．12.(2０２３•菏泽)如图,边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1,S2,则S1+Ｓ2的值为（)A．16 B．17 Ｃ．18ﻩD.19【分析】由图可得，S1的边长为3,由ＡC＝BC,ＢＣ=CE=CD,可得AＣ=2CD，CD＝２,EＣ＝;然后，分别算出Ｓ1、Ｓ２的面积，即可解答.【解答】解：如图,设正方形S2的边长为x,根据等腰直角三角形的性质知，AC=x,x=CD,∴AC=2CD,ＣD==2,∴ＥC2=22+２2，即ＥC=;∴S2的面积为EＣ2＝=8;∵S１的边长为3，Ｓ１的面积为3×3=９,∴S1＋S2=８+9=17.故选：B．【点评】本题考察了正方形的性质和等腰直角三角形的性质,考察了学生的读图能力.13．（2023•连云港）如图，正方形ＡＢCD的边长为4,点E在对角线BＤ上,且∠BAＥ=２２.5°,EF⊥AＢ,垂足为Ｆ，则ＥF的长为（）A．１ﻩB．ﻩC．4﹣2ﻩＤ.3﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABＤ=∠ＡDB＝45°，再求出∠DAE的度数，根据三角形的内角和定理求∠AＥD,从而得到∠DAE=∠AED,再根据等角对等边的性质得到AD=DＥ,然后求出正方形的对角线ＢD,再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解.【解答】解:在正方形ABCＤ中,∠ＡBD＝∠AＤB=45°，∵∠BＡＥ=２２．5°，∴∠DAE=90°﹣∠ＢAE=90°﹣22.5°=67.5°,在△ADE中,∠AＥD＝1８0°﹣45°﹣67．５°=６7.5°,∴∠DＡＥ=∠ＡED，∴AＤ＝DE=4，∵正方形的边长为４，∴BD=4，∴BＥ＝BD﹣ＤE＝４﹣4，∵EF⊥AB,∠ABＤ=45°,∴△ＢＥF是等腰直角三角形，∴EF＝ＢE=×（４﹣4)＝4﹣2．故选：C．【点评】本题考察了正方形的性质，重要运用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系,等腰直角三角形的鉴定与性质,根据角的度数的相等求出相等的角,再求出ＤＥ＝AＤ是解题的关键,也是本题的难点．1４．（2023•福州)如图，在正方形ＡBCD的外侧,作等边三角形ＡDＥ，ＡC、BE相交于点F，则∠BFC为（）Ａ．４5°ﻩB.55°ﻩC.60°ﻩD．75°【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ＡＢE=１5°，∠BＡC=45°,再求∠BFC．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD,又∵△ADE是等边三角形,∴AＥ=ＡD=DE,∠DAE=60°,∴AB=AE，∴∠ＡBE=∠ＡEＢ,∠BAE＝90°+60°＝１50°,∴∠AＢE=（180°﹣150°)÷2=1５°,又∵∠ＢAC=45°，∴∠ＢFC=45°+15°=60°.故选：C．【点评】本题重要是考察正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABＥ=1５°.二．填空题（共13小题）１5．（２0２3•恩施州)已知菱形的两对角线长分别为6ｃm和8cm,则菱形的面积为24cm2．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可.【解答】解:由已知得,菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24ｃm２．故答案为:２4．【点评】此题重要考察菱形的面积等于两条对角线的积的一半.1６．（２02３•梅州)如图，在▱AＢＣD中,BE平分∠ABC，ＢＣ＝6,DE=2，则▱AＢCＤ的周长等于2０.【分析】根据四边形ＡBCＤ为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AＥB，继而可得AB=AＥ，然后根据已知可求得结果．【解答】解:∵四边形ＡBCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC,ＡB＝ＣD,∴∠AEＢ＝∠EBＣ,∵BＥ平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBＣ,∴∠ABE＝∠ＡEB，∴AB=ＡE，∴AE＋ＤE=AD＝BC=6,∴AE+2=６,∴AＥ=４,∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4＋6+6=20，故答案为:20.【点评】本题考察了平行四边形的性质,解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AＥB.17．（２023•厦门)如图，▱AＢCD的对角线AC，BD相交于点O,点E,F分别是线段AO,BO的中点,若AＣ+BＤ=24厘米,△OAB的周长是1８厘米,则EF＝３厘米．【分析】根据ＡＣ+BD=２4厘米,可得出出OA+OB=12cm,继而求出AB，判断EＦ是△OAＢ的中位线即可得出EF的长度．【解答】解:∵四边形ＡＢCＤ是平行四边形，∴OＡ=OC，OB＝OD,又∵AC+ＢD=24厘米,∴ＯＡ+ＯB=１２cｍ,∵△OAB的周长是１8厘米，∴AＢ＝6cm,∵点E,Ｆ分别是线段AＯ,BO的中点，∴ＥF是△ＯＡB的中位线，∴EF=AB=３cm.故答案为:3．【点评】本题考察了三角形的中位线定理,解答本题需要用到:平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的鉴定定理及性质.1８.（２023•临夏州)如图，矩形AＢCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和ＢC于点E、F，AB=2,BＣ=3,则图中阴影部分的面积为3.【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思绪：△ＡOＥ≌△ＣOF,图中阴影部分的面积就是△ＢCＤ的面积.【解答】解：∵四边形ABCD是矩形,∴ＯＡ=OC,∠ＡEO=∠CFO；又∵∠AOＥ＝∠ＣOF，在△ＡOE和△COＦ中,，∴△AOＥ≌△COF,∴S△ＡOＥ=S△ＣOF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BＣD=ＢC×CＤ＝×2×３=3.故答案为:3.【点评】此题重要考察了矩形的性质以及全等三角形的鉴定和性质,可以根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半,是解决问题的关键．1９.(202３•宿迁)如图，在平面直角坐标系xOy中,若菱形ＡBCＤ的顶点A，B的坐标分别为(﹣3，0),（2，0），点D在y轴上,则点Ｃ的坐标是（５,4).【分析】运用菱形的性质以及勾股定理得出DＯ的长,进而求出C点坐标.【解答】解:∵菱形AＢCＤ的顶点A,Ｂ的坐标分别为(﹣3,0）,（2,0），点D在y轴上,∴ＡＢ=5,∴DＯ=４,∴点C的坐标是：(５,４).故答案为：（5，４)．【点评】此题重要考察了菱形的性质以及坐标与图形的性质,得出DO的长是解题关键.20．（202３•黄冈）如图,在正方形ＡＢＣＤ中，点F为CD上一点,BF与AC交于点E.若∠CBF=２0°，则∠AED等于65度.【分析】根据正方形的性质得出∠BＡＥ＝∠ＤAE,再运用SAＳ证明△ABE与△ADE全等,再运用三角形的内角和解答即可.【解答】解:∵正方形ABCD,∴ＡＢ=AD，∠BAE＝∠ＤAE,在△ＡBE与△ADE中,，∴△ABE≌△ADE（ＳAS），∴∠ＡEＢ＝∠AED,∠ＡBE=∠ＡＤE，∵∠CBＦ＝20°,∴∠ABE=70°,∴∠ＡＥＤ=∠AＥB＝180°﹣45°﹣70°＝65°,故答案为：6５【点评】此题考察正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠ＢAＥ=∠DAE，再运用全等三角形的鉴定和性质解答.２1.（20２3•十堰）如图，▱AＢＣD中,∠ＡＢC=６０°,E、F分别在CD和BC的延长线上,ＡE∥ＢD，EF⊥ＢC，EF=，则AB的长是1．【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD,得出平行四边形ABDE，推出DＥ=DＣ＝AB,根据直角三角形性质求出ＣE长，即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AＢ∥ＤC,AB=ＣD,∵AE∥ＢD，∴四边形ＡBDE是平行四边形，∴AB=DＥ=ＣD，即D为CE中点，∵EＦ⊥BＣ，∴∠EＦC=90°，∵AＢ∥CD，∴∠ＤＣF=∠ABC=６0°,∴∠ＣEＦ=30°，∵EＦ＝，∴CE==2，∴ＡB＝1，故答案为:1.【点评】本题考察了平行四边形的性质和鉴定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质,含３0度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强,是一道比较好的题目．２2.(202３•黔西南州)如图所示,菱形ABCD的边长为4,且AE⊥BC于E,AＦ⊥ＣD于Ｆ，∠B=60°，则菱形的面积为.【分析】根据已知条件解直角三角形ABＥ可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可.【解答】解:∵菱形ABCＤ的边长为4,∴AB=ＢＣ=４，∵AE⊥BＣ于E，∠B=６０°，∴sinB==,∴ＡＥ=２,∴菱形的面积=4×2=8，故答案为8．【点评】本题考察了菱形的性质:四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用.23．(２023•鞍山）如图，D是△ＡＢC内一点,BＤ⊥CD,AＤ=6,BD=４，CＤ=３，Ｅ、F、G、H分别是AB、AC、ＣD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是1１.【分析】运用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出ＥＨ＝FＧ=AD,EF=GH=ＢC，然后代入数据进行计算即可得解.【解答】解：∵BD⊥CD,BD=4，CD＝3，∴BC===5，∵E、F、Ｇ、H分别是AB、AC、ＣＤ、BD的中点,∴EH=ＦＧ=AD,ＥF=GH=BC,∴四边形ＥFGH的周长＝ＥH+GH+FG+EF=AD+ＢＣ，又∵AD=６,∴四边形EFGH的周长=6+5=11.故答案为:11.【点评】本题考察了三角形的中位线定理,勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．２4．（2023•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A(１0，0）,C(0，4),D为OA的中点，Ｐ为BＣ边上一点.若△PＯD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5,４)，或（3,4)，或（2,4），或(８，4).【分析】由矩形的性质得出∠ＯCＢ=90°,OC=４,ＢＣ=ＯA=10，求出ＯＤ=AD=5，分情况讨论:①当PＯ=ＰD时；②当OP＝OＤ时;③当DP＝DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．【解答】解：∵四边形ＯAＢC是矩形,∴∠OCB=９0°，ＯＣ＝4，BＣ＝OA=10,∵D为OA的中点，∴ＯD=AＤ=5,①当ＰO=PD时，点Ｐ在ＯＤ得垂直平分线上,∴点P的坐标为：(２.5,4)；②当OP=OＤ时,如图1所示：则OP＝OD＝5，PC＝=3,∴点P的坐标为:(3，4）；③当DP=DＯ时,作PＥ⊥OA于Ｅ，则∠PED=90°,ＤE＝=3;分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE＝5﹣3=2，∴点Ｐ的坐标为：（２,４）;当E在D的右侧时,如图3所示:OE＝5+３＝8，∴点P的坐标为:(8,4);综上所述:点P的坐标为：(２.5，4），或(3,４),或（2,４），或(8，4）；故答案为：（２.5，4），或（3，4),或(２，4）,或(8，4)．【点评】本题考察了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的鉴定、勾股定理；本题有一定难度,需要进行分类讨论才干得出结果.2５．（２０23•阜新)如图,已知△ＡBC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，０），B（﹣1，2),C（2，0）．请直接写出以A,Ｂ,Ｃ为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标（3,2）,(﹣5，2),(１，﹣２).【分析】一方面根据题意画出图形,分别以BC,AB，ＡC为对角线作平行四边形，即可求得答案.【解答】解:如图：以A,B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为:（3，2）,(﹣5，2),（１，﹣2）．故答案为：(３，2），（﹣5，2），(1,﹣2).【点评】此题考察了平行四边形的性质．注意坐标与图形的关系．26.(202３•丹东）如图，在菱形ＡＢCD中,AB＝４ｃm，∠ADC=１２0°，点E、F同时由Ａ、C两点出发，分别沿AＢ、CB方向向点Ｂ匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cｍ/s，点F的速度为2cｍ／s，通过t秒△DEＦ为等边三角形,则ｔ的值为.【分析】延长AＢ至M，使ＢM=AE,连接FM,证出△ＤＡE≌ＥＭF,得到△BＭF是等边三角形，再运用菱形的边长为4求出时间t的值.【解答】解：延长AＢ至M，使ＢM＝AE，连接FM，∵四边形ＡBＣD是菱形,∠ADC=120°∴ＡB=AD，∠Ａ=6０°,∵BM=ＡE，∴ＡD=ME，∵△DEF为等边三角形,∴∠DAE=∠ＤＦＥ=60°，DE=EF=ＦD,∴∠ＭEＦ+∠DEA═120°，∠ADＥ+∠DEA＝180°﹣∠A=120°，∴∠MEＦ=∠ＡDE，∴在△DＡE和△EMＦ中，∴△DＡE≌EＭF（SAS）,∴AE=ＭF,∠M＝∠A＝60°，又∵BM＝AＥ,∴△ＢＭF是等边三角形，∴BＦ=ＡE，∵AE=t,CF=２t，∴BC=ＣＦ+BF=2t+t=３t，∵BC＝4，∴3t=４,∴t=故答案为:.或连接BD．根据SＡＳ证明△ＡDE≌△ＢDＦ，得到ＡE=ＢF,列出方程即可．【点评】本题重要考察了菱形的性质，全等三角形的鉴定与性质，等边三角形的性质等知识,解题的关键是运用三角形全等得出△BＭF是等边三角形．2７.(2０23•广州)如图,四边形ＡＢCD中,∠A=９0°，ＡB=3，ＡD=３,点M，N分别为线段BＣ,AＢ上的动点（含端点,但点M不与点Ｂ重合），点E,F分别为DＭ,ＭN的中点,则EF长度的最大值为３.【分析】根据三角形的中位线定理得出ＥF=DN,从而可知ＤN最大时，EF最大，由于N与B重合时DN最大,此时根据勾股定理求得DＮ=ＤB=６，从而求得ＥF的最大值为3．【解答】解:∵ＥD＝ＥＭ,MF=FN，∴EＦ＝DＮ,∴DN最大时，ＥF最大,∵N与B重合时DN最大,此时ＤＮ＝DB==6,∴EF的最大值为3.故答案为３.【点评】本题考察了三角形中位线定理，勾股定理的应用,纯熟掌握定理是解题的关键．三.解答题（共13小题）28．（20２3•梧州)如图，已知：AB∥CＤ，BE⊥AD，垂足为点E,ＣＦ⊥AD,垂足为点F，并且AE=DＦ．求证：四边形BECＦ是平行四边形.【分析】通过全等三角形（△AEＢ≌△DFC）的相应边相等证得BＥ＝ＣF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线互相平行”证得BE∥CF.则四边形BECＦ是平行四边形．【解答】证明：∵BE⊥AD，ＣF⊥AD,∴∠AＥＢ=∠ＤFC＝90°，∵AB∥CＤ，∴∠Ａ=∠D,在△AEＢ与△DFC中，,∴△AEB≌△ＤFＣ（AＳA）,∴BE＝ＣF.∵BE⊥ＡD,CF⊥ＡＤ,∴BE∥CF.∴四边形ＢECF是平行四边形．【点评】本题考察了平行四边形的鉴定、全等三角形的鉴定与性质.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.29．(２023•安顺)已知:如图，在△ABＣ中,AB=AＣ，ＡD⊥BC,垂足为点D,ＡN是△AＢC外角∠CＡM的平分线,CE⊥AN，垂足为点E,（1)求证：四边形AＤCE为矩形;(２）当△ＡBＣ满足什么条件时,四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．【分析】（1)根据矩形的有三个角是直角的四边形是矩形，已知CE⊥AＮ，ＡD⊥BC,所以求证∠ＤＡE=9０°,可以证明四边形AＤCE为矩形．（2)根据正方形的鉴定,我们可以假设当AD＝BＣ,由已知可得，DC=ＢC,由(1）的结论可知四边形ADCE为矩形,所以证得,四边形ADCＥ为正方形．【解答】（1）证明:在△ABC中，ＡB=AC,AD⊥ＢC，∴∠BAD＝∠ＤＡC,∵AN是△AＢＣ外角∠ＣAＭ的平分线，∴∠MAE=∠CAE,∴∠ＤAE=∠ＤAC+∠ＣＡE=１８０°=90°,又∵ＡＤ⊥ＢＣ，CE⊥AN,∴∠ＡDＣ＝∠CＥA=９0°，∴四边形AＤCE为矩形．(２)当△AＢC满足∠BAC=9０°时，四边形ＡDＣE是一个正方形.理由:∵ＡB=AC,∴∠ACB＝∠B=45°，∵AD⊥BC，∴∠CAD=∠ACＤ=45°，∴DC＝AD，∵四边形ＡDＣＥ为矩形，∴矩形ADCＥ是正方形．∴当∠ＢAＣ=９0°时,四边形ADCE是一个正方形．【点评】本题是以开放型试题,重要考察了对矩形的鉴定，正方形的鉴定,等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用.30．(2023•凉山州)如图，分别以Rt△ABＣ的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE.已知∠BＡC=３０°，EF⊥AB，垂足为F,连接ＤF.（1)试说明AC=EF;(2)求证:四边形AＤFE是平行四边形．【分析】(1)一方面Rｔ△ＡBC中,由∠BAC＝30°可以得到AB=2ＢC，又由于△ABE是等边三角形,ＥF⊥ＡＢ，由此得到AE＝2ＡF，并且AB=2AF,然后即可证明△ＡFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC＝EF;(2）根据（1)知道EＦ＝AＣ,而△AＣD是等边三角形，所以EF＝AC=AD，并且AD⊥AＢ，而EF⊥AB，由此得到ＥF∥AD,再根据平行四边形的鉴定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．【解答】证明:(1)∵Rt△ＡBC中,∠BAＣ=30°，∴AＢ=2BC,又∵△ABE是等边三角形,ＥF⊥ＡB，∴AB=2AF∴AF＝BC，在Rｔ△AFE和Rｔ△ＢCA中,,∴△AFE≌△BＣＡ（HL)，∴AC=EF；(2)∵△ACD是等边三角形,∴∠DAC＝6０°，AC=AＤ，∴∠DAB=∠DAＣ+∠BAC=９０°又∵EＦ⊥AＢ，∴EF∥ＡＤ，∵AC=EＦ，AC＝AＤ，∴EF＝AD,∴四边形ADFE是平行四边形.【点评】此题是一方面运用等边三角形的性质证明全等三角形，然后运用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．3１．(2０23•南平)如图，矩形AＢCD中，AC与ＢD交于点O,BE⊥ＡC，CF⊥ＢD，垂足分别为Ｅ，F．求证:ＢE＝CＦ.【分析】要证BE=CF,可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CＦ所在的三角形全等．【解答】证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AＣ=BD，则BO＝ＣO.∵BE⊥AC于Ｅ,CＦ⊥ＢD于F，∴∠BEO=∠ＣFO=90°.又∵∠BOＥ=∠COＦ,∴△BOE≌△ＣOF．∴BE=ＣF．【点评】本题重要考察矩形的性质及三角形全等的鉴定方法．解此题的重要错误是思维顺势，想当然，由AＢCＤ是矩形，就直接得出OB=ＯD，对相应边上的高的“相应边”理解不透彻.３２．(20２３•临夏州)如图，在△ABC中,D是ＢＣ边上的一点，E是ＡD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点Ｆ,且ＡＦ=BD,连接BF.（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBＤ是矩形?并说明理由.【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后运用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形相应边相等可得AF＝CＤ,再运用等量代换即可得证;(2）先运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBＤ是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形,可知∠ADB=90°,由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：(1)ＢＤ＝CD.理由如下：依题意得ＡF∥BC，∴∠AFE=∠DCE,∵E是AD的中点,∴ＡE=DE,在△ＡEＦ和△DEＣ中,,∴△ＡEF≌△DEC（AＡS）,∴AF=CD,∵AF=BD,∴BD=CD;(２)当△ＡBC满足：AB=AＣ时，四边形AFＢD是矩形．理由如下:∵AF∥BD,AＦ=BＤ，∴四边形AＦBD是平行四边形,∵AB＝AＣ，ＢD=CD（三线合一),∴∠ＡDＢ=９0°,∴▱AFBD是矩形.【点评】本题考察了矩形的鉴定，全等三角形的鉴定与性质,平行四边形的鉴定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键.3３.(2023•安顺）如图,在△AＢC中,Ｄ、Ｅ分别是AＢ、ＡC的中点，ＢE=2DE,延长DE到点F，使得EF=BE，连接ＣＦ.（1）求证:四边形ＢCFE是菱形；（2）若CE=4,∠BＣＦ=120°,求菱形BCFＥ的面积．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=ＢC，所以BＣ和EF平行且相等,所以四边形BCFE是平行四边形，又由于ＢE=ＦE,所以是菱形;∠ＢCF是１20°,所以∠ＥBC为60°,所以菱形的边长也为4,求出菱形的高面积就可求.【解答】（1)证明:∵D、E分别是AB、AＣ的中点,∴ＤE∥ＢC且2DＥ=ＢC，又∵ＢＥ＝2DE，ＥF=BE，∴EF=BC,ＥF∥BＣ,∴四边形BCFE是平行四边形,又∵BＥ=FE,∴四边形BCFE是菱形;(2)解:∵∠ＢCF=120°,∴∠EBC=６0°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4,高为2，∴菱形的面积为４×２=8．【点评】本题考察菱形的鉴定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点.34．（2０23•梅州）如图，在正方形ABCＤ中，E是AB上一点,F是AD延长线上一点，且DF=BE.（1）求证：CE＝ＣF;(２)若点Ｇ在ＡD上，且∠ＧCＥ=45°，则ＧE=BE+GD成立吗?为什么?【分析】(1)由DF=BＥ，四边形ＡＢCD为正方形可证△ＣEB≌△ＣＦＤ，从而证出CE=CF.(２)由(1)得，CE=ＣF，∠BCE+∠EＣD＝∠DCＦ+∠EＣD即∠EＣF=∠BCＤ=９0°又∠GＣE＝45°所以可得∠GCE=∠GCＦ，故可证得△ECＧ≌△FCG，即EG=FG=GＤ＋DF．又由于DF=BＥ,所以可证出GE=BE＋GD成立.【解答】(1）证明:在正方形ABCD中，∵,∴△CBE≌△CDF(ＳＡS）．∴CE=CＦ.(2）解:GE=BE+GD成立.理由是：∵由(1)得:△CＢE≌△CDF,∴∠BＣE＝∠ＤCF，∴∠ＢＣE+∠EＣD=∠DCF＋∠EＣD,即∠ECF＝∠BCD=90°,又∵∠ＧCE=45°,∴∠ＧCF＝∠GCE=45°.∵,∴△EＣG≌△FＣG（ＳＡＳ).∴GE=GF.∴GＥ=DF+GＤ=BE+GD.【点评】本题重要考察证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考察了通过全等找出和GＥ相等的线段,从而证出关系是不是成立．35．（2０23•咸宁)如图,在△ABＣ中,点O是ＡC边上的一个动点,过点O作直线ＭN∥BＣ，设ＭN交∠BCA的角平分线于点E，交∠ＢＣA的外角平分线于点F.(1)求证:ＥO=FO；(2)当点O运动到何处时,四边形AECＦ是矩形?并证明你的结论.【分析】（１）根据平行线性质和角平分线性质,以及由平行线所夹的内错角相等易证．（2)根据矩形的鉴定方法,即一个角是直角的平行四边形是矩形可证．【解答】（1）证明：∵CE平分∠ACＢ,∴∠1=∠2，又∵MN∥BC,∴∠１＝∠3,∴∠3=∠2,∴ＥO＝ＣO，同理，FO＝CＯ,∴EO=FO.(2)解:当点Ｏ运动到ＡC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：∵EＯ=ＦO,点O是ＡＣ的中点.∴四边形AECＦ是平行四边形，∵CF平分∠BCA的外角，∴∠4＝∠5,又∵∠１=∠2，∴∠2+∠４＝×180°=90°.即∠ECＦ=9０°，∴四边形AEＣＦ是矩形.【点评】本题涉及矩形的鉴定定理,解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系，向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论.36．(2０23•张家界）如图,已知:在平行四边形ＡBCD中,点Ｅ、F、Ｇ、Ｈ分别在边AB、ＢＣ、ＣD、DA上,AE=CG，AH=CF，且ＥＧ平分∠HEF.求证:（1)△AEＨ≌△ＣGF；(2）四边形EFＧH是菱形．【分析】（1)由全等三角形的鉴定定理SAS证得结论；(２）易证四边形ＥFＧH是平行四边形，那么EＦ∥ＧH，那么∠HGE=∠FEＧ,而EＧ是角平分线,易得∠ＨＥG=∠FEG,根据等量代换可得∠HＥG=∠HGE，从而有ＨE=ＨＧ,易证四边形EFGH是菱形.【解答】(1）证明：如图,∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C,在△AＥH与△CGＦ中，，∴△AEH≌△ＣGF(SＡS）;（2）∵四边形AＢCD是平行四边形,∴AＢ＝ＣＤ,AＤ=BＣ，∠B=∠D.又∵AＥ=CＧ，AＨ=CF，∴BE=ＤG,BＦ=DH，在△BEF与△DＧH中，∴△BＥF≌△DGＨ（SＡＳ)，∴EF=ＧH.又由(１）知，△AEH≌△CGＦ,∴EＨ＝ＧF,∴四边形ＥＦGH是平行四边形,∴HＧ∥EF,∴∠HGE=∠FEG,∵ＥＧ平分∠HEF，∴∠ＨEＧ=∠FEG，∴∠HＥG=∠HGE，∴HE=HＧ,∴四边形ＥFＧH是菱形.【点评】本题考察了全等三角形的鉴定和性质、平行四边形的鉴定和性质、菱形的鉴定．解题的关键是掌握两组对边相等的四边形是平行四边形,一组邻边相等的平行四边形是菱形．37.(2023•葫芦岛）如图,四边形ABCD中，ＡD∥BＣ,ＢA⊥AＤ，ＢC=ＤC，BＥ⊥ＣD于点E.（1)求证：△ABD≌△EBＤ；(２）过点E作EＦ∥DA,交BD于点F,连接AＦ．求证:四边形AＦＥＤ是菱形．【分析】(1）一方面证明∠1=∠２．再由BA⊥AＤ,ＢE⊥CD可得∠BAD=∠BED=90°，然后再加上公共边ＢD=BＤ可得△ABD≌△EBD；（2)一方面证明四边形AFEＤ是平行四边形，再有AD=ED,可得四边形ＡFＥＤ是菱形.【解答】证明:（1)如图，∵AD∥BC,∴∠1=∠ＤBＣ.∵BＣ＝ＤC，∴∠2＝∠DＢC.∴∠1＝∠2.∵BA⊥ＡD，BE⊥CＤ∴∠BAD=∠BED=9０°，在△ＡBＤ和△EＢD中，∴△ABD≌△ＥBＤ（AAS）；(２）由（1)得,AD＝ＥD，∠1=∠2．∵EF∥DA,∴∠1=∠３．∴∠2=∠3.∴EＦ=ED．∴EF=AD.∴四边形ＡＦED是平行四边形．又∵AD＝ED,∴四边形ＡFED是菱形.【点评】此题重要考察了全等三角形的鉴定与性质,以及菱形的鉴定,关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．38.（2０２３•三明)如