高中教育-正弦定理(一)(附答案)范本参考

精品精品感谢下载载感谢下载载一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题 .知识点一 正弦定理1.正弦定理的表示文字文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径.符号语言a在中，角、、C所对的边分别为 、b、c，则sinbA sin＝cB sin＝＝C2.正弦定理的常见变形(1)，其中R外接圆的半径.(2)sin2，sinabcR，sinR2R外接圆的半径).R(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即c＝sin sin sin (4)sina＋b＋casinsinC＝sinA＝sinbcB＝sinC.(5)bsin asin csin bsin csin 3.正弦定理的证明Rt中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：a bsin c，sin c，a∴c＝sina

bA＝sinAb

cB＝sinBc

c＝ ，°sin CC∴sin sin sin .C在锐角三角形 AB中，设A边上的高为 ，如图，＝asin_＝bsin_，a b∴sin sin a c同理，作 边上的高 可

sin sin a b c∴sin sin sin 在钝角三角形 中，C为钝角，如图，Basin(＝asin_csin_故有csin_a c∴sin sin a b a b cC同理，sin ∴sin sin sin .C思考 下列有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中， 各边与它所对角的正弦的比是一定值； ④在中sin ∶sin ∶sin ＝B∶A∶A.其中正确的个数有 ( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 正弦定理适用于任意三角形，故 ①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以 ③正确；由正弦定理可知 ④正确.故选B.知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角 和它们的对边 叫做三角形的元素 .已知三角形几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 .思考 正弦定理能解决哪些问题？答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角 .题型一 对正弦定理的理解例1 在△中，若角 对应的三边分别是 a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述变形中错误的是 ( )a∶c＝sin sin sin Ca＝sin2 sin2 Ba b＋csin sin sin C正弦值较大的角所对的边也较答案 B解析 在△中由正弦定理

asin ＝

b c＝ ＝k(k>0)则a＝ksinA sin B sin Cc＝ksin 故c＝sin 故A正确.当＝0，＝0时，sin2 ＝sin2 ，此时a≠，故B错误.根据比例式的性质易得 C正确.大边对大角，故 D正确.跟踪训练 1 在△中，下列关系一定成立的是 ( )A.C.AAB.bsinD.bsinAA答案 D解析 在△中，(0，，∴sin (0,1] ，1∴sin B≥a b A由正弦定理

sin sin

sin B≥bsin 题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△AB中，已知 c＝0，＝5，＝0，解这个三角形 .(2)在△AB中，已知 c＝ ，＝5，＝，解这个三角形 .解 (1)∵＝，＝0，∴＝0－(＋)＝5，a c csin A 10×sin45 °由sin sin 得sin C＝ sin30 °＝10 2.∵sin5 ＝sin(30 ＋5)＝sin0cos5＋cos0sin5 ＝ 2＋ 6，4csin B∴b＝sin C＝

csin Csin C

10×sin75 °sin30 °＝20×

2＋ 64＝5 5 6.∴＝，a＝0 2，＝5 2＋5 a c(2)∵sin ∴sin

csin Aa

sin45 ° 32 ＝2，(0＝0＝.＝0＝

csin Bsin C＝

6sin75 °sin60°＝ 3＋1；当＝0时，＝5，b＝csin B

6sin15 °

1.°sin C＝sin120 ＝°∴b＝ ＋，＝5，＝0或b＝ 3－，＝5，＝.跟踪训练 2 (1)在△AB中，已知 ＝8，＝0，＝，则b等于( )A.4 2B.4 3C.4 6D.4(2)在△AB中，若＝ 2，b＝，＝0，则＝ 答案 (1)C (2)105或a b解析 (1)易知＝5，由sin ＝sin 得8·3Bb＝sin A

2＝4 6.22a b(2)

sin ＝得sin bsin A＝a

2sin30 ° 2＝ .2 2(0＝55＝50＝＝00＝5.题型三 判断三角形的形状2例3 在△AB中，已知 atan ＝2

tan 试判断三角形的形状 .解 由已知

a2sin Bcos B

b2sin Acos A，2sin

2sin A由正弦定理得

cos B ＝

cos A .∵sin 、sin 0，∴sin sin 即sin2 sin2 或∴π或2

A＝B.22∴△为等腰三角形或直角三角形 .22跟踪训练 3 在△中，bsin csin C且

试判断三角形的形状 .2 2解 由csin 得b＝c，b＝为等腰三角形，2 2 2 2 2 2

sin sinCa＝bc，∴△ABC为直角三角形，∴△为等腰直角三角形 .在△AB中，A＝c，A＝b，B＝a，下列等式中总能成立的是 ( )asin B B.AC.bcsin B D.A在△AB中，三个内角 ，，C的对边分别为 ，，c，已知＝ 2，b＝ ，＝0，么A等于( )A.135° B.90 ° C.45 ° D.30 °在锐角三角形 中，角所对的边分别为 若2asin 3b，则A等于( )π12

π6

π4

π3

sin A

cosB

cosC在△ABC中，内角 C所对的边分别为 c，若是( )

a ＝ b ＝

c ABCA.等边三角形 B. 直角三角形，且有一个角是 30°C.等腰直角三角形 D. 等腰三角形，且有一个角是 30°在△AB中，三个内角 ，，C的对边分别为 ，，c，已知＝，c＝0，b＝0 则△的形状是 .在中，若b＝5，B πtan 2，则sin ，a＝ .＝4，一、选择题在中，a＝则sin sin B的值是( )5A.3 B.

35 C.

3 57 D. 7在中，则下列不等式中不一定正确的是 ( )A.sin B B.cos C.sin2 2B D.cos2 2B3.在中，4∶1∶1，则a∶b∶c等于( A.4∶1 B.2∶1∶1C. 2∶1 D. 1在中，则一定是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形.已知△AB中，a＝，b＝4 ，＝0，则B等于( )A.30° B.30 或150° C.60 ° D.60 或120°a＋b＋c在△AB中，＝0，a＝3，则sin ＋sin ＋sin

等于( )C8 3A. 3 B.

2 393 C.

28 33 D.2 3在△AB中，已知 ＝，最大边与最小边的比为

3＋12 ，则三角形的最大角为 ( )A.60° B.75 ° C.90 ° D.115 °5在中，2，5cos(＋0，则角B的大小为( )π6

π4

π3

5π6π二、填空题a－c已知在△中，1∶a＝1，则sin 2sin sin .在△AB中，A πB＝3，A＝ 6，则角＝ ＝3，.在△AB中，B＝＝5，A＝b＝0，＝0，则cos＝ 三、解答题) ABA＝cB＝aA＝，已知＝5＝0＝0，解三角形；(2)在△AB中，B＝＝4，A＝b，A＝c＝2 6，＝5，求b，B和.213.在△中，若sin 2sin 且2

2C，试判断△ABC的形状.当堂检测答案答案 D解析 由正弦定

a b csin sin 得asin csin 答案 Ca解析 由sin

bA＝sinA

得sin B

asin Bb

32×2 2＝ ，3 2＝5.ab<＝.答案 D解析 在△中，利用正弦定理得2sin 3sin 3又∵sin 0，∴sin 2.AA.3答案 C解析 由题acos又由正弦定理 ∴sin cos (00＝5.同理＝5.故△AB为等腰直角三角形 .答案 等腰或直角三角形1解析1解析b由sincB sin＝得sin CcsinbB＝25033＝2(00，＝0＝0∴△为等腰或直角三角形 .6.答案2 5210解析 由tan 2，得sin 2cos sincos，得sin22255，b＝，由正弦定理π4asinbA sin＝B，得a＝sinbsinB＝ 2＝22A2 510.课时精练答案一、选择题答案 Asin A a 5解析 sin 3.答案 C解析 sin 正确.由于(0，)上，y＝cos x单调递减，cosB.2cos2＝－n .2∵sin ∴

2B，cos22D正确.答案 D解析 ∵＋＋＝0，∶∶＝∶1∶，∴＝，＝，＝0.由正弦定理的变形公式得 a∶∶c＝sin ∶sin ∶sin ＝sin0 ∶sin0∶sin0＝3 1 22∶∶2

＝ 3∶1.答案 Ba sin A解析 ∵bsin ∴b＝sin sin

，∴sin B又∵(0，B π

ABC为直角三角形.，∴＝2，即△答案 D解析 由正弦定

a bsin ＝ 得A sin Bsin

bsin Aa

14 2 34 ＝2，(00ba，＝0.答案 D解析 利用正弦定理及比例性质，得a＋b＋csin sin 答案 B

a＝C sin

3＝A sin

3＝ ＝2 3.° 32解析 不妨设a为最大边，c为最小边，a sin

3＋

sin

3＋1由题意有

c＝sin

2 ，即sin －A＝ 2 .整理得(3－ 3)sin ＋ 3)cos ∴tan 3，(00＝5B.答案 A3解析 由5cos(＋0得cos，5∴(0，π，∴sin A 42) ＝5，4由正弦定理得 ＝

52 1，∴sin .4 sin B 25)，且π，)2.Bπ.6二、填空题答案 2解析 ∵3，∴＝，＝0，＝0.a b c 1∵sin sin sin

＝°∴a＝2sin 2sin c＝2sin c∴sin 2sin sin ＝2.C答案 π4解析 由正弦定理，得 sin

sin AB 2BC ＝2.因为所以则 Cπ C π0<<，故 ＝.3 46答案 3解析 由正弦定理得b 10 3sin ＝asin ＝5sin0 ＝3，又b<，∴0<6，∴cos >，2∴cos1－2

1－

3 623 ＝3.2三、解答题.解 (1)因为＋＋＝，所以＝5.所以sin ＝sin5 ＝sin(60 ＋5)＝sin0cos5＋cos0sin5 ＝

6＋ 24 .a b c由正弦定理

sin sin sin sin A得a＝sin c＝( －)，Bb＝

10sin30 °sin C＝

sin105

＝5( 2).°所以＝5，＝( 3－)，b＝( 6－ (2)由正弦定理 a ＝ c 得sin A sin Csin

csin Aa

2 22 34 ＝2.(0，且caC>，＝0＝55∴sin

6＋ 24 或

6－ 24 ，a 4∴b＝sin sin ＝ 2×2

6±24 ＝2( ，∴b＝( 3＋)，＝5，＝0或b＝( 3－)，＝，＝0.13.解 方法一 根据正弦定

a b csin ＝ ＝ .2A sin B sin C2∵

sin222∴a＝b＋c，222A是直角，＝0∴n cos ＝n cos(90－)＝n＝sin ＝，2∴sin 2.∵0<<9，∴＝5，＝5，∴△是等腰直角三角形 .方法二 根据正弦定

a b csin ＝ ＝ .2A sin B sin C22∵2

sin2∴a＝b22

＋cA.∵＝－(＋)，sin ＝n cos ，∴sin(＝sin cos ∴sin(＝0.<90∴∴∴△是等腰直角三角形 .精品精品感谢下载载感谢下载载1 总则1.1 为了加强公司的环境卫生管理，创造一个整洁、文明、温馨的购物、办公环境，根据《公共场所卫生管理条例》的要求，特制定本制度。1.2 集团公司的卫生管理部门设在企管部，并负责将集团公司的卫生区域详细划分到各部室，各分公司所辖区域卫生由分公司客服部负责划分，确保无遗漏。2 卫生标准2.1 室内卫生标准2.1.1 地面、墙面：无灰尘、无纸屑、无痰迹、无泡泡糖等粘合物、无积水，墙角无灰吊、无蜘蛛网。2.1.2 门、窗、玻璃、镜子、柱子、电梯、楼梯、灯具等，做到明亮、无灰尘、无污迹、无粘合物，特别是玻璃，要求两面明亮。2.1.3 柜台、货架：清洁干净，货架、柜台底层及周围无乱堆乱放现象、无灰尘、无粘合物，货架顶部、背部和底部干净，不存放杂物和私人物品。2.1.4 购物车（筐）、直接接触食品的售货工具（包括刀、叉等）：做到内外洁净，无污垢和粘合物等。购物车（筐）要求每天营业前简单清理，周五全面清理消毒；售货工具要求每天消毒，并做好记录。2.1.5 商品及包装：商品及外包装清洁无灰尘（外包装破损的或破旧的不得陈列）。2.1.6 收款台、服务台、办公橱、存包柜：保持清洁、无灰尘，台面和侧面无灰尘、无灰吊和蜘蛛网。桌面上不得乱贴、乱画、乱堆放物品，用具摆放有序且干净，除当班的购物小票收款联外，其它单据不得存放在桌面上。2.1.7 垃圾桶：桶内外干净，要求营业时间随时清理，不得溢出，每天下班前彻底清理，不得留有垃圾过夜。2.1.8 窗帘：定期进行清理，要求干净、无污渍。2.1.9 吊饰：屋顶的吊饰要求无灰尘、无蜘蛛网，短期内不适用的吊饰及时清理彻底。2.1.10 内、外仓库：半年彻底清理一次，无垃圾、无积尘、无蜘蛛网等。2.1.11 室内其他附属物及工作用具均以整洁为准，要求无灰尘、无粘合物等污垢。2.2 室外卫生标准2.2.1 门前卫生：地面每天班前清理，平时每一小时清理一次，每周四营业结束后有条件的用水冲洗地面（冬季可根据情况适当清理），墙面干净且无乱贴乱画。2.2.2 院落卫生：院内地面卫生全天保洁，果皮箱、消防器械、护栏及配电箱等设施每周清理干净。垃圾池周边卫生清理彻底，不得有垃圾溢出。2.2.3 绿化区卫生：做到无杂物、无纸屑、无塑料袋等垃圾。3 清理程序3.1 室内和门前院落等区域卫生：每天营业前提前10分钟把所管辖区域内卫生清理完毕，营业期间随时保洁。下班后5-10分钟清理桌面及卫生区域。3.2 绿化区卫生：每周彻底清理一遍，随时保持清洁无垃圾。4 管理考核4.1 实行百分制考核，每月一次（四个分公司由客服部分别考核、集团职4.2 集团坚持定期检查和不定期抽查的方式监督各分公司、部门的卫生工作。每周五为卫生检查日，集团检查结果考核至各分公司，各分公司客服部的检查结果考核至各部门。!一)[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题 .知识点一 正弦定理1.正弦定理的表示文字文字语言在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比都相等，该比值为三角形外接圆的直径.符号语言a在中，角、、C所对的边分别为 、b、c，则sinbA sin＝cB sin＝＝C2.正弦定理的常见变形(1)，其中R外接圆的半径.(2)sin2，sinabcR，sinR2R外接圆的半径).R(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即c＝sin sin sin (4)sina＋b＋casinsinC＝sinA＝sinbcB＝sinC.(5)bsin asin csin bsin csin 3.正弦定理的证明Rt中，设C为直角，如图，由三角函数的定义：a bsin c，sin c，a∴c＝sina

bA＝sinAb

cB＝sinBc

c＝ ，°sin CC∴sin sin sin .C在锐角三角形 AB中，设A边上的高为 ，如图，＝asin_＝bsin_，a b∴sin sin a c同理，作 边上的高 可

sin sin a b c∴sin sin sin 在钝角三角形 中，C为钝角，如图，Basin(＝asin_csin_故有csin_a c∴sin sin a b a b cC同理，sin ∴sin sin sin .C思考 下列有关正弦定理的叙述： ①正弦定理只适用于锐角三角形； ②正弦定理不适用于直角三角形；③在某一确定的三角形中， 各边与它所对角的正弦的比是一定值； ④在中sin ∶sin ∶sin ＝B∶A∶A.其中正确的个数有 ( )A.1 B.2 C.3 D.4答案 B解析 正弦定理适用于任意三角形，故 ①②均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比值也就确定了，所以 ③正确；由正弦定理可知 ④正确.故选B.知识点二 解三角形一般地，把三角形的三个角 和它们的对边 叫做三角形的元素 .已知三角形几个元素求其他元素的过程叫做解三角形 .思考 正弦定理能解决哪些问题？答案 利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他两边和第三个角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而求出其他的边和角 .题型一 对正弦定理的理解例1 在△中，若角 对应的三边分别是 a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述变形中错误的是 ( )a∶c＝sin sin sin Ca＝sin2 sin2 Ba b＋csin sin sin C正弦值较大的角所对的边也较答案 B解析 在△中由正弦定理

asin ＝

b c＝ ＝k(k>0)则a＝ksinA sin B sin Cc＝ksin 故c＝sin 故A正确.当＝0，＝0时，sin2 ＝sin2 ，此时a≠，故B错误.根据比例式的性质易得 C正确.大边对大角，故 D正确.跟踪训练 1 在△中，下列关系一定成立的是 ( )A.C.AAB.bsinD.bsinAA答案 D解析 在△中，(0，，∴sin (0,1] ，1∴sin B≥a b A由正弦定理

sin sin

sin B≥bsin 题型二 用正弦定理解三角形例2 (1)在△AB中，已知 c＝0，＝5，＝0，解这个三角形 .(2)在△AB中，已知 c＝ ，＝5，＝，解这个三角形 .解 (1)∵＝，＝0，∴＝0－(＋)＝5，a c csin A 10×sin45 °由sin sin 得sin C＝ sin30 °＝10 2.∵sin5 ＝sin(30 ＋5)＝sin0cos5＋cos0sin5 ＝ 2＋ 6，4csin B∴b＝sin C＝

csin Csin C

10×sin75 °sin30 °＝20×

2＋ 64＝5 5 6.∴＝，a＝0 2，＝5 2＋5 a c(2)∵sin ∴sin

csin Aa

sin45 ° 32 ＝2，(0＝0＝.＝0＝

csin Bsin C＝

6sin75 °sin60°＝ 3＋1；当＝0时，＝5，b＝csin B

6sin15 °

1.°sin C＝sin120 ＝°∴b＝ ＋，＝5，＝0或b＝ 3－，＝5，＝.跟踪训练 2 (1)在△AB中，已知 ＝8，＝0，＝，则b等于( )A.4 2B.4 3C.4 6D.4(2)在△AB中，若＝ 2，b＝，＝0，则＝ 答案 (1)C (2)105或a b解析 (1)易知＝5，由sin ＝sin 得8·3Bb＝sin A

2＝4 6.22a b(2)

sin ＝得sin bsin A＝a

2sin30 ° 2＝ .2 2(0＝55＝50＝＝00＝5.题型三 判断三角形的形状2例3 在△AB中，已知 atan ＝2

tan 试判断三角形的形状 .解 由已知

a2sin Bcos B

b2sin Acos A，2sin

2sin A由正弦定理得

cos B ＝

cos A .∵sin 、sin 0，∴sin sin 即sin2 sin2 或∴π或2

A＝B.22∴△为等腰三角形或直角三角形 .22跟踪训练 3 在△中，bsin csin C且

试判断三角形的形状 .2 2解 由csin 得b＝c，b＝为等腰三角形，2 2 2 2 2 2

sin sinCa＝bc，∴△ABC为直角三角形，∴△为等腰直角三角形 .在△AB中，A＝c，A＝b，B＝a，下列等式中总能成立的是 ( )asin B B.AC.bcsin B D.A在△AB中，三个内角 ，，C的对边分别为 ，，c，已知＝ 2，b＝ ，＝0，么A等于( )A.135° B.90 ° C.45 ° D.30 °在锐角三角形 中，角所对的边分别为 若2asin 3b，则A等于( )π12

π6

π4

π3

sin A

cosB

cosC在△ABC中，内角 C所对的边分别为 c，若是( )

a ＝ b ＝

c ABCA.等边三角形 B. 直角三角形，且有一个角是 30°C.等腰直角三角形 D. 等腰三角形，且有一个角是 30°在△AB中，三个内角 ，，C的对边分别为 ，，c，已知＝，c＝0，b＝0 则△的形状是 .在中，若b＝5，B πtan 2，则sin ，a＝ .＝4，一、选择题在中，a＝则sin sin B的值是( )5A.3 B.

35 C.

3 57 D. 7在中，则下列不等式中不一定正确的是 ( )A.sin B B.cos C.sin2 2B D.cos2 2B3.在中，4∶1∶1，则a∶b∶c等于( A.4∶1 B.2∶1∶1C. 2∶1 D. 1在中，则一定是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰三角形.已知△AB中，a＝，b＝4 ，＝0，则B等于( )A.30° B.30 或150° C.60 ° D.60 或120°a＋b＋c在△AB中，＝0，a＝3，则sin ＋sin ＋sin

等于( )C8 3A. 3 B.

2 393 C.

28 33 D.2 3在△AB中，已知 ＝，最大边与最小边的比为

3＋12 ，则三角形的最大角为 ( )A.60° B.75 ° C.90 ° D.115 °5在中，2，5cos(＋0，则角B的大小为( )π6

π4

π3

5π6π二、填空题a－c已知在△中，1∶a＝1，则sin 2sin sin .在△AB中，A πB＝3，A＝ 6，则角＝ ＝3，.在△AB中，B＝＝5，A＝b＝0，＝0，则cos＝ 三、解答题) ABA＝cB＝aA＝，已知＝5＝0＝0，解三角形；(2)在△AB中，B＝＝4，A＝b，A＝c＝2 6，＝5，求b，B和.213.在△中，若sin 2sin 且2

2C，试判断△ABC的形状.当堂检测答案答案 D解析 由正弦定

a b csin sin 得asin csin 答案 Ca解析 由sin

bA＝sinA

得sin B

asin Bb

32×2 2＝ ，3 2＝5.ab<＝.答案 D解析 在△中，利用正弦定理得2sin 3sin 3又∵sin 0，∴sin 2.AA.3答案 C解析 由题acos又由正弦定理 ∴sin cos (00＝5.同理＝5.故△AB为等腰直角三角形 .答案 等腰或直角三角形1解析1解析b由sincB sin＝得sin CcsinbB＝25033＝2(00，＝0＝0∴△为等腰或直角三角形 .6.答案2 5210解析 由tan 2，得sin 2cos sincos，得sin22255，b＝，由正弦定理π4asinbA sin＝B，得a＝sinbsinB＝ 2＝22A2 510.课时精练答案一、选择题答案 Asin A a 5解析 sin 3.答案 C解析 sin 正确.由于(0，)上，y＝cos x单调递减，cosB.2cos2＝－n .2∵sin ∴

2B，cos22D正确.答案 D解析 ∵＋＋＝0，∶∶＝∶1∶，∴＝，＝，＝0.由正弦定理的变形公式得 a∶∶c＝sin ∶sin ∶sin ＝sin0 ∶sin0∶sin0＝3 1 22∶∶2

＝ 3∶1.答案 Ba sin A解析 ∵bsin ∴b＝sin sin

，∴sin B又∵(0，B π

ABC为直角三角形.，∴＝2，即△答案 D解析 由正弦定

a bsin ＝ 得A sin Bsin

bsin Aa

14 2 34 ＝2，(00ba，＝0.答案 D解析 利用正弦定理及比例性质，得a＋b＋csin sin 答案 B

a＝C sin

3＝A sin

3＝ ＝2 3.° 32解析