控制系统根轨迹分析法

——《过程控制原理》课程(第4章)«过程装备与控制工程»专业陈祥光2013年3月本章作业:4-1、4-2、4-3——前言

伊文思(W.R.Evans)于1948年首先提出了一种求解系统特征方程式根的简便图解法，称为根轨迹法，在过程控制中获得广泛应用。所谓根轨迹是指系统某一参数由零变化到无穷大时，闭环系统特征根在复平面上的相应轨迹。在根轨迹中主要研究的是以系统开环增益为参变量的根轨迹，之后又推广到随其它参数变化的广义根轨迹。——第4章控制系统根轨迹分析法4.1根轨迹法的基本概念4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则4.3根轨迹绘制方法举例4.4系统具有纯滞后环节的根轨迹4.5根轨迹法在控制系统分析和设计中的应用——本章提要研究s平面闭环特征根的位置分布对反馈系统性能的影响。通过选择一个或多个系统参数的取值,可以调整闭环反馈系统的响应,使之具有预期的性能。因此,掌握s平面上的特征根位置随参数变化的规律是很有用的。s平面上的根轨迹可以用图解法来确定。当一个参数变化时,根的变化轨迹即根轨迹图。根轨迹法是分析和设计反馈控制系统的有效工具。首先讨论手工绘制根轨迹草图的实用方法,然后讨论用计算机绘制根轨迹图的方法及其在设计中的有效性。并讨论PID控制器参数与系统根轨迹的关系。——4.1根轨迹法的基本概念为了说明根轨法的基本概念，先讨论图4-1所示的简单二阶系统。图4-1二阶单位反馈系统X(s)E(s)

Z(s)

Y(s)设H(S)=1系统开环传递函数为闭环传递函数为——4.1根轨迹法的基本概念在此设H(s)=1系统的特征方程为

现在的问题是以开环增益K为参变量，用解析法求出特征方程的根，然后令K从零变化到无穷大，画出这个系统的根轨迹图。——4.1根轨迹法的基本概念该二阶系统的特征根为

当时，和为互不相等的两个实根；当K=1时，两根相等，即==-1，当时，两个根成为共轭复数根：——4.1根轨迹法的基本概念K00-20.5-0.293-1.7070.75-0.5-1.51-1-12-1+j-1-j3-1+j-1-j………………-1+j-1-j

应注意，当K=1时，两根的实部均等于常数(-1)。K为不同值时的特征方程式的根列于表4-1。

表4-1——4.1根轨迹法的基本概念j2.0j1.0-j1.0-j2.0-1-23.02.01.0K=02.03.0K=0KKj图4-2二阶系统的根轨迹

K从零变化到无穷大时的根轨迹，如图4-2所示。图中的箭头表示K值增大的方向。——4.1根轨迹法的基本概念返27从图4-2可以看到：

(1).此二阶系统的根轨迹有两条分支，当K=0时分别从开环极点0和(-2)出发。也就是说，在根轨迹的起始点(K=0),闭环极点(即闭环特征根)与开环极点相同。

(2).当K从零向1增加时，两个闭环特征根和沿着相对的方向向着(-1，j0)移动。这时，和都在负实轴上,系统阻尼系数>1，对应于系统处于过阻尼状态。——4.1根轨迹法的基本概念

(3).当K增加到K=1时，两个特征根和会合于(-1，j0)点，即==-1，此时=1，对应于系统处于临界阻尼状态。

(4).当K进一步增加到K>1时，两个根和离开实轴，变为共轭复数根，其实部保持为常数(-1)，对应<1的欠阻尼状态。系统输呈现衰减振荡。K值越大，振荡频率越高。但由于实部为常数，系统调节时间变化不大。——4.1根轨迹法的基本概念—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

4.2.1绘制根轨迹的相角条件和幅值条件

图4-3所示反馈控制系统的闭环传递函数为(4-1)因此，系统的特征方程为

图4-3反馈控制系统

从这个例子已经知道，绘制根轨迹就是求解特征方程式(4-2)。(4-2)-—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

显然，凡能满足方程(4-2)的一切s值，都将是根轨迹上的点，将特征方程改写为(4-3)

式(4-3)又称为根轨迹方程。方程式中的是复变量s的函数，可以表示为幅值和相角的形式，即—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则式(4-3)右边的(-1)可以写成

根据等式两端相角和幅值应分别相等的条件，可以将式(4-3)写成两个方程：＝1(2h+1)=(奇数个)(4-4)(4-5)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

式(4-4)和(4-5)分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件。根轨迹上的所有点都应满足这两个基本条件,反之,所有满足幅值条件(4-4)和相角条件(4-5)的点s,都是根轨迹上的点。

过程控制系统通常可写成以下形式：

()(4-6)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

式中

分别为调节器、调节阀、控制对象和测量装置的增益。在根轨迹法中采用的是零、极点形式的传递函数，为此令—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则则可写为式中：为系统开环零点，为系统开环极点，—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

每一个复变因子

也可写成幅值和相角的形式，即—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

因此将式(4-7)代入方程(4-4)和(4-5),即可得到便于绘制根轨迹图的具体幅值条件和相角条件：，或

(4-10)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则(4-9)

首先检验试验点是否满足相角条件。将试点和一个开环极点标记在复平面上，如图4-4(a)所示。图4-4(a)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

从原点到的定向线段或矢量表示复数量的坐标。此线段的长度为的幅值，此线段的幅角(从正实轴量起)是。同样，从原点到的定向线段或矢量表示复数量的极坐标。因此从开环极点到画出的定向线段或者说从引向的矢量是,此线段的长度为复数量的幅值，幅角为。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

于是，检验某一点是否位于根轨迹上的方法是，从开环传递函数的所有极点和零点向试验点画定向线段，如图4-4(b)所示。图4-4(b)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

如果从零点所画定向线段的幅角是而从极点所画定向线段的幅角是，则根轨迹上的点必须满足方程(4-10),即(4-11)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则与此点相对应的K值可由方程(4-9)确定。

如果是从零点所画线段的长度，而是从极点所画线段的长度，则应满足方程(4-9),即(4-12)

—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

以上讨论了检验某一点是否位于根轨迹上的方法。如果该试验点位于根轨迹上，则相应的K值便可以根据式(4-12)确定。在第4.1节的例子中，可以求得(-1+j)这一点的K值为2。这点到每个极点(0和-2)的距离都等于。例子中没有开环零点，所以根据式(4-12)得—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则转10

显然，用解析法以及上述对若干个试验点进行检验，试探地画出根轨迹的方法都是困难的。伊文思(W.R.Evans)总结出一套绘制根轨迹的基本规则。

利用这些规则可以比较容易地画出系统的根轨迹。当然，也可以用数字计算机绘制根轨迹图。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则4.2.2绘制根轨迹的基本规则下面介绍以开环增益K为参变量的根轨迹绘制规则规则1

根轨迹的分支数和对称性式(4-7)表示的开环传递函数可写成(4-13)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则因此，系统的特方程式为或

由于Q(s)和P(s)分别是s的n阶和m阶多项式，而n≥m,所以特征方程的阶次为n,即特征方程有n个闭环极点。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则规则2

根轨迹的起点终点K=0时，根轨迹起始于开环极点，K=时，根轨迹终止于开环零点。系统特征方程式为

(4-15)(4-16)即

—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

根轨迹的起点是指开环增益K=0时根轨迹的位置。当K=0时，特征方程(4-16)变为

因此，特征根为,所以根轨迹的起点就是开环极点。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

根轨迹的终点是指当K时根轨迹的位置。将式(4-16)两边用K除，得到(4-17)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则当K时，特征方程(4-17)变为

因此，特征根为，所以根轨迹的终点就是开环零点。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

在前面2.6节中讨论传递函数的零点和极点时，曾提到无限零点()的概念，即

这就意味着，在处，系统有(n-m)个开环零点，称为无限零点。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

由幅值条件(4-9)可以看出，在时有

所以，当K时，n条根轨迹分支中的其余(n-m)条分支终止于(n-m)个无限零点，即终止于无限远处。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

②由于，所以当K从零变化到无穷大时，在从n个开环极点出发的n条轨迹分支中，有m条分支终止于m个有限开环零点，而其余的(n-m)条分支终止于无限远处的零点。综上所述，可得出如下结论。

①系统的根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点，包括无限远处的零点；—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则规则3

实轴上的根轨迹

如果某一段实轴右方的开环实极点数与实零点数之和为奇数，则这段实轴是根轨迹的一部分。设的零、极点分布图如图4-5所示。图4-5—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

在实轴上任取一试验点，若是根轨迹上的点，则它必须满足相角条件。

由图4-5不难看出，由任何一对开环共轭复数极点()和()对构成的总幅角为，即：—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

同理，一对共轭复数零点对试验点构成的总幅角也是。因此不论系统有多少对复数零极点，在中的作用只是增加或减少若干个，而对是奇数个还是偶数个没有影响。也就是说，在检验点是否满足相角条件时，可以不考虑共轭复数零点和极点。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

①渐近线的方向角

根轨迹中(n-m)条趋向无穷远处分支的渐近方向角为

(4-18)

规则4

根轨迹的渐近线—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则图4-6—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

由图4-6可以看出，当s趋于无穷远时，从所有开环零极点引向s点的定向线段变成平行直线，而原来对s点构成的各幅角也变得相等了，都可以用表示，即当时，有因此，由式(4-10)相角条件可得—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

式中(2h+1)表示奇数个，所以前面的负号可以省去。由于上式可以计算出(n-m)个，也就是说，(n-m)条趋向无穷远处的根轨迹分支在远方各有一个方向角，分别近似为一条直线。这(n-m)条直线以角向各个方向辐射。这些直线就是K时根轨迹将趋近的渐近线。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

②根轨迹的渐近线与实轴相交于一点，交点的横坐标以s=表示，则(4-19)

因根轨迹对称于实轴，所以(n-m)条渐近线的交点必在实轴上。我们来证明式(4-19)。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则系统开环传递函数表达式为：(4-20)

—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则由图4-7可以看出，当时有图4-7—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则所以，开环传递函数当时，变成—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

根据牛顿二项式展开定理，上式可写成(4-21)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则比较式(4-21)和(4-20)，可得即于是关于渐近线交点的规则得证。

—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

由于复数零极点总是以共轭复数形式成对出现，一对共轭零点或极点相加时，虚部抵消，所以由上式计算出的()总是实数。图4-8给出了当n-m=1,2,3,4时渐近线的图形。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则图4-8根轨迹的渐近线

—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则规则5

根轨迹的分离点和会合点根轨迹的分离点或会合点是下列方程的解：(4-22)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

在证明本规则之前，先对分离点或会合点作一些说明。一般情况下，如果实轴上两相邻极点间的一段属于根轨迹。那么从这两个极点出发的根轨迹分支必然在这段实轴上的某点相遇，然后离开实轴进入s平面的复数区域，趋向有限零点或无穷远处。

—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

两个分支相遇并离开实轴的点称作分离点，如图4-9a所示。如果实轴上两邻有限零点(或一个有限零点，一个无限零点)之间的一段属于根轨迹那么必然有来自复数区域的两条根轨迹分支在这段实轴上的某点进入实轴，然后分别终止于两个开环零点。

图4-9根轨迹的分离点和会合点

—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

两个分支进入实轴的这个点，称作会合点，如图4-9b所示。因根轨迹分支会合后必然要分开，所以有时把会合点也包括在分离点内，统称为分离点。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则图4-9根轨迹的分离点和会合点

显然，根轨迹的分离点和会合点是和系统特征方程式的重根相对应的。在分离点或会合点有几条根轨迹分支，则代表着特征方程有几重根。例如，图4-9所示的两条分支的交点(分离点或会合点)对应着特征方程的二重根。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

由于根轨迹的对称性，图4-9中根轨迹分支离开或进入实轴时与实轴正交，两根轨迹分支分离时彼此相差180°。在后面的例题中我们还会看到，当4条根轨迹分支从一个分离点离开实轴时，彼此相差90°。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

当然一个根轨迹图可以有多个分离点，而且分离点也不一定都在实轴上。由于根轨迹的对称性，分离点必须是实数或共轭复数对。一般情况下，根轨迹分离点位于实轴上。下面我们来证明根轨迹分离点和会合点的确定规则，即方程(4-22)。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则因此，

式中，为对s的导数。

即—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

当时，上式右边等于零，所以(4-23)

因，故从方程(4-23)至少可以解得一个根等于原特征方程的重根(),也就是根轨迹的分离点或会合点。开环传递函数可表示为(4-24)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则所以

由上式和方程(4-23)可以得到求解分离点方程的另一种形式：(4-25)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则特征方程可写成

因此，—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

将式(4-25)代入上式，即可得到决定根轨迹分离点(或会合点)的方程

应该指出，根轨迹如有分离点，则从上列方程一定能解得与分离点对应的根，但不一定所有的根都是根轨迹的分离点。显然，分离点必须是根轨迹上的点，如果有的根不在根轨迹上，应该舍去。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则图4-10画出了实轴上两相邻极点和两相邻零点之间根轨迹分支的变化情况以及对应的K值变化。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则图4-10根轨迹在实轴上的分离点和会合点及K值变化情况—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

当两条根轨迹分支同时到达分离点时，相应于这一段根轨迹的K值达到“最大值”。K值继续增加，根轨迹就离开实轴进入s平面上的复数区域。这里所谓的“最大值”，实际上是局部最大值。同样，根轨迹分支在会合点从复数区域进入两个零点之间的实轴部分后，随意K值继续增加，最后将终止于零点。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

因此，对于实轴上的根轨迹来说，在会合点，K为局部最小值。由于在分离点或会合点，K为局部极值，所以有

这样，即可利用上式求出根轨迹的分离点和会合点。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则规则6

根轨迹与虚轴的交点

根轨迹与虚轴的交点对应于系统特征方程的纯虚根。当根轨迹从左半S平面穿过虚轴进入右半S平面时，系统由稳定变为不稳定，因此，根轨迹与虚轴的交点是很重要的点。可以用如下两种方法求取交点的值以及相应的K值，此K值是系统的临界增益值。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

(1).直接将代入特征方程，并令其实部和虚部分别等于零，即可求出交点的值和相应的K值。将代入特征方和，得—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则写成实部和虚部形式令实部和虚部分别等于零，可得到(4-26)由方程组(4-26)即可求得和K值。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

(2).以上方法受到系统阶次的限制。遇到高阶系统时，可采用下面一种比较简便的方法。

按系统的特征方程列出劳斯阵列，并令其第一列的有关元素为零，以求出临界增益K值，再由辅助方程求出交点的值。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则规则7

根轨迹在复极点的出射角和在复零点的入射角当开环传递函数G(s)H(s)有复极点或复零点时，根轨迹将以一定的角度从复极点出发，或以一定的角度到达零点。这些角度可以利用相角条件，即方程(4-10)求得。例如系统的零点、极点分布如图4-12所示。—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则确定根轨迹从复极点()出发的出射角，记作。在从()出发的根轨迹上取一点，它与()的距离为足够小的量。应满足相角条件—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则

图4-12确定复极点的出射角

当时，系统所有零点和极点画向点的定向线段(或引向点的矢量)都指向复极点()。因此各零、极点对的相角成为对()的相角，而就变成了()的出射角，于是以上相角条件为—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则由此可求得()的出射角为式中表示奇数个，所以前边的负号可以省去。一般对于系统某一复数极点(),根轨迹的出射角由下式决定：(4-27)—4.2绘制根轨迹图的基本条件和基本规则上式中--各有限零点至极点()的矢量幅角；

--其他极点至极点()的矢量幅角。同样，根据相角条件可以导出系统的某一复