左维老师群论讲义6

行置换算子集:杨盘T的所有的行置换算子组成的集合.第五章对称群列置换算子集:杨盘T的所有的列置换算子组成的集合.杨算子:引理1:设T和T是两个杨盘,由置换r相联系,即T=rT.置换s作用于杨盘T上将T中任一位置(i,j)处的数字变到sT中的(k,l)处,则s=rsr–1作用在T上将T中位于(i,j)处的数字变到sT中的(k,l)位置.推论:设T和T是由置换r相联系的两个杨盘,即T=rT,则有下列关系成立引理2:设T是杨盘,p和q分别是T的任意行置换和列置换,T与T通过置换pq相联系,即T=pqT.则T中位于同一行的任意两个数字不可能出现在T的同一列.设两个杨盘由置换r相联系,即T=rT.如果T中任意两个位于同一行的数字不出现在即T的同一列,则置换r必可表示为r=pq.引理3:设T和T是属于不同杨图[λ]和[λ]的两个杨盘,[λ]>[λ],则总能找到两个数字同时出现在T的同一行和T的同一列.引理4:如果存在两个数字同时位于杨盘T的同一行和杨盘T的同一列,则这两个杨盘的杨算子满足推论:属于不同杨图的两个杨盘T和T,必有引理5:设是置换群Sn的群代数中的一个向量.如果对于杨盘T的任意行置换p和列置换q,满足

则x与杨算子E(T)差一个常数因子,即引理6:对应于杨盘T的杨算子E(T)是一个本质的本原幂等元.相应的不变子空间RG是对称群Sn的一个不可约表示空间,其维数是n!的因子.引理7:同一杨图的不同杨盘对应的表示是等价的.不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.5.2对称群的不可约表示定理:杨算子E(T)是本质幂等元,相应的不变子空间RGE(T)是对称群Sn的一个不可约表示空间,给出Sn的一个不可约表示;由同一杨图的不同杨盘给出的表示是等价的,而不同杨图的杨盘给出的表示是不等价的.标准杨盘:在杨图上,每一行数字按从左向右增大,每一列数字按从上到下增大的顺序来填充,得到的杨盘称为标准杨盘.记作定理:杨图[λ]对应的不可约表示的维数等于该杨图的标准杨盘的个数f[λ].杨图[λ]的标准盘个数的计算公式:gij为杨图上位置(i,j)处的钩长.半正则表示:标准盘系列:从Sn的一个标准杨盘Tr[λ]出发,作标准盘系列:相应杨算子为相应本原幂等元为半正规单位(半正则母单位):定义算子为本原幂等元,且满足半正规单位(半正则母单位)定义:设属于同一杨图的标准盘和由置换相联系,即定义算子.为杨算子.构造Sn群代数RG的一组基其中上述这组基矢称为Sn群代数的半正规单位,满足1)半正规单位共有n!个,在群代数空间是完备的.2)每一个杨图[λ]对应与对称群Sn的一个不等价不可约表示.3)Sn群元s作用在半正规基矢上给出表示矩阵.4)在半正规基矢下,表示约化为5)Sn任意群元可写为相邻数字对换的乘积.求表示矩阵元V[λ](s)的规则,其中s=(k–1,k):1)当数字k–1和k在Tr[λ]的同一行时,对角元2)当数字k–1和k在Tr[λ]的同一列时,对角元当数字k–1和k不在Tr[λ]的同一行和同一列时,设

Tu[λ]=sTr[λ],则其中ρ为Tr[λ]中数字k–1到k的轴距离的倒数.4)其它情况矩阵元为零.酉表示:定义对称群代数RG的新基矢其中是由杨图[λ]和r决定的数,称为盘函数.如果盘函数取为Cμ是标准盘Tr[λ]中数字n与第μ行最后一个数字的轴距离的倒数,μn是数字n所在行数.上述基矢给出对称群的酉表示.李代数:设g是数域K上的线性空间,对于任意X,Y∈g,定义李积[X,Y]∈g,如果李积满足下述条件:1)双线性.即对任意a,b∈K,X,Y,Z∈g,有2)反对称.即对任意X,Y∈g,有3)雅可比关系则称代数g为李代数.以李群的无限小生成元为基矢张开的线性空间g={X=aiXi|ai∈R}中,若定义李积为对易关系[X,Y]=XY-YX,则构成一个李代数.第六章李代数基础6.1基本概念■子代数:设g1是李代数g的一个子集,如果对任意X,Y∈g1,李积运算都满足则g1称为李代数g的一个子代数.

群的乘法:两个置换的乘积rs为先进行s置换,再进行r置换.■理想子代数:设g1是李代数g的一个子集,如果对任意X∈g1,Y∈g,都有则g1在李积运算下是不变的,称为李代数g的一个理想子代数,或简称理想.

■中心:李代数g中所有与李代数对易的元素组成的集合,称为李代数g的极大可交换理想,或简称为李代数g的中心,即■直和:李代数g的两个理想g1和g2如果满足条件则称李代数g是理想g1和g2的直和.记为g=g1g2.■半直和:李代数g的两个子代数g1和g2如果满足则称李代数g是g1和g2的半直和.记为g=g1Sg2.■同构:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1到g2的一一对应的满映射P,且对任意a,b∈K和X,Y∈g满足则称李代数g1和g2同态.■同态:设g1和g2是两个李代数,如果存在一个从g1到g2的满映射P,且对任意a,b∈K和X,Y∈g满足则称李代数g1和g2同构.■单纯李代数:如果李代数g不具有非平庸理想,则称g为单纯李代数,或单李代数.■半单李代数:如果李代数g不具有非平庸可交换理想,则称g为半单李代数.■半单李代数的判据:判据1李代数g是半单李代数的充要条件为:g可以写作其理想的直和,即且gi均为单李代数.李代数的内导子:李代数g上的内导子是李代数g上的线性变换,设X∈g,则内导子ad(X)定义为半单李代数的嘉当判据:李代数g为半单李代数的充要条件是:李代数的基林型(基林度规张量):定义为下述对称张量其中是李代数g关于基矢X1,X2,…,Xn的结构常数,即即基林度规张量不退化,存在逆张量李代数的卡塞米尔算子:半单李代数g的卡塞米尔算子C与g的所有元素可对易.推广的卡塞米尔算子:李代数的内导子与基林度规张量的关系:李代数的导出代数-----子代数链:1.a)李代数g的导出链b)可解李代数:如果存在一个正整数k,使得则g称为可解李代数.c)可解李代数的每一个子代数都是可解李代数.d)可解李代数不含任何单纯李代数.b)幂零李代数:如果存在一个正整数k,使得则g称为幂零李代数.2.a)李代数g的降中心链c)幂零李代数的每一个子代数都是幂零李代数.幂零李代数不含任何单纯李代数.幂零李代数必为可解李代数定理:任意一个李代数g都可以表示为一个可解李代数与一个半单李代数的直和.例:so(3)李代数b)卡塞米尔算子a)基林度规张量6.2复半单李代数的正则形式■李代数基底(线性变换)------>另一组基底1.李代数上的本征值问题李代数g是r维复李代数,{Xμ}是g的一组基底,满足因{Xμ}是李代数g的一组基底,是g上一组线性无关的向量是关于{xν}的本征方程,有非平凡解条件为在复数域上有r个非平凡解,每个解称为李代数的一个根.2.李代数的嘉当子代数如果(1)选择A,使A的不同根的数目最大;(2)李代数g是半单李代数.则(a)只有ρ=0的根是简并的,而其余的非零根都是单的;(b)半单李代数的秩:零根ρ=0的简并度l

称为g的秩;(c)嘉当子代数:对零根ρ=0,有l

个线性无关的本征向量与之对应,记为Hi(其中i=1,2,…l),则l向量Hi张开r维李代数g的一个l维子代数,称为嘉当子代数(d)其余的(r–l)个非零根对应的本征向量Eα满足[A,Eα]=αEα,张开一个(r–

l)维子空间,称为嘉当子代数的补空间.3.李代数的根的性质

(1)设Hi是半单李代数g的嘉当子代数的基,满足[Hi,Hj]=0;Eα是A=λi

Hi的非零本征值(g的非零根对应的本征矢,满足[A,Eα]=αEα,则αi

可看作l向量空间中向量α的协变分量.根α则表示l向量空间中分量为αi的向量,称为根向量.对李代数的根进行分类证明:[Hi,Eα]是A的属于同一本征值的本征向量,α是非简并的

(2)如果Eα

和Eβ是g的两个非零根,则证明:半单李代数非零根是单根

(3)根的对称性质定理:对于半单李代数的每一个非零根α,必有一个根–α存在.证明:考虑基林度规张量根据根的性质(1)和(2),有所以,如果–α不是根,则基林度规张量的本征值α对应的行中所有元素为零,故det(gατ)=0.与半单李代数前提相矛盾.(1)规定Eα的归一化因子,使(2)gik看作向量α张开的l维空间的度规张量,且有(3)全反对称张量4.嘉当-韦尔基则基林度规张量为αi

为α的逆变分量.(4)半单李代数g的嘉当-韦尔基底(正则形式)正则形式下对易关系(结构常数)卡塞米尔算子:(1)如果α和β是半单李代数的非零根,则(2)如果α是半单李代数的根,则α的整数倍mα中,只有

α,0,–α才是根.5.关于根的几个定理且存在一个β的α根链或(3)如果α和β是半单李代数的非零根,则6.Nαβ的确定设半单李代数的根链为则7.根向量的图形表示(1)半单李代数根向量的性质如果α是根向量,则–α也是根向量;如果α和β是根向量(非零根),则c)

如果α和β是根向量(非零根),则d)

定义两个根向量α和β之间的夹角和长度比分别为取β为长度较长根向量;考虑到α和–α均为根向量,只需取锐角.可得下述几种情况秩l>2的单李代数:典型李代数的根系

l维根空间中,引进l个相互正交的单位向量根向量的图形表示1秩单李代数:李代数A1,l=1.(2)2秩半单李代数:(4)例外李代数及其根系8.素根和邓金图对于给定的半单李代数,有关其根向量的信息,可以从所有根向量集合的一个子集合得到.正根:在某个任意选定的基底下,如果根α+

的第一个不为零的坐标是正的,则称α+

为正根.通常,组成根图的一半非零根是正根.所有正根和的一半记为素根的概念素根(单纯根):如果一个正根不能分解为另外两个正根之和,则称这个正根是素根.上述B2的4个正根中,只有(0,1)和(1,–1)是素根.例:李代数B2的8个非零根:中,(1,0),(1,1),(0,1),(1,–1)是正根.素根系:所有素根组成的集合,用п来表示.对于秩为l

的半单李代数,共