专题六数列第十八讲数列的综合应用

专题六 数列第十八讲 数列的综合应用一、选择题1．（2017新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣， 他们推出了“解数学题获取软件激活码 ”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，,，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是A．440B．330C．220D．110．（2016年全国Ⅲ）定义“规范01数列”如下：{an}共有2m项，其中m项为，m项2{an}0为1，且对任意k2m，a,a,,a中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同12k的“规范01数列”共有（A）18个（B）16个（C）14个（D）12个3．(2015湖北)设a1,a2,,anR，n≥3．若p：a1,a2,,an成等比数列；q：(a12a22an21)(a22a32an2)(a1a2a2a3an1an)2，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件4．（2014新课标2）等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn=A．nn1B．nn1nn1nn1C．2D．25．（2014浙江）设函数f1(x)x2，f2(x)2(xx2),f3(x)1|sin2x|，aii，399i0,1,2,,99，记Ik|fk(a1)fk(a0)||fk(a2)fk(a1)||fk(a99)fk(a98)|，k1,2,3.则A．I1 I2 I3 B． I2 I1 I3 C． I1 I3 I2 D． I3 I2 I1二、填空题6．(2018江苏)已知集合A{x|x2n1,nN*}，B{x|x2n,nN*}．将AB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an}．记Sn为数列{an}的前n项和，则使得Sn12an1成立的n的最小值为．7．（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．8．（2014新课标2）数列an满足an11，a2=2，则a1=_________．1an9．（2013重庆）已知an是等差数列，a11，公差d0，Sn为其前n项和，若a1,a2,a5成等比数列，则S8_____．10．（2011江苏）设1a1a2a7，其中a1,a3,a5,a7成公比为q的等比数列，a2,a4,a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．11．（2011浙江）若数列n(n4)(2)n中的最大项是第k项，则k=_______________．3三、解答题12．(2018江苏)设{a}是首项为a，公差为d的等差数列，{bn}是首项为b1，公比为q的n1等比数列．(1)设a10,b11,q2，若|anbn|≤b1对n1,2,3,4均成立，求d的取值范围；(2)若a1b10,mN*,q(1,m2]，证明：存在dR，使得≤b1对|anbn|n2,3,,m1均成立，并求d的取值范围（用b1,m,q表示）．13．（2017天津）已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(nN)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2b312,b3a42a1，S1111b4．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{a2nb2n1}的前n项和(nN)．14．（2017浙江）已知数列{xn}满足：x11，xnxn1ln(1xn1)(nN*)．证明：当nN*时（Ⅰ）0xn1xn；（Ⅱ）2xn1xn≤xnxn1；2（Ⅲ）1≤xn≤1．2n12n215．（2016年四川高考）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn1qSn1，其中q>0，nN*.（I）若2a2,a3,a22成等差数列，求an的通项公式；(Ⅱ)设双曲线2y2的离心率为en，且e25，证明：ee4n3n．x21en1312nan316．（2015湖北）设等差数列 {an}的公差为 d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为 q．已知b1a1，b22，qd，S10100．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）当d1时，记cnan，求数列{cn}的前n项和Tn．bn17．（2015陕西）设fnx是等比数列1，x，x2，，xn的各项和，其中x0，n，n≥2．（Ⅰ）证明：函数Fnxfnx2在(1,1)内有且仅有一个零点（记为xn），且2xn11xnn1；22（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gnx，比较fnx与gnx的大小，并加以证明．18．（2015重庆）在数列an中，a13，an1anan1an20(nN)．（Ⅰ）若0,2，求数列an的通项公式；（Ⅱ）若1(k0N,k0≥2)，1，证明：211ak0121．k03k02k0119．(2014山东）已知等差数列 {an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=(1)n14n,求数列{bn}的前n项和Tn．anan1an和bn满足a1a2anbnN．若an为等比数列，20．（2014浙江）已知数列2n且a12,b36b2.（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）设cn11nN．记数列cn的前n项和为Sn．anbn（ⅰ）求Sn；（ⅱ）求正整数k，使得对任意nN，均有SkSn．21．（2014湖南）已知数列{an}满足a11,|an1an|pn,nN*.（Ⅰ）若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值；（Ⅱ）若p1a2n1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．，且{222．（2014四川）设等差数列{an}的公差为d，点(an,bn)在函数f(x)2x的图象上（nN*）．（Ⅰ）若a12，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；（Ⅱ）若a11，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为21，ln2求数列{an}的前n项和Tn．bn23．(2014江苏)设数列{an}的前n项和为Sn．若对任意正整数n，总存在正整数m，使得Snam，则称{an}是“H数列”．（Ⅰ）若数列{an}的前n项和Sn2n(nN)，证明:{an}是“H数列”；（Ⅱ）设{an}是等差数列，其首项a11，公差d0．若{an}是“H数列”，求d的值；（Ⅲ）证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{cn}，使得anbncn(nN)成立．24．（2013安徽）设数列a满足a12，a2a48，且对任意nN*，函数nf(x)(anan1an2)xan1cosx-an2sinx，满足f'()02（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）若bn（2an1），求数列b的前n项和S．2annn25．（2013广东）设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足4Snan214n1，N*，且a2,a5,a14构成等比数列．（Ⅰ）证明： a2 4a1 5；（Ⅱ）求数列 an的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n，有1111a1a2a2a3anan1．226．（2013湖北）已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）是否存在正整数n，使得Sn2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．27．（2013江苏）设an是首项为a，公差为d的等差数列d0，Sn是其前n项和．记bnnSn，nN*，其中c为实数.n2c（Ⅰ）若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Skk,nN*；（Ⅱ）若bn是等差数列，证明：c0．28．(2012山东)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a102a5．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）对任意mN*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm．29．（2012湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％．预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．（Ⅰ）用d表示a1,a2，并写出an1与an的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．30．（2012浙江）已知数列an的前n项和为Sn，且Sn=2n2n，n∈N﹡，数列bn满足an4log2bn3，nN*．（Ⅰ）求an,bn；（Ⅱ）求数列{anbn}的前n项和Tn．31．（2012山东）在等差数列an中，a3a4a584，a973（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）对任意的mN*，将数列an中落入区间9m,92m内的项的个数为bm，求数列bm的前m项和Sm．32．（2012江苏）已知各项均为正数的两个数列anbn，nN．{an}和{bn}满足：an1an2bn2bn，nbn2（Ⅰ）设bn11N，求证：数列是等差数列；anan（Ⅱ）设bn12bn，nN，且{an}是等比数列，求a1和b1的值．an33．（2011天津）已知数列{an}与{bn}满足bn1anbnan1(2)n1，3(1)n1*,且a12．bn,nN2（Ⅰ）求a2,a3的值；（Ⅱ）设cna2n1a2n1,nN*，证明{cn}是等比数列；S1S2S2n1S2nn1*).（Ⅲ）设Sn为{an}的前n项和，证明a2a2n1a2n(nNa1334．（2011天津）已知数列{an}与{bn}满足：bnanan1bn1an20,bn3(1)n，2nN*，且a12,a24．（Ⅰ）求a3,a4,a5的值；（Ⅱ）设cna2n1a2n1,nN*，证明：cn是等比数列；（Ⅲ）设Saaa,kN*,证明：4nSk7(nN*)．k242kk1ak635．（2010新课标）设数列an满足a12,an1an322n1（Ⅰ）求数列 an的通项公式；（Ⅱ）