第十章动能定理(第二版)

第十章动能定理1第十章动能定理§10.1力的功§10.2质点和质点系的动能§10.3动能定理§10.4功率·功率方程·机械效率§10.5势力场·势能·机械能守恒定律§10.6普遍定理的综合应用举例2一、常力的功功是代数量，在国际单位制中，功的单位为J（焦耳）。§10.1力的功3二、变力的功力F从M1到M2的过程所作的功在直角坐标系中上两式也可写成以下矢量点乘形式：力在全路程上作的功等于元功之和：力在无限小位移

中作的功称为元功：4根据质心坐标公式，有三、几种常见力的功1．重力的功重力作功为对于质点系，设质点i

的质量为mi，运动始末的高度差为（zi1-zi2），则全部重力作功之和为：重力在直角坐标轴上的投影为所以5点A

由A1到A2时，弹性力作功为2．弹性力的功弹性范围内，弹性力大小为k为弹簧刚度系数弹性力6如果刚体上作用一力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶对转轴z的矩，也等于力偶矩矢M在轴上的投影。3．作用于转动刚体上的力和力偶的功力F在切线上的投影为刚体转动时力F的元功为Ft

R等于F对于转轴z的力矩Mz，于是71.理想约束反力的功（1）光滑固定面约束约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。（2）活动铰支座、固定铰支座和向心轴承四、理想约束及内力的功8（5）柔性约束（不可伸长的绳索）（4）联接刚体的光滑铰链（中间铰）（3）刚体沿固定面作纯滚动92.质点系内力的功只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。不变质点系内力的功之和等于零。刚体的内力的功之和等于零。不可伸长的绳索内力的功之和等于零。10

一、质点的动能设质点的质量为m，速度为v，则质点的动能为动能是标量，恒取正值。在国际单位制中动能的单位也为J。二、质点系的动能质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能，即§10.2质点和质点系的动能112．转动刚体的动能1.平移刚体的动能123.平面运动刚体的动能点C:质心，点P:某瞬时的瞬心，ω:角速度13一、质点的动能定理取质点运动微分方程的矢量形式因得上式称为质点动能定理的微分形式:即质点动能的增量等于作用在质点上力的元功。§10.3动能定理14上式称为质点动能定理的积分形式：在质点运动的某个过程中，质点动能的改变量等于作用于质点的力作的功。二、质点系的动能定理质点系内有n个质点，任一质点质量为mi，速度为vi，有式中δWi为作用于这个质点上的力Fi作的元功。15上式称为质点系动能定理的积分形式：质点系在某一段运动过程中，起点和终点的动能的改变量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。将n个方程相加，得：上式称为质点系动能定理的微分形式：质点系动能的增量等于作用于质点系全部力所作的元功的和。上式积分，得：16例1图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数为k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA’，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：取OA杆为研究对象得由17上式两边对ｔ求导，得由动能定理，设滑块的速度为v，加速度为a。【例2】均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：取整体为研究对象，18

【例3】图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计且不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)解：取系统为研究对象，设重物的速度与加速度分别为v与a。19上面(1)式求导得：(1)20【例4】行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角

的函数表示)和角加速度。解：取整个系统为研究对象，设曲柄的角速度为ω，角加速度为α。21根据动能定理T2-T1=W12，得(*)将(*)

式对t求导数，得22【例5】两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B

端的速度。解：取整个系统为研究对象，设B端速度为v。23一、功率单位时间内力所做的功称为功率，以P表示。功率等于切向力与力作用点速度的乘积。作用在转动刚体上的力的功率为式中Mz是力对转轴z的矩，ω是角速度。即作用于转动刚体上的力的功率等于该力对转轴的矩与角速度的乘积。§10.4功率功率方程机械效率24二、功率方程

取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。每部机器的功率可分为三部分：输入功率、无用功率（或耗损功率）、有用功率（或输出功率）。在一般情况下，功率方程可写成：或25三、机械效率有效功率=机械效率η表示机器对输入功率的有效利用程度，它是评定机器质量好坏的指标之一。显然，如一部机器有n级传动，设各级的效率分别为η1、η2、…、ηn,则总效率为，机械效率用η表示，即26

【例6】

车床的电动机功率为5.4

kW。由于传动零件之间的摩擦耗损功率占输入功率的30%。如工件的直径d=100mm，转速n

=42

r/min，问允许切削力的最大值为多少？若工件的转速改为n’=112r/min，问允许切削力的最大值为多少？解：由题意知：当工件匀速转动时，动能不变，则设切削力为F，切削速度为v，则27当n=112r/min时，允许的最大切削力为当n=42r/min时，允许的最大切削力为28

【例7】

电动机车质量为m，由静止以匀加速度a沿水平轨道行驶，如电动机车所受的运动阻力等于kmg(其中k是常数)。求电动机车的功率。解：设电动机车行驶距离s时的速度为v，电动机车所做的功为W，由动能定理得：将上式对时间求导，并注意及得电机车的功率将代入上式，得：29

【例8】均质圆轮半径r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。解：取轮为研究对象，均质圆轮作平面运动，其动能为只有重力作功,重力的功率为4530应用功率方程：得当θ很小时sinθ≈θ,于是得质心C的运动微分方程为31一、势力场如果一物体在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则这部分空间称为力场。例：重力场，太阳引力场等等。如果物体在力场内运动，作用于物体的力所作的功只与力作用点的初始位置和终了位置有关，而与该点的轨迹形状无关，这种力场称为势力场（或保守力场）。在势力场中，物体受到的力称为有势力（或保守力）。例：重力场、弹性力场都是势力场，重力、弹性力、万有引力都是有势力。§10.5势力场势能机械能守恒定律32二、势能在势力场中，质点M运动到任选的点M0

，有势力所作的功称为质点在点M相对于点M0的势能。以V表示为点M0

称为零势能点。在势力场中，势能的大小是相对零势能点而言的。零势能点M0可以任意选取，对于不同的零势能点，在势力场中同一位置的势能可有不同的数值。几种常见势能的计算331．重力场中的势能质点重力mg在各轴上的投影为取M0为零势能点，则质点在点M的势能为质点系重力势能其中m为质点系全部质量，zC为质心的z坐标，zC0为零势能位置质心z坐标。342．弹性力场中的势能设弹簧的一端固定，另一端与物体连接。弹簧的刚度系数为k。取M0为零势能点，则物体在点M的势能为如取弹簧的自然位置为零势能点，则有δ0

=0，则35一质量为m、长为l的均质杆AB。A端铰支，B端由无重弹簧拉住，并于水平位置平衡。此时弹簧已拉长δ0。如弹簧刚度系数为k，如质点系受到多个有势力的作用，各有势力可有各自的零势能点。质点系中的各质点都处于其零势能点的一组位置，称为质点系的“零势能位置”。质点系从某位置到其“零势能位置”的运动过程中，各有势力作功的代数和称为此质点系在该位置的势能。36(2)如取杆的平衡位置为系统的零势能位置，杆于微小摆角j

处，势能为(1)如重力以杆的水平位置为零势能位置，弹簧以自然位置为零势能点，则杆于微小摆角j

处势能为注意可得37质点系在势力场中运动，有势力的功可通过势能计算。设某个有势力的作用点在质点系的运动过程中，从点

M1到点M2，该力所作的功为W12。取点M0

为零势能点，则因有势力的功与轨迹形状无关，从M1经M2到M0即有势力所作的功等于质点系在运动过程中的初始和终了位置的势能的差。38三、机械能守恒定律质点系在某瞬间的动能与势能的代数和称为机械能。质点系如只有有势力作功，则移项后即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变。这种质点系称为保守系统。39如质点系受到非保守力也作功，称为非保守系统，非保守系统的机械能是不守恒的。设保守力所作的功为W12，非保守力所作的功为W'12

，由动能定理有因则如W'12为负功，质点系在运动过程中机械能减小，称为机械能耗散；如W'12为正功，质点系在运动过程中机械能增加，这时外界对系统输入了能量。40

【例9】

长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。

解：取杆为研究对象，由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C

铅垂下降。由于只有重力作功,因此机械能守恒。取地面为零势能面41由机械能守恒定律：解得42

【例10】

两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。43

解：取整体为研究对象：由于只有重力作功,因此机械能守恒。取地面为零势能面由机械能守恒定律：44

【例11】均质圆轮半径r，质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动。求质心C的运动规律。解：取轮为研究对象，此系统的机械能守恒，取质心的最低位置O为重力场零势能点，圆轮在任一位置的势能为同一瞬时的动能为由机械能守恒，有3045把V和T的表达式代入，取导数后得于是得因θ很小因46它们从不同方面建立了质点或质点系运动量（动量、动量矩、动能）的变化与力的作用量（冲量、力矩、力的功）之间的关系。质点和质点系的普遍定理包括动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都用于研究机械运动，而动能定理还可用于研究机械运动与其它运动形式有能量转化的问题。应用动量定理或动量矩定理时，质点系的内力不能改变系统的动量和动量矩，只需考虑质点系所受的外力。应用动能定理时，要考虑约束力和内力作不作功。§10.6普遍定理的综合应用举例47动量定理质点系动量定理的微分形式质点系动量定理的积分形式48质点系动量守恒定律，则即质点系的动量保持不变。1.如果2.如果，则即质点系的动量在x轴上投影保持不变。

以上结论称为质点系动量守恒定律。动量定理49质心运动定理或质心运动定理直角坐标轴上的投影式为自然轴上的投影式为50质心运动守恒定律即质心作匀速直线运动；若开始静止，则质心位置始终保持不变。2.如果则所以即质心速度在x轴上的投影保持不变；若开始速度在x轴上的投影等于零，则质心沿x轴的坐标保持不变。1.如果则所以以上结论，称为质心运动守恒定律。质心运动定理51质点系动量矩定理：应用时，取投影式动量矩定理52动量矩守恒定律如果则则如果上述两种情况就是质点系的动量矩守恒定律。动量矩定理53刚体绕定轴的转动微分方程或刚体绕定轴转动微分方程转动惯量是刚体转动惯性的度量。或54上式也可写成

刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程55质点系的动能定理微分形式：积分形式：动能定理56功率方程功率方程·机械能守恒定律机械能守恒定律即质点系在运动的过程中，只有有势力作功，其机械能保持不变。这种质点系称为保守系统。57工程中有的问题只能用某一定理求解，有的则可用不同的定理求解，还有些较复杂的问题，需要几个定理的联合应用才能求解。因此，在解题时就牵涉到选哪个或哪几个的问题。但普遍定理的选用具有很大的灵活性，不可能定出几条处处适用的现成规则。动力学普遍定理选用的一般方法和步骤（仅供参考）⒈首先必须明确各个定理的内容、特点以及各定理所能解决的问题。⒉分析问题的已知条件与所求未知量之间的关系，分析质点系的运动状态与所受力的特点，根据这两方面分析的结果再来决定选用哪一定理。58

具体来讲：⑴如果问题是要求速度和角速度，则可根据质点系所受力的特点而定。①若质点系所受外力的主矢为零或在某轴上投影的代数和为零，则可用动量守恒定律求解；②若质点系所受外力对某固定轴的力矩之代数和为零，则用对该轴的动量矩守恒定理求解；③若质点系仅受有势力作用或非有势力不作功，则用机械能守恒定律求解；④若作用在质点系上的非有势力作功，则用动能定理求解；⑵如果问题是要求加速度和角加速度，则可考虑用动能定理求出速度和角速度，然后再对时间求导，求出加速度或角加速度；也可用功率方程或动量定理、动量矩定理求解。在用动能定理或功率方程求解时，59不作功的力在方程中不出现，给问问题的求解带来很大的方便。⑶若已知质点系或质心的运动，如果在x、y、z方向仅有一个外力（通常是约束反力）是未知的，则可用动量定理或质心运动定理求出未知的外力，有时用动量矩定理求解也极为简单。⒊对于定轴转动问题，可用定轴转动微分方程求解；对于刚体的平面运动问题，可用平面运动微分方程求解。通常情况下，先用动能定理或动量矩定理求出运动量，然后再用质心运动定理求出未知的约束反力。对于复杂的动力学问题，不外乎是上述几种情况的组合，可根据各定理的特点联合应用。60解：取杆为研究对象，由质心运动定理：例12：均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求该瞬时，杆的角加速度及O处反力。其定轴转动aaCyxyaCx解得：61ll0AB

例13：图示弹簧两端各系以重物A和B，放在光滑的水平面上,重物A和B的质量分别为m1、m2,弹簧的原长为l0，刚性系数为k。若将弹簧拉到

l

然后无初速地释放，问当弹簧回到原长时，重物A和B的速度各为多少？62l0lAB解：取整体为研究对象。m1gm2gFAFBvAvBx∴水平方向动量守恒应用动能定理（2）（1）由(1)、(2)两式解得：63

例14：图示圆环以角速度ω绕铅垂轴AC自由转动。此圆环半经为R,对轴的转动惯量为J。在圆环中的点A放一质量为m的小球。设由于微小的干扰小球离开点A，小球与圆环间的摩擦忽略不计。求当小球到达点B和C时，圆环的角速度和小球的速度。ACB64ACB解：取整体为研究对象。zmgPFyF1zF1xF1yFx1.小球A→B∴对z轴动量矩守恒，即Lz1=Lz2由动能定理vBe是小球的牵连速度，vBr矢量与z轴相交65ACBzmgPFyF1zF1xF1yFx2.小球A→C∴对z轴动量矩守恒，应用动能定理解得解得即Lz1=Lz266【例15】如图所示两均质圆轮质量均为m，半径为R，A轮绕固定轴O转动，B轮在倾角为θ的斜面上作纯滚动，B轮中心的绳绕到A轮上。若A轮上作用一力偶矩为M的力偶，忽略绳子的质量和轴承的摩擦，求B轮中心C点的加速度、绳子的张力、轴承O的约束力和斜面的摩擦力。67

解：取整体为研究对象，假设轮B的中心C由静止开始沿斜面向上运动一段距离s，则各力所作功的和为由动能定理T2-T1=W12，得将上式对时间求导，得68(2)取轮A为研究对象，应用定轴转动微分方程其中得应用质心运动定理，得因aox=aoy=0，得69(3)取轮B为研究对象，应用质心运动定理，得代入已量，得本问题也可应用相对质心的动量矩定理来求解。70

【例16】

均质细长杆为l、质量为m，静止直立于光滑水平面上。当杆受微小干扰而倒下时，求杆刚刚到达地面时的角速度和地面约束力。71解：由于地面光滑，直杆沿水平方向不受力，且初始静止，故倒下过程中质心将铅直下落。设杆