信号处理初步-修改稿

中北大学机电工程学院2008年3月

机械工程测试技术基础熊诗波、黄长艺主编1第五章信号处理初步机械工程测试技术基础，第三版本章主要讲述内容5.1数字信号处理的基本步骤5.2信号数字化出现的问题5.3相关分析及其应用5.4功率谱分析及其应用2

5.0

概述测试工作的目的获取研究对象（被测对象）的状态和特征信息。信号处理的目的

①分离信、噪，提高信噪比；

②从信号中提取有用的特征信息；

③修正测试系统的某些误差，如传感器的线性误差、温度影响等。

信号处理可用模拟信号处理系统和数字信号处理系统来实现。3

5.1数字信号处理的基本步骤5.1.1测试中的数字信号处理系统系统简图，如图5-1所示。主要环节包括：①信号预处理（信号调理）；②模数转换（A/D转换）③数字信号处理（专用的或通用计算机）；④处理结果显示45.1.2信号的预处理1.信号预处理的目的把信号变换成适于数字处理的形式，以减轻数字处理的困难。2.信号预处理环节包括的内容

①电压幅值调理以便适宜于采样，总是希望信号电压峰—峰值足够大，以便充分利用A/D转换器的精确度。5②抗混滤波

进入A/D采样之前，先滤去信号中的高频噪声，以提高信噪比；③隔直如果所测信号不应有直流分量，隔离信号中的直流分量；④解调

如果原信号经过调制，则应先进行解调。65.1.3模数转换模－数（A/D）转换是将模拟信号采样、量化，并转化为二进制数的过程。5.1.4数字信号处理数字信号处理，主要研究用数字序列表示信号，采用通用计算机或专用数字信号处理器，并用数字计算方法对这些离散的时间序列进行运算处理，以便把信号变换成符合某种需要的形式。7

数字信号处理的主要内容①首先要把长时间序列截断，因为计算机只能处理有限长度的数据。②识别、剔除数据中的奇异点。由于强干扰或信号丢失，引起的数据突变，称为奇异点。③分离、去除趋势项。由于温漂、时漂等系统性干扰，引起信号缓慢变化的成分，称为趋势项。其周期大于记录长度的频率成分。④如有必要，还可以设计专用程序，进行数字滤波。⑤按给定的程序，完成各种分析。包括相关分析、频谱分析及信号的识别等。8

5.2信号数字化出现的问题由传感器获得的信号大多数为模拟信号，用计算机处理这些信号时首先要把模拟信号转化成数字信号。信号数字化过程包含着一系列步骤，每一步骤都可能引起信号失真或信息丢失。本节对信号数字化出现的问题进行讨论，提出解决这些问题的方法。95.2.0概述现以计算一个模拟信号的频谱为例来说明有关的问题，设模拟信号的傅里叶变换为（见图5-2），为了利用数字计算机处理，必须使变换成有限长的离散时间序列

。为此，必须对x(t)进行采样和截断。10时域采样采样就是用一个等时距的周期脉冲序列s(t)，也称采样函数（图５-３）去乘x(t)。由式（１-６０）可知，s(t)的傅立叶变换S(f)也是周期脉冲序列。根据傅立叶变换的性质，采样后信号频谱应是X(f)和S(f)的卷积。11卷积的结果是将它平移，使其中心落在S(f)脉冲序列的频率点上，如图（５-４）所示。若X(f)的频带大于1/2Ts，平移后的图形会发生交叠，如图（５-４）中虚线所示。采样后信号的频谱是这些平移后图形的叠加，如图中实线所示。12截断由于计算机只能进行有限长序列的运算，所以必须从采样后信号的时间序列截取有限长的一段来计算，其余部分视为零而不予考虑。这等于把采样后信号乘上一个矩形窗函数，窗宽为T。所截取的时间序列数据点数（序列长度）N=T/Ts。窗函数w(t)的傅立叶变换W(f)如图（５-５）所示。13时域相乘对应着频域卷积，因此进入计算机的信号为x(t)s(t)w(t)，是长度为N的离散信号（见图５-６）。它的频谱函数是[X(f)*S(f)*W(f)]，是一个频域连续函数。在卷积中，W(f)的旁瓣引起新频谱的皱波。14频域采样计算机按照一定算法，比如离散傅立叶变换（DFT），将N点长的离散时间序列变换成N点的离散频率序列，并输出。注意到，x(t)s(t)w(t)的频谱是连续的频率函数，而计算后的输出则是离散的频率序列。可见对其频谱[X(f)*S(f)*W(f)]实施了频域的采样处理，使其离散化。15计算机的实际输出是X(f)p=[X(f)*S(f)*W(f)]D(f)（５-１）应当注意到频域采样形成的频域函数离散化，相应地把其时域函数周期化了，因而x(t)p是一个周期函数，如图（５-８）所示。16从以上过程看到，原来希望获得模拟信号x(t)的频域函数X(f)，由于输入计算机的数据是序列长为N的离散采样后信号x(t)s(t)w(t)，所以计算机输出的是X(f)p。X(f)p不是X(f)，而是用X(f)p来近似代替X(f)。处理过程中的每一个步骤：采样、截断、计算都会引起失真或误差，必须充分注意。下面讨论信号数字化出现的主要问题。175.2.1时域采样、混叠和采样定理把连续时间信号变成离散时间序列的过程，称为采样；在数学上，相当于用采样脉冲去乘连续时间信号；它相当于在连续时间信号上，“摘取”许多离散时刻上信号的瞬时值；各采样点上的瞬时值，就变成信号脉冲序列的强度；在随后的量化处理中，这些采样点上的瞬时值，将被量化为相应的二进制数值。18长度为T的连续时间信号，可以表示为，从点t=0开始采样，采样得到的离散时间序列为（5-2）

19采样间隔的选择，是一个需要重视的问题。对照比较下表20举例：图5-9说明：图5-9a，按图中采样，所得采样点无法分辨三条曲线；图5-9b，采样间隔太大，采样频率太低，将其中高频信号误认为某种相应的低频信号，出现了所谓的混叠现象21下面具体解释混叠现象及其避免的办法。计算机采样，需要使用采样函数，时域采样函数及其傅里叶变换的数学描述如下；（5-3）22由频域卷积定理可知时域采样，相当于模拟信号与采样函数的乘积，对应的傅里叶变换为，其数学描述如式（5-4）。见图（5-4）

2324

不产生混叠的条件如果要求不产生频率混叠（见图5-10），首先应使被采样的模拟信号成为有限带宽的信号。为此，对不满足此要求的信号，在采样前，使其通过模拟低通滤波器滤去高频成分，使其成为带限信号，为满足下面要求创造条件。这种处理称为抗混叠滤波预处理。其次，应使采样频率大于带限信号的最高频率的2倍，即（5-5）25一个满足采样定理，不产生频率混叠的例子，如图5-10所示。对于这种没有混叠的频谱，可以通过频域滤波，完整地取出原信号的频谱，也就有可能从离散序列，准确地恢复原模拟信号；26275.2.3量化和量化误差模拟信号经采样后在时间轴上已离散，但其幅值仍为连续的模拟电压值。将模拟信号采样后的采样信号x(t)s(t)的电压幅值经过舍入或截尾的方法转变为离散的二进制数码的过程，称副值量化（简称量化）。量化过程实际上是把采样信号x(t)s(t)经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数的过程。28

若信号x(t)可能出现的最大值A，A/D转换器的位数为B，则两个量化电平的间隔△X=A/2B-1，△X称为量化增量或量化步长。该过程是将被测信号的变化范围划分为若干区间。每个区间都用同一个整量化数字来代替。显然，只有那些正好位于区间量化电平上的离散值，才能精确地转换为量化的数字值，而那些位于区间内的离散值，只能用舍入的办法，近似到最接近的量化电平上，经过舍入或截尾的方法而变为有限值时，必然产生量化误差，最大量化误差为△X/2。295.2.4截断、泄漏和窗函数实际上，计算机只能对有限长的信号进行处理，所以，必须截断过长的信号时间历程；截断，就是对信号加窗；窗宽为的矩形窗函数，其数学描述如下：矩形窗函数，及其傅里叶变换，如图5-5所示。30采用矩形窗函数截断采样信号，就是将采样信号乘以时域有限宽矩形窗函数；其时域和频域数学描述为（5-7）它们的图形如图5-6所示。所截取的时间序列数据点数，也叫时间序列长度。注意：a）频谱为连续的；b）在混叠处附近引起了皱褶。作卷积时窗函数频谱的旁瓣会引起皱波。31是一个无限带宽的函数，所以，即使是带限信号，在截断后也必然成为无限带宽的信号，这种信号的能量在频率轴分布扩展的现象，称为泄漏；为了减小截断带来的影响，常常需要合理地选择窗函数，这也是数字信号处理中的重要课题之一。窄的主瓣可以提高频率分辨能力；小的旁瓣可以减小泄漏。325.2.5频域采样、时域周期延拓和栅栏效应经过时域采样和截断后，其频谱在频域成为连续的；如果要用数字描述频谱，必须在频域采样，使频谱离散化。1.连续频谱的离散化过程使用的频域采样函数为频域采样函数及其对应的时域函数如图5-7所示。

33频域采样就是在频域中用脉冲序列D(f)乘信号的频谱函数。在时域相当于将信号与一个周期脉冲序列d(t)做卷积，其结果是将时域信号平移至各脉冲坐标位置重新构图，从而相当于在时域中将窗内的信号波形在窗外进行周期延拓。所以，频率离散化，无疑已将时域信号“改造”成周期信号。342.栅栏效应①对函数实行采样，其效果有如透过栅栏的缝隙观看外景一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余景象都被栅栏挡住，视为零；这种现象，称为栅栏效应。②不管时域采样还是频域采样，都有相应的栅栏效应。只是时域采样时，只要满足采样定理，栅栏效应不会有什么影响。然而，频域采样的栅栏效应则影响较大，被栅栏“挡住”或丢失的频率成分，可能是重要的或具有特征的成分，以至于，可能使整个处理失去意义。355.2.6频率分辨率、整周期截断1.频率分辨率①频率采样间隔（5-9）它是频率分辨率的指标。此间隔越小，频率分辨力越高，被挡住的频率成分越少。②然而，提高频率分辨率的途径只有增加原始信号的数据点数N，从而急剧地增加计算工作量。可见，此两者是DFT算法的一对固有的矛盾。3637

5.3相关分析及其应用相关分析的用途：①两个随机变量之间的关系，互相关；②信号经过一定时移前后之间的关系，自相关；用例：振动测试、雷达测距、声发射探伤等。385.3.1两随机变量的相关系数①通常，两个变量之间若存在着一一对应的确定关系，则称两者存在着函数关系；②当两个随机变量之间具有某种关系时，随着某一个变量数值的确定，另一变量却可能取许多不同值，但取值有一定的概率统计规律，这时称两个随机变量存在着相关关系。39说明：①图5-11a，表示两个随机变量组成的数据点很分散，它们之间是无关的；②图5-11b，表示两个随机变量组成的数据点，虽无确定关系，但从统计结果、或者从总体看，它们之间大体上具有某种程度的线性关系，因此，说它们之间有着相关关系。5-1140相关系数两个随机变量之间的相关程度，常用相关系数表示式中E----数学期望μx-----随机变量x的圴值，μx=E[x]；μy-----随机变量y的圴值，μy=E[y]；σx

、σy-------随机变量x、y的标准偏差，41利用柯西－许瓦兹不等式（5-11）可以证明：说明：a.当数据点分布愈接近于一条直线时，的绝对值愈接近1，x和y的线性相关程度愈好，将这样的数据回归成直线才愈有意义。b.的正负号则是表示一变量随另一变量的增加而增加或减小，表示正相关，或负相关；c.当接近于零，则可认为x、y两变量之间完全无关。425.3.2信号的自相关函数③定义自相关函数（5-13）43如果把两个样本的相关系数简写作，那么有

⑤显然和均随而变化，而且两者成线性关系。（5-14）（5-12）44第五章信号处理初步自相关函数的性质，如图5-13所示。（5-14）（5-15）（5-16）（5-17）（5-18）图5-1345说明：①正弦函数的自相关函数是一个余弦函数；②在=0时具有最大值，但它不随的增加而衰减至零；③它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息。46第五章信号处理初步5-1447说明：①稍加对比就可以看到，自相关函数是区别信号类型的一个有效手段；②只要信号中含有周期成份，其自相关函数在很大时都不衰减，并具有明显的周期性；③不包含周期成分的随机信号，当稍大时自相关函数就将趋近于零；④窄带随机噪声的自相关函数则有较慢的衰减特性；⑤宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零。48机加工表面粗糙度（用轮廓仪测）成因分析。自相关函数的应用举例：金钢石触针工件自相关分析电感式传感器系统构成：49100mm5mmRx(t)00.51t/mm图5-15表面粗糙度与自相关函数50自相关图呈现周期性，表明造成表面粗糙度的原因中，包含有某种周期因素；从自相关图，可以确定该周期因素的频率，进一步可以分析起因。根据加工该工件的机械设备中的各个运动部件的运动频率（如电动机的转速，拖板的往复运动次数，液压系统的油脉动频率等），通过测算和对比分析，运动频率与6Hz接近的部件的振动，就是造成该粗糙度的主要原因。515.3.3信号的互相关函数

（5-19）52互相关函数的性质，如图5-16所示。（5-20）5-165354555657互相关函数的这些性质，有重要的工程应用价值。它是在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的手段。①我们对一个线性系统（例如某个部件、结构或某台机床）激振，所测得的振动信号中常常含有大量的噪声干扰；②根据线性系统的频率保持性，只有和激振频率相同的成分，才可能是由激振而引起的响应，其它成分均是干扰；因此，只要将激振信号和所测得的响应信号进行互相关处理，就可以得到由激振而引起的响应幅值和相位差，消除了噪声干扰的影响；这种应用相关分析原理，来消除信号中的噪声干扰、提取有用信息的处理方法叫做相关滤波，它是利用互相关函数同频相关、不同频不相关的性质来达到滤波效果的。58说明：钢带表面的反射光经透镜聚焦在相距为的两个光电池上。反射光强度的波动，通过光电池转换为电信号，再进行相关处理。当可调延时等于钢带上某点在两个测点之间经过所需的时间时，互相关函数为最大值。该钢带的运动速度。59工程应用例2确定输油管裂损位置，如图5-18所示。说明：漏损处K视为向两侧传播声响的声源，在两侧管道上分别放置传感器1和传感器2，因为放传感器的两点距漏损处不等远，则漏油的音响传至两传感器就有时差，5-1860工程应用例3利用互相关函数进行设备的不解体故障诊断，如图所示。61若要检查一小汽车驾驶人座位的振动是由发动机引起的，还是由后桥引起的，可在发动机、驾驶人座位、后桥上布置加速度传感器，如上图所示，然后将输出信号放大并进行相关分析。可以看到，发动机与驾驶人座位的相关性较差，而后桥与驾驶人座位的相关性较大，因此，可以认为驾驶人座位的振动主要由汽车后桥的振动引起的。62

5.4功率谱分析及其应用时域中的相关分析，是在噪声背景下提取有用信息的重要手段；而功率谱分析，则在频域中提供与之对应的信息；它是研究平稳随机过程的重要方法。635.4.1自功率谱密度函数1.自功率谱密度的定义及其物理意义假定随机过程的均值为零，且没有周期分量，即则满足傅里叶变换的绝对可积条件②

令等于的傅里叶变换，则两者互为傅里叶变换对，64定义为的自功率谱密度函数，称为自谱。双边功率谱与单边功率谱，如图5-22所示。65自功率谱密度的物理意义（5-36）

662.巴塞伐尔定理巴塞伐尔定理，也叫能量等式，其数学描述为（5-37）它表示：在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的