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第3章山东交通学院高等数学教研室3.4

曲线的凹凸性与拐点函数图形的描绘3.4.1曲线的凹凸性与拐点3.4.2函数图形的描绘1定义3.4.1在区间

I

上连续,(1)则称图形在I上是(向上)凹的(或凹弧);(2)3.4.1曲线的凹凸性曲线经过点凹凸性如果发生了改变,若x0是I的内点,(x0,

f(x0))时,则称点(x0,

f(x0))是该曲线的拐点.若恒有若恒有图形在I上是(向上)是凸的(或凸弧).定义3.4.2设函数则称定理3.4.1(1)若在

(a,b)

内则f(x)在[a,b]内图形是凹的;(2)若在

(a,b)

内则f(x)在[a,b]内图形是凸的.设函数在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)内有二阶导数,则证明略.例1判断曲线的凹凸性.解故曲线函数的定义域为故曲线在内,在内,在是凹的.在是凸的.拐点的嫌疑点:二阶导数为零的点二阶导数不存在的点.注定理3.4.2(拐点的必要条件)设函数在点二阶可导,且点是曲线的拐点,则又如曲线故曲线

(0,0)

为曲线的拐点.处二阶导数不存在.在内,在是凸的.在是凹的.在内,2确定曲线y=f(x)凹凸性的一般步骤确定函数f(x)

的定义域;(1)以这些点(2)的凹凸性,从而判定曲线为界点将定义域划分为若干个子区间.(3)并求出凹凸区间和拐点.求出使的点和不存在的点,确定各个子区间内的符号,对应例2求曲线的凹凸区间及拐点.解令得故该曲线在及上是凹的,是凸的,为拐点.凹凹凸函数的定义域为在上点

及对应例3求曲线的凹凸区间及拐点.解令得故该曲线在及上是凸的,是凹的,为拐点.凸凸凹函数的定义域为在上点

及是曲线y=f(x)水平渐近线.极值点,1

影响函数图形的关键因素(1)单调区间,凹凸区间,拐点.水平渐近线若则(2)渐近线是曲线y=f(x)铅直渐近线.铅直渐近线若则是曲线y=f(x)斜渐近线.斜渐近线若则3.4.2函数图形的描绘例

求曲线的渐近线.解是曲线的铅直渐近线及又为曲线的斜渐近线.∴曲线无水平渐近线.2函数图形的描绘步骤:

确定函数的定义域及特性求并求出列表判别各个部分区间的单调性及凹凸性,求渐近线;补充某些特殊点,描绘函数图形.为0和不存在的点,(对称性、周期性);这些点把定义域划分为几个部分区间;求出极值点和拐点;(2)(3)(4)(5)(1)无对称性及周期性.例1

画出函数的图形.解(2)(3)(极大)(拐点)(极小)(4)补充点(5)作出图形.(1)定义域为例2

画出函数的图形.无对称性及周期性.解(1)定义域为(2)得是函数的间断点.极大值间断

极小值(3)(4)渐近线是曲线的铅直渐近线是曲线的斜渐近线铅直渐近线斜渐近线极大值间断

极小值内容小结

曲线凹凸与拐点的判别拐点—连续曲线上的凹凸分界点在I上是凹的曲线在I上是凸的曲线

.曲线的凹区间是凸区间是拐点为提示:及

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