数理方程第五章 分离变量法 LWG

第五章分离变量法本章中心内容用分离变量法求解各种有界问题；本章基本要求掌握有界弦的自由振动解及其物理意义着重掌握分离变量法的解题思路、解题步骤及其核心问题---本征值问题第五章分离变量法问题的引入(1)(2)(3)行波法达朗贝尔公式

前一章所讲的行波法，适用范围会受到一定限制．本章介绍的分离变量法（又称为本征函数展开法）是解偏微分方程定解问题最常用的重要方法．

其基本思想是把偏微分方程分解为几个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件从而构成本征值问题．适用于解大量的各种各样的定解问题，特别在所研究问题的区域是矩形、柱面、球面等情况下，使用更为普遍.5.1分离变量理论

对于任何二阶线性（齐次）偏微分方程5.1.1偏微分方程变量分离及条件

对于一个给定的偏微分方程实施变量分离应该具备什么条件？（5.1.1）通过适当的自变量变换转化为下列标准形式：

(5.1.2)根据方程(5.1.2)类型直接可知：方程是双曲型的

它是抛物型的

它是椭圆型的

假设（5.1.2）的解有下列分离的形式

其中

(5.1.3)分别是单个变量的二次可微函数。

代入(5.1.2)即有(5.1.4)1.常系数偏微分方程讨论:若（5.1.4）的系数均为常数，并分别用小写的

代表，将方程两边同除以XY,则要等式恒成立，只能它们等于一个既不依赖于x,也不依赖于y的常数，记为，从而得到两个常微分方程2.变系数偏微分方程对于变系数函数

，假设存在某一个函数

，使得方程除以后变为可分离的形式上式要恒成立，只有它们均等于同一个常数，记为

，从而得到两个常微分方程由以上讨论知道：对于常系数二阶偏微分齐次方程，总是能实施变量分离

需要满足一定的条件，即必须找到讨论2中适当的函数才能实施变量分离．但对于变系数的二阶偏微分齐次方程第一类边界条件第二类边界条件

5.1.2边界条件可实施变量分离的条件一维的情形（设在边界点处），常见的

三类边界条件为假设具体定解问题（以弦的横振动为例）的边界条件为齐次的：

第三类边界条件可见，只有当边界条件是齐次的，方可分离出单变量未知函数的边界条件．此外，进行分离变量时，还须根据具体情况确定直角坐标系，球坐标系以及柱坐标系．求定解问题的不恒等于零的解须因此得5.2直角坐标系中的分离变量法

5.2.1分离变量法介绍例5.2.1：具体考虑长为，两端固定的均匀弦的自

由振动泛定方程

（5.2.１）（5.2.２）初始条件

（5.2.３）

边界条件

【解】

物理模型的启示：乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的单音，每种单音振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t，每个单音可以表示成由此启发，我们试求方程（5.2.１）的具有如下可以分离变量的形式的非零解用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：第一步：分离变量

【解】

第一步：分离变量用分离变量法求解定解问题，具体分如下四个步骤：变量分离形式的试探解代入（5.2.１）和（5.2.２）泛定方程

（5.2.１）边界条件

（5.2.２）定解问题的泛定方程变为偏微分方程分离成两个常微分方程:(5.2.4)(5.2.5)也不依赖于x的常数，不妨设常数为

要使等式恒成立，只能是它们等于一个既不依赖于t,(5.2.6)

否则得零解，对于齐次微分方程是无意义．我们所谓的求解是指的求出非零解

由齐次边界条件有（5.2.7）故得边界条件是齐次的，才得出（5.2.７）这样简单的结论，而非齐次边界条件需要转化为齐次边界条件．第二步：求解本征值（或称为固有值）问题上面推导的方程

（5.2.5）（5.2.7）注意：为了求解原来定解问题分离变量形式的解，我们就必须首先求解以下常微分方程的边值问题：本征值不能任意取，只能根据边界条件（5.2.7）取某些特定值。本征函数不同（5.2.5）所对应的解本征值问题求齐次方程带有齐次边界条件的本征值和本征函数问题

定义：二阶常系数微分方程：特征方程：根的三种情况：得常系数微分方程的通解：这三种不同的取值情况具有不同解的形式附录:（5.2.5）的解为

（１）和由（5.2.７）确定，即有三种可能逐一加以分析求解（5.2.5），将由此解出被排除

（２）、方程（5.2.5）的解是与X是非零解的要求不符解出和由（5.2.7）确定，即

也被排除．

这也与X

是非零解的要求不符，因此根据常微分方程的知识（5.2.5）的解如

，则仍然解出

（３）和由（5.2.7）确定，即只剩下一种可能性：

（5.2.8）常数的这种特定数值叫作本征值，相应的解叫作本征函数．方程（5.2.5）和条件（5.2.7）则构成本征值问题或固有值问题．

与对应的函数为

（5.2.9）（5.2.9）正是傅里叶正弦级数的基本函数族．第三步：先求特解，再叠加求出通解

（5.2.10）再得此常微分方程的通解为：（5.2.11）其中和是待定常数．，由方程（5.2.4）求出相应的

对于每一个本征值(5.2.4)（5.2.12）（5.2.9）和（5.2.11）代入到解于是得到原来定解问题的变量分离形式的一组特解如下：这是一组已经分离了变量的特解。

（5.2.9）（5.2.11）就是满足(5.2.1)和条件（5.2.2）的通解（5.2.13）由线性方程解的叠加原理，这组解构成的无穷级数（5.2.１）（5.2.２）初始条件(5.2.3)确定叠加系数（5.2.14）第四步:利用本征函数的正交归一性确定待定系数（5.2.３）

（5.2.13）使上述解再同时满足原来定解问题的初始条件：(5.2.3)至此，定解问题（5.2.1）-(5.2.3)的解已经求出

(5.2.15)可确定待定系数:第四步:确定待定系数（5.2.13）就是满足下面方程和边界条件的解（只要上述级数收敛并且可以逐项微分两次）：第四步:确定待定系数第四步:确定待定系数(2)第二个限制：二阶线性偏微分方程的解，不一定是分离变量的乘积形式分离变量法是有条件的，会受到一定的限制注意：(1)第一个限制：变系数的二阶线性偏微分方程并非总能实施变量分离5.2.2.解的物理意义特解(5.2.5)改写为

(5.2.16)驻波叠加驻波(standingwave)为两个振幅、波长、周期皆相同的正弦波相向行进干涉而成的合成波。此种波的波形无法前进，因此无法传播能量，故名之。

5.2.2.解的物理意义驻波(standingwave)为两个振幅、波长、周期皆相同的正弦波相向行进干涉而成的合成波。此种波的波形无法前进，因此无法传播能量，故名之。

振幅:频率:初位相:波节:波腹:点数为2，3，4的驻波形状

图5.1（成倍增长）、位相不同、振幅不同的驻波叠加而成的．所以分离变量法又称驻波法．各驻波振幅的大小和位相于是我们也可以说解是由一系列频率不同的差异，由初始条件决定，而圆频率与初始条件无关，所以也称为弦的本征频率．中最小的一个

称为基频，相应的称为基波．称为谐频，相应的称为谐波．

基波的作用往往最显著．

具体以直角坐标系中的三维齐次热传导方程为例来说明三维形式中方程的分离．在直角坐标系中热传导方程为坐标变量和时间变量分离2.三维形式的直角坐标分离变量从前面讨论的例子容易看出，分离变量的本征值通常是正数，

所以在上式中我们采用实数的平方形式来表示．得

上式即为亥姆霍兹方程．

又可以表成如下分离形式：

由于上式中函数的每一项都是单一自变量的函数．而且彼此独立，因此只有当每一项分别等于某一任意的分离常数时，上述等式才成立，于是，得到其中

上面三个方程，就是的分离方程，这些分离方程的通解是正弦函数与余弦函数的组合．若是有限区域的情形，这些分离方程还应配有相应的齐次边界条件，即构成本征值问题．在这种情况下，这些分离的常数应是一系列离散值（例如它们分别与一系列整数关），这些离散值即本征值；与此相应的解即本征函数，而时间部分的解为因此，三维形式中热传导问题的完整解为5.2.3直角坐标系分离变量例题分析

上面我们已经研究的例题5.2.1讨论的是两个边界点均为第一类齐次边界条件的定解问题．下面讨论的例题5.2.2是既有第一类，也有第二类齐次边界条件的定解问题；而例题5.2.3讨论的是均为第二类齐次边界条件的定解问题，注意到本征值和本征函数的区别．例5.2.2研究定解问题：

【解】用分离变量法求解.令代入（5.2.17），(5.2.18)，得本征值问题及对本征值问题（5.2.22）­~（5.2.23）讨论：（1）若，则方程（5.2.22）的解为

待定常数和由边界条件（5.2.23）确定，即有只能得到无意义的解，应该排出．

(2)若

由（5.2.23）得

，则（5.2.22）的解为

，

只能得到无意义的解，应该排出

（3）若，则方程的解是由（5.2.23）则注意到

可以是任意常数．条件

且要得到非零解，只有．在条件下，

，即故得到本征值为相应的本征函数是系数B可以在求通解时考虑进去，故此将系数认为是

归一化的

.

由

将代入（5.2.24）解得叠加得系数由定解条件确定傅里叶展开式系数可确定为例5.2.3解下列两端自由棒的自由纵振动定解问题：

鱼群探测换能器件或磁致伸缩换能器的核心是两端自

由的均匀杆，它作纵振动．即下列定解问题【解】按照分离变量法的步骤，先以变量分离形式的试探解代入（5.2.28），(5.2.29)得求解（5.2.34）～（5.2.35）本征值问题，对

(1)若

进行讨论,类同于前面的讨论，只能得到无意义的解；(2)若，则方程（5.2.34）的解为

代入（7）得到

故可取归一化的本征函数

，于是得到，否则得到无意义的零解．由于通解中还另有待定系数，（3）若，方程(5.2.34)的解为

常数由（5.2.35）确定，即由于

，所以如果则得无意义的解

；因此于是

相应的（归一化的）本征函数是这是情况下的本征值．

从上面的讨论我们可以将本征值

和对应的本征函数统一为当将本征函数值代入到T的方程得到其对应的解为其中

均为独立的任意常数．所以，原定解问题的形式解为注意到上式正是傅里叶余弦级数的基本函数族．所有本征振动的叠加得到通解

系数由初始条件确定．有把右边的函数

后比较两边的系数，得到

展开为傅里叶余弦级数，然例5.2．4求边长分别为的长方体中的温度分布，

设物体表面温度保持零度，初始温度分布为【解】定解问题为：(5.2.36)(5.2.37)(5.2.38)(5.2.39)(5.2.40)(1)时空变量的分离：

(2)空间变量的分离：

代入方程式，可得：

代入（5.2.41）式及（5.2.37）．关于的常微分方程及边界条件，构成本征值问题：同时，

满足（5.2.42）再令代入（5.2.42）式及（5.2.38）式可得另外两个本征值问题

和(3)求本征值问题

这三个本征值问题的本征值与本征函数分别为：把（5.2.43）、（5.2.44）、（5.2.45）式的本征值相加，

（5.2.46）得到关于的本征值问题的本征值：

再将上述三式写成的本征函数：(4)求解关于

(5)将所有的常微分方程的解叠加起来，代入初值有的常微分方程：将（5.2.46）式代入中，可得通解：14．3二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量

其中，例5.3.1物理模型：

带电的云与大地之间的静电场近似是匀强静电场,其电场强度

是竖直的，方向向下．水平架设的输电线处于这个静电场之中，输电线是导体圆柱，柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱邻近的静电场也就不再是匀强的了，如图5.2所示．不过离圆柱“无远限远”处的静电场仍保持为匀强的．现在研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场,求出柱外的电势分布．解题分析：