控制系统的李雅普诺夫稳定性-

§8.3控制系统的李雅普诺夫稳定性分析§8.3.1李雅普诺夫稳定性概念

系统状态方程

方程解1.平衡状态如果对于所有t，满足的状态称为平衡状态线性定常系统:平衡状态满足

，如果A非奇异，系统只有唯一零解李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性。

李雅普诺夫稳定性

如果对于任意小的

>0，均存在一个，当初始状态满足时，状态轨迹满足意义下稳定的。，称该平衡状态是李雅普诺夫一致稳定性

如果平衡状态是稳定的，且δ与t0

无关，则称该平衡状态是一致稳定的。定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。渐近稳定性

系统的平衡状态是稳定的，且有

称该平衡状态是渐近稳定的。2.李雅普诺夫稳定性大范围稳定性

当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称该平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，。，不稳定性

不论δ取得多么小，只要在内有一条从x0

出发的轨迹跨出，则称该平衡状态是不稳定的。

与经典控制的区别：

1）平衡点/BIBO2）状态稳定/输出稳定

3）经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐近稳定

4）即便输出稳定，状态也可能不稳定

5）李雅普诺夫意义下的稳定在经典控制中可能不稳定

6）经典控制不需要一致性、全局性等概念（线性定常）

李雅普诺夫意义下的稳定性渐近稳定性

不稳定性稳定性的几何表示§8.3.2李雅普诺夫稳定性间接判别法

李雅普诺夫第一法（间接法）是利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。线性定常系统的特征值判据系统征值位于复平面左半部，即渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A的全部特证明假定A有相异特征值根据凯莱－哈密顿定理及推论矩阵指数为的线性组合

状态方程解只要有一个特征值的实部大于零，对于便无限增长，系统不稳定;

如果只有一个（或一对，且均不能是重根）特征值的实部等于零，其余特征值实部均小于零，便含有常数项或三角函数项，则系统仅仅可能是李雅普诺夫意义下稳定的。系统渐近稳定;状态方程解§8.3.3李雅普诺夫稳定性直接判别法标量函数的定号性正定性标量函数在域S中对所有非零状态，称在域S内正定。:在域S中，对于及所有非零状态有，称在域S内正定负(正)半定性

设

，且在域S内某些状态处有，其它状态处均有，则称在域S内负（正）半定。在域S内可正可负。不定性负定性设在域S中对所有非零状态，称内负定。在域S若主子行列式含有等于零的情况，则为正半定或负半定。

二次型函数矩阵时，正定。P为对称矩阵。显然满足，其定号性与P阵的定号性相同。当P为正定负定。当各顺序主子行列式负、正相间时，P为负定矩阵，李雅普诺夫第二法稳定性定理定理1

若正定,负定，则原点是渐近稳定的。定理2

若正定，负半定，且在非零状态不恒为零，则原点是渐近稳定的。状态方程平衡状态定理3

若正定，负半定，且在非零状态恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。定理4

若正定，正(半）定，则原点是不稳定的。李雅普诺夫函数的选择:稳定性判别步骤：

1）求所有平衡点(对唯一平衡点须证明或说明)；

2）对非零平衡点进行坐标平移；

3）构造李雅普诺夫函数；

4）求导,并用状态方程消去状态变量的导数；

5）判导数的定号性；

6）作稳定性结论（注意加定语）李雅普诺夫第二法诸稳定性定理所述条件都是充分条件每个平衡点分别进行例8-13

试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性。

解令及，可以解得原点是系统的唯一平衡状态。负定，根据定理1，原点是渐近稳定的。鉴于只有一个平衡状态，该非线性与t无关，系统大范围一致渐近稳定。取李雅普诺夫函数为

系统是大范围渐近稳定的。因例8-14

试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。

解令，得知原点是唯一的平衡状态。不定，不能对稳定性作出判断。根据定理2，原点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。负半定例8-15

试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。，系统是李雅普诺夫意义下稳定的，而且是一致稳定的。解由是唯一平衡状态。例8-16

试判断下列线性系统平衡状态的稳定性。

解原点是唯一平衡状态。根据定理4，系统不稳定。正半定

解:

是系统的唯一平衡状态，得到新系统原点是大范围一致渐近稳定的，因而原系统在平衡状态（1，1）处是大范围一致渐近稳定的。

作坐标变换注意：一般不能用李雅普诺夫函数去直接判别非原点的平衡状态稳定性。例8-17

试判断下列线性系统平衡状态的稳定性负半定例8-18

试判断下列非线性系统平衡状态的稳定性。

解:令

系统有两个平衡状态：对原点平衡状态，选当时，原点是不稳定的对于原系统在状态空间处的平衡状态，当局部一致渐近稳定；不稳定；不稳定。当时，系统在原点处的平衡状态是局部一致渐近稳定的。时，原点是不稳定的当，作坐标变换，得到新状态方程

对于平衡状态§8.3.4线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析1.连续系统渐近稳定的判别

A为非奇异矩阵，原点是唯一平衡状态。状态方程李雅普诺夫代数方程定理5

系统渐近稳定的充要条件为：给定正（半）定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P，使得成立。判别方法：（1）给定正定的P判Q（2）给定正（半）定的Q判P例8-19

试用李雅普诺夫方法确定使系统渐近稳定的K值范围。

-x1(s)=y(s)x3(s)u(s)x2(s)解A非奇异，原点为唯一的平衡状态取

解得P正定的条件为：及。故时，系统大范围一致渐近稳定。2.离散系统渐近稳定的判别若状态阵非奇异，原点是唯一平衡状态李雅普诺