第五章离散傅里叶变换

第五章离散傅里叶变换

四类时域信号连续周期信号连续非周期信号离散非周期信号离散周期信号5．1信号的傅里叶分析四类时域信号的傅里叶分析连续非周期信号的傅里叶分析（FourierTransform，FT）连续周期信号的傅里叶分析（FourierSeries，FS）离散非周期信号的傅里叶分析DTFT离散周期信号的傅里叶分析（DiscreteFourierSeries，DFS）四类时域信号傅里时分析比较

5．2有限长序列的离散傅里叶变换（DFT）有限长序列的傅里叶变换数值分析有限长序列信号DTFT变换频域抽样数值化频域采样定理(频域循环采样)M=N时，重建序列是原有限长序列的周期延拓M>N时，重建序列是原有限长序列补M-N个零后的周期延拓M<N时，频域采样只能恢复的时域值，此时无法从重建序列完全恢复原有限长序列DFT变换DFT变换分析有限长序列频谱时，频域采样长度M等于NDFT变换的实质是将有限长序列隐含成周期离散序列

［例５-2-2］已知，用DFT变换计算、并绘出其幅频特性。对补502个零后，再次绘出其幅频特性

5．3DFT性质DFT性质

信号特性的傅里叶变换5．4用DFT算法分析连续非周期信号频谱非周期信号的FT和DTFT分析FT分析DTFT分析数字角频率和模拟角频率的对应关系

非周期信号采样中的矛盾时域紧支集非周期信号频域紧支集非周期信号据傅里分析，时域紧支集非周期信号频域无限，采样过程必然会导致频谱混叠失真据傅里分析，频域紧支集非周期信号时域无限，采样过程必然需要产生截断误差非周期信号的频谱分析必须在时域截断或频域混叠之间选择。不可能用数值方法精确分析其频谱结论非周期信号的DFT分析（选择时域截断）[例5-4-1]已知某模拟信号由1.5KHz，2.5KHz和3KHz三个频率分量组成，采样频率，试求由DFT分析能够区分三个频率分量的最小采样长度

y=fft(x,[N])[例5-4-1]原采样序列统一补零至长度等于1024点后再次计算其DFT频谱

频谱泄漏和加窗算法

[例5-4-3]已知信号，采样频率，采样长度N=128。试用DFT变换分析信号幅度谱

频谱泄漏的原因

k1+1k1DFT变换中窗函数的要求旁瓣衰减大，高频衰减快的窗函数有利于减小截断过程中产生的频谱泄漏问题。理想窗函数是单位冲激

幅度比例频率间距窗函数必须具备的特性小大一般小小主瓣窄大大阻带衰减大大小阻带衰减大，采样长度N大DFT变换中加窗长度[例5-4-4]已知模拟信号由三个幅值为1的正弦信号组成，频率分别为1KHZ,2.5KHZ,3KHZ，采样频率10KHZ，试用DFT变换计算用矩形窗和汉明窗对信号截断、采样长度N=40时的信号频谱。[例5-4-4]已知模拟信号由三个幅值为1的正弦信号组成，频率分别为1KHZ,2.5KHZ,3KHZ，采样频率10KHZ，试用DFT变换计算用矩形窗和汉明窗对信号截断、N=80时的信号频谱。[例5-4-5]已知信号中50Hz的频率分量幅值为311，46Hz频率分量的幅值为1.57，采样频率8KHZ。要求46Hz信号的幅度分析精度不小于5%，试问：

选择何种类型窗函数较合适？

采样长度N应为多少？允许最大泄漏

Blackman窗第3个旁瓣衰减：（-58-18*3）=-112dB5．5连续周期信号频谱的DFT分析只要满足特定的采样条件，或者对DFT变换进行适当修正，完全可以用DFT变换精确分析其幅度谱，甚至相位谱

连续周期信号的采样或截断同步采样：采样持续时间与信号周期成整数倍非同步采样：采样持续时间与信号周期不成整数倍DFT变换隐含对被采样信号周期延拓，同步采样后应用DFT变换等效于对信号无限采样，可精确分析周期信号频谱[例5-5-1]已知周期信号，采样频率8KHZ。试用DFT变换分别计算采样持续时间时信号的频谱

t=0.02st=0.02st=0.03st=0.03s硬件同步采样技术整形鉴相器低通滤波压控振荡N倍分频软件同步技术第1步：非同步采样第2步：估计信号周期第3步：二次采样，得到同步数据第4步：应用DFT算法分析同步数据的频谱第2步：估计信号周期（过零比较）第3步：二次采样，得到同步数据插值DFT变换频域观察连续周期信号的截断

单频率信号矩形截断序列DTFT频谱的频域采样：

k0+0k0+1k0k0+0.5k0+1k0(a)(同步采样)(b)(非同步采样)简谐（单频率）连续周期信号的插值DFT变换

k0+0k0+1k0k0+0.5k0+1k0(a)(同步采样)(b)(非同步采样)数字频率肯定在k1和k1+1之间。可以根据窗函数的增益特性和

值精确估计出实际信号频率

简谐（单频率）连续周期信号的插值DFT变换

多谐周期信号的插值DFT变换第1步：应用加窗法消除各频率分量之间的相互泄漏

第2步：寻找加窗频谱中各个谱峰第3步：应用单频率信号的插值DFT算法估计该谱峰的精确频率值，幅度和相位注意求解方法与矩形窗的插值DFT算法不同例，假定含间谐波的电网信号为：m1(间谐波)2(基波)3(间谐波)4(间谐波)5(谐波)6(谐波)7(谐波)频率（HZ）25.050.0165.0270.0350.0400.0450.0幅值（伏）0.006*3103100.002*3100.003*3100.04*3100.005*3100.05*310初相（度）10.05.020.0120.0150.0210.0260.0第1步：应用Hanning窗截断消除各频率分量之间的相互泄漏

图5-5-6(a)加矩形窗后的信号频谱图5-5-6(a)加汉宁窗后的信号频谱第2步：Hanning窗单频率DFT插值计算公式第3步：幅度估计结果谐波（次）设定值普通FFT算法

插值FFT算法估计值估计偏差(%)

估计值估计偏差(%)1310.0272.4-12.15

309.8-0.071821.555.034225.3

1.5580.534239.309.3210.226

9.3140.150341.241.80545.54

1.239-0.0576515.512.75-17.72

15.510.031260.931.32041.97

0.9320.166576.206.4724.382

6.2280.452580.621.245100.9

0.620-0.003193.102.252-27.35

3.1060.1904第3步：相位估计结果

谐波（次）设定值普通FFT算法

插值FFT算法估计值估计偏差(%)

估计值估计偏差(%)15.0174.23384

4.919-1.6143210.0299.22892

9.476-5.2381320.088.52342.6

19.74-1.08194120.0100.5-16.27

119.6-0.29