第3章-电阻电路的一般分析

第3章电阻电路的一般分析3.1电路的图3.2KCL和KVL的独立方程数3.3支路电流法3.4网孔电流法3.5回路电流法3.6结点电压法本章重点重点熟练掌握电路方程的列写方法：支路电流法回路电流法结点电压法线性电路的一般分析方法普遍性：对任何线性电路都适用。复杂电路的一般分析法就是根据KCL、KVL及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时所选变量的不同可分为支路电流法、回路电流法和结点电压法。元件的电压、电流关系特性。电路的连接关系—KCL，KVL定律。方法的基础系统性：计算方法有规律可循。1.网络图论BDACDCBA哥尼斯堡七桥难题——图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。§3-1电路的图右图是不能一笔画出的图形，哥尼斯堡七桥难题是无解的。一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。2.电路的图抛开元件性质一个元件作为一条支路元件的串联及并联组合作为一条支路543216有向图65432178R4R1R3R2R6uS1+_isR5图的定义(Graph)G={支路，结点}电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。图G中的结点和支路各自是一个整体。移去图G中的支路，与它所联接的结点依然存在，因此允许有孤立结点存在。如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。§3-2

KCL和KVL的独立方程数1.KCL的独立方程数654321432114324123＋

＋

＋

＝0

n个结点的电路,KCL的独立方程数为(n-1)。结论从图G的一个结点出发，沿着一些支路移动到达另一结点（或回到原出发点），所经过的支路构成图G的一条路径。(1)路径(2)连通图图G的任意两结点间至少有一条路径时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。2.图论中的几个概念(3)子图若图G1中所有支路和结点都是图G中的支路和结点，则称G1是G的子图。①回路(Loop)如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点不重复出现，这条闭合路径就构成图G的一个回路L。253124578不是回路回路12345678G②树(Tree)包含图G的全部结点但不包含任何回路的连通子图。树支：构成树的支路。连支：属于G而不属于T的支路。树支的数目是一定的连支数：不是树对应一个图有很多的树；树明确③基本回路(单连支回路)5123456G1231236基本回路组：由连支形成的全部基本回路。网孔（mesh)：平面图G中自然的“孔”，它限定的区域不再有支路。例87654321图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。8765864382433.KVL的独立方程数6543214321对网孔列KVL方程：可以证明这是一组独立方程。123结论②KVL的独立方程数=基本回路数=b－(n－1)①n个结点、b条支路的电路,独立的KCL方程数为：(n－1)123§3-3支路电流法对于有n个结点、b条支路的电路，要求解支路电流，未知量共有b个。只要列出b个独立的电路方程，便可以求解这b个变量。1.支路电流法2.独立方程的列写以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。从电路的n个结点中任意选择(n-1)个结点列写KCL方程；选择基本回路列写b-(n-1)个KVL方程。132有6个支路电流，需列写6个方程。KVL方程:回路1回路2回路3+R1R2R3R4R5R6–i3i6uS1123i2i4i1iS5i543412124365123KCL方程:（1）支路电流法的一般步骤：标定各支路电流（电压）的参考方向；选定(n–1)个结点，列写其KCL方程；选定b–(n–1)个独立回路，指定回路绕行方向，列写KVL方程；求解上述方程，得到b个支路电流；进一步计算支路电压和进行其它分析。小结（2）支路电流法的特点：支路电流法列写的是KCL和KVL方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。例1求各支路电流及各电压源发出的功率。

n–1=1个KCL方程：结点a：

–I1–I2+I3=0

b–(n–1)=2个KVL方程：11I2+7I3=

67I1–11I2=70-6=6412解70V6V7ba+–+–I1I3I2711a70V7b+–7116A例2结点a：–I1–I2+I3=0(1)n–1=1个KCL方程：列写支路电流方程.(电路中含有理想电流源）解1(2)b–(n–1)=2个KVL方程：11I2+7I3=U7I1–11I2=70-U增补方程：I2=6A设电流源电压+U_21I1I3I2解2由于I2已知，故只列写两个方程结点a：–I1+I3=6避开电流源支路取回路：7I1＋7I3=70a170V7b+–7116AI1I3I2例3–I1–I2+I3=0列写支路电流方程.(电路中含有受控源）解11I2+7I3=

5U7I1–11I2=70-5U增补方程：U=7I3有受控源的电路，方程列写分两步：先将受控源看作独立源列方程；将控制量用未知量表示，并代入①中所列的方程，消去中间变量。注意5U+U_70V7ba+–I37111+_I1I22§3-4网孔电流法基本思想为减少未知量(方程)的个数，假想每个网孔中有一个网孔电流。各支路电流可用网孔电流的线性组合表示，来求得电路的解。1.网孔电流法

以沿网孔连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法称网孔电流法。它仅适用于平面电路。im1im2①i1i2i3uS1im2im1uS3+–+–i3i2uS2R1R2①+–i1R3网孔电流在网孔中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。因此网孔电流法是对网孔回路列写KVL方程，方程数为网孔数。列写的方程2.方程的列写网孔1：R2(im1-im2)+uS2-

uS1+R1im1=0网孔2：

R3im2+uS3

–uS2+R2(im2-im1)=0整理得：(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2-uS3以网孔电流为变量的网孔电流方程+–+–uS1uS2R1R2①+–uS3R3im2im1网孔的自阻自阻

R11=R1+R2R22=R2+R3一个网孔中所有电阻之和网孔的互阻两个网孔的共有电阻

互阻

R12=R21=－R2用uSii表示网孔i中所有电压源电压的代数和(R1+R2)

im1-R2im2=uS1-uS2-R2im1+(R2+R3)

im2=uS2-uS3方程的标准形式：R11im1+R12im2=uS11R21im1+R22im2=uS22+–+–uS1uS2R1R2①+–uS3R3im2im1对于具有m

个网孔的电路，有:①自阻总为正。当两个网孔电流在共有电阻上的参考方向相同时，互阻取正号；不同时取负号；没有共同支路或共同支路上电阻为零时互阻为零。若所有网孔电流都取顺(或逆)时针，互阻总是负的。电路不含受控源时Rik=Rki。当电压源电压方向与该网孔电流方向一致时，取负号；反之取正号。注意I1I2I3+–+–180V60Ω20Ω+–70V40Ω40Ω20VIaIbIcId例1用网孔电流法求解图示电路中各支路电流。解：(1)选取网孔电流。(2)列网孔电流方程。80I1－20I2=110＋60I2－20I1－40I3=70－40I2＋80I3=－20(3)用消去法或行列式法解方程。I1=2AI3=1AI2=2.5A(4)求出各支路电流。Ia=I1=2AId=－I3=－1AIb=－I1＋I2=0.5AIc=I2－I3=1.5A(5)校验。例2列图示电路的网孔电流方程。解：i1i3i2RSR5R4R3R1R2US+_i(1)选取网孔电流。(2)列网孔电流方程。（1）网孔电流法的一般步骤：选网孔为独立回路，并确定其绕行方向；以网孔电流为未知量，列写其KVL方程；求解上述方程，得到m个网孔电流；其它分析。求各支路电流；（2）网孔电流法的特点：仅适用于平面电路。小结§3-5回路电流法

1.回路电流法

以基本回路中沿回路连续流动的假想电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。它适用于平面和非平面电路。回路电流法是对独立回路列写KVL方程，方程数为：列写的方程与支路电流法相比，方程数减少n-1个。重点6543214321il2il1il3树：支路（4,5,6）连支：支路（1,2,3）i4=－il1+il2i5=－il1－

il3i6=－il1+il2－il3i1=il1i2=il2i3=il3全部支路电流都可以通过回路电流表达。基本回路：（1,4,6,5）、（2,4,6）、（3,6,5）解(1)作出电路的图。(2)选择基本回路。R1Il1+us1+R6(Il1－Il3)+R5(Il1+Il2－Il3)－us5+R4(Il1+Il2)=0(3)对基本回路列KVL方程。+R4R2R5R6R3R1–uS5uS1+–Il2图示直流电路中，R1=R2=R3=1Ω，R4=R5=R6=2Ω，us1=4V，us2=2V。试选择一组独立回路，并列出回路电流方程。例1Il3Il1Il1Il2Il3R2Il2+R5(Il1+Il2－Il3)－us5+R4(Il1+Il2)=0R6(Il3－

Il1)+R3Il3+us5+R5(Il3－Il1－

Il2)=07Il1+4Il2

－4Il3=－24Il1+5Il2

－2Il3=2－4Il1－2Il2+5Il3=－2426513方程的标准形式：对于具有l=b-(n-1)

个回路的电路，有:Rjk：互阻+

:流过互阻的两个回路电流方向相同；-:流过互阻的两个回路电流方向相反；0:无关。Rkk：自阻(总为正)2.方程的列写uSkk：回路中所有电压源的代数和，电压源与回路电流方向一致时，电压源前取“-”，否则取“+”。（1）回路法的一般步骤：选定l=b-(n-1)个独立回路，并确定其绕行方向；对l个独立回路，以回路电流为未知量，列写其KVL方程；求解上述方程，得到l

个回路电流；其它分析。求各支路电流；（2）回路法的特点：通过灵活的选取回路可以减少计算量；互阻的识别难度加大，易遗漏互阻。小结3.无伴电流源支路的处理引入电流源电压，增加回路电流和电流源电流的关系方程。例2方程中包括电流源电压增补方程：+20Ω–50V10Ω15Ω30Ω40Ω20V+–1AIl2Il1Il3+–U用回路法列电路的方程。解1：独立回路有三个，选网孔为独立回路，列KVL方程：选取独立回路，使无伴电流源支路仅仅属于一个回路,该回路电流即IS

。已知电流，实际减少了一个方程+20Ω–50V10Ω15Ω30Ω40Ω20V+–1AIl1Il3解2：Il2推荐使用4.受控电源支路的处理

对含有受控路的电路，可先把受控源看作独立电源按前面的方法列方程，再将控制量用回路电流表示。R1R4R5gU1R3R2U1_++_U1iS例3列回路电流方程。解1选网孔为独立回路1432_+U2_+U3增补方程：R1R4R5gU1R3R2U1_++_U1iS143解2回路2选大回路。增补方程：2§3-6结点电压法

2.结点电压法以结点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。适用于结点较少的电路。1.结点电压在电路中任意选择某一结点为参考结点，其它结点为独立结点，独立结点与参考结点之间的电压即为结点电压，方向为从独立结点指向参考结点。结点电压法列写的是结点上的KCL方程，独立方程数为：，与支路电流法相比，方程数减少b-(n-1)个。重点3.方程的列写选定参考结点，标定其余n-1个独立结点的电压；列KCL方程。64251330121203以结点为参考，规定结点①、②、③的结点电压分别用un1、un2、un3表示。0u1=un1u2=un2u3=un3u4=un1－un2u5=

un2－un3u6=un1－un3iS1uS3iS6R1i1i4i5i2i3R2R5R3R4+_R6i6在结点①、②、③处列KCL方程。i1+i4+i6

=01203iS1uS3iS6R1i1i4i5i2i3R2R5R3R4+_R6i6i2－i4+i5

=0i3－i5－i6=0把支路电流用结点电压表示：6425133012整理得：也可写为：归结为一般形式的结点电压方程：1203iS1uS3iS6R1i1i4i5i2i3R2R5R3R4+_R6i6Gkk结点k的自导Gkj

结点k与结点j之间的互导iSkk

流入结点k的电流源的代数和G11un1+G12un2+…+G1(n-1)un(n-1)=iS11G21un1+G22un2+…+G2(n-1)un(n-1)=iS22G(n-1)1un1+G(n-1)2un2+…+G(n-1)(n-1)un(n-1)=iS(n-1)(n-1)Gkk—自导，总为正，等于连接在结点k上的所有支路电导之和。

iSkk

—流入结点k的所有电流源电流的代数和，流入结点为正，流出为负。还包括电压源和电阻串联组合经等效变换后形成的电流源。Gkj

=Gjk—互导，总为负，等于连接在结点k与结点j之间所有支路电导之和的负值。结点法标准形式的方程：电路不含受控源时，系数矩阵为对称阵。R1bR4R7R8R2_++_uS7iS9R1aR5R6iS4R3uS3例1列图示电路的结点电压方程。选定参考结点，对其余结点编号，设结点电压为un1、un2

、un3和

un4。01234解：R9例2用结点电压法求图示电路的支路电流及输出电压U0

。选定参考结点，设结点电压为un1、un2

、un3。0123解：_+I330V10Ω10Ω10Ω20ΩI17AI41A2A+_U00.2Un1-0.1Un2

=-2