流体动力学基础

4.1理想流体运动微分方程

4流体动力学基础

在流动的流体中取出一边长分别为dx、dy、dz，平均密度为ρ的微元平行六面体作为研究对象。由于是理想流体，所以作用在微元六面体上的外力只有质量力和垂直于表面的压力，而没有粘性力。微元六面体的形心A点的坐标为(x，y，z)，速度为u，速度分量分别为ux、uy、uz，压力为p。作用在微元六面体上的单位质量力的分量分别为X、Y和Z。则按牛顿第二定律ΣF=ma，可以得到x轴方向的运动微分方程:同样可得到y轴方向和z轴方向上的运动微分方程。于是，理想流体的运动微分方程（1755年欧拉提出）为：整理后，得4.2.1理想流体运动微分方程的伯努利积分

4.2元流的伯努利方程

将理想流体运动微分方程的各式分别乘以dx、dy、dz，然后相加，得引入限定条件：1）作用在流体上的质量力只有重力X=Y=0Z=-gXdx+Ydy+Zdz=-gdz2）不可压缩流体，恒定流ρ=常数p=p(x,y,z)则3）恒定流，流线与迹线重合dx=uxdt,dy=uydt,dz=uzdt则将三个限定条件代入前式，积分得：或也可以写成将流体重度γ=ρg代入上式，得上述积分称为伯努利积分，所得结果称为伯努利方程，以纪念1738年瑞士物理学家伯努利根据动能原理提出的与上述结果相同的公式。4.2.2理想流体元流伯努利方程的物理意义和几何意义

物理意义几何意义Z

单位重量流体的位能（比位能）位置水头单位重量流体的压强势能（比压能）压强水头单位重量流体的动能（比动能）速度水头单位重量流体的总势能（比势能）测压管水头单位重量流体的总能量（总比能）总水头总水头线测压管水头线位置水头线1、水管直径d=50mm，末端阀门关闭时，压力表读值为PM1=21kPa，阀门打开后读值为PM2=5.5kPa，不计水头损失，求通过阀门的流量。2、油在管道中流动，直径dA=0.15m，dB=0.1m，VA=2m/s，水头损失不计，求B点处测压管高度hC。3、水在变直径竖管中流动，已知粗管直径d1=300mm，流速V1=6m/s。装有压力表的两断面相距h=3m，为使压力表读值相同，试求细管直径（水头损失不计）。4、变直径管段AB，dA=0.2m，dB=0.4m，高差h=1.5m测得PA=30kPa，PB=40kPa，Ｂ点断面平均流速VB=1.5m/s，试求两点间的水头损失hAB。5、管道流动，管径d=150mm、喷嘴出口直径dD=50mm，各点高差h1=2m、h2=4m、h3=3m，不计水头损失，求A、B、C、D压强。4.2.3实际流体元流的伯努利方程

式中：——单位重量流体的能量（水头）损失。水力坡度：4.3.1总流的伯努利方程

4.3实际流体总流的伯努利方程1）渐变流及其性质均匀流：流线平行非均匀流渐变流：流线近于平行急变流均匀流过流断面的压强分布——服从流体静力学规律例2）总流的伯努利方程元流的伯努利方程两边同乘以ρgdQ，积分（1）势能积分（2）动能积分——动能修正系数层流α=2

紊流α=1.05~1.1≈1（3）水头损失积分——总流的伯努利方程总流的伯努利方程与元流的伯努利方程关系：（1）z1、z2——总流过流断面上同一流线上的两个计算点相对于基准面的高程；（2）p1、p2——对应z1、z2点的压强（同为绝对压强或同为相对压强）；（3）v1、v2——断面的平均流速。4.3.2总流伯努利方程的应用条件和应用方法应用条件:恒定流、质量力只有重力、不可压缩流体、过流断面为均匀流（渐变流）、两断面之间无分流或汇流。应用步骤和方法:分析流动选取基准面：一般选在较低断面形心。选取计算断面：应选在渐变流处，尽量使已知条件最多，如自由液面、管道出口等。选择计算点：有压管流一般选在管道中心，明渠自由流一般选在自由液面上。方程两边压强基准要相同，一般用相对压强。全面分析两计算断面之间的能量损失。例用直径d=100mm的水管从水箱引水，水管水面与管道出口断面中心高差H=4m，水位保持恒定，水头损失hw=3m水柱，试求水管流量，并作出水头线。解：以0-0为基准面，列1-1、2-2断面的伯努利方程作水头线例已知离心泵抽水量Q=5.56L/s，泵的安装高度Hs=5m，吸水管直径d=100mm，吸水管的水头损失hw=0.25m，试求水泵进口断面2-2的真空度。解：选基准面0-0与水池液面1-1重合，列1-1、2-2断面的伯努利方程式中：Z1=0，Z2=Hs=5m，p1=0，v1=0，v2=Q/A=0.708m/s，代入0=5+p2+0.7082/(2×9.807)+0.25p2=-51740Pa即p2v=51740Pa4.3.3有能量输入或输出的伯努利方程

HiHo4.3.4两断面间有合流或分流的伯努利方程

1）用绝对压强计算用压强单位（Pa）表示4.3.5恒定气体总流的伯努利方程2）用相对压强计算——用相对压强计算的气体伯努利方程

p——静压ρv2/2——动压(ρa-ρ)g(z2-z1)——位压注意：z2-z1——下游断面高度减上游断面高度（±）；ρa-ρ——外界大气密度减管内气体密度（±）；z2=z1或ρa=ρ——位压为零3）压力线静压+动压=全压静压+动压+位压=总压例：气体由压强为12mmH2O的静压箱A经过直径为10cm、长为100m的管子流出大气中，高差为40m，沿管子均匀作用的压强损失为pw=9ρv2/2，大气密度ρa=1.2kg/m3，（a）当管内气体为与大气温度相同的空气时；（b）当管内为ρ=0.8kg/m3燃气时，分别求管中流量，作出压力线，标出管中点B的压强。（a）管内为空气时，取A、C断面列能量方程解：作压力线（b）管内为燃气时，取A、C断面列能量方程作压力线例：空气由炉口a流入，通过燃烧，经b、c、d后流出烟囱，空气ρa=1.2kg/m3，烟气ρ=0.6kg/m3，损失压强pw=29ρv2/2，求出口流速，作出压力线，并标出c处的各种压强。解：取a、d断面列能量方程作压力线c点：总压势压静压全压pcc2pcc1pc3c1pc3c2↑↑↓↓4.4总流的动量方程和动量矩方程

在许多工程实际问题中，可以不必考虑流体内部的详细流动过程，而只需求解流体边界上流体与固体的相互作用，这时常常应用动量定理直接求解显得十分方便。例如求弯管中流动的流体对弯管的作用力，以及计算射流冲击力等。由于不需要了解流体内部的流动型式，所以不论对理想流体还是实际流体，可压缩流体还是不可压缩流体，动量定理都能适用。4.4.1总流的动量方程

根据动量定理，流体系统动量的时间变化率等于作用在系统上的外力矢量和，即设不可压缩流体在管中作定常流动，如图所示。取有效截面1-1和2-2之间的流段作为研究对象，经过dt时间后从位置1-2流到1’-2’。与此同时，流段的动量发生了变化，其变化等于流段在1’-2’和1-2位置时的动量之差。由于定常流动中流管内各空间点的流速不随时间变化，因此1’-2这部分流体（图中阴影部分）的动量没有改变。于是在dt时间内流段的动量变化就等于2-2’段的动量和1-1’段的动量之差。由于按平均流速计算得到的动量变化量和以实际流速计算的动量变化量是不同的，故引入一个动量修正系数β加以修正。根据实验测定值约为1.02～1.05，近似于l，所以为计算方便，在工程计算中通常取β＝1。于是上式可改写成即此式为不可压缩流体定常流动的动量方程。写成分量形式为例水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两端与等直径管相连接处的断面1-1上压力表读数p1=17.6×104Pa，管中流量Q=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，d2=200㎜，转角θ=60°，求水对弯管作用力F的大小。解水流经弯管，动量发生变化，必然产生作用力F。而F与管壁对水的反作用力R平衡。管道水平放置在xoy面上，将R分解成Rx和Ry两个分力。取管道进、出两个截面和管内壁为控制面，坐标按图示方向设置。根据连续性方程可求得：m/sm/s列1-1、2-2断面的伯努利方程：得Pa进、出口控制面上的总压力：KN壁面对控制体内水的反力Rx、Ry方向假定如图所示。写出动量方程沿x轴方向沿y轴方向管壁对水的反作用力水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。例水平分岔管路，干管直径d1=600mm，支管直径d2=d3=400mm，分岔角α=30°。分岔前断面的压力表读数pM=70KN/M2，干管流量Q=0.6m3/s，不计水头损失。求水流对分岔管的作用力。解作用在控制体上的力包括：过流断面上的压力P1、P2、P3；分岔管对水流的作用力列ox方向的动量方程其中列1-1、2-2断面的伯努利方程：将各量代入动量方程，得水流对分岔管的作用力与大小相同，方向相反，即沿ox轴正方向。例水平方向的水流射流，流量Q1，出口流速v1，在大气中冲击在斜置的光滑平板上，不计水流在平板上的阻力，求沿平板的流量Q2、Q3和射流对平板的作用力。解大气中射流，各点压强均为大气压，因为不计阻力，平板对水流的作用力与平板垂直。分别列1-1与2-2及1-1与3-3断面伯努利方程，得v1=v2=v3列ox方向动量方程，作用在控制体内总流上的外力为零，即ρQ2v2+(-ρQ3v3)-ρQ1v1cosθ=0由连续性方程Q2+Q3=Q1联立求解，得Q2-Q3=Q1cosθ列oy方向动量方程射流对平板的作用力与大小相等，方向相反，即指向平板。4.4.2总流的动量矩方程

动量矩定理：物体的动量对某轴的动量矩对时间的变化率，等于作用于此物体上所有外力对同一轴的力矩之和。利用恒定元流的动量方程对某固定点取矩，得恒定元流的动量矩方程。单位时间内控制体内