第一章随机事件与概率

概率论与数理统计(ProbabilityTheoryandMathematicalStatistics)

主讲:余晋昌副教授TEL:62341教学参考书1.概率论与数理统计及其应用,盛骤谢式千编，高等教育出版社.2.概率论与数理统计,谢永钦主编,北京邮电大学出版社.2作业（10分）单周星期二交；要抄题；批改一半，请写上学号；不交，一次扣2分。3考勤（10分）抽查；旷课者每次扣2分。期中测验（10分）随堂测验。成绩评定：总评成绩=卷面*70%+平时*30%4数学不是逻辑，而是理解。-------陈省身understand5概率论与数理统计的主要内容随机事件及其概率随机变量及其分布随机变量的数字特征与大数定律正态分布与中心极限定理6概率论与数理统计的主要内容样本及抽样分布参数估计假设检验7概率论与数理统计是研究和揭示随机现象所具有的规律性的一门数学学科.随机现象确定性现象8第一章随机事件及其概率事件及其运算事件的概率条件概率事件的独立性9事件及其运算随机试验与随机事件随机事件的运算与关系10随机试验与随机事件

随机试验是具有以下特征的试验：1、可以在相同条件下重复进行;2、每次试验的结果不止一个，且所有的结果事先可以预知;3、每次试验前不能确定哪个结果会出现.例

注1：随机试验中的试验是广义的；注2：有些试验不是随机试验。11

随机试验的所有可能结果的集合称为样本空间.试验的每—个可能结果称为样本点.记为S＝｛e｝.12例1(1)E：抛一颗骰子，观察出现的点数.

写出下列随机试验的样本空间(2)E：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况.S=｛1，2，3，4，5，6}.S={HHH，HHT，HTH，THH，HTT，

THT，TTH，TTT}.

13(3)E:在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命.

S=｛t︱t≥0}.(4)记录某地一昼夜的最高温度和最低温度

S={(x，y)︱T0≤x≤y≤T1}，这里x示最低温度，y表示最高温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1.14随机事件

试验E的样本空间S的子集称为试验的随机事件，简称事件.在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.由一个样本点组成的单点集随机事件由两个或两个以上样本点组成的集合基本事件复合事件15两个特殊事件

样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件.空集不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件.16例2

某袋中装有4只白球和2只黑球，考虑依次从中摸出两球所可能出现的事件.若对球进行编号，4只白球分别编为1，2，3，4号，2只黑球编为5，6号.如果用数对(i，j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球，则可能出现的结果是(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)(2，1)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，5)，(4，6)(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)17把这30个结果作为样本点，则构成样本空间.研究事件：A：第一次摸出黑球；

B：第二次摸出黑球；

C：第一次及第二次都摸出黑球．后面这些事件与前面那些基本事件的不同处在于这些事件是可以分解的，例如为了A出现必须而且只须下列样本点之一出现：(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5).18事件的运算19ABABABBA－BA20事件间的关系AB2122AAB23运算性质对于n个事件，甚至对于可列个事件，德·摩根律也成立.24例3（1）A发生而B与C都不发生（2）A与B都发生而C不发生（3）事件A、B、C都发生可以表示为可以表示为可以表示为25（4）事件A、B、C中恰好发生一个（5）事件A、B、C中恰好发生两个（6）事件A、B、C中至少发生一个可以表示为可以表示为可以表示为或26例4说明下列各式的概率意义27抛一颗骰子,出现奇点数;抛两颗骰子,A=“出现点数之和为奇数,且恰好其中有一个是1点”;B=“出现点数之和为偶数,但其中没有出现1点”;(3)将一枚硬币抛两次,A=“第一次出现正面”;B=“至少有一次出现正面”;C=“两次出现同一面”.28对于一个随机事件A(除必然事件和不可能事件外)来说，它在一次试验中可能发生，也可能不发生.人们希望知道事件A在一次试验中发生的可能性大小.事件的概率用什么样的数P(A)来表示事件A发生的可能性大小？这个数P(A)就称为随机事件A的概率.29事件的概率事件的频率概率的公理化定义与性质古典概型30事件的频率

在相同的条件下，进行n次试验,在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数.比值nA

／n称为事件A发生的频率，并记为ƒn(A).由于事件发生的频率表示A发生的频繁程度.频率越大，事件A发生就越频繁，这意味着事件A在一次试验中发生的可能性也就越大.31基本性质：⑴0≤ƒn(A)≤1;⑵ƒn(S)＝1;⑶若A1，A2，

…，Ak是两两互不相容的事件，则ƒn(

A1∪A2∪…∪Ak

)=ƒn

(

A1)+ƒn

(A2)+…+ƒn

(Ak).32例考虑“抛硬币”这个试验.将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍.得到的数据如下表所示(其中nH表示H发生的频数，ƒn(H)表示H发生的频率).33试验序号n=5n=50n=500nHƒn(H)nHƒn(H)nHƒn(H)1234567891023151242330.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6222521252421182427310.440.500.420.500.480.420.360.480.540.622512492562532512462442582622470.5020.4980.5120.5060.5020.4920.4880.5160.5240.49434频率稳定性大量实验证实，当重复试验的次数逐渐增大时，频率呈现出稳定性，即逐渐稳定于某个常数.这个常数可作为事件A的概率P(A).因此，当n足够大时，P(A)

ƒn(A

).35概率的公理化定义设E是随机试验，S是它的样本空间.对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(﹡)满足下列条件：⑴非负性：对于任何事件A，有P(A)≥0；⑵规范性：对于必然事件S，有P(S)=1；⑶可列可加性：设A1，A2，…,是两两互不相容的事件，即对于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,则有36概率论公理化结构是苏联数学家柯尔莫哥洛夫(A.H．KoMoroPoB)在1933年提出的.这个结构综合了前人成果，明确定义了基本概念，使概率论成为严谨的数学分支，对近几十年来概率论的迅速发展起了积极作用.可见，在公理化定义中，只规定了概率应满足的性质，而没有具体规定出它的计算公式或计算方法.37概率的性质383940414243概率的加法公式44推广：45例46解47作业P162,3,7482.设A,B,C表示3个事件,试用A,B,C的运算关系表示事件:(1)A发生,B,C不发生;(2)A与B发生,C不发生;(3)A,B,C都发生;(4)A,B,C至少有一个发生;(5)A,B,C都不发生;49(6)A,B,C不都发生;(7)A,B,C至多有两个发生;(8)A,B,C至少有两个发生;50等可能概率模型古典概型等可能概率模型是有限样本空间的一种特例.这种随机现象具有下列两个特征：(1)在观察或试验中它的全部可能结果只有有限个，譬如为n个，记为e1,e2,…,en；(2)事件{ei}(i=1,2,…n)的发生或出现是等可能的，即它们发生的概率都一样.51这类随机现象在概率论发展初期即被注意，许多最初的概率论结果也是对它作出的，一般把这类随机现象的数学模型称为古典概型.古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它具有简单、直观的特点，且应用广泛.

等可能性是古典概型的两大假设之一，有了这个假设，给直接计算概率带来了很大的方便.但在事实上，所讨论问题是否符合等可能假设，一般不是通过实际验证，而往往是根据人们长期形成的“对称性经验”作出的.52例如，骰子是正六面形，当质量均匀分布时，投掷一次，每面朝上的可能性都相等；装在袋中的小球，颜色可以不同，只要大小和形状相同，摸出其中任一个的可能性都相等。因此，等可能假设不是人为的，而是人们根据对事物的认识---对称性特征而确认的.53古典概型中事件概率的计算公式法国数学家拉普拉斯(Laplace)在1812年把上式作为概率的一般定义.事实上它只适用于古典概型场合.54求解古典概型问题的关键是:弄清基本事件空间的样本点总数和所求概率事件包含的样本点个数.在理清事件数的时候，必须分清研究的问题是组合问题还是排列问题.55例4一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球.从袋中取球两次，每次随机地取一只.考虑两种取球方式：(a)第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中,搅匀后再取一球.这种取球方式叫做放回抽样.(b)第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽样.试分别就上面两种情况求(1)取到的两只球都是白球的概率;(2)取到的两只球颜色相同的概率；(3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率.56解以A、B、C分别表示事件“取到的两只球都是白球”，“取到的两只球都是红球”，“取到的两只球中至少有一只是白球”.易知“取到两只颜色相同的球”这一事件即为AB，而C＝.(a)放回抽样的情况57(b)不放回抽样的情况58解[放回抽样]把a+b个产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列全体作为样本点，总数为例5如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回与不放回抽样方式从中抽n件产品，问正好有k件是次品的概率各是多少?故所求概率为其中有利场合(即次品正好出现k次)的数目是59[不放回抽样]从a+b个产品中取出n个产品的可能组合全体作为样本点，总数为有利场合数为故所求概率为这个概率称为超几何分布.60例6袋中有a只白球，b只红球，k个人依次在袋中取一只球.(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样，求第i(i=1，2，…，k)人取到白球(记为事件B)的概率(k≤a+b).解(1)放回抽样的情况，显然有(2)不放回抽样的情况，各人取一只球，共有(a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)个基本事件，每个基本61事件发生的可能性相同.当事件B发生时，B中包含a(a+b-1)(a+b-2)…[a+b-l-(k-1)+1]个基本事件，故值得注意的是:P(B)与i无关，即k个人取球，尽管取球的先后次序不同，各人取到白球的概率是一样的，大家机会相同(例如在购买福利彩票时，各人得奖的机会是一样的).另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下P(B)是一样的.62例7将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生。问(1)每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少?(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是多少?

解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为每一种分配法为一基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同.(1)将3名优秀生分配到三个班级,使每个班级都有63一名优秀生的分法共3!种.对于这每一种分法，其余12名新生平均分配到三个班级中的分法共有12!／(4!4!4!)种.因此，每一班级各分配到一名优秀生的分法共有(3!×12!)／(4!4!4!)种.于是所求概率为(2)将3名优秀生分配在同一班级的分法共有3种.对于这每一种分法，其余12名新生的分法(一个班级2名，另两个班级各5名)有12!／(2!5!5!)种.64因此3名优秀生分配在同一班级的分法共有(312!)／(2!5!5!)种，于是，所求概率为65例8664.几何概型676869707172例1.10⑵P(A1A2…An)≥P(A1)+P(A2)+…+P(An)-(n-1).证⑴P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1，故

P(AB)≥P(A)+P(B)-1.⑵应用数学归纳法，n=2已成立.设对n-1不等式也成立，则P(A1A2…An)=P[(A1A2…An-1)An]≥P(A1A2…An-1)+P(An)-1≥P(A1)+…+P(An-1)-(n-2)+P(An)-1=P(A1)+…+P(An)-(n-1).证明:⑴P(AB)≥P(A)+P(B)-1;73练习1.从52张扑克牌中任意取出13张,问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？2.一个袋内有大小相同的7只球，其中4个是白球，3个是红球，从中一次抽3个，计算至少有两个是白球的概率.7475作业P164，676条件概率条件概率的定义与性质乘法定理全概率公式贝叶斯公式77引例对概率的讨论总是在一组固定的条件限制下进行的.以前的讨论总是假定除此之外再无别的信息可供使用.可是，有时却会碰到这样的情况，即已知某一事件B已经发生，要求另一事件A发生的概率.例如考虑有两个孩子的家庭，假定男女出生率一样，则两个孩子(依大小排列)的性别为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)的可能性是一样的.若以A记随机选取的这样一个家庭中有一男一女这一事件，则显然P(A)=1/2，但是,如果预先知道这个家庭至少有一个女孩，那么，上述事件的78概率便应是2/3.样本点总数n=4，事件A包含的样本点数mA=2,因此,P(A)=1/2；事件B包含的样本点数mB=3，而两种情况下算出的概率不同.这是因为在第二种情况下，我们多知道了一个条件：事件B(这一家庭至少有一女孩)发生，因此我们算得的概率事实上是“在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率”，这个概率记为P(A︱B).79mAB=2，因此80条件概率的定义与性质设A,B是两个事件，且P(B)>0，称为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.81⑴非负性：对于任何事件A，有P(A∣B)≥0；⑵规范性：对于必然事件S，有P(S∣B)=1；⑶可列可加性：设A1

，A2

，…两两互不相容的事件，即对于i≠j,AiAj=,i,j=1,2,…,则有8283例9一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品.从中取产品两次，每次任取一只,作不放回抽样.设事件A为第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”.试求条件概率P(B∣A).84例某种动物出生后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年20岁的动物活到25岁的概率。85乘法定理乘法公式:设P(A)>0，则有

P(AB)=P(A)P(B∣A).若P(B)>0，则有

P(AB)=P(B)P(A∣B).可以把乘法定理推广到任意n个事件之交的场合：设A1,A2,…,An为n个事件，n≥2,且P(A1A2…An-1）>0，则有

P(A1A2…An)=P(An∣A1A2…An-1)P(An-1∣A1A2…An-2)…P(A2∣A1)P(A1).86例10设袋中装有r只红球，t只白球.每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球.若在袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解以Ai(i=l,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为8788例11设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为1／2，若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7／10，若前两次落下未打破，第三次落下打破的概率为9／10.试求透镜落下三次而未打破的概率.899091全概率公式样本空间划分的定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2，…,Bn为E的一组事件.若⑴BiBj=,i≠j,i,j=1,2,…,n;⑵B1∪B2∪…∪Bn=S,则称B1,B2,…,Bn为样本空间S的一个划分.全概率公式：设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B1,B2，…,Bn为S的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2,…,n),则92证明因为事件B1,B2，…,Bn为样本空间的一个划分，即Bi两两互不相容，P(Bi)>0(i=1,2,…,n)，而且

B1∪B2∪…∪Bn=S.于是有AB1∪AB2∪…∪ABn=A.其中ABi也是两两互不相容.B1AB5B4B3B2由概率的可列可加性P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn).利用乘法定理即得93例12考卷中一道选择题有4个答案，仅有一个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道而乱猜是等可能的.如果这个学生答对了，求它确实知道正确答案的概率.解样本空间可以划分为事件A:知道正确答案与:不知道.以B表示事件:学生答对，则AB，P(AB)＝P(A)＝1／2.P(B∣A)=1，而P(B∣)＝1／4.由全概率公式P(B)＝P(A)P(B∣A)+P()P(B∣)=5／8，故P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．94贝叶斯公式设试验E的样本空间为S.A为E的事件，B1,B2，…,Bn为S的一个划分，且P(A)>0,P(Bi)>0,i=1,2,…,n，则上式称为贝叶斯(Bayes)公式.95贝叶斯定理往往与全概率公式同时使用.全概率公式——用于“由因求果”问题，而贝叶斯定理一般用于“执果寻因”问题，在使用时要分清是什么问题，确定应用哪个公式.贝叶斯公式在概率论和数理统计中有着多方面的应用.假定B1,B2,…,B是导致试验结果的“原因”，P(Bi)称为先验概率，它反映了各种“原因”发生的可能性大小，一般是以往经验的总结，在这次试验前已经知道.现在若试验产生了事件A,这个信息将有助于探讨事件发生的“原因”.96条件概率P(Bi∣A)称为后验概率，它反映了试验之后对各种“原因”发生的可能性大小的新知识.例如在医疗诊断中，为了诊断病人到底是患了毛病B1,B2,…,Bn中的哪一种，对病人进行观察与检查，确定了某个指标A(譬如是体温、脉搏血液中转氨酶含量等等)，医生想用这类指标来帮助诊断.这时就可以用贝叶斯公式来计算有关概率.首先必须确定先验概率P(Bi)，这实际上是确定人97患各种毛病的可能性大小，以往的资料可以给出一些初步数据；其次是要确定P(A∣Bi)，这里当然主要依靠医学知识.有了它们，利用贝叶斯公式就可算出P(Bi∣A)，显然，对应于较大P(Bi∣A)的“病因”Bi，应多加考虑.在实际工作中，检查的指标A一般有多个，综合所有的后验概率，当然会对诊断有很大帮助.在实现计算机自动诊断或辅助诊断中，这方法是有实用价值的.98先验概率是指根据以往经验和分析得到的概率，如全概率公式中的P(Bi)，它往往作为“由因求果”问题中的“因”出现.后验概率是指在得到“结果”的信息后重新修正的概率，如贝叶斯公式

P(Bi∣A)＝P(A∣Bi)P(Bi)/P(A)中的P(Bi∣A)，是“执果寻因”问题中的“因”.先验概率与后验概率有不可分割的联系，后验概率的计算要以先验概率为基础.99例13某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的.根据以往的记录有以下的数据：元件制造厂次品率提供元件的份额10．020．1520．010．8030．030．05设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别的标志.(1)在仓库中随机地取一只元件，求它是次品的概率；(2)在仓库中随机地取一只元件,若已知取到的是次品，为分析此次品出自何厂，需求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少?试求这些概率.100解设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝l,2,3)表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.易知，Bl，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)＝0.05，P(A∣B1)=0.02，P(A∣B2)=0.01，P(A∣B3)=0.03.⑴由全概率公式P(A)=P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2)+P(A∣B3)P(B3)=0.0125.101以上结果表明，这只次品来自第2家工厂的可能性最大.⑵由贝叶斯公式102例14根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A∣C)＝0.95，P(∣)＝0.95.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率0.005，即P(C)＝0.005，试求P(C∣A).解已知P(A∣C)＝0.95，P(A∣)＝1一P(∣)＝0.05，P(C)＝0.005，P()＝0．995，由贝叶斯公式103104例15对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为98％，而当机器发生某种故障时，其合格率为55％.每天早上机器开时，机器调整良好的概率为95％.试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少?解设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”.已知P(A∣B)＝0.98，P(A∣)＝0.55，P(B)＝0.95，P()＝0.05，由贝叶斯公式得105当生产出第一件产品是合格品时，此时机器调整良好的概率为0.97.这里，概率0.95是由以往的数据分析得到的，是先验概率.而在得到信息(即生产出的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)是后验概率.有了后验概率就能对机器的情况有进一步的了解.106练习107作业P178，9，13108事件的独立性引例一箱子里装有a只黑球和b只红球，采用有放回摸球，求：(1)在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率；(2)第二次摸出黑球的概率.解以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸得黑球，则

109而所以因此110

设A,B是两个事件，且P(A)>0，则A,B相互独立的充分必要条件是事件独立性

设A,B是两个事件，如果满足等式

P(AB)=P(A)P(B)，

则称事件A,B相互独立，简称A,B独立.定义与性质若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立.111P13例1.20投掷两枚骰子，A---第一枚骰子出现6点，B---第二枚骰子出现6点，则A，B相互独立。P13例1.21112独立与互不相容若P(A)>0,P(B)>0,则A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立！若A,B相互独立与A,B互不相容能同时成立,则由A,B相互独立有

P(AB)=P(A)P(B),由A,B互不相容得P(AB)=0.从而P(A)P(B)=0.即P(A)=0或P(B)=0,矛盾.所以，A,B相互独立与A,B互不相容不能同时成立.113三个事件独立性的定义设A,B,C是三个事件，如果满足等式:P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C),P(AC)=P(A)P(C).P(ABC)=P(A)P(B)P(C).则称事件A,B,C相互独立.称事件A、B、C两两相互独立.114例16一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红，白，黑三种颜色.现在我们以A，B，C分别记投一次四面体的底面出现红,白，黑颜色的事件.由于在四面体中有两面有红色，因此P(A)=1/2.同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出

P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4.所以A,B,C两两独立，但是

P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C).115例17若有一个均匀正八面体，其第1，2，3，4面染红色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，现在以A,B,C分别表示投掷一次正八面体底面出现红，白，黑的事件.由题意得：P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2，

P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C).但是

P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B).116n个事件的独立性定义：设A1,A2,…An是n(n≥2)个事件，如果其中任意k(n≥k≥2)个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1,A2,…,An相互独立.定义与性质性质：⑴若事件A1,A2,…,An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的.⑵若n个事件(n≥2)相互独立，则将A1,A2,…,An中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立.117在实际应用中，事件的独立性往往不是由定义，而是由问题的实际意义来判断.例如，若A,B分别表示甲、乙两人患感冒，如果甲乙两人的活动范围相距甚远，就认为A,B相互独立；如果甲乙两人同是住在一个房间里的，那就不能认为A,B相互独立了.事件的独立性对于计算事件的概率有很重大的作用，特别是复杂事件的概率在满足事件相互独立这一条件时，计算起来会十分简便.118例一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性.如图，设有4个独立工作的元件1,2,3,4按先串联再并