理论力学-第八章点的合成运动

§8–1相对运动·牵连运动·绝对运动

§8–2点的速度合成定理

§8–3牵连运动是平动时点的加速度合成定理

§8–4牵连运动是转动时点的加速度合成定理习题课第八章点的合成运动§8-1

相对运动·牵连运动·绝对运动运动的相对性：物体对于不同的参考体具有不同的运动。将复杂的运动分解成两个简单运动的组合，称为点的合成运动（复合运动）某瞬时，动系上与动点重合的点。如二、复合运动的一般模型圆。一般为地球，亦可为动系。如：地面固连于运动物体。如：车箱研究对象。如：轮缘M点一、实例:

M点运动地面:摆线，车箱:定系(静):动系:动点:牵连点:1.参考物与参考系有何区别?后者包含整个空间。2.某瞬时，动点与牵连点有无相对运动?必有。3.某瞬时，牵连点与动系有无相对运动?无。牵连点某瞬时的固定点不同瞬时，点不同点的运动刚体的运动２．相对运动：动点对动系的运动。例如：人在行驶的汽车里走动。３．牵连运动：动系相对于静系的运动。例如：行驶的汽车相对于地面的运动。１．绝对运动：动点对静系的运动。三．三种运动：1、动点在绝对运动中的速度和加速度称为-----绝对速度和

绝对加速度。绝对相对牵连四、三种速度和三种加速度。2、动点在相对运动中的速度和加速度称为-----相对速度和

相对加速度。3、动坐标系中与动点相重合的点(不是动点)的速度和加速度称为----------牵连速度和牵连加速度下面举例说明以上各概念：

五．动点的选择原则：

六．动系的选择原则：

动点：动系：静系：AB杆上A点固结于凸轮Ｏ'上固结在地面上一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有运动的点。

动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的，或者能直接看出的。动系静系动点

1.

若动点A在AB杆上时

动点：A(在AB杆上)

动系：偏心轮静系：地面绝对运动：直线相对运动：圆周（曲线）牵连运动：定轴转动2.若动点A在偏心轮上时

A（在偏心轮上）AB杆地面圆周（红色虚线）曲线（未知）平动＝＋当t

→

t+△t

，AB→A'B'

M→M'也可看成M→M１→M´MM'

为绝对轨迹MM'

为绝对位移M1M'为相对轨迹M1M'

为相对位移将上式两边同除以后，时的极限，得取§８-２点的速度合成定理速度合成定理-------任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。说明：

(1)

va—动点的绝对速度；

(2)

vr—动点的相对速度；

(3)

ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度

I)动系作平动时，动系上各点速度都相等。

II)动系作转动时，ve

是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。

(4)点的速度合成定理是瞬时矢量式，共包括大小‚方向六个元素。A为动系，B为动点解：1.分析如下4图动点的速度和加速度。图1动系为滑槽，动点为滑块A，三种轨迹解：图2动系为斜面，动点为轮心O。解：图3动系:OA动点:轮心C。动系:套筒B动点:铰A。动系:OA杆；动点:滑块B图4练习一、二、三:练习一解:动系:OA动点:轮心C。练习二解:动系:套筒B动点:铰A。练习三解:动系:OA杆；动点:滑块B桥式吊车。已知：小车水平运行，速度为v平，物块A相对小车垂直上升的速度为v。求物块A的运行速度。[例8-1]解：选取动点:物块A

动系:小车

静系:地面作出速度平四边形如图示，则物块Ａ的速度大小和方向为相对运动:直线;相对速度vr=v

方向牵连运动:平动;牵连速度ve=v平方向绝对运动:曲线;绝对速度va

的大小,方向待求由速度合成定理：解：取套筒A点为动点，摆杆O1B为动系.基座为静系。（）曲柄摆杆机构已知：OA=r,,OO1=l

图示瞬时OAO

求：摆杆O1B角速度1[例8-2]由速度合成定理

作出速度平行四边形如图示。绝对速度va

=r

方向

OAφ相对速度vr

=?方向//O1B牵连速度ve

=?方向O1B圆盘凸轮机构已知：OC＝e,

,（匀角速度）图示瞬时,OCCA

且

O,A,B三点共线。求：从动杆AB的速度。[例8-3]解：动点取直杆上A点，动系固结于圆盘，

静系固结于基座。绝对速度va

=?待求，方向//AB相对速度

vr

=?未知，方向CA牵连速度ve=OA=2e,方向

OA由速度合成定理

作出速度平行四边形如图示。由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤为：(1)

选取动点，动系和静系。(2)

三种运动的分析。(3)

三种速度的分析。(5)

根据速度平行四边形，求出未知量。恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。(4)

根据速度合成定理作出速度平行四边形。动点、动系和静系的选择原则(1)

动点、动系和静系必须分别属于三个不同的物体，否则绝对、相对和牵连运动中就缺少一种运动，不能成为合成运动(2)

动点相对动系的相对运动轨迹易于直观判断（已知绝对运动和牵连运动求解相对运动的问题除外）。已知:凸轮半径r,图示时杆OA靠在凸轮上。求：杆OA的角速度。[例8-4]绝对运动:直线运动,绝对速度:相对运动:直线运动,相对速度:解:取凸轮上C点为动点,

动系固结于OA杆上,

静系固结于基座。牵连运动:定轴转动,牵连速度:（）如图示。根据速度合成定理做出速度平行四边形由于牵连运动为平动，故由速度合成定理

设有一动点M按一定规律沿着固连于动系O'x'y'z'的曲线AB运动,而曲线AB同时又随同动系O'x'y'z'相对静系Oxyz平动。§8-3牵连运动是平动时点的加速度合成定理对t求导：(其中 为动系坐标的单位矢量，因为动系为平动，故它们的方向不变，是常矢量，所以 ）—牵连运动为平动时点的加速度合成定理即当牵连运动为平动时，动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。∴一般式可写为：解：取杆上的A点为动点，

动系与凸轮固连。已知：凸轮半径求：j=60o时,顶杆AB的加速度。[例8-5]绝对速度va=?,方向AB

；绝对加速度aa=?,方向AB，待求。相对速度vr

=?,方向CA;

相对加速度art=?方向CA方向沿CA指向C牵连速度ve=v0,方向→;牵连加速度ae=a0,方向→由速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。因牵连运动为平动，故有作加速度矢量图如图示，将上式投影到法线n上，得整理得[注]加速度矢量方程的投影是等式两端的投影，与静平衡方程的投影关系不同n绝对运动：圆周运动，已知:OA＝l,=45o

时，ω、α

求：小车的速度与加速度．解：

动点：OA杆上A点;动系：固结在滑杆上;静系：固结在机架上。曲柄滑杆机构[例8-6]相对运动：直线运动，牵连运动：平动；α小车的速度：

根据分析作速度图和加速度图在x轴上投影：，方向如图示小车的加速度：根据牵连平动的加速度合成定理α[例8-7]曲柄OA=r，以匀角速度ωo转动，BC=DE，BD=CE=l。求图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。60°30°DEABCOωωOα解：角速度

DBCE为平行四边形，所以BC杆作平动。动系固结在BC杆上，套筒A为动点。绝对速度:va=rωOvavevrvavevrvBve=vr=va=rωOvB=ve=rωO60°30°DEABCOωωOα角加速度：A点绝对运动作匀速圆周运动；相对运动为直线运动；B点作圆周运动。其加速度方向如图；Ay30°30°60°？？√√将在y轴上投影：Ay30°30°60°30°BD杆的角加速度：（隐含正号，方向假设正确）vavevr[例8-8]φRBCOO1Aω曲柄OA=R=10cm，以匀角速度ω=4πrad/s

转动，求φ=30°时BC的速度和加速度。解：动点------滑块A动系------固结于BC绝对运动：⑴速度分析图：60°60°60°30°30°牵连运动：相对运动：φRBCOO1Aω⑵加速度分析图：？？√√将上式在η轴上投影：30°30°30°60°

30°aaaearnarnτη设一圆盘-------以匀角速度绕定轴Ｏ顺时针转动，盘上圆槽内有一点M------以大小不变的速度vr

沿槽作圆周运动，

那么M点相对于静系的绝对加速度应是多少呢？§8-4牵连运动是转动时点的加速度合成定理相对运动为匀速圆周运动，（方向如图）由速度合成定理可得出选点M为动点，动系固结与圆盘上，则M点的牵连运动为匀速转动（方向如图）即绝对运动也为匀速圆周运动，所以方向指向圆心Ｏ点分析上式： 还多出一项2vr。

可见，当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度并不等于牵连加速度和相对加速度的矢量和。

那么他们之间的关系是什么呢？2vr又是怎样出现的呢？它是什么呢？下面我们就来讨论这些问题，推证牵连运动为转动时点的加速度合成定理。三种速度分析牵连速度相对速度绝对速度

t

瞬时在位置Ｉt+Dt瞬时在位置II可以看出，经过Dt时间间隔，牵连速度和相对速度的大小和方向都变化了。设有已知杆OA在图示平面内以匀绕轴O转动，套筒M（可视为点M）沿直杆作变速运动。取套筒M为动点，动系固结于杆OA上，静系固结于机架。其中-----在Dt内相对速度大小的改变量，它与牵连转动无关。 -----在Dt内由于牵连转动而引起的相对速度方向的改变 量，与牵连转动的的大小有关

。

Dt时间间隔内的速度变化分析(1)相对速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取长度后，分解为和(2)牵连速度：由 作速度矢量三角形，在矢量上截取等于长后，将分解为和，其中:

—表示Dt内由于牵连转动而引起的牵连速度方向的改变量，与相对运动无关。

—表示Dt内动点的牵连速度，由于相对运动而引起的大小改变量，与相对速度有关。加速度分析根据加速度定义上式中各项的物理意义如下：第一项大小：方向：Dt

0时，D

0,其方向沿着直杆指向A点。因此，第一项正是t

瞬时动点的牵连加速度。第三项大小：为对应于大小改变 方向：总是沿直杆。因此，该项恰是ｔ瞬时动点的相对加速度。第二项大小：该项为由于相对运动的存在而引起牵连速度的大小改变的加速度。第四项大小：这一项表明由于牵连转动而引起相对速度方向改变的加速度。所以，当牵连运动为转动时，加速度合成定理为

当牵连运动为转动时，动点的绝对加速度等于它的牵连加速度，相对加速度和科氏加速度三者的矢量和。一般式由于第二项和第四项所表示的加速度分量的大小，方向都相同，可以合并为一项，用表示，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。

一般情况下

科氏加速度的计算可以用矢积表示方向：按右手法则确定。解:

动点:顶杆上A点；动系:凸轮;静系:地面。绝对运动:直线;

绝对速度:va=?待求,方向//AB;

相对运动:曲线;相对速度:vr=?方向n;

牵连运动:定轴转动;

牵连速度:ve=r，方向OA，。[例8-9]

已知：凸轮机构以匀

绕O轴转动，图示瞬时OA=r

，A点曲率半径,已知。求：该瞬时顶杆AB的速度和加速度。根据速度合成定理做出速度平行四边形由牵连运动为转动时的加速度合成定理作出加速度矢量图如图示向n轴投影：解：点M1的科氏加速度 垂直板面向里。

矩形板ABCD以匀角速度绕固定轴z转动，点M1和点M2分别沿板的对角线BD和边线CD运动，在图示位置时相对于板的速度分别为和，计算点M1、

M2的科氏加速度大小,并图示方向。DABCθ点M2的科氏加速度

[例8-10]

解：根据做出速度平行四边形方向：与相同。曲柄摆杆机构已知：O1A＝r,,,1;取O1A杆上A点为动点，动系固结O2B上，试计算动点A的科氏加速度。[例8-11]一．概念及公式

1.一点、二系、三运动点的绝对运动为点的相对运动与牵连运动的合成．

2.速度合成定理

3.加速度合成定理牵连运动为平动时牵连运动为转动时第八章点的合成运动习题课二．解题步骤

1.选择动点、动系、静系。

2.分析三种运动：绝对运动、相对运动和牵连运动。

3.作速度分析,画出速度平行四边形,求出有关未知量(速度,

角速度）。

4.作加速度分析，画出加速度矢量图，求出有关的加速度、角加速度未知量。摇杆滑道机构解：动点:销子D(BC上);动系:固结于OA；静系:固结于机架。

绝对运动：直线运动， 相对运动：直线运动，，沿OA线 牵连运动：定轴转动，（）已知：

求:OA杆的ω、α

。根据速度合成定理做出速度平行四边形,如图示。[例8-12]投至轴：（）根据牵连转动的加速度合成定理曲柄滑块机构解：动点:O1A上A点;动系:固结于BCD上,静系固结于机架上。

绝对运动：圆周运动;

相对运动：直线运动;

牵连运动：平动;

，水平方向已知：

h;

图示瞬时;

求:该瞬时杆的w2。[例8-13]根据

再选动点：BCD上F点动系：固结于O2E上，静系固结于机架上绝对运动：直线运动，

相对运动：直线运动，牵连运动：定轴转动，根据 做出速度平行四边形）（已知：凸轮半径为R，图示瞬时O、C在一条铅直线上;已知;求:该瞬时OA杆的角速度和角加速度。分析:由于接触点在两个物体上的位置均是变化的，因此不宜选接触点为动点。[例8-14]凸轮机构解:

取凸轮上C点为动点，动系固结于OA杆上，静系固结于地面上．

绝对运动:直线运动，相对运动:直线运动，牵连运动:定轴转动，方向）(根据根据做出加速度矢量图投至轴：转向由上式符号决定，>0则，<0则已知:主动轮O转速n=30r/minOA=150mm,图示瞬时,OAOO1求:O1D杆的ω1、α

1

和滑块B的。[例8-15]刨床机构其中）(解：动点：轮O上A点动系：O1D,静系：机架根据做出速度平行四边形。根据做出加速度矢量图投至方向：）(再选动点:滑块B;动系:O1D;静系:机架。根据做出速度矢量图。根据投至

x轴：做出加速度矢量图其中图示瞬时,h已知,求:套筒O的ω和

α

。解：方法1：

A点作直线运动代入图示瞬时的已知量，得（）（）