《易错题》初中七年级数学下册第六单元《实数》经典习题(专题培优)

一、选题1．若

xz

，则

y

的平方根为（）A．±2

B．C．D．D解析：【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出，，，出代数式的值计即可；【详解】

xzxy，

，解得

xy

，

zxyz2716

，

；故选：．【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．2．如图，数轴上O、、四点，若数轴上有一点M，点所表示的数为，

，则关于M点的位置，下列叙述正确的是（）A．在A点左侧

B．线段AC上

C．在线段OC上

．线段OB上D解析：【分析】根据A、、四在数轴上的位置以及绝对值的定义即可得出答案．【详解】|m-5|表点M与5表示的点B之的距离，−c|表示点与数表示的点之的距离，＝−c|，MB＝．点M在段OB上．故选：．【点睛】

本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的关键．3．下列命题中，的平方根是9；平方根是±2；−0.003没立方根；④−64的立方根为±4；，中正确的个数有（）A．

B．C．D．解析：【分析】根据平方根的定义对进行判断；根据立方根的定义进判断；根据命题的定义对进判断．【详解】解：的平方根±，所以错；的方根±2，所以②正；-0.003有方根，所③错；−64的方根为，所以错；5不合命题定义，所⑤正错误．故选：．【点睛】本题考查了立方根和平方根的应用，主要考查学生的辨析能力，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．4．下列实数:

64；

(相两个1之依次多一个0)，中无理数有)A．个

B．个

C．个

．个B解析：【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．【详解】64是有理数；

是有限小数，是有理数；

是分数，是有理数；3，

(相两1之次多一个，5，无理数，共个故选：．【点睛】本题考查了无理数的定义，注意无理数的三种形式开方开不尽数，无限不循环小数，含的数．5．81的平方根是（）A．B．C．9和

．C

解析：【分析】根据平方根的定义即可求出答案．【详解】解：

，的平方根是

．故选：【点睛】本题考查平方根的定义，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．6．下列实数

，8,

，1.010010001（从左到右，每两个1之依次增加一个）中，其中无理数有（）A．个

B．个

C．个

．个C解析：【分析】根据无理数的定义、算术平方根与立方根逐个判断即可得．【详解】

小数点后的是限循环的，属于有理数，于有理数，8是理，则无理数为

,，有3个，故选：．【点睛】本题考查了无理数、算术平方根与立方根，熟记各定义是解题关键．7．若≈2.3903，≈7.5587，则的平方根约为（）A．

B．C．．D解析：【分析】根据被开方数小数点向右移动两位，其算术平方根向右移动一位及平方根的定义求解即可．【详解】解：

5.7134≈2.3903，±

≈±23.903，故选：．【点睛】本题主要考查算术平方根与平方根，解题的关键是掌握被开方数小数点向右移动两位，其

算术平方根向右移动一位和平方根的定义．8．实数、在数轴上的位置如图所示，且

b

，则化简2

(3的果是（）A．

B．

C．

．

A解析：【分析】根据数轴可得，b<0，然后根据加法法则可得a＋b＜，后根据平方根的性质和绝对值的性质及立方根化简即可．【详解】解：由数轴可得a>0，，|ab，＋＜，

2

(

3=

a)=2a故选A【点睛】此题考查的是平方根的化简和绝对值的化简及开立方根，掌握利用数轴判断各字母的符号、加法法则、平方根的性质和绝对值的性质是解题关键．9．和数轴上的点一一对应的数是（）A．自然数

B．理数

C．无理数

．数D解析：【分析】根据实数与数轴上的点是一一对应关系，即可得出．【详解】解：根据实数与数轴上的点是一一对应关系．故选：．【点睛】本题考查了实数与数轴的对应关系，任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．10．知无理数的数部分与5的数部分相同，它的整数部分与相同，则m为）

5

的整数部分A．

B．

C．

．

C解析：

xx【分析】先估算的围，再确定的整数部分与小数部分，进而可得答案【详解】解：因为2＜5＜，

，所以的数部分是，5

的整数部分为1，所以无理数m的数部分是1，小数部分是5，所以m

5．故选：．【点睛】本题考查了无理数的估算，正确估算的围，从而确定的数部分与小数部分是解题的关键．二、填题11．读下面的文字，解答题：无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如、2等而常用……或“”的表示方法都不够百分百准确；于是小刚用2来示2的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？事实上，小刚的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：因为4

5，2，所以，5的数部分为，小数部分为5也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．根据上述信息，请回答下列问题：（）的数部分是_，小数部分_______（）7也是夹在两个整数间的，可以表示为7，a

_____；（）40xy

，其中x是数，且

y

．求：的反数．1）（2）25；（【分析】（由3＜4可得答案；（由2＜＜3知12＜10+＜可求出ab的值据此求解可得；（得出即可得出xy从而得出结论【详解】解：（1）∵＜13＜16解析：1），；（）；）)

．【分析】（）＜＜可得答案；（）＜＜知12＜10+＜，可求出，的，据此求解可得；（）出2【详解】

40，可得出，，而得出结论．

解：（）9＜＜＜＜

的数分是3小数部分是13-3故答案为：；13-3．（）4＜＜，＜7＜1210+

7＜a=12，，故答案为：；（）：因为

4049，40所以640即240所以40的数部分为2，即

x

，y

)4040-8

10【点睛】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记估算无理数的大小．12．知a

的平方根是，是的整数部分，求

的平方根．分析】结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出abc的值进而得出答案【详解】解：：由题意得：2a−1=1解得：a=13a+b−1=4解得：因为＜＜所以c=8所以b﹣＋c＝2﹣18解析：【分析】结合平方根的定义以及估算无理数大小的方法得出a，，的，进而得出答案．【详解】解：：由题意，得：−1=1，解得：，3a+b−1=4，解得：，因为

＜＜

，所以c=8，所以﹣＋＝﹣＋＝9的方根是3故答案为：【点睛】本题考查了算术平方根的意义，平方根的意义，无理数的估算，熟练掌握算术平方根的意义、平方根的意义、夹逼法估算无理数的值是解答本题的关键．13．足﹣＜x＜6的所有整数的和_____2【分析】首先通过对和大小的

xx估算可得满足﹣＜x＜的所有整数进而对其求和可得答案【详解】解：﹣2＜﹣＜﹣12＜＜满足﹣＜＜的所有整数有﹣1012﹣＝故答案为：2【点睛】本题主解析：【分析】首先通过对和大小的估算，可得满足﹣＜＜6的有整数，进而对其求可得答案．【详解】解：﹣＜＜，＜6＜3，满﹣3＜＜6的所有整数有﹣1，1，，﹣2，故答案为：．【点睛】本题主要考查无理数大小的估算，比较简单，正确理解是解题的关键．14．

，

y

2

，且

xy

，则等______．或-5【析】先由绝对值和平方根的定义求得xy的值然后根据xy＜分类计算即可；【详解】∵∴∵xy＜0∴当x=2y=-3时x-y=2+3=5当x=-2y=3时x-y=-2-3=-5故答案为：或-解析：或5【分析】先由绝对值和平方根的定义求得x、的，后根据＜分类计算即可；【详解】，y

2

，

，

，＜0当x=2y=-3时，，当y=3时，，故答案为：或5【点睛】本题主要考查了平方根的定义、绝对值、有理数的减法，正确掌握知识点是解题的关键；15．实数，

，5，，0中无理数的个数是个．【分析】无理数就是无限不循环小数理解无理数的概念一定要同时理解有理数的概念有理数是整数与分数的统称即有限小数和无限循环小数是有理数而无限不循环小数是无理数由此即可判定选择项【详解】由无理数的定义可知解析【分析】

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【详解】由无理数的定义可知，

，5是理数．故答案为：2

．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有，π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数．16．们知道，同底数幂的法法则为：

a

a

m

（其中，，为正整数），类似地我们规定关于任意正整数，的种新运算：

h

，请根据这种新运算填空：若

，则

_____；

h

，那么hn)(2020)

（含n和k的数式表，其中n位整数）【分析】通过对所求式子变形然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题【详解】解：∵∴∵∴故答案是：【点睛】本题考查整式的混合运算化简求值新定义解答本题的关键是明确题意利用新运算求出所求的式子的值解析：

k

【分析】通过对所求式子变形，题．【详解】

然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本解：

(2)

243

(n)(2020)

kn2020．故答案是：

，k

n【点睛】本题考查整式的混合运算化简求值、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求的式子的值．．计算：1）8

2(2)

2323（）38

（1-2（2【分析】（原式去括号合并即可得到结果；（2）首先计算开方然后从左向右依次计算求出算式的值是多少即可【详解】解：（1）原式（2原式【点睛】此题主要考查了实数的运算要熟练掌握解解析：1）；2）

3【分析】（）式去括合并即可得到结果；（）先计算方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【详解】解：（）式

2（）式3【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．义一种新运“”规如：对于两个有理数a，b，b

，若x

，则x【分析】根据给定新运算的运算法则可以得到关于x的方程解方程即可得到解答【详解】解：由题意得：（）⊙(−2)=−1∴-2（-（-2）∴-8x+2=-1解之得：故答案为【点睛】本解析：

【分析】根据给定新运算的运算法则可以得到关于x的程，解方程即可得到解答．【详解】解：由题意得：）(−2)=，-2（）（-2），解之得：x

，故答案为

．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，通过阅读题目材料找出有关定义和运算法则并应用于新问题的解决是解题关键．19．数在轴上的位置如图所示，则

．

8【分析】先根据数轴的定义可得从而可得再计算算术平方根和立方根即可得【详解】由数轴的定义得：则所以故答案为：【点睛】本题考查了数轴算术平方根和立方根熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键解析：【分析】先根据数轴的定义可得4方根即可得．【详解】，由数轴的定义得：则，

，从而可得

2

，再计算算术平方根和立所以

，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴、算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根是解题关键．20．知是5的数部分，b是6的数部分．则ab2．【分析】由于由此找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间然后判断出所求的无理数的整数部分可得a小数部分让原数减去整数部分可得b代入求值即可【详解】解：∵是的整数部分故答案为：【点睛】此题主要考查了解析306【分析】由于

6，此找到所求的无理数哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的整数部分可得a，数部分让原数减去整数部可得b，入求值即可．【详解】解：2

2

6

22626

是

的整数部分a

2

36

9306故答案为：6【点睛】此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学

能力，夹法是算的一般方法，也是常用方法．估算出整数部分后，小数部=原数-整数部分．三、解题21．个四位正整数的千位百位、十位、个位上的数字分别为，，，果a2

，那么我们把这个四位正整数叫做进步数，例如四位正整数：因为，所以叫做进步数．（）四位正数中的最大“步数与最小“进的差；（）知一个位正整数的百位、个位上的数字分别是14，且这个四位正整数“进数，时，这个四位正整数能被7整，求这个四位正整数．解析：1）；（）．【分析】（）据进步的定义分别求出四位正整数中的最“进数与“进步数即可得解；（）据进步的定义可以推得所求数为1114、、、中某一个，再根据这个四位正整数能被7整除逐一对4个进行验证可以得解．【详解】解：（）进数的定义可知四位正整数中最大“进步数应是9999，又最高位不能为，所以四位正整数中的千位最小为0，所以四正整数中最小“进步”应该是，9999-1111=8888四正整数中的大进步数”与最小“进步数的为8888；（）已知可所求数的千位为1，十位为1-4中某个数字，所数为1114、、1144中某一个，这四位正整数被整除，由，，，1144=163×7+3可所求数为1134．【点睛】本题考查新定义下的实数规律探索，由材料归纳出新定义并应用于具体问题求解是解题关键．22．知x2

9

0

，

y3

，求x的．解析：或【分析】根据平方根和立方根的性质计算，得到x和y的值，再结合绝对值的性质计算，即可到答案．【详解】

x2

0

y当

x，，x=

4242当x

，

y，x=

．【点睛】本题考查了平方根、立方根、绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握平方根、立方根、绝对值的性质，从而完成求解．23．求若干个相同的不为的有理数的除法运算叫做除方，如

等。类比有理数的乘方，把以上两式分别记作

，

，读作2的括3次，

的括4次方。一般地，把

，读作的括次方。（）接写出算结果：2

，

，

；（）们知道有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，请尝试把有理数的除方运算转化为乘方运算，归纳如下：一个非零有理数的括次方等于（）算：

3

解析：1）

1；；2

；（）个倒数的

(n

次方；3）

．【分析】（）据题中新定义计算即可得到结果；（）纳总结到规律即可；（）用得出结论计算即可得到结果．【详解】解：（）据意，则

；

；1()(5))))22

；故答案为：

1；；2

；（）据题意则一个非零有理数的括次方等于这个数倒数的

(2)

次方；故答案为：这个数倒数的

(

次方；

（）

3

=

=

3=【点睛】此题考查了有理数的混合运算，以及新定义的运算法则，熟练掌握运算法则是解本题的关键．24．下列各式中的的（）

(2

；（）

(2x3

27解析：1）x或x

；（）

．【分析】（）当变形，利用平方根的定义即可解方程；（）当变形，利用立方根的定义即可解方程．【详解】解：（）

2两边乘以2得，

x2

，开平方得，

，即

或

，∴

或

；（）

(23

27移项得，

(2x3

，开立方得，

2

，解得，

．【点睛】本题考查的是利用平方根，立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的定义和等式的性质是解题的关键．25．下列各式中的x的．（）＝；（）（2x1）＝．解析：1）＝

；（2）＝﹣．【分析】（）变形为＝

，然后利用平方根的定义得到的；（）利用立根的定义得到2x﹣＝，然后解一次方程即可．

【详解】解：（）＝

＝

，x＝

；（）（2x1）＝，2x1＝

3

＝﹣3，x﹣．【点睛】本题考查了立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果x3=a，么叫的立方根．记作：也考查了平方根．26．是规定一种运算法则a*b=a－．（）2*5的为；（）（）*x=6，的值；解析：1）；（2．【分析】（）据新运的规则，把新运算转化成普通有理数的计算，再按有理数相关计算法则计算即可；（）据新运算的规则，把等式左边的新运算转化成普通有理数运算，从而把等式转化成一元一次方程，再解一元一次方程即可．【详解】（）ab=a

b5=

24；（）ab=

2

，−3)x=

x即

解此方程得：．【点睛】本题考察有关新运算的问题，首先要弄清把新运算转化为普通运算的规则，然后根据规则把新运算部分转化为普通运算，再按普通运算的相关计算法则计算即可．．读下面文字，解答问题：无理数是无限不循