高中数学人教A版1第三章空间向量与立体几何单元测试 全市获奖

第三章一、选择题1．设a、b、c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，则①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|其中正确的是eq\x(导学号33780723)()A．①② B．②③C．③④ D．②④[答案]D[解析]根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D.2．若a、b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的eq\x(导学号33780724)()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[答案]A[解析]a·b＝|a||b|⇒cos〈a，b〉＝1⇒〈a，b〉＝0°，即a与b共线，反之不成立，因为当a与b共线反向时，a·b＝－|a||b|.3．如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么eq\x(导学号33780725)()\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比较大小[答案]C[解析]∵eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2)＝0，eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|·cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(BC,\s\up6(→))|cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))|·|eq\o(CD,\s\up6(→))|cos120°<0.∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题①(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为60°.其中正确命题的个数是eq\x(导学号33780726)()A．1个 B．2个C．3个 D．0个[答案]B[解析]根据数量积的定义知：①②正确，eq\o(AD1,\s\up6(→))与eq\o(A1B,\s\up6(→))的夹角为120°，∴③不正确，故选B.5．已知|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b与a垂直，则a与b的夹角为eq\x(导学号33780727)()A．60° B．30°C．135° D．45°[答案]D[解析]∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a|·|b|·cos〈a，b〉＝1－1·eq\r(2)·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2).∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝45°.6．已知a、b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|eq\x(导学号33780728)()\r(7) B．eq\r(10)C．eq\r(13) D．4[答案]C[解析]|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos<a，b>＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝eq\r(13).二、填空题7．设|m|＝1，|n|＝2,2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则〈a，b〉＝\x(导学号33780729)[答案]0°[解析]∵(2m＋n)⊥(m－3n)∴(2m＋n)·(m－3n)＝0，化简得m·n又∵|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(4m－n2)＝eq\r(16＋4＋16)＝6，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(7m＋2n2)＝eq\r(49＋16－56)＝3，a·b＝(4m－n)·(7m＋2n)＝28|m|2－2|n|2＋m·所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(18,6×3)＝1，〈a，b〉＝0°.8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，则eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝\x(导学号33780730)[答案]a2[解析]eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(B1C,\s\up6(→))＝eq\o(A1B,\s\up6(→))·eq\o(A1D,\s\up6(→))＝|eq\o(A1B,\s\up6(→))|·|eq\o(A1D,\s\up6(→))|·cos〈eq\o(A1B,\s\up6(→))，eq\o(A1D,\s\up6(→))〉＝eq\r(2)a×eq\r(2)a×cos60°＝a2.三、解答题9．已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，求〈a，b〉.eq\x(导学号33780731)[解析](a＋3b)·(7a－5b＝7|a|2－15|b|2＋16a·b(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·解之得，|b|2＝2a·b＝|a|2∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(1,2)，∴〈a，b〉＝60°.10．已知向量a、b、c中每两个的夹角都是eq\f(π,3)，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，计算|a＋b＋c|.eq\x(导学号33780732)[解析]∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝eq\f(π,3)，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＋2|a|·|c|cos〈a，c〉＋2|b|·|c|cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.一、选择题1．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，则△BCD是eq\x(导学号33780733)()A．钝角三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．不确定[答案]B[解析]eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|2>0，∴cos∠CBD＝cos〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→)),|\o(BC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)>0，∴∠CBD为锐角，同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．2．正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，则EF的长是eq\x(导学号33780734)()A．2 B．eq\r(3)C．eq\r(5) D．eq\r(7)[答案]C[解析]如图所示，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.由题意知|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°.因为eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)a2＋eq\f(1,4)b2＋c2＋2(－eq\f(1,2)a·eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)b·c－eq\f(1,2)a·c)＝eq\f(1,4)×22＋eq\f(1,4)×22＋22＋2×(－eq\f(1,4))×2×2cos60°＝1＋1＋4－1＝5，所以|EF|＝eq\r(5).3．已知PA⊥平面ABC，垂足为A，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于eq\x(导学号33780735)()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144[答案]C[解析]∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(PC,\s\up6(→))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝12.4．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(BA1,\s\up6(→))与向量eq\o(AC,\s\up6(→))所成的角为eq\x(导学号33780736)()A．60° B．150°C．90° D．120°[答案]D[解析]由条件知，|eq\o(BA1,\s\up6(→))|＝eq\r(2)a，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(2)a，eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝－a2，∴cos〈eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(BA1,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(BA,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|)＝eq\f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq\f(1,2).∴向量eq\o(BA1,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))所成的角为120°，故选D.二、填空题5．已知|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，a·b＝－2，则〈a，b〉＝\x(导学号33780737)[答案]eq\f(3π,4)[解析]cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝－eq\f(\r(2),2)，∴〈a，b〉＝eq\f(3π,4).6．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA′,\s\up6(→))＝c，则eq\x(导学号33780738)(1)eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(DB′,\s\up6(→))＝________；cos〈eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(DB′,\s\up6(→))〉＝________；(2)eq\o(BD′,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝________.[答案](1)1eq\f(1,3)(2)1[解析](1)eq\o(AC′,\s\up6(→))·eq\o(DB′,\s\up6(→))＝(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝a2＋c2＋2a·c－b2|eq\o(AC′,\s\up6(→))|2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝3，∴|eq\o(AC′,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(DB′,\s\up6(→))|2＝(a－b＋c)2＝a2＋b2＋c2－2a·b＋2a·c－2b·c＝3，∴|eq\o(DB′,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，∴cos〈eq\o(AC′,\s\up6(→))，eq\o(DB′,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AC′,\s\up6(→))·\o(DB′,\s\up6(→)),|\o(AC′,\s\up6(→))|·|\o(DB′,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,3).(2)eq\o(BD′,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝(b＋c－a)·b＝|b|2＋b·c－b·a＝1.三、解答题7．如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长.eq\x(导学号33780739)[解析]∵eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|2＝(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))2＝|eq\o(PA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(DC,\s\up6(→))|2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))＋2eq\o(DC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝62＋42＋32＋2|eq\o(AD,\s\up6(→))||eq\o(DC,\s\up6(→))|cos120°＝61－12＝49.∴|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝7，即PC＝7.8．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求eq\o(A1C1,\s\up6(→))与eq\o(DE,\s\up