平面势流了解性学习

平面势流了解性学习第一页，共二十五页，2022年，8月28日二、无旋流动的速度势（函数）上式是使表达式uxdx+uydy+uzdz能成为某一函数(x,y,z)的全微分的必要和充分条件第二页，共二十五页，2022年，8月28日函数(x,y,z)称为速度势（函数），即无旋流的速度矢量是有势的。因此无旋运动（无涡流）又称为有势流动。上述关系式代入不可压缩流体连续性微分方程凡满足拉普拉斯方程的函数是调和函数，所以速度势是调和函数特征1特征2第三页，共二十五页，2022年，8月28日平面无旋流动或平面势流∵平面流动的旋转角速度只有分量ωz

∴ωz为零第四页，共二十五页，2022年，8月28日速度势的极坐标表达式第五页，共二十五页，2022年，8月28日三、流函数平面流动流线方程存在条件：不可压缩流体平面流动ψ(x，y)。第六页，共二十五页，2022年，8月28日流函数的极坐标表达式第七页，共二十五页，2022年，8月28日ωz为零特征1平面无旋流的流函数也满足拉普拉斯方程平面势流中，速度势函数和流函数均为调和函数特征2流函数的等值线是流线特征3任意两条流线间的流函数差值(ψ1–ψ2)，等于通过两条流线间的单宽流量q。第八页，共二十五页，2022年，8月28日四、流网及其特征流网（FlowNet）：不可压缩流体平面无旋流动中，流线簇与等势线簇构成的正交网格。1、流网的特征特征1等势线与等流函数线处处正交等势线簇：(x,y)=C等流线簇：(x,y)=C证明：第九页，共二十五页，2022年，8月28日特征2等势线簇的势函数值沿流线方向增加，而流线簇的流函数值则沿流线方向逆时针旋转90˚后所指的方向增加。——儒科夫斯基法则。

特征3流网中每一网格的相邻边长维持一定的比例若取δ

=

δψ，则δs=δn，此时流网网格为曲边正方形第十页，共二十五页，2022年，8月28日2、流网的绘制1）固体边界本身就是流线之一，等势线与边界正交。2）自由液面必是流线。3）根据流动的大致方向，按照事先选定的网格比例绘制出流线簇和等势线簇。3、流网的应用广泛用于理想不可压缩流体平面无旋流动中的速度场、压强场求解第十一页，共二十五页，2022年，8月28日五、几种简单的平面势流(1)等速均匀流若等速均匀流流速平行于x轴ψ=u

y

=u

x

若等速均匀流流速平行于y轴ψ=-

u

x

=u

y流场中各点的速度矢量皆相互平行，且大小相等的流动

第十二页，共二十五页，2022年，8月28日(2)源流和汇流流体从水平的无限平面内的一点O（即源点）流出，均匀地沿径向直线流向四周的流动称为源流

q为由源点沿z轴方向上，单位厚度所流出的流量，称为源流强度

第十三页，共二十五页，2022年，8月28日流体从四周沿径向均匀流入一点（汇点）的流动称为汇流

流入汇点的单位厚度流量称为汇流强度-q。

第十四页，共二十五页，2022年，8月28日(3)环流（或势涡流）各流体质点皆绕某一固定点O做匀速圆周运动，且速度与圆周半径成反比的流动称为环流

如图环流强度Г

，是不随圆周半径而变的常数，具有方向性。Г＞0时，为逆时针旋转；Г

＜0时，为顺时针旋转。

环流是圆周运动，但却不是有旋运动。第十五页，共二十五页，2022年，8月28日(4)直角内的流动设无旋运动的速度势为若设

=

a

(x2-

y2)则有ψ

=

2axy

此流动的流线是双曲线族。当ψ＞0时，x、y的符号相同，流线在I、III象限内；ψ＜0时，x、y的符号相反，流线在II、IV象限内。当ψ

=

0时，x=0或y=0，说明流线是坐标轴，称为零流线。原点处速度为零，称为驻点。若把零流线x、y轴的正值部分用固体壁面来代替，就得到直角内的流动；若把x轴用固体壁面代替，则表示垂直流向固体壁面的流动。

第十六页，共二十五页，2022年，8月28日六、势流叠加势流叠加原理：流速势可以进行叠加。当几个势流叠加后，其流动仍为势流。

=

1+

2

同理可证，叠加后的流函数等于原流动流函数的代数和意义：在工程实际中，常利用势流叠加原理解决一些较为复杂的势流问题第十七页，共二十五页，2022年，8月28日(1)等速均匀流与源流的叠加rOA(c)XY将与x轴正方向一致的等速均匀流和位于坐标原点的源流叠加等速均匀流与源流的叠加结果就相当于等速均匀来流绕半无限体的流动。这种方法的推广，是采用很多不同强度的源流，沿x轴排列，使它和匀速直线流叠加，形成和实际物体轮廓线完全一致或较为吻合的边界流线。这样无需进行费用巨大的实验，就能准确估计物体上游端（如桥墩、闸墩的前半部）的速度和压强分布。

第十八页，共二十五页，2022年，8月28日(2)源环流与汇环流将强度为q的源流和强度为Г的环流都放置在坐标原点上，使流体既作圆周运动，又作径向运动，称为源环流。源环流水在离心式水泵压水室（蜗壳）叶轮内的流动、空气在风机内的流动，均可看作源环流。水在水力涡轮机中的流动为汇环流。第十九页，共二十五页，2022年，8月28日(3)等强度源流和汇流的叠加——偶极流强度皆为q的源流和汇流，其源点和汇点分别置于(-a，0)和(a，0)两点上。在上述流动中，如果源点和汇点相互接近，即2a

→

0时（2aq=常数），所得到的就是偶极流。

第二十页，共二十五页，2022年，8月28日实际上，偶极流本身并无太大意义，但它与某些基本势流叠加，就可以得到有重大实际意义的流动的解。如偶极流与等速均匀流叠加可得到无环量圆柱绕流，偶极流与等速均匀流和势涡流的叠加可得到有环量的圆柱绕流等。第二十一页，共二十五页，2022年，8月28日[例]90°角域流的速度势和流函数已知:90°角域流的速度分布式为：u=kx,v=-ky（k为常数）。

求：（1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图；（2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；

解：（1）先计算速度旋度

上式中C为常数。速度势函数为说明流场是无旋的，存在速度势φ(x,y)，由（）式

(a)等势线方程为x2-y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如图中的虚线所示。第二十二页，共二十五页，2022年，8月28日（2）再计算速度散度

说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数Ψ(x,y)，由（）式

上式中C为常数，流函数为流线方程为xy=常数，在xy平面上是分别以x,y轴为渐近线的双曲线族，如图中的实线所示。x,y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正交。(b)第二十三页，共二十五页，2022年，8月28日[例]兰金半体绕流：均流+点源已知:位于原点的强度为Q（Q＞0）的点源与沿x方向速度为U的均流叠加成一平面流场。求：（1）流函数与速度势函数；（2）速度分布式；（3）流线方程；（4）画出零流线及部分流线图。解：（1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为（2）速度分布式为（3）流线方程为常数C取不同值代表不同的流线，其中零流线的一部分为该流场绕流物体的轮廓线。(a)(d)(c)(b)(e)第二十四页，共二十五页，2022年，8月28日通过驻点A（-b,0）的右半部分零流线由A点的流函数值决定

（