幂函数与方程

幂函数与方程第一页，共三十五页，2022年，8月28日自然对数的奥秘自然对数又称“双曲对数”。以超越数e＝1＋1/1!＋1/2!＋1/3!＋…＝2.71828…为底的对数。用记号“ln”表示。有自然对数表可查。

第二页，共三十五页，2022年，8月28日超越数：不能满足任何整系数代数方程的实数

超越数π

最先得出π≈3.14的是希腊的阿基米德（约公元前240年），最先给出π小数后面四位准确值的是希腊人托勒密（约公元前150年），最早算出π小数后七位准确值的是我国的祖冲之（约480年），1610年荷兰籍德数学家鲁道夫应用内接和外切正多边形计算π值，通过262边形计算π到35位小数，花费了毕生精力，1630年格林贝格利用斯涅耳的改进方法计算π值到39位小数，这是利用古典方法计算π值的最重要尝试。

值得提出的是，达什1824年生于汉堡，只活了短短的37年，便离开了人世，他是一个闪电般的计算者，是一位最了不起的人工计算者，他曾在54秒钟内便完成了两个8位数的乘法，在6分种内完成了两个20位数的乘法，在40分钟内完成了两个40位数的乘法；他曾在52分钟内算出一个100位数的平方根。达什的这种非凡的计算才能在他制作7位对数表和从7000000到10000000之间的数的因子表便得到了最有价值的充分的运用

π在科学中的应用是极为广泛的，但有时它的出现也会是意想不到的。例如，1777年，法国数学家布封做过一个“小针实验”：先在桌上铺一张带有平行横线的纸，相邻横线距离为2cm，再准备很多长为1cm的小针，然后将针随便地掷在纸上，掷完后，再将投掷次数除以针与平行线交叉的次数，却惊奇地发现：其所得值竟接近π！π，竟在一个与圆“无关”的问题中奇迹般地出现了。

第三页，共三十五页，2022年，8月28日第四页，共三十五页，2022年，8月28日e=:2.71828

182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407663035354759457138217852516642742746639193200305992181741359662904357290033429526059563073813232862794349076323382988075319525101901157383418793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544243710753907774499206955170276183860626133138458300075204493382656029760673711320070932870912744374704723069697720931014169283681902551510865746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688923009879312773617821542499922957635148220826989519366803318252886939849646510582093923982948879332036250944311730123819706841614039701983767932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125099618188159304169035159888851934580727386673858942287922849989208680582574927961048419844436346324496848756023362482704197862320900216099023530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642437814059271456354906130310720851038375051011574770417189861068739696552126715468895703503540212340784981933432106817012100562788023519303322474501585390473041995777709350366041699732972508868769664035557071622684471625607988265178713419512466520103059212366771943252786753985589448969709640975459185695638023637016211204774272283648961342251644507818244235294863637214174023889344124796357437026375529444833799801612549227850925778256209262264832627793338656648162772516401910590049164499828931505660472580277863186415519565324425869829469593080191529872117255634754639644791014590409058629849679128740687050489585867174798546677575732056812884592054133405392200011378630094556068816674001698420558040336379537645203040243225661352783695117788386387443966253224985065499588623428189970773327617178392803494650143455889707194258639877275471096295374152111513683506275260232648472870392076431005958411661205452970302364725492966693811513732275364509888903136020572481765851180630364428123149655070475102544650117272115551948668508003685322818315219600373562527944951582841882947876108526398139e的小数点后两千位第五页，共三十五页，2022年，8月28日☆两者的关系：指数函数与对数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称。函数y=(a＞0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.函数y=(a＞0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是（0,+∞）.1.定义第六页，共三十五页，2022年，8月28日反函数：一般地，如果x与y关于某种对应关系f（x）相对应，

y=f（x）。则y=f（x）的反函数为y=f^-1（x）。

【反函数的性质】

（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称；

（2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；

（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；

（4）一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f（x）=a（x=0）它的反函数是f（x）=0（x=a）这是一种极特殊的函数)，奇函数不一定存在反函数。关于y轴对称的函数一定没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。

（5）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。

（6）反函数是相互的

（7）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）

(8)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）

第七页，共三十五页，2022年，8月28日对数函数的运算1

第八页，共三十五页，2022年，8月28日yy＝2xy＝log2x1234567887654321-3-2-1-1-2-3互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称第九页，共三十五页，2022年，8月28日4

图象性质a>10<a<1指数函数yx0y=1(0,1)y=ax(a>1)x(0,1)y=10y=ax(0<a<1)定义域:值域:必过点：在R

上是在R

上是R(0,+∞)(0,1),即x=0

时,y=1

.增函数减函数当x<0时,0<y<1当x>0时,y>1当x>0时,0<y<1当x<0时,y>1第十页，共三十五页，2022年，8月28日

图象性质a>10<a<1对数函数x定义域:值域:必过点：在(0,+∞)上是在(0,+∞)上是R(0,+∞)(1,0),即x=1时,y=0.增函数减函数xyo(1,0)xyo（1,0)当0<x<1时，y<0;当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0;当x>1时，y>0第十一页，共三十五页，2022年，8月28日化、生授课体现性

质图象对数函数y=logax(a>0,a≠1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)(4)a>1时,x<0,0<y<1;x>0,y>1

0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1(4)a>1时,0<x<1,y<0;x>1,y>0

0<a<1时,0<x<1,y>0;x>1,y<0(5)a>1时,在R上是增函数；

0<a<1时,在R上是减函数(5)a>1时,在(0,+∞)是增函数；

0<a<1时,在(0,+∞)是减函数(3)过点(0,1),

即x=0时,y=1(3)过点(1,0),

即x=1时,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定义域：R(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a>1)y=ax

(0<a<1)xyo1y=logax(a>1)y=logax(0<a<1)xyo1指数函数对数函数的图象和性质返回第十二页，共三十五页，2022年，8月28日幂函数的概念形如

（x∈R）的函数称为幂函数,变量x的系数为1,指数α是一个常数,严格按这个标准来判断.例如：判别下列函数中有几个幂函数？①y=;②y=2;③y=+x;④y=-.解：①的底数是变量,指数是常数,因此①是幂函数;②的变量系数为2,因此不是幂函数;③的变量是和的形式,因此也不是幂函数;④的变量x3的系数为-1,因此不是幂函数.第十三页，共三十五页，2022年，8月28日1函数性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域值域奇偶性单调性特殊点图象分布第十四页，共三十五页，2022年，8月28日幂函数集中营1y=x函数性质y=xy=x2y=x3y=x-1定义域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇奇奇非奇非偶奇单调性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增特殊点(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)图象分布第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ、Ⅱ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第Ⅰ象限第Ⅰ、Ⅲ象限第十五页，共三十五页，2022年，8月28日幂函数y=的图像.1第十六页，共三十五页，2022年，8月28日幂函数y=的性质.

（1）所有的图形都通过（1，1）这点.(a≠0)

（2）当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。

（3）当a大于1时，幂函数图形下凸；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。

（4）当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。

（5）显然幂函数无界限。

（6）a=0,该函数为偶函数｛x|x≠0｝。第十七页，共三十五页，2022年，8月28日？你知道函数的凹凸性吗设f为定义在区间Ｉ上的函数，若对Ｉ上的任意两点Ｘ１，Ｘ２和任意的实数λ∈（０，１），总有则f称为Ｉ上的下凸函数（反之为上凸函数）.第十八页，共三十五页，2022年，8月28日神秘的等幂和问题第十九页，共三十五页，2022年，8月28日谜底揭开恒等式:第二十页，共三十五页，2022年，8月28日二次函数与一元二次方程第二十一页，共三十五页，2022年，8月28日反过来，也可利用二次函数的图象求一元二次方程的解。二次函数y=ax²+bx+cy=0一元二次方程ax²+bx+c=0两根为x1=m；x2=n则函数与x轴交点坐标为：（m，0）；（n，0）第二十二页，共三十五页，2022年，8月28日二次函数应用题第二十三页，共三十五页，2022年，8月28日问题2：

如图是某公园一圆形喷水池，水流在各方向沿形状相同的抛物线落下。建立如图所示的坐标系，如果喷头所在处A（0，1.25），水流路线最高处B（1，2.25），则该抛物线的表达式为。如果不考虑其他因素，那么水池的半径至少要____米，才能使喷出的水流不致落到池外。y=－(x-1)2+2.252.5Y

OxB(1,2.25)．(0,1.25)

A第二十四页，共三十五页，2022年，8月28日篮球中的二次函数篮球第二十五页，共三十五页，2022年，8月28日例1.如图，一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m,已知篮筐中心到地面的距离3.05m,问球出手时离地面多高时才能中？球的出手点A的横坐标为-2.5，将x=-2.5代入抛物线表达式得y=2.25,即当出手高度为2.25m时，才能投中。xy2.5m4m3.05ABCO3.5解：建立如图所示的直角坐标系，则球的最高点和球篮的坐标分别为B(0,3.5),C(1.5,3.05).3.5=c3.05=1.52a+c设所求的二次函数的表达式为y=ax2+c.

将点B和点C的坐标代入，得

解得a=-02c=3.5∴该抛物线的表达式为y=-0.2x2+3.5第二十六页，共三十五页，2022年，8月28日“二次函数应用”的思路1.理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出变量和常量之间的关系;4.解题求解;5.检验结果的合理性.实际问题抽象转化数学问题运用数学知识问题的解第二十七页，共三十五页，2022年，8月28日函数与简单逻辑第二十八页，共三十五页，2022年，8月28日[解析]第二十九页，共三十五页，2022年，8月28日再回首，知识是否依旧熟悉

集合的概念

一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合，简称集，其中各事物叫做集合的元素或简称元。如（1）阿Q正传中出现的不同汉字（2）全体英文大写字母。任何集合是它自身的子集.

元素与集合的关系：

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

第三十页，共三十五页，2022年，8月28日集合的分类:

并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并（集），记作A∪B（或B∪A），读作“A并B”（或“B并A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}

交集：以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交（集），记作A∩B（或B∩A），读作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}

无限集有限集第三十一页，共三十五页，