第十二章动态优化模型

第十二章动态优化模型

12.1速降线与短程线12.2生产计划的制定12.3国民收入的增长12.4渔船出海12.5赛跑的速度y12.1速降线与短程线5.最简泛函数极值的必要条件-----欧拉方程最简单的一类泛函：，其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点的二阶可微函数。

泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x(t)∈S取得极值，则x(t)满足欧拉方程：或用欧拉方程求解速降线问题。考察例二得：不含自变量，所以方程可写作：

等价于：作一次积分得：令则方程化为又因积分之，得由边界条件

，可知，故得这是摆线（园滚线）的参数方程，其中常数

可利用另一边界条件

来确定。

问题背景：12.2生产计划的制定

工厂与客户签订了一项在某时刻提交一定数量产品的合同，在制订生产计划时要考虑生产和贮存两种费用．生产费用通常取决于生产率(单依时间的产量)．生产率越高费用越大；贮存费用自然由已经生产出来的产品数量决定，数量越多费用越大．所谓生产计划这里简单地看作是到任一时刻为止的累积产量，它与每单体时间(如每天)的产量可以互相推算．建模目的是寻求最优的生产计划，使完成合同所需的总费用(生产与贮存费用之和)最小。问题假设问题分析模型建立12.3国民收入的增长问题背景

国民经济收入主要来自两个方面：轮廓大再生产的积累和满足人民生活需要的消费资金。如何安排积累和消费资金的不利使国民收入得到嘴快的增长，是一个重大的理论和实践问题，本节仅从最优控制的角度介绍一个十分简化的模型。模型建立模型评注12.4渔船出海

这一节继续讨论开发渔业资源的最大经济效益模型，与6.1节的不同之处是，这里用出海渔船的数量作为控制函数。事实上，捕渔业的具体做法是等渔场中鱼量增长到相当大的时候，才派出一定数量的渔船进行捕捞。于是我们的控制函数可以取与这种做法想适应的特殊形式，从而将本来属于动态优化模型的泛函极值问题简化为普通的函数极值问题。1、渔场数量x（t）的自然增长服从Logistic规律，单位时间内捕捞量与渔船数量u（t）和x（t）成正比，在捕捞条件下满足模型假设：(1)(2)(3)r，N同前，q是每只渔船单位时间（如每天）的捕捞率（相对于x而言）。u（t）视为连续变量，非整数部分理解为在部分时间内进行捕捞。2、出始时刻渔场鱼量（4）x（0）很小。在时间内不派渔船出海。以后出海渔船的数量保持常数U，即u（t）的形式为：（5）将（5）、（8）带入（6）式，目标范函变为U的函数，记作F（U），则（10）注意c,p,q,N的含义，可知无量纲量b是费用——价格比的下界（因为渔场鱼量取最大值N）。显然应该b〈1，否则成本高于售价。渔船不会出海。并且由（10）式可知，效益F（U）为正值的条件是1-qU/r-b〉0，或记作：（11）用微分法求出在条件（11）下F（U）下F（U）的最大点为（12）将（12）带入（9）式即得为渔船出海的最佳数量与时刻（13）

模型解释：按照经济学的观点。最优解应该在边际得益恰好等于边际损失时达到，成为边际解释。为了得到这种解释的表达式，考察单位时间的利润。当时，以（5）、（8）代入（14）得（14）与（10）比较可知F（U）又可表为（15）（16）容易算出对于最优解有故必满足

由此可对最优解