第二章本章优化总结

本章优化总结第二章函数知识体系构建专题归纳整合专题一求函数的值域(最值)例1

求函数y＝|x|＋1的最小值．【分析】

∵x∈R，有|x|≥0.【解】函数的定义域是R.∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1.∴函数y＝|x|＋1的最小值是1.2．配方法有关二次函数的值域或最值问题(函数值域端点值为函数最值)可用配方的方法．若函数定义域为R，则自变量取对称轴时函数值最大或最小；若函数定义域为某个区间[a，b],当对称轴x＝t在这个区间内，则求出f(a),f(b)，f(t)中最大者为最大值，最小者为最小值；当对称轴x＝t不在这个区间内，则只需比较f(a)与f(b),它们中大者为最大值，小者为最小值．

已知函数f(x)＝x2＋ax＋3在区间[－1,1]上的最小值m为－3，求实数a的取值范围．例2【思路总结】利用图像可以更清楚地看出何时取最小值．3．单调性法先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值．常用到下面的结论：①如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是增加的，在区间[b，c)上是减少的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)；②如果函数y＝f(x)在区间(a，b]上是减少的，在区间[b，c)上是增加的，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．例3【分析】先判断函数在(0，＋∞)的单调性再求最值．【思维总结】一般地在公共定义域内有增函数＋增函数仍为增函数．例4【误区警示】换元后要注意新元的范围，这是易忽略的地方．专题二函数的单调性与奇偶性的应用函数的单调性和奇偶性始终为高考的重点和热点，常见的应用有：(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于f(x)的方程，从而得到f(x)的解析式．(2)已知带有字母系数的函数的表达式及奇偶性参数，常常采用待定系数法，利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可求得字母的值．(3)奇函数⇔图像关于原点对称，偶函数⇔图像关于y轴对称，因此在关于原点对称的区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是递增的；(3)解不等式f(t－1)＋f(t)<0.【分析】由于0∈(－1,1)可借助f(0)＝0的条件，用单调性定义证明单调性．例5【思维总结】若x＝0在奇函数的定义域内，则必有f(0)＝0.本题(3)把f(t－1)＋f(t)表达式求出来是很麻烦的方法，故直接利用(2)的结论求解．专题三抽象函数的解题策略抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是高中数学中的一个难点，高考中经常出现关于抽象函数的试题．因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开．抽象函数问题一般是由所给的性质，讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性,或是求函数值、解析式等，主要处理方法是“赋值法”，通常是抓住函数特性，特别是定义域上恒等式，利用变量代换解题．

已知函数f(x)的定义域是R，且对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)成立，当x<0时，f(x)<0，f(－2)＝－4，求函数f(x)在[3,5]上的最大值与最小值．例6【分析】通过赋值法及有关概念，要挖掘出本题函数所隐含的性质:奇偶性、单调性.【解】令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0，∴f(－x)＝f(x)．∴函数f(x)为奇函数．设x1，x2∈R，且x1<x2，则x1－x2<0，于是f(x1－x2)<0，且f(x1)＝f((x1－x2)＋x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)<f(x2)．故f(x)为R上的增函数，从而f(x)在[3,5]上的最大值为f(5)，最小值为f(3)．由f(2)＝－f(－2)＝4.f(2)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝2，∴f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)＝6，f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＋f(3)＝10，即所求的最大值为10，最小值为6.【思维总结】证明奇函数，就是要从f(x＋y)＝f(x)＋f(y)恒成立中推出f(－x)＋f(x)＝0的结论．证明单调性:利用“x<0时，f(x)<0”来构造,f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]．如果y＝f(u)，u＝g(x)．则函数y＝f[g(x)]可看作y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，其单调性规律“同增异减”．【分析】函数f(x)是复合函数，利用法则“同增异减”来求单调区间．专题四复合函数单调性的判定例7【名师点睛】首先求定义域，单调区间是定义域的子集．专题集训2．(2012·合肥调研)集合A＝{a，b}，B＝{－1,0,1}，从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B有(

)A．2个 B．3个C．5个 D．8个解析：选B.f(a)f(b)f(a)＋f(b)0001－10－1103．(2012·铜州调研)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则m的取值范围是________．解析：f(x)＝(x－2)2＋1.如图，f(0)＝5.关于x＝2对称，f(4)＝5.∴m∈[2,4]．答案：[2,4]4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时，f(x)＝x2－2x＋m.(1)求m及f(－3)的值；(2)求f(x)的解析式并画出简图；(3)写出f(x)的单调区间(不用证明)．解：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，∴m＝0，