第6章-多维约束优化方法

第6章多维约束优化方法6.1随机方向法 976.2复合形法 996.3可行方向法 1046.3.1可行方向的产生方法 1046.3.2寻优策略 1056.3.3算法步骤 1076.4惩罚函数法 1106.4.1内点惩罚函数法 1116.4.2外点惩罚函数法 1146.4.3混合惩罚函数法 1166.5网格法 1186.6线性逼近法 1196.7广义简约梯度法 1226.8二次规划法 1256.9结构设计的优化准则法 126§6.0引言机械优化设计中的问题，大多数属于约束优化设计问题，其数学模型为根据求解方式的不同，可分为:直接解法，间接解法。

直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题，思路是在m个不等式约束条件所确定的可行域内，选择一个初始点，然后决定可行搜索方向S，且以适当的步长，沿d方向进行寻优，得到一个使目标函数值下降的可行的新点，即完成一次迭代。再以新点为起点，重复上述寻优过程，直至满足收敛条件。可行性：适用性：步长可行搜索方向

可行搜索方向：当设计点沿该方向作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。随机方向法、复合形法、可行方向法等

间接解法的基本思路是将约束优化问题通过一定形式的变换，转化为一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜索到原约束问题的最优点。罚函数法。等式约束优化问题的拉格朗日乘子法

极值点处：其中为待定系数，称为拉格朗日乘子。等同于以下无约束优化问题

例：增加一个斜坡，把碗底移动了多维有约束优化方法在求解约束优化问题时，虽然可以利用第三章的无约束优化方法，再加上约束的逻辑判断，使搜索点保持在可行域内逐步逼近约束极值点，但这样处理太复杂，缺乏严格的科学性。因此，出现了一些直接求解约束优化问题的方法，其基本思路也是数值迭代法。目前，约束优化方法虽然不如无约束优化方法那样多而完善，但对求解工程优化问题已有很多较好的方法。(1).直接解法

直接法包括：网格法、分层降维枚举法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。(2).间接解法

间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。对比无约束优化方法：

直接寻优：不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。间接寻优：须利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近似梯度的应用。§6-1随机方向法基本思想：利用计算机产生的随机数构成随机方向组，在可行域内沿该方向组中最好的方向进行寻优。属于直接解法。

一、随机方向的产生（random,ran）二、方法首先选定可行（在可行域内）初始点，利用随机函数构成随方向，按给定初始步长取得试探点，检查适用性（目标下降）和可行性，均满足则作为新起点，继续取试探点，否则重新产生随机方向，以最终成功点为起点，继续寻优。如M个试探方向均失败，则缩短步长继续。终止条件：步长足够小。流程图太复杂,须重画思路较清晰的寻找随机方向改进算法的程序流程简图寻找极值点的双向寻优改进算法程序流程简图

随机数的产生随机方向由列阵表示，其每个元素均应为正负几率相同随机数，否则不能保证寻优方向的随机特性。高级计算机语言均提供了产生随机数的函数，如VisualBasic语言为random、RND；Fortran语言为SEED(INTEGER(4)iseed)、random、rand；Matlib语言为rand、randn；C语言为randomize(void)、rand(void)、srand(unsigned)、random(int)。由于C语言的适用性、可移植性强，所以本文对TurboC随机数产生的实现提出相关技巧。TurboC产生随机数有两种方法：（１）由randomize(void)、rand(void)产生[0,32767]区间的随机整数。该方法产生的随机数与时钟有关，适合于两个随机数相差时间较长的情况，如集中给出随机数，则在当前计算机的运算速度下会产生相同的随机数。因此随机方向法不能采用这种方法产生随机数。（２）由srand(unsignedseed)、random(intnum)产生[0,num-1]区间的随机整数（该随机数与seed的数值有关），可用于随机方向法。方向列阵的元素不能都是大于零的，因此可由以下程序段产生[-50，50]区间内的随机数：srand(seed1);seed1+=57;seed1=seed1%10001;dum=random(101)-50;相关技巧为：以累加素数的方法保证每个随机数对应的seed均不同，为保证seed不超出unsigned数据类型的范围将其限制在一定范围之内，以减去中间值的方法保证随机数为正和为负的机率相同。最坏点：目标函数值最大的点；中心点：除去最坏点的复合形几何中心；映射点：最坏点相对于中心点的对称点或其拉近点；复合形的收缩：因映射系数不断减半，各顶点的距离逐渐缩短§6-2复合形法一、基本思想（摸鱼）通过对复合形各顶点的函数值计算与比较，找出坏点，反复进行坏点的映射与复合形的收缩，使之逐步逼近约束极值点。初始复合形：N+1~2N个随机可行点组成；单形替换法框图二、初始复合形的构成

随机产生，逐一调入可行域

三、复合形法的迭代步骤1初始复合形。计算各顶点函数值，确定坏点、次坏点、好点；2计算中心点X0，计算映射点，并检查是否在可行域内。若为非可行点，将映射系数缩半后改变映射点，直到映射点进入可行域内；3构成新的复合形计算映射点目标函数，并与坏点函数值相比较，若优于坏点，则替换，否则缩半映射系数。M次缩短后仍不优，则改用次坏点映射方向。4判断终止条件：四、特点（1）复合形法是求解约束非线性优化问题的一种直接方法，仅通过选取各顶点并比较各点处函数值的大小，就可寻找下一步的探索方向。但复合形各顶点的选择和替换，不仅要满足目标函数值下降的要求，还应当满足所有的约束条件。（2）复合形法适用于仅含不等式约束的问题。（3）沿映射方向进行一次有约束的一维寻优得到映射点可能会更好。(可行域为凸集)(单形替换法)五、例5-2

（1）取顶点数为2N=4，产生初始复合形的顶点并检验可行性，计算各点的目标函数值，确定好点、次坏点、坏点。

取映射因子α为1.3在可行域之外，取映射因子α为1.0上课之前用M语言画出该题的图示在可行域之外，取映射因子α为0.4#include<math.h>/*数学库*/#include<stdlib.h>/*标准输入输出库*/#include<time.h>/*时间库*/#defineK6/*复合形的顶点数*/#definee0.001/*以复合形大小判断收敛精度*/doublefun(doublex1[3]);/*三维优化问题目标函数*/inttj(doublexx[3]);/*检验可行点的子程序*/intcomplex();/*复合形法子程序*/voidini_complex();/*产生初始复合形的子程序*/main()/*主函数*/{doublea[3]={-100,-200,-30},b[3]={1,3,5};/*设计变量的上下界{82,82,10},b[3]={220,210,50}*/doublezj[6][3];/*复合形顶点坐标*/doublexc[3],y=0;/*最优点（中心点），最优解*/inti,k,k1;/**/time_tt;srand((unsigned)time(&t));/*显示时间*/for(i=1;;i++){ini_complex(a,b,zj);/*产生初始复合形*/if(complex(zj,xc,y)){printf("\n最优点坐标：x1=%12.5ex2=%12.5ex3=%12.5e\n最优解为%12.5e\n",xc[0],xc[1],xc[2],y);exit(0);}else{printf("\n第%d次重新产生初始复合形\n",i);}}}/*结束主程序*//*产生初始复合形的子程序*/voidini_complex(a,b,zj)/*上界，下界，各顶点坐标*/doublea[3],b[3],zj[6][3];{doublex[6][3],s[3];/*初始复合形顶点坐标(只保证其一可行);顶点坐标之和*/doublebkx[6][3],xd[3];/*形成的初始复合形中不可行的顶点坐标,其中所有可行点的中心点坐标*/intq=1,m=0,i,k,k1;/*可行点数,不可行点数*/time_tt;srand((unsigned)time(&t));/*显示时间*/cx:for(i=0;i<3;i++)x[0][i]=a[i]+rand()*(b[i]-a[i])/32767;/*产生随机点*/if(!tj(x[0]))gotocx;/*如果不在可行域，则重新产生*/for(i=0;i<3;i++)zj[0][i]=x[0][i];/*zj数组用来存放满足条件的复合形的顶点，后同．*/for(k=1;k<K;k++)/*随机产生其它顶点*/{for(i=0;i<3;i++)x[k][i]=a[i]+rand()*(b[i]-a[i])/32767;}for(i=0;i<3;i++)s[i]=x[0][i];q=1;m=0;/*可行点数、不可行点数*/for(k=1;k<K;k++){if(tj(x[k]))/*如果第k个顶点在可行域*/{for(i=0;i<3;i++){zj[q][i]=x[k][i];/*顶点*/s[i]=s[i]+x[k][i];/*顶点坐标和*/}q=q+1;/*可行点的数目+1*/}else {bkx[m][i]=x[k][i];m=m+1;}/**/}/*随机产生的顶点中，有(q)个可行点，其坐标保存于zj[][]；有m个不可行点，其坐标保存于bkx[][]*/for(i=0;i<3;i++)xd[i]=s[i]/(q+0.0);/*初始复合形中所有可行点的中心点坐标*/for(k1=0;k1<K-q;k1++)/*采用与中心点距离减半法，将不可行点拉进可行域*/{cl:for(i=0;i<3;i++)bkx[k1][i]=xd[i]+0.5*(bkx[k1][i]-xd[i]);if(!tj(bkx[k1]))gotocl;/*如果仍不可行，则继续拉近*/for(i=0;i<3;i++){zj[q][i]=bkx[k1][i];q=q+1;}/*zj[][]保存可行点的坐标*/}return;}/*结束产生初始复合形的子程序*/映射系数法一维寻优法复合形法的改进（1）当沿映射方向：最坏点中心点寻优时，如最优点为最坏点，则最坏点在非凸性约束边界上，须令该最坏点向最好点靠拢，移动距离为两点间距离的一半。可反复按以下公式修正，直至最坏点为可行点。（2）当约束边界为直线时，易造成复合形两条或两条以上的棱线重合或接近于重合，这种情况也是复合形降维的原因之一。须在必要时移动新顶点，使复合形保持维数不变。为避免三点共线的情况，可在更新复合形之后逐个比较顶点间连线，适当地移动复合形顶点，使同一顶点处的相邻棱线保持一定的角度。设三点序号为1、2、3，点1与点2的连线表示为s1、点1与点3的连线表示为s2、点3移动的方向为s3。如果方向s1、s2平行，则满足式（6.2-2）。

§6-3可行方向法可行方向法是求解大型约束优化问题的主要方法之一。这种方法的基本原理是在可行域内选择一个初始点，当确定了一个可行方向S和适当的步长后，按式:进行迭代计算，迭代点具有可行性和适用性。在不断调整可行方向的过程中，使迭代点逐步逼近约束极值点。一、基本寻优过程

第一步迭代都是从可行的初始点出发，沿该点的负梯度方向，第二步寻优至某一个约束面（只有一个起作用的约束时）上,或约束面的交集（有几个起作用的约束时）上。第三步按以下三个策略寻优。沿非线性约束面的搜索：一般是沿着起作用约束的边界以割线方式逐步逼近极值点。寻优策略一：当前点在约束面上，则产生一个可行方向寻优，得到新点在可行域内，则命名为当前点。寻优策略二：若得到的新点在可行域外，则取可行方向与约束面的交点为当前点。寻优策略三：沿约束面搜索。非线性约束面须将进入非可行域内的新点设法调整到约束面上，即沿约束函数的梯度方向。假设约束函数线性，则步长估计为二、适用可行方向的数学条件

可行方向是指沿该方向作微小移动后，所得到的新点是可行点，且目标函数值有所下降。

可行方向Ｓ应满足两个条件：1）可行性条件2)适用性条件下降可行性条件：沿该方向做微小移动后，所得到的新点为可行点。SS满足可行和下降条件，即式:在点x(k)

，约束曲面的切线和目标函数等值线的切线所围成的扇形区，称为可行下降方向区。三、可行方向的产生方法满足可行、下降条件的方向位于可行下降扇形区内，在扇形区内寻找一个最有利的方向作为本次寻优的方向。（1）负梯度方向

（2）优选方向法

由条件：求一个以寻优方向S为设计变量的约束优化问题

s.t.将约束３作为探测点的调整依据，则各函数均为设计变量S的线性函数，因此寻优方向的确定成为一个（线性）规划问题。（３）梯度投影法

当x(k)点目标函数的负梯度方向不满足可行条件时，可将方向投影到约束面（或约束面的交集）上，得到投影向量

Sk。P——投影算子，为n×n阶矩阵

G——起作用约束函数的梯度矩阵，n×J阶矩阵；

x(k)S(k)g1(x)=0g2(x)=0g3(x)=0g4(x)=0四、步长的确定(确定寻优点之后)确定的步长应使新的迭代点为可行点，且目标函数具有最大的下降量。——约束一维搜索1）取最优步长从x(k)点出发，沿S(k)

方向进行一维寻优，取得最优步长，计算新点x的值。2）取到约束边界的最大步长

从x(k)

点出发，沿S(k)

方向进行一维寻优，得到的新点x为不可行点。

改变步长，使新点x返回到约束面上来。使新点x恰好位于约束面上的步长称为最大步长。调整探测点至可行域之内的改进算法流程简图约束一维搜索：与以前所讲过的一维搜索相比，约束一维搜索的特点在于：确定初始区间时，对产生的每一个探测点都进行可行性判断，如违反了某个或某些约束条件，就必须减少步长因子，以使新的探测点落在最近的一个约束曲面上或约束曲面的一个容许的区间内。0x1x2x(k)S(k)xk+1g2(x)=0g1(x)=0a*S

(k)aMS

(k)x如得到的相邻三个探测点都是可行点，而且函数值呈“大－小－大”变化，则与前面一维搜索相同，两端点所决定的区间就是初始区间，接着缩小区间的到一维最小点。如最后得到的探测点落在约束曲面的一个容限之内，而且函数值比前一点的小，则该点就是一维极小点。f(a1)f(a2)f(a1)f(a2)a1

a1

a2a0a0

a2f(a’3)f(a’3)a’3a’3f(a3)f(a3)a3a31）设计点x(k)

及约束允差满足五、收敛条件2）设计点x(k)

满足库恩-塔克条件基于盲人探路寻优思想的可行方向法程序框图例题5-3：用可行方向法求约束优化问题解:(1)取初始点，则起作用约束集:Jk={1}(2)寻找最优方向，即解一个以可行方向为设计变量的规划问题：1s1s2用图解法：最优方向：0--11

(3)沿S

(0)方向进行一维寻优：x(1)在约束边界g3(x)=0上:g3(x(1))=0(4)第二次迭代，用梯度投影法确定可行方向迭代点x的目标函数负梯度不满足方向的可行条件，将投影到约束边界g3(x)=0上。投影算子：由上式可求得：本次寻优方向S(1)为沿约束边界g3(x)=0的方向，求最佳步长求得：g5(x)=068x1x2g4(x)=0g3(x)=0g2(x)=0g1(x)=0x(0)S(0)（5）收敛精度判断：由于Jk={3，5}代入KKT条件：可见满足KKT条件，是优化问题的极值点。由于目标函数是凸函数，可行域是凸集，该点也是优化问题的全局极值点。§6-4惩罚函数法前述方法为直接法，本节为间接法，将约束优化问题转化为无约束优化问题来求解。

（1）惩罚函数法的基本思想：在原目标函数中，按照一定规则，添加一些与约束函数相关的项，形成一系列新的目标函数（即惩罚函数）。然后用无约束优化方法依次求新目标函数的最优点。获得的序列最优点收敛于原约束优化问题的极值点。（2）构成的新目标函数，称为惩罚函数。前提：一是不能破坏约束问题的约束条件，二是使它归结到原约束问题的同一最优点上去。一般形式为：按一定的法则构成序列罚因子r1

和r2

的值，得到序列无约束优化问题，依次求得序列无约束问题的最优点，则序列最优点收敛于原约束优化问题的极值点。从而有（3）惩罚项必须具有以下极限性质：

根据惩罚项的不同构成形式，惩罚函数法又可分为外点惩罚函数法、内点惩罚函数法和混合惩罚函数法。6.4.1内点法：将惩罚函数定义于可行域内，序列最优点在可行域内逐步逼近约束边界上的极值点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。惩罚函数的形式：或：rk是惩罚因子，一个递减并趋近于0的正数序列，即:迭代过程中“障碍项”的作用是阻止迭代点越出可行域。当迭代点靠近某一约束边界时，其值趋近于0，而“障碍项”的值陡然增加，并趋近于无穷大，好像在可行域的边界上垒起了一道“高墙”，使迭代点不能越出可行域。只有当惩罚因子时，才能求得约束边界上的最优点

流程图：核心为无约束优化方法(5)例5-3用内点法求的约束极值点。解:用内点法求解该问题时，首先构造内点惩罚函数:用解析法求函数的极小值，运用极值条件：

即：由图可见,在可行域内,x1随着r的减小而减小.当x2=0时,目标函数值随着x1的减小而减小.

当r0时,惩罚函数的最优点趋近于原目标函数的极值点[1,0]x1x2（6）、1）

初始点x0的选取使用内点法时，初始点应选择一个离约束边界较远的可行点。如太靠近某一约束边界，构造的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约束优化问题发生困难.2）

惩罚因子初值r(0)的选取惩罚因子的初值应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。一般而言，太大，将增加迭代次数；太小，会使惩罚函数的性态变坏，甚至难以收敛到极值点。无一般性的有效方法。对于不同的问题，都要经过多次试算，才能决定一个适当

r(0)

3)惩罚因子的缩减系数c的选取在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为:式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范围在0.1~0.7之间。

4)收敛条件(7)算法步骤①选择可行域内初始点。②选取初始罚因子r、罚因子缩减系数c=0.1-0.5，K＝0。

③求罚函数最优点，。④按终止准则判别，如满足则输出最优解。⑤。⑥转至3防越界可随r的减小而增大1、惩罚因子初始值以原目标函数和罚函数的数值相等为原则设置，有一定局限性（例题*1000才可以）2、如不采用加高围墙的防越界方法，则须调整he1e2随r变小等一些措施，碰巧才能求得约束最优点。3、按给定的低精度，不采用加固围墙的方法则越界，采用该方法能寻得最优点，但是提高精度则出现计算失败的现象。如何修补程序的漏洞使之适合于高精度求优？#include<stdio.h>#include<math.h>intK=0;/*调用目标函数次数*/voidmain();/*主程序*/voidsumt();/*内点惩罚函数法子程序*/voidpower();/*鲍威尔法子程序*/voidJT();/*进退法确定极值点所在区间*/intGolden();/*黄金分割法子程序*/doublefunc();/*计算惩罚函数值*/doublefunc0();/*原目标函数值*/intgau();/*约束函数的函数*/voidmain(){intn=2;/*维数*/doublex0[2];/*初始点,返回最优点*/doubley[1],h;/*最优解,初始步长*/doublee1,e2,e3;/*收敛精度值:一维寻优,POWELL法*/doubleg[3];x0[0]=-3;x0[1]=3;/*可行点*/e1=1.0e-5;e2=1.0e-5;e3=1.0e-5;h=0.1;sumt(n,x0,e1,e2,e3,h,y);/*维数，初始点(返回最优点),一维、Powell收敛精度值,进退法初始步长，最优解*/printf(“……);}voidsumt(n,x0,e1,e2,e3,h,y)/*内点惩罚函数法子程序*/intn;/*维数*/doublex0[2];/*初始点,返回最优点*/doubley[1];/*最优解*/doublee1,e2,e3;/*收敛精度值:一维寻优,POWELL法,惩罚函数法*/doubleh;/*进退法初始步长*/{inti,k;doublexl[2];/*存储初始点*/doubler,c=0.1;/*惩罚因子及其递减系数*/doubleg[3];/*约束函数的函数值*/doublef,f0,dum;/*寻优解，初始解，临时变量*/f0=func0(x0[0],x0[1]);/*初始点目标函数值*/y[0]=f0;gau(x0[0],x0[1],g);

r=fabs(f0*(g[0]+g[1]+g[2]));/*初始惩罚因子避免被零除*/if(r<1)r=1;/*避免初始罚因子过小*/for(k=1;;k++){xl[0]=x0[0];xl[1]=x0[1];power(n,x0,e1,e2,h,y,r);/*Powell法，维数，初始点，两个精度，进退法步长，最优解，惩罚因子*/h=h*c;/*一维寻优的步长也递减,减小越界的幅度*/f=func0(x0[0],x0[1]);/*寻优点目标函数值*/dum=fabs(f-f0);if(fabs(f0)>1)dum=dum/fabs(f0);

if(k>6&&dum<e3)/*k>100*/{y[0]=f;return;}/*x0[2]返回最优点*y返回最优解*/r=c*r;/*更新惩罚因子*/f0=f;}/*计算循环*/}/*结束内点惩罚函数法子程序*/§6-4.2外点惩罚函数法

外点法是从可行域的外部构造一个点序列去逼近原约束问题的极值点。外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。

外点惩罚函数的形式为：

r是惩罚因子,惩罚项的作用是迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。由惩罚项的形式可知，当迭代点x

不可行时，惩罚项的值大于0。加惩罚项就象在边界外堆土堆一样，越堆越高。注意如极值点不在边界上，离极值点太远的初始点不合适。（1）如极值点在边界上，则序列最优点在非可行域一侧。（2）初始点无特殊要求。（3）初始罚因子不宜太大，也不宜跟初始点有关，可针对不同约束设置不同的值，设置原则是“首次起作用时，在边界外某段距离处，惩罚项的值与目标函数的值相当”。（4）惩罚因子的递增系数可设置在5~10范围内。

例5-4用外点法求解下列有约束优化问题解：惩罚函数为：

求偏导，得

无约束目标函数极小化问题的极值点系列为：当惩罚因子渐增时，由下表可看出收敛情况。r0.01-0.80975-50.00000-24.9650-49.99770.1-0.45969-5.00000-2.2344-4.947410.23607-0.500000.96310.1295100.83216-0.050002.30682.000110000.99800-0.000502.66242.6582∞108/38/3内点法与外点法的比较惩罚项罚因子初始点寻得边界最优点内点法域内(边界内侧)垒墙递减必须域内在域内逼近外点法域外(边界外侧堆土堆)递增可域内，也可域外在域外逼近内点法适用于只含不等式约束的优化问题，外点法还可含等式约束§6-4.3混合惩罚函数法在可行域外侧、内侧均设置惩罚项

：例5-5等式约束起到降维的作用。渐近寻优惩罚函数法具有渐进寻优的特点，对于约束边界与目标函数等值线接近于平行的优化问题，也可以取得较好的寻优效果。该类优化问题的边界极值点，称为畸形极值点。改进随机方向法的计算结果基于盲人探路优化思想的复合形法加固围墙的内点惩罚函数法和外点惩罚函数法§6-5网格法1基本思想(Meshmethod)网格法是直接在设计变量的可行域内，有规律地取一系列点，如分布网格，取网格上下的结点，求这些点的目标函数值，找出其中较小的点，作为第一次优化点；然后在第一次迭代优化点附近，取一定的范围，再细分网格，计算网格结点的目标函数值，进行比较，找出第二次迭代的优化点，这样一直迭代下去，直到满足精度要求为止［7（如图7）。］李兵.基于网格法的汽车转向梯形机构的优化设计(Optimumdesignofautomobilesteeringtrapeziumusingmeshmethod).机械工程师,2005年第8期2迭代步骤（1）在变量的可行域内分布网格，网格的间隔为（2）计算网格的结点（3）逐点检查网格结点是否符合约束条件，对符合约束条件的点，计算其目标函数值，然后进行比较，找出函数值最小的点，为本次迭代的最优点。（4）迭代终止精度指标；（5）如不满足精度指标，则在本次迭代最优点附近，取下次迭代的变量的上、下限。然后转到第一步，分布网格，重新计算。基于网格法的汽车转向梯形机构的优化设计《机械工程师》2005年第8期OptimumDesignofAutomobileSteeringTrapeziumUsingMeshMethod关键词：网格法,转向梯形,优化设计作者：李兵概述：介绍了网格法的基本原理,建立了用于汽车转向梯形机构优化设计的数学模型,并运用此数学模型对BJ130型汽车的转向梯形机构进行了优化设计.§6-6线性逼近法在某个近似点处，将约束函数和目标函数进行泰勒展开，只保留一次项，从而转化为线性规划问题。求解该线性规划，并将其极值点作为原问题新的近似点。然后再在该近似点处展开。重复至相邻两次极值点足够接近为止。

§6-7广义简约梯度法

用来求解具有非线性等式约束和变量界限约束的优化问题。设法处理约束函数，将原问题转化成仅具有变量边界约束的优化问题。§6-8二次规划法（逼近）

将原问题转化为一系列二次规划问题。求子问题得到本次迭代的搜索方向，沿搜索方向寻优，最终逼近问题的极值点。该算法是利用拟牛顿法（变尺度法）来近似构造海赛矩阵，从而建立二次规划子问题的。补充选讲材料5.3序列二次规划法序列二次规划法的基本原理是将原问题转化为一系列二次规划子问题。

对于相对应的拉格朗日函数为：在xk点作泰勒展开，取二次近似表达式令拉格朗日函数的一阶导数为

，H(k)用变尺度矩阵Bk来代替

将等式约束函数在xk作泰勒展开，取线性近似式:构成二次规划子问题

求解上述二次规划子问题，得到的d就是搜索方向。沿搜索方向进行一维搜索确定步长，最终得到原问题的最优点。

对具有不等式约束的非线性规划问题：构成二次规划子问题为:

求解时，在每次迭代中应对不等式约束进行判断，保留其中的起作用约束，除掉不起作用的约束，将起作用的约束纳入等式约束中。这样，其中不等式约束的子问题和只具有等式约束的子问题保持了一致。

§6-9结构设计的优化准则法通常是在保证性能约束条件下，满足结构体积尽量小以减轻重量或节约材料。其性能约束一般是取结构固有频率禁区约束、振型约束、结构变形或许用应力约束。直接从结构力学出发，以满应力设计和同步失效准则为原则进行设计，称为准则法。以极大值原理为基础，基于结构弹性力学模型和泛函极值的求解方法，为形状优化及拓扑及布局优化。若杆件截面积为A、轴向受力为S、杆长为l、许用应力为[σ]，则优化问题为：等式约束可唯一确定设计变量总结1、掌握直接解法和间接解法的思想；2、掌握随机方向法、复合形法、可行方向法、网格法、三种惩罚函数法的寻优思想；3、围墙土堆法的三种惩罚项构成及寻优步骤；4、编程：外点惩罚函数法。加一个等式约束figure;%B卷试题6[x1,x2]=meshgrid(-5:0.1:12,-6:0.1:6);z=x1.^3+x2.^3-2*x1-4*x2+6;%v=[10