第14章拉氏变换

第14章拉普拉斯变换14.1拉普拉斯变换14.2常用函数的拉普拉斯变换14.3拉普拉斯变换的基本性质14.5复频域中的电路定律、电路元件与模型14.6拉普拉斯变换法分析电路14.7网络函数14.8网络函数的极点和零点14.4拉普拉斯反变换本章重点本章重点.常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的基本性质.复频域中的电路定律.运算阻抗和运算导纳.拉普拉斯变换法分析电路的动态响应.网络函数.14.1拉普拉斯变换的定义

拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称运算法。1.拉氏变换法例一些常用的变换对数变换乘法运算变换为加法运算相量法时域的正弦运算变换为复数运算拉氏变换F(s)(频域象函数)对应f(t)(时域原函数)2、拉氏变换(Laplacetransformation)的定义象函数(transformfunction)F(s)原函数(originalfunction)f(t)t[0,)时域(timedomain)复频域(complexfrequencydomain)复频率(complexfrequency)拉氏变换对(Laplacepairs)一一对应记号L[f(t)]表示取拉氏变换L-1[F(s)]表示取拉氏反变换定义式(Laplacetransformation)(inverseLaplacetransformation)注意

积分域积分下限从0

开始，称为0

拉氏变换。积分下限从0+

开始，称为0

+

拉氏变换。今后讨论的均为0

拉氏变换。[0,0＋]区间f(t)=(t)时此项

0象函数F(s)

存在的条件：如果存在有限常数M和c

使函数f(t)满足：

则f(t)的拉氏变换式F(s)总存在，因为总可以找到一个合适的s

值使上式积分为有限值。下页上页象函数F(s)

用大写字母表示,如I(s)，U(s)原函数f(t)

用小写字母表示，如i(t),u(t)返回=114.2常用函数的拉普拉斯变换14.3

拉普拉斯变换的基本性质一、线性(linearity)性质证

根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。结论例1例2例3二、原函数的微分(differentiation)例1例2三、原函数的积分(integration)例四、时域平移(timeshift)f(t)(t-t0)tt00tf(t-t0)(t-t0)t00f(t)(t)t0f(t)(t)f(t-t0)(t-t0)平移f(t)(t-t0)不是平移例1求图示函数的拉氏变换式例2求图示函数的拉氏变换式1Ttf(t)0TTf(t)0五、复频域平移(frequencyshift)例1例2例3六、尺度特性七、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理初值定理若L[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，则终值定理f(t)及其导数f(t)可进行拉氏变换，且例1例2例3返回目录14.4拉普拉斯反变换一、由象函数求原函数(1)利用公式(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表象函数的一般形式：二、将F(s)进行部分分式展开(partial-fractionexpansion)f(t)=L-1[F(s)]较麻烦等式两边同乘(s-s1)=0ki也可用分解定理求等式两边同乘(s-si)，应用洛比达法则求极限例1例2用分解定理例3m>n，用长除法，得k1,k2也是一对共轭复数假设只有两个根可据前面介绍的两种方法求出k1,k2设例法一：部分分式展开，求系数法二：将F2(s)改写为(s＋)2+2等式两边乘例1例2等式两边乘一般多重根情况返回目录一、电路元件的运算形式(operatorform)电阻Ru=Ri14.5复频域中的电路定律、电路元件与模型+u-i(t)R+U(s)

-I(s)R取拉氏变换电感LiL+

uL

-L+

-sLUL(s)IL(s)-+取拉氏变换sL+

-UL(s)IL(s)电容C+uC

-iCIC(s)1/sCuC(0-)/sUC(s)+--+

1/sCCuC(0-)IC(s)UC(s)-+取拉氏变换互感M取拉氏变换ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s)-+-I1(s)sL1sL2sM+-++--U1(s)I2(s)+-受控源+-U1(s)+-

RI1(s)U1(s)+-U2(s)+u1-+u2-Ri1u1+-二、电路定律的运算形式+u-iRLC设电路无初始储能+U(s)-I(s)RsL1/sC运算形式的欧姆定律运算阻抗(operationalimpedance)运算导纳(operationaladmittance三、运算电路模型1.电压、电流用象函数形式2.元件用运算阻抗或运算导纳3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示时域电路RRLCi1i2E(t)+-运算电路RRsL1/sCI1(s)I2(s)E/s+-uC(0-)=25ViL(0-)=5A时域电路t=0时打开开关例52F2010100.5H50V+-uC+

-iL换路后运算电路0.5sUC(s)20-++1/2s25/s2.55IL(s)+--解返回目录14.6拉普拉斯变换法分析电路步骤1.由换路前电路计算uC(0-),iL(0-)；2.画运算电路模型；3.应用电路分析方法求出待求变量的象函数；4.反变换求原函数。t=0时闭合S，求iL，uL。例1200V300.1H10-uC+1000FiL+-uL+-S(2)画运算电路200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---解200/s300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---(4)反变换求原函数校核初值和终值要考虑初值思考：uL是哪两端的电压？200/s

300.1s0.5101000/s100/sI1(s)I2(s)+++---UL(s)+-例2求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC(t)

。RCuC(t)iC+-R1/sCUC(s)1IC(s)+-tuC(V)0tiC返回目录14.7

网络函数(networkfunction)一、定义单个独立源作用的线性网络零状态e(t)r(t)E(s)R(s)(转移函数(transferfunction)RC+_+_uS例uCR1/sC+_+_US(s)UC(s)网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；网络函数是实系数的有理函数。1.驱动点函数驱动点阻抗驱动点导纳2.转移函数(传递函数)转移导纳转移阻抗转移电压比转移电流比二、网络函数的具体形式U(s)I(s)+-U2(s)I2(s)U1(s)I1(s)+-+-三、单位冲激响应与网络函数的关系零状态(t)h(t)e(t)r(t)若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励e(t)产生的响应r(t)可求。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对返回目录14.8网络函数的极点(pole)和零点(zero)一、复频率平面j在复平面上用“”表示极点，用“。”表示零点。极点。零点j。2-3例绘出其极零点图(pole-zerodiagram)-1j-j0二、极点分布与冲激响应的关系H(s)在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对j极点的位置决定冲激响应的波形极点和零点共同决定冲激响应的的幅值网络函数极点的位置决定了系统的稳定性(stability)

全部极点在s

左半平面的电路动态响应是稳定的；有位于s