气体分子动理论2

气体分子统计分布率§1、统计方法简介§2、麦克斯韦分布律§3、玻耳兹曼分布律§4、能量均分定理12、伽尔顿板实验:一、实例1、掷骰子实验:A伽尔顿板实验所得分布曲线统计规律是自然界中广泛存在的普遍规律§1、统计方法简介二、概率及统计规律大量热运动分子组成的宏观物体系统，在一定宏观条件下系统所处的微观状态都是随机的，但每个随机事件出现的概率却是一定的，取值与随机事件一一对应的任何量的统计平均值也是一定的。这种规律性称之为统计规律性.一定条件下，系列可能发生的事件中发生某一事件的可能性概率N次实验,出现Ai的次数Ni三、概率的基本性质1、加法法则2、乘法法则互不相容事件互相独立事件应满足归一化条件某一物理量p的宏观量是相应微观量pi

的统计平均值统计分布的最直接应用就是求平均值。3、概率归一化4、平均值§2、麦克斯韦分布律温度公式：温度T

一定时,大量分子的方均根速率是确定的.虽然单个分子的速率取偶然值,但大量分子的速率满足一定的统计规律.一、气体分子速率分布函数

设分子可能的速率值:取速率区间:表示第i个速率间隔中的分子数占总分子数的百分比Ni/N平衡态时,分布在不同区间的不同的,当v0时,Ni/(Nv)与v无关,仅是v的连续函数。Ni速率分布函数速率在v附近的单位速率间隔内的分子数占总分子数的百分比,或某分子速率出现在v附近的单位速率间隔内的概率.满足归一化条件：

在任一有限速率范围内的分子数占总分子数的比率对于与气体热运动速率有关的物理量，其平均值为问题：已知f(v)是速率分布函数,说明以下各式的物理意义：二、麦克斯韦速度分布率Maxwell在1859年发表论文《气体动力理论的说明》，其速度分布率及速率分布率的推导思路如下：麦克斯韦速度分布率表达式为⑴以表示速度分量vx在vx+dvx之间的粒子数，用分布函数g(vx)表示在单位vx区间dvx宽度内出现的概率，则

同理有⑵假设三个概率是彼此独立的，则粒子同时出现在vx到vx+dvx

，vy到vy+dvy，vz到vz+dvz间的概率为式中为速度分布率（3）由于粒子在各方向运动的概率相等，所以速度分布与粒子的速度的方向无关。速度分布函数只是速度大小的函数速度分布率可以写成考虑到具有无限大速率的粒子出现的概率极小，故A应为负值。令A=-1/2,则要满足这一关系，函数应具有的形式，则分布函数应满足归一化条件，所以利用数学积分公式，可得------麦克斯韦速度分布率三、麦克斯韦速率分布率在半径为v，厚度为dv、体积为4v2dv的球壳内，粒子的速率v出现在同一速率区间dv内的概率相同。故将速度分布率中的换成4v2dv即可得粒子在v到v+dv区间出现的概率1、速度空间2、

确定常数由上式可得速率平方的平均值麦克斯韦速度分布率及速率分布率表达式为：而四、麦克斯韦分布律的特征麦克斯韦速率分布率适用于平衡态的气体f(vp)0vf(v)vpvv+dv面积=dNNA2温度T变化:当T升高时,A点右下移,分布变平坦.温度越高,速率大的分子数越多.f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)T1T3T2vp2vp1AT1<T2<T31

最大值vp,一边无限延伸,最小值为0(v=0时).曲线的特点:3质量m变化:当m增大时,A点左上移,分布变陡峭.粒子质量越大,速率大的分子数越少.f(v)f(vp3)vvp3f(vp1)f(vp2)m1m3m2vp2vp1Am1>m2>m3五、麦克斯韦速率分布的实验验证OD蒸汽源检测器R抽气抽气密勒-库什实验装置及演示1955年密勒（Miller）和库什（P.Kusch）做的实验比较精确地验证了麦克斯韦速率分布定律。当园柱体R以角速度旋转时，只有那些速率v满足关系式改变，对不同速率范围内的原子射线测其强度，就可验证麦克斯韦速度分布率

的原子才能通过细槽。应用麦克斯韦分布律计算有关问题时常用到的一些广义函数积分的递推公式亦可直接查阅定积分积分表1、平衡态下微观粒子的三种速率1)最概然速率(最可几速率)vp---出现概率最大的速率六、麦克斯韦分布律的应用3)方均根速率2)平均速率三种速率在不同的问题中各有自已的应用v02、气体分子碰壁数与泻流碰壁数:单位时间内碰到单位面积容器壁上的分子数单位时间内速度在v附近的dv范围与内壁内表面面元的d碰撞：单位时间内同碰撞的各种速度的总分子数dN则为利用积分公式，得故有碰壁数，故把面元d

挖掉成一小孔。当小孔很小，以致跑出的气体分子对容器内气体平衡状态的影响可以忽略，这样小孔的漏气现象称为泻流.值就是单位时间内泄漏出单位面积小孔的分子数。例题1氢气的温度是300K.求速率在3000～3010ms–1之间的分子数与速率在1500～1510ms–1之间的分子数之比。氢气(H2)在温度T=300K时的最可几速率解：设因，故麦克斯韦速率分布公式可写为速率在1500到1510间的分子数所以速率在3000到3010间的分子数一、气体分子在重力场中按高度的分布平衡态理想气体，柱状、重力场中即§3

、玻耳兹曼分布律

由p0pp+dpz+dzz0z考虑z—z+dz

段

两边积分得：表明:分子数密度随高度的增加按指数衰减.在登山运动和航空驾驶中常通过测压强p来估算高度.玻耳兹曼由重力场的势能，直接推广到任意保守力场中二、麦克斯韦－玻耳兹曼分布（MB分布）由此可知，外场中粒子按位置的分布律为而麦克斯韦速度分布率，粒子按速度的分布律为在经典力学中，位置和动量（或速度）是互相独立的，因此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相独立事件，由独立事件的概率乘法法则可知，粒子按速度及位置的分布律为

上式称为麦克斯韦－玻耳兹曼分布律,简称麦-玻分布.适用于任何保守场中、由任何物质微粒组成的系统.就叫玻耳兹曼因子。§4、能量均分定理

确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目.一、自由度双原子分子：刚性

i=5非刚性i=6多原子分子：刚性:i=6非刚性:i3n

气体分子运动自由度：单原子分子：3个平动自由度,i=3二、能量按自由度均分定理理想气体的平均平动能为在平衡状态下

分子在每个平动自由度上的平均动能相等,都等于kT/2.在温度为T的平衡态下,物质分子的任何一个自由度上均分配有kT/2

的平均热运动动能.能量按自由度均分定理分子的平均总能量t：平动自由度数；r：转动自由度数；s：振动自由度数i=?非刚性多原子i=7非刚性双原子i=6i=5i=3刚性多原子刚性双原子单原子推广:平衡态时,任何一种运动或能量都不比另一种运动或能量更占优势,在各个自由度上,运动的机会均等且能量均分。三、理想气体的内能与热容1mol理想气体的内能：mol理想气体的内能：理想气体的内能是温度的单值函数U=U(T)单原子分子气体双原子刚性分子气体例题2求在温度为30℃时氧气分子的平均平动动能,平均动能,平均能量以及4.010-3kg的氧气的内能.解:

氧分子是双原子分子,平动自由度t=3,转动自由度r=2，常温下,可以认为分子是刚性分子,不计振动.平均平动动能平均动能平均能量内能例题3星体周围大气的稳定性。试计算气体在大气中的逃逸速率与方均根速率之比.其中:大气温度T=290K,地球质量Me=6.0×1024kg,地球半径Re=6.4×106m.解:设离地球中心无穷远处引力势能为零,在地球表面附近大气层中的分子具有引力势能分子逃逸条件而对于气体分子