《直线的点斜式方程》课件

直线的点斜式方程2/4/20231αl1.倾斜角x轴正方向与直线向上方向之间所成的角α.倾斜角倾斜角的范围：xyO复习引入2/4/20232

2.斜率(1).表示直线倾斜程度的量①倾斜角:0°≤α<180°②斜率:k=tanα(α≠900)(2).斜率的计算方法:(3).斜率和倾斜角的关系复习引入2/4/20233思考:在直角坐标系中，由直线的斜率不能确定其位置，再附加一个什么条件，直线的位置就确定了？2/4/20234（1）已知直线上的一点和和直线的倾斜角（斜率）可以确定一条直线.（2）已知两点也可以确定一条直线.OxyLP1P2α这样，在直角坐标系中，(1)给定一个点和斜率；或(2)给定两点.3.确定一条直线的几何要素.确定一条直线！也就是说，平面直角坐标系中的点在不在这条直线上是完全确定的.复习引入2/4/20235复习引入两条直线平行与垂直的判定平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率分别为k1、k2，有l1∥l2k1＝k2.垂直：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分别为k1、k2，则有l1⊥l2k1k2=-1.条件：不重合、都有斜率条件：都有斜率2/4/20236LxyOα(一)问题：我们能否用给定的条件：(1)点P0的坐标和斜率k；或(2)两点P1,P2的坐标.将直线上所有点的坐标(x,y)满足的关系表示出来呢？(二)如图,设直线L经过定点P0(x0,y0),且斜率为k.P0(x0,y0)显然，若经过定点P0且斜率为k，则这两个条件确定这条直线.这就是下面我们要研究的直线方程问题.新课讲授2/4/20237

如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，那么，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线.直线方程的概念新课讲授2/4/20238已知直线l经过已知点P1（x1，y1），并且它的斜率是k，求直线l的方程。lOxy.P1根据经过两点的直线斜率公式，得由直线上一点和直线的斜率确定的直线方程，叫直线的点斜式方程。P.1、直线的点斜式方程：设点P（x，y）是直线l上不同于P1的任意一点。2/4/20239点斜式方程(1)直线l上任意一点的坐标都是方程(2)的解(满足方程)；解:设P(x,y)直线L上不同于P0的任意一点.(2)坐标满足方程(2)的任意一组解都是直线l上点.点斜式xyLP0(x0,y0)OP说明：①斜率要存在！②方程(1)是有缺点的直线；而方程(2)表示一条完整的直线.2/4/202310思考:我们把方程叫做直线的点斜式方程，经过点P0(x0，y0)的任意一条直线的方程都能写成点斜式吗？

2/4/202311特殊情况:xylP0(x0,y0)(1)l与x轴平行或重合时:y0直线上任意点纵坐标都等于y0O倾斜角为0°斜率k=02/4/202312特殊情况:xylP0(x0,y0)(2)l与x轴垂直时:x0直线上任意点横坐标都等于x0O倾斜角为90°斜率k不存在!不能用点斜式求方程!但是直线是存在的.2/4/202313小结:点斜式方程xylxylxylO①倾斜角α≠90°②倾斜角α=0°③倾斜角α=90°y0x02/4/202314点斜式方程的应用：例1：一条直线经过点P1（-2，3），倾斜角α=450，求这条直线的方程，并画出图形。解：这条直线经过点P1（-2，3）,斜率是k=tan450=1代入点斜式得y－3=x+2Oxy-55°P1°°画图时，只需再找出直线l上的另一点P1(x1,y1)，例如，取x1=－4,y1=1，得P1的坐标(－4,1)，则过P0,P1的直线即为所求．2/4/2023151.写出下列直线的点斜式方程（1）经过点A（3，-1），斜率是（2）经过点B，倾斜角是30°（3）经过点C（0，3），倾斜角是0°（4）经过点D（4，-2），倾斜角是120°练习2/4/202316练习2/4/2023172.填空题：(1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么，直线的斜率为____,倾斜角为_____________.(2)已知直线的点斜式方程是那么，直线的斜率为___________,倾斜角为_______.

1练习2/4/202318Oxy.(0,b)

直线的斜截式方程：已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0，b），求直线方程。代入点斜式方程，得l的直线方程： y-b=k（x-0）即y=kx+b。(2)直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。2/4/202319思：一）截距是距离吗？二）如何求直线在坐标轴上的截距？例二：写出下列直线的斜率和在y轴上的截距：2/4/202320思考:直线的斜截式方程在结构形式上有哪些特点？如何理解它与一次函数的联系和区别？思考:能否用斜截式方程表示直角坐标平面内的所有直线?思考:若直线l的斜率为k，在x轴上的截距为a，则直线l的方程是什么？y=k(x-a)2/4/202321思考：如何求直线y-y0=k(x-x0)在x轴、y轴上的截距？

2/4/202322xylP0(0,b)斜截式斜率截距说明:(1)当知道斜率和截距时用斜截式.(2)斜率k要存在，纵截距b∈R.2/4/202323斜截式方程的应用：例2：斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。解：由已知得k=5，b=4，代入斜截式方程y=5x+42/4/202324练习3、写出下列直线的斜截式方程：2/4/202325练习4、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直线l的方程解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得y－(－5)=－2(x－3)即2x+y－1=02/4/202326例题分析：∥∥上述成立的前提条件：有斜率且非零！2/4/202327练习判断下列各直线是否平行或垂直(1)(2)2/4/202328数学运用：

例4、求下列直线的斜截式方程:（1）经过点A(-1，2)，且与直线y=3x+1垂直；（2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5.(3)倾斜角为600，且与y轴的交点到坐标原点的距离为3.2/4/2023292/4/2023302/4/202331练习5、求过点P（2，-3）且在两坐标轴截距相等的直线方程。2/4/202332例题分析：2/4/202333例题分析：2/4/202334练习6、求过点（1，2）且与两坐标轴组成一等腰直角三角形的直线方程。解：∵直线与坐标轴组成一等腰直角三角形 ∴k=±1直线过点（1，2）代入点斜式方程得y-2=x-1或y－２＝－（ｘ－１）即ｘ－ｙ＋１＝0或ｘ＋ｙ－１＝02/4/202335①直线的点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时才可以应用。②直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。总结：斜截式方程:y=kx+b

几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距点斜式方程：y-y1=k(x-x1)直线L1:y=k1x+b1,L2:y=k2x+b22/4/202336小结1.点斜式方程当知道斜率和一点坐标时用点斜式2.斜截式方程当知道斜率k和截距b时用斜截式3.特殊情况①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°②直线与x轴垂直时，倾斜角α=90°作业：P100:A1(1)(2)(3)(5),A2,A3.斜率存在！2/4/202337巩固练习①经过点（-，2）倾斜角是300的直线的方程是

（A）y＋=（x－2）（B）y+2=（x－）

（C）y－2=（x＋）（D）y－2=（x＋）

②已知直线方程y－3=（x－4），则这条直线经过的已知点，倾斜角分别是（A）（4，3）；600（B）（－3，－4）；300

（C）（4，3）；300

（D）（－4，－3）；600

③直线方程可表示成点斜式方程的条件是（A）直线的斜率存在（B）直线的斜率不存在（C）直线不过原点（D）不同于上述答案

2/4/202338已知A（0，3），B（-1，0），C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）。...ACBOxyDD2/4/202339注意：直线上任意一点P与这条直线上一个定点P1所确定的斜率都相等。⑵当P点与P1重合时，有x=x1，y=y1，此时满足y-y1=k（x-x1），所以直线l上所有点的坐标都满足y-y1=k（x-x1），而不在直线l上的点，显然不满足（y-y1）/（x-x1）=k即不满足y-y1=k（x-x1），因此y-y1=k（x-x1）是直线l的方程。⑶如直线l过P1且平行于x轴，则它的斜率k=0，由点斜式知方程为y=y0;如果直线l过P1且平行于Y轴，此时它的倾斜角是900，而它的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但这时直线上任一点的横坐标x都等于P1的横坐标所以方程为x=x1⑴P为直线上的任意一点，它的位置与方程无关Oxy°P1°°°°°°°P°°°°°°2/4/202340数学之美：

k为常数时，下列方程所表示的直线过定点吗？直线是过定点（0，2）的直线束；

2/4/202341思考题