第五章轴向拉伸及压缩

第二篇材料力学2023/2/51

第5章轴向拉伸与压缩工程力学（静力学与材料力学）第二篇材料力学返回总目录2

拉伸和压缩是杆件基本受力与变形形式中最简单的一种，所涉及的一些基本原理与方法比较简单，但在材料力学中却有一定的普遍意义。

本章主要介绍杆件承受拉伸和压缩的基本问题，包括：内力、应力、变形；材料在拉伸和压缩时的力学性能以及强度设计。本章的目的是使读者对弹性静力学有一个初步的、比较全面的了解。

第5章轴向拉伸与压缩3

承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。

一些机器和结构中所用的各种紧固螺栓，在紧固时，要对螺栓施加预紧力，螺栓承受轴向拉力，将发生伸长变形。

第5章轴向拉伸与压缩4

承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的应用非常广泛。

由汽缸、活塞、连杆所组成的机构中，不仅连接汽缸缸体和汽缸盖的螺栓承受轴向拉力，带动活塞运动的连杆由于两端都是铰链约束，因而也是承受轴向载荷的杆件。

第5章轴向拉伸与压缩5

此外，起吊重物的钢索、桥梁桁架结构中的杆件等，也都是承受拉伸或压缩的杆件。

第5章轴向拉伸与压缩6§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例工程问题中，有很多杆件是受拉或受压的。7桁架结构－塔吊§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例8桁架结构－房屋结构§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例9桁架结构－高压线塔§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例10斜拉桥承受拉力的钢缆

第5章轴向拉伸与压缩11§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例qFFt轴向拉伸与压缩实例

pF轴向受力杆轴向受力杆简化模型FF12直杆受拉或受压时的特点：受力特点：FFFF变形特点：这样的杆件称为拉（压）杆。这样的力称为轴向拉力或轴向压力。外力合力的作用线与杆轴线重合；杆件变形主要是沿轴线方向的伸长或缩短。13轴力与轴力图拉、压杆件的强度设计

拉、压杆件的变形分析

结论与讨论拉、压杆件横截面上的应力拉伸与压缩时材料的力学性能

第5章轴向拉伸与压缩返回总目录14轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩返回15+

当所有外力均沿杆的轴线方向作用时，杆的横截面上只有沿轴线方向的一个内力分量，这个内力分量称为“轴力”（normalforce）用FN

表示。表示轴力沿杆轴线方向变化的图形，称为轴力图（diagramofnormalforces）。

为了绘制轴力图，杆件上同一处两侧横截面上的轴力必须具有相同的正负号。因此，约定使杆件受拉的轴力为正，受压的轴力为负。FNFN－轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩16绘制轴力图的方法与步骤如下：

其次，根据杆件上作用的载荷以及约束力，轴力图的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点；

第三，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与正负：产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的轴力为负；

最后，建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。

首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力；轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩17CAB

直杆，A端固定，在B、C两处作用有集中载荷F1和F2，其中F1＝5kN，F2＝10kN。F1F2llCABllF1F2FA试画出：杆件的轴力图。

例题1解：1.确定A处的约束力

A处虽然是固定端约束，但由于杆件只有轴向载荷作用，所以只有一个轴向的约束力FA。求得FA＝5kN由平衡方程

轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩18解：2.确定控制面

3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'

、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡。

CABF1F2llCABllF1F2FA

在集中载荷F2、约束力FA作用处的A、C截面，以及集中载荷F1作用点B处的上、下两侧横截面都是控制面。

B"B'轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩19

3.应用截面法求控制面上的轴力

用假想截面分别从控制面A、B'

、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FAB"B'CABllF1F2FNA轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩203.应用截面法求控制面上的轴力

用假想截面分别从控制面A、B'

、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FAB"B'CBlF1F2B"FNB''

轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩21

3.应用截面法求控制面上的轴力

用假想截面分别从控制面A、B'

、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FAB"B'FNB'ClF2B'轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩22

3.应用截面法求控制面上的轴力用假想截面分别从控制面A、B'

、B"、C处将杆截开，假设横截面上的轴力均为正方向（拉力），并考察截开后下面部分的平衡，求得各截面上的轴力：

CABllF1F2FAB"B'FNCClF2轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩23

4.建立FN-x坐标系，画轴力图

FN-x坐标系中x坐标轴沿着杆件的轴线方向，FN坐标轴垂直于x轴。

将所求得的各控制面上的轴力标在FN-x坐标系中，得到a、b"、b´和c四点。因为在A、B"之间以及B´、C之间，没有其他外力作用，故这两段中的轴力分别与A（或B"

）截面以及C（或B´）截面相同。这表明a点与b"点之间以及c点与b´点之间的轴力图为平行于x轴的直线。于是，得到杆的轴力图。轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩24FN/kNOxCABF1F2llCABllF1F2FNAFNB''

CBlF1F2B"FNB'ClF2B'FNCClF2b"5b'10c105a轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩25根据以上分析，绘制轴力图的方法确定约束力；

根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定控制面，也就是轴力图的分段点；

应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开，在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向；对截开的部分杆件建立平衡方程，确定控制面上的轴力

建立FN－x坐标系，将所求得的轴力值标在坐标系中，画出轴力图。

轴力与轴力图

第5章轴向拉伸与压缩261.内力求内力的方法：截面法。例子取截面m-m由平衡条件可知：内力的合力作用线沿轴线拉力为正；压力为负。

轴力图

轴力(用FN表示)。轴力的正负号规定：mmFFF﹜FNx27例1

已知：F1=40kN,F2=30kN,F3=20KNkN。解：112233F1F2F3ABCD

1-1截面，取右边，受力如图。求：1-1,2-2和3-3截面的轴力,并作杆的轴力图。11F1F2F3BCDFN1

2-2截面,取右边,受力如图。22F2F3CDFN2FN1=F1+F2-F328112233F1F2F3ABCDFN3

2-2截面,取右边,受力如图。22F2F3CDFN2

3-3截面,取右边,受力如图。33F3D轴力图xFN

(kN)50102029§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力

F1=40KNF2=20KNq=20kN/m3m1mABCXAB部分:F2FNFN+F2=0；FN=-20KNFN(X)=F1-qx=40KN-20KNX20KN40kN+F1BC部分：FN(X)FN(X)-F1+qX=0x30

第5章轴向拉伸与压缩工程力学（静力学与材料力学）第二篇材料力学返回总目录31拉、压杆件横截面上的应力

第5章轴向拉伸与压缩返回32横截面上的正应力根据轴力还不能确定杆的强度。为了得到截面应力分布规律，需研究杆件变形。杆的变形变形后a'b',c'd'FFFabd'Fa'b'c'cd变形前横截面上各点，变形后仍在同一平面,内,而且仍垂直于轴线(内部变形假设)。(1)仍为直线;(2)仍互相平行且垂直于轴线;

平面假设33FNFabd'Fa'b'c'cd由平面假设

平面假设各纵向纤维变形相同各纵向纤维受力相同正应力在横截面上均匀分布横截面上分布的平行力系的合力应为轴力N。正应力公式34正应力公式说明此公式对受压的情况也成立；正应力的正负号规定:(指向外法线为正)横截面上的正应力也近似为均匀分布，可有：对变截面杆，sxsxsxsx当截面变化缓慢时，35杆端加载方式对正应力分布的影响圣维南原理 若用与外力系静力等效的合力代替原力系，则这种代替对构件内应力与应变的影响只限于原力系作用区域附近很小的范围内。对于杆件，此范围相当于横向尺寸的1～1.5倍。即：离端面不远处，应力分布就成为均匀的。36例题2

变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB＝10×102mm2，BC段杆的横截面面积ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。

试求：直杆横截面上的绝对值最大的正应力。拉、压杆件横截面上的应力

第5章轴向拉伸与压缩37

解：1．

作轴力图由于直杆上作用有4个轴向载荷，而且AB段与BC段杆横截面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必须首先确定各段杆的横截面上的轴力。

应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为：

FNAD＝－2FP＝－120kNFNDE＝FNEB＝－FP＝－60kNFNBC＝FP＝60kN拉、压杆件横截面上的应力

第5章轴向拉伸与压缩38

2．计算直杆横截面上绝对值最大的正应力

横截面上绝对值最大的正应力将发生在轴力绝对值最大的横截面，或者横截面面积最小的横截面上。本例中，AD段轴力最大；BC段横截面面积最小。所以，最大正应力将发生在这两段杆的横截面上：

拉、压杆件横截面上的应力

第5章轴向拉伸与压缩39例题3

三角架结构尺寸及受力如图所示。其中FP＝22.2kN；钢杆BD的直径dl＝25．4mm；钢梁CD的横截面面积A2＝2.32×103mm2。

试求：杆BD与CD的横截面上的正应力。拉、压杆件横截面上的应力

第5章轴向拉伸与压缩40

首先对组成三角架结构的构件作受力分析，因为B、C、D三处均为销钉连接，故BD与CD均为二力构件。由平衡方程

解：1．受力分析，确定各杆的轴力拉、压杆件横截面上的应力

第5章轴向拉伸与压缩41其中负号表示压力。

解：1．受力分析，确定各杆的轴力

2．计算各杆的应力应用拉、压杆件横截面上的正应力公式，BD杆与CD杆横截面上的正应力分别为：拉、压杆件横截面上的应力

第5章轴向拉伸与压缩42例题已知P＝38kN，问零件内最大拉应力发生在哪个截面上？并求其值。AABBCCAAA=(50-22)x20=560mm2ABB=(50-10)x20=800mm2ACC=(50-22)x15x2=840mm2smaxFNA=38000/560x10-6=67.86x106Pa=67.86MPa43例受内压圆筒。已知d=70mm，壁厚t=2.5mm，内压p=3.5MPa。求沿周向的应力。FNFN44由截面的对称性知，径向截面上的应力必然仅存在拉应力单位长度管子，由Y方向的平衡方程，有代入数值，得FNFN45直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力有时拉(压)杆件沿斜截面发生破坏。横截面上的正应力:FFkkaFFkk斜截面k-k应力仍为均匀分布内力仍为F斜截面面积:因此，需要确定斜截面上的应力。46kkFF斜截面k-k应力仍为均匀分布内力仍为F斜截面面积:斜截面上的全应力:pasataaa斜截面上的正应力和剪应力47pasataaa

角斜截面上的正应力和剪应力正负号规定

的正负号:的正负号:从横截面的法线到斜截面的法线，逆时针为正，顺时针为负。

的正负号:拉应力为正，压应力为负。绕所保留的截面，顺时针为正，逆时针为负。讨论48pasataaa

角斜截面上的正应力和剪应力讨论

=0时(横截面):

=45(斜截面):

=90(纵向截面):

结论:max

发生在横截面上,max发生在=45斜截面上,49拉伸与压缩时材料的力学性能

第5章轴向拉伸与压缩返回50

材料在拉伸时的力学性能试件和试验设备

试件l

标距d

直径

试验设备液压式试验机,电子拉力试验机塑性材料脆性材料

典型代表:低碳钢金属材料

典型代表:铸铁51试件和试验设备

试件l

标距d

直径l=10d

长试件；l=5d

短试件。

试验设备液压式试验机电子拉力试验机52一、低碳钢拉伸时的力学性能拉伸图新课53拉伸图

-

曲线54

-

曲线1

弹性阶段

(ob段)oa段:为直线直线斜率:这就是著名的胡克定律。E

弹性模量,具有应力的量纲,常用单位:GPaa点的应力:比例极限

P

当

<P

时成立。55ab段:不再是直线。在b点以下，卸载后变形可以完全恢复。

弹性变形b点的应力:弹性极限

e

当应力超过e

时，将产生塑性变形。屈服极限

s

2

屈服阶段(bc段)

强度的重要指标56恢复抵抗变形的能力强化。e点的应力:强度极限

b

3

强化阶段4局部变形阶段(ef

段)(ce段)强度的另一重要指标。颈缩现象。名义应力下降。575延伸率和断面收缩率为度量材料塑性变形的能力，定义两个指标。延伸率这里，l为试件标线间的标距，l1为试件拉断后 量得的标线间的长度。

断面收缩率这里，A为试件原横截面面积，A1为试件拉断 后颈缩处的最小截面面积。通常，5%

的材料，为塑性材料；

5%

的材料，为脆性材料。586卸载定律和冷作硬化

卸载过程

卸载后再加载dd'为直线dd'//aod'g

弹性应变；od'

塑性应变。先沿d'd

直线，然后沿def曲线。在d'd

段满足胡克定律。59

卸载后再加载先沿d'd

直线，然后沿def曲线。在d'd

段满足胡克定律。

冷作硬化材料进入强化阶段以后的卸载再加载历史,使材料的比例极限提高，而塑性变形能力降低，这一现象称为冷作硬化。60二、其它塑性材料拉 伸时的力学性能名义屈服极限与低碳钢相比共同之处:断裂破坏前经历较大的塑性变形；不同之处：有的没有明显的四个阶段。合金钢20Cr高碳钢T10A螺纹钢16Mn低碳钢A3黄铜H6261对于没有明显的屈服阶段的塑性材料，工程上规定:用产生0.2

%塑性应变时的应力作屈服指标，称为名义屈服极限，用P0.2表示。名义屈服极限P0.262三、铸铁拉伸时的力学性能63抗拉强度很低。特点：无屈服过程；拉断前，塑性变 形很小；b弹性模量

割线弹性模量强度指标：强度极限b

-

曲线64

材料在压缩时的力学性能

E,s与拉伸时大致相同。因越压越扁,得不到b

。金属的压缩试件:短圆柱，其高度与直径之比为1.低碳钢压缩时的-

曲线

1.5~3。652.铸铁压缩时的-

曲线

抗压强度极限比抗拉强度极限高4~5倍。破坏断面与轴线大约成45~55的倾角。66小结比例极限

P

弹性极限

e

屈服极限

s

强度极限

b

弹性模量

E

延伸率

,断面收缩率

材料的力学性能指标塑性材料抗拉强度和抗压强度相同。脆性材料抗压强度远大于抗拉强度。弹性指标强度指标塑性指标名义屈服极限P0.267几种常用材料的主要力学性能68例题已知材料的屈服应力σS=300MPa，比例极限σｐ＝２00MPa，直径d=１０mm，今轴向加载12KN时，测得标距段100mm伸长了0.075mm，而直径减小为9.998mm,试求材料弹性模量Ｅ和泊桑比μ。当载荷增加到20和30KN时,材料处于什么状态,能否应用胡克定律求应力?解:首先判断所加应力是否在比例极限内?纵向线应变为:工作应力为:横向应变为:弹性模量为:泊桑比:当轴向力为20KN时已超出比例极限当轴向力为30KN时已超出屈服极限69

温度和时间对材料力学性能的影响1、高温对材料的力学性能有影响;2、长期在高温下工作的构件，会产生蠕变 和松弛;3、蠕变：应力保持不变，应变随时间增加 而增加的现象;4、松弛：应变保持不变，应力随时间增加 而降低的现象。几个概念：70失效、安全系数和强度计算1失效失效—由于材料的力学行为而使构件丧失正 常功能的现象。强度失效由于断裂或屈服引起的失效刚度失效由于过量的弹性变形引起的失效屈曲失效(失稳)由于突然失去平衡状态而引起的失效其它失效形式疲劳失效蠕变失效松弛失效712拉压构件材料的强度失效判据塑性材料以屈服极限s

为失效判据脆性材料受拉时：以强度极限b拉

为失效判据;受压时：以强度极限b压

为失效判据。3许用应力与安全系数塑性材料脆性材料ns

塑性材料的 安全系数nb

脆性材料的 安全系数723许用应力与安全系数塑性材料脆性材料安全系数的确定材料素质（质量、均匀性、塑性、脆性）；载荷情况（峰值载荷、动静、不可预见性)；构件简化过程和计算方法的精确度；零件的重要性、制造维修的难易程度；减轻重量（飞机、手提设备等）。塑性材料：ns=1.2~2.5脆性材料：nb

=2~3.5一般地：734拉压构件的强度条件注意：对于非等直杆，max

还与截面积A有关。强度问题的三种类型强度校核截面设计确定许可载荷74拉、压杆件的强度设计

第5章轴向拉伸与压缩返回75

螺纹内径d＝15mm的螺栓，紧固时所承受的预紧力为FP＝20kN。若已知螺栓的许用应力σ

＝150MPa，

试：校核螺栓的强度是否安全。

例题4

解：1．

确定螺栓所受轴力

应用截面法，很容易求得螺栓所受的轴力即为预紧力：

FN＝FP＝20kN

2．

计算螺栓横截面上的正应力

根据拉伸与压缩杆件横截面上的正应力公式，螺栓在预紧力作用下，横截面上的正应力拉、压杆件的强度设计

第5章轴向拉伸与压缩76

3

．应用强度条件进行强度校核

已知许用应力σ

＝150MPa，而上述计算结果表明螺栓横截面上的实际应力

所以，螺栓的强度是安全的。拉、压杆件的强度设计

第5章轴向拉伸与压缩77例

气动夹具

解：取杆,受力如图。轴力已知：D＝140mm,

p=0.6MPa,20钢,[s]=80MPa。求：活塞杆直径d.FF近似地所以FFN78所以而取再校核满足强度条件,所以就取：FF79例

杆系结构解：求轴力已知：杆AB、AC材料相同,[s]=160MPa,A1＝706.9mm2,A2＝314mm2.求：许可载荷F。取节点A，受力如图。FFFN2FN1F80由强度条件(1)(2)所以，许可载荷F的值应为：81由强度条件(1)(2)所以，许可载荷F的值应为：

法二

列出平衡方程同前由强度条件(1)(2)82

法二

列出平衡方程同前由强度条件(1)(2)将上两式代入平衡方程，可解出许可载荷F

:显然，与前一种方法解出的F=97.1kN

不同。为什么？哪一种方法不正确？错在哪里？两杆中的内力，并不一定第二种方法不正确。同时达到最大允许轴力。83例

起重机AB为空心钢杆，外径105mm,内径95mm,钢索1和2平行，相当于直径d=25mm的圆杆，[σ]=60MPa，求许可吊重。w84例

解平衡方程解平衡方程撑杆强度条件钢索强度条件WFN85例斜截面m-n由两部分胶合而成。胶合面上[σ]=100MPa，[τ]=50MPa。设由胶合面的强度控制杆件的拉力。为使F最大，α应为多少？当A＝4cm2，a60，确定许可载荷F。FFmna横截面上的应力scos2a[s]scosasina[t]按强度条件86FFmnascos2a[s]scosasina[t]按强度条件要使F最大，则s应最大[s]/cos2a=[t]

/cosasinatga=[t]/[s]=0.5a=26.57as10050p/4p/2smax60

87这时s=

F/A=[s]/cos226.57

=125MPa

s=[t]/cos60

sin60

=115.5MPa<125MPa

a=60

时所以Fmax=125x106x4x10-4=50000N=50kN

88拉、压杆件的变形分析

第5章轴向拉伸与压缩返回891.轴向变形轴向变形量应变应力应力-应变关系 胡克定律的 另一种形式EA

抗拉(或抗压)刚度注意：上式只在应力不超过比例极限时成立。FF902.横向变形横向变形量横向应变试验证明上式也可写成：

泊松比或横向变形系数。当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变成比例关系,因此有：FF913.多力变截面杆变形F1F2F3L3L3L1当杆件可化为若干段等截面且轴力为常数时,可分段求每一段的轴向变形,代数求和后即为整个杆件的轴向变形。每一段的轴向变形为：总的轴向变形为：上述和式中当轴向力为拉力时取正，压力时取负，所得结果为正表示杆件为伸长变形。924.截面或内力连续变化的杆轴向变形取一微段，该段内力和截面积可视为不变积分得：微段的伸长可用等截面内力为常数的基本公式:F1F2xdxA1A2A(X)A(X)FN(X)FN(x)+dFN(x)dx93几种常用材料的E和m的约值(表2.2)94例题6

变截面直杆，ADE段为铜制,EBC段为钢制；在A、D、B、C等4处承受轴向载荷。已知：ADEB段杆的横截面面积AAB＝10×102mm2，BC段杆的横截面面积ABC＝5×102mm2；FP＝60kN；铜的弹性模量Ec＝100GPa，钢的弹性模量Es＝210GPa；各段杆的长度如图中所示，单位为mm。

试求：直杆的总变形量。

拉、压杆件的变形分析

第5章轴向拉伸与压缩95

解：1．

作轴力图由于直杆上作用有4个轴向载荷，而且AB段与BC段杆横截面面积不相等，为了确定直杆横截面上的最大正应力和杆的总变形量，必须首先确定各段杆的横截面上的轴力。

应用截面法，可以确定AD、DEB、BC段杆横截面上的轴力分别为：

FNAD＝－2FP＝－120kN；

FNDE＝FNEB＝－FP＝－60kN；

FNBC＝FP＝60kN。

拉、压杆件的变形分析

第5章轴向拉伸与压缩962．计算直杆的总变形量

直杆的总变形量等于各段杆变形量的代数和。

：

在上述计算中，DE和EB段杆的横截面面积以及轴力虽然都相同，但由于材料不同，所以需要分段计算变形量。

拉、压杆件的变形分析

第5章轴向拉伸与压缩97例1

变截面杆已知：BD段A1=2cm2,AD段A2=4cm2,P1=5kN,P2=10kN,E=120GPa

。图中尺寸为cm。求：AB杆的变形。解：(1)求轴力BD段FN1CD段FN2AC段FN3F1F2F1F1F1F298(1)求轴力BD段CD段AC段(2)求变形F1F299(2)求变形AB杆的变形F1F2100轴向拉伸或压缩时的变形例求AB的变形已知材料弹性模量E=210Gpa,截面积A=3cm2Ｆ1=40KNＦ2=20KNq=20kN/m3m1mABCXdx解：BC部分内力方程为：101轴向拉伸或压缩时的变形取一微段dx,该微段为无限小,内力不变FN(X)FN(X)+dFN(X)dxq(x)微段的伸长变形为：d(ΔL)=FN(x)dx/EAΔL=NABLAB/EA+LABΔL=-201031/210109310-4++(401033–2010332/2)/210109310-4=-0.317+0.476=0.159(mm)ΔLBC=LAB=(40KN-20kNx)dx/EA30102例M12螺栓内径d1=10.1mm，拧紧后在计算长度l=80mm内伸长Dl=0.03mm。

E＝210GPa，求应力和螺栓的预紧力。103例

e=0.000375=375me=lls=Ee=210x109x0.000375=78.8x106Pa=78.8MPa预紧力为F=FN=As=6310N=6.31kN104例2

已知：BC杆:d=20mm,BD杆:8号槽钢。[]=160MPa,E=200GPa,F=60kN。求：校核强度及B点位移。解：(1)求轴力取B点(拉)BC杆面积(压)(2)计算应力BD杆面积查型钢表得F105BC杆面积(2)计算应力BD杆面积查型钢表得应力BC杆变形(3)计算杆的变形<[]=160MPa<[]=160MPaFFFN2FN1106BC杆变形(3)计算杆的变形BD杆变形(4)计算B点位移确定变形后B点的位置B3

B点水平位移ΔFΔl1Δl2107(4)计算B点位移确定变形后B点的位置B3

B点水平位移

B点垂直位移Δl1Δl2108例题求图示结构A点的垂直位移,已知BD杆轴向刚度EA,水平杆AC可视为刚体。Fθ2aaABCDFNFCXFCY解：取刚体ＣＡ为研究对象，并取Ｃ为矩心变形几何关系:δAδBΔLφθθ及109

轴向拉伸或压缩的变形能弹性体在外力作用下，因变形而储存的能量称为变形能（或应变能）。1变形能力的功当应力小于比例极限时力的元功FlDl力的总功FdF拉伸曲线FDld(Dl)Dl1F1Dl110当应力小于比例极限时FlDl力的总功FdF拉伸曲线PDld(Dl)Dl1F1Dl变形能由胡克定律由能量守恒原理111FlDl推广到多杆系统由能量守恒原理由胡克定律变形能

注意外力的功沿外力方向的位移单位体积内的变形能。2比能(应变能密度)内力或截面连续变化时有:112单位体积内的变形能。2比能(应变能密度)d拉伸曲线d11单元体上下两面的力为:当应力有一个增量d时,x方向伸长的增量为:取一单元体：sdxdydzsx方向的伸长为:则元功为:力所作的功为:113d拉伸曲线d11sdxdydzs则力所作的功为:所以:比能:当应力小于比例极限时114比能:当应力小于比例极限时由胡克定律或:由比能求应变能应力分布均匀时应力分布不均匀时115例3

解：已知:BD杆外径90mm，壁厚2.5mm，杆长l=3m。E=210GPa。BC是两条钢索，每根截面积172mm2，E1=177GPa。F=30kN,不考虑立柱变形。求:B点垂直位移。解三角形得BC=l1=2.20m,CD=1.55mBC、BD的截面积分别为

A1＝344mm2,A=687mm2取B点，受力如图：F116取B点，受力如图：FN1=1.41F,

FN2=1.93FFN1FFN2外力P所作的功等于BC及BD杆的变形能，所以FFFF117

拉伸、压缩静不定问题静定问题—— 未知力（内力或外力）个 数等于独立的平衡方程数;静不定问题——未知力个数多于独立 的平 衡方程数;静不定次数—— 未知力个数与独立平衡方程 数之差，也称静不定度数;多余约束——保持结构静定多余的约束。关于静不定的基本概念118静力平衡方程－力的平衡关系。变形协调方程－变形与约束的协调关系。物理关系－力与变形的关系。求解静不定问题的基本方法例1已知：1、2杆相同，抗拉刚度为E1A1

,3杆的抗拉刚度为E3A3

,长为l,角。求：各杆的内力。F213ADCBl静不定的次数？1次静不定。解：119例1已知：1、2杆相同，抗拉刚度为E1A1

,3杆的抗拉刚度为E3A3

,长为l,

角。求：各杆的内力。F213ADCBl解：(1)静平衡方程取A点，受力如图。yxFFN3FN1FN2静不定次数？1次。120213ADCB(1)静平衡方程l1l2A'(2)变形协调方程l3213ADCBl1l2A'l3法二(3)物理关系(1)(2)(3)121(1)静平衡方程(2)变形协调方程(3)物理关系物理关系代入变形协调方程与平衡方程联立，可解出:(1)(2)(3)(4)122(1)静平衡方程物理关系代入变形协调方程与平衡方程联立，可解出:(1)(2)(4)123例2已知：等直杆,EA,P;a,b。求：两端的约束反力。解：(1)静平衡方程取杆，受力如图。ACBFabFR2R1(2)变形协调方程而AB杆总长度不变，AC段受拉，拉伸变形为BC段受压，压缩变形为所以静不定次数？1次。124(1)静平衡方程ACBFabFR2R1(2)变形协调方程AC段轴力BC段轴力所以(3)物理关系由物理关系和变形协调方程，得125(1)静平衡方程ACBFabFR2R1(2)变形协调方程(3)物理关系由物理关系和变形协调方程，得与平衡方程联立，解得：126GF例3已知：AB为刚性梁，1、2两杆的横截面面积相等,材料相同，F力已知。求：1、2两杆的内力。解：静不定次数？(1)静平衡方程1次。取AB杆，受力如图。FAyFAxN1N2127(2)变形协调方程(1)静平衡方程l1l2(3)物理关系FAyFAxN1N2F128(2)变形协调方程(1)静平衡方程(3)物理关系联立解出FAyFAxFN1FN2FF129例题:刚性板中有一孔,其中穿过螺栓并以预紧力FNO,然后加力F于下面的盖板,求:(1)此时螺栓内力的变化;(2)若在盖板上面加一垫板,求此时螺栓的内力变化(当垫板加力F时的变形∆=F/K,K为垫板刚度系数)。F/2F/2刚性板下盖板螺栓解(1)：因为板是刚性的,所以只要保持和板接触,螺栓长度不变，拉力也是不变的。而当力F大于预紧力FNO时,则刚性板和盖板间不再接触，此时螺栓拉力等于F所以有：当F≤FNOFN=FNO当F≥

FNOFN=F130解(2)F/2F/2螺栓刚性板下盖板垫板垫板受力FAFA螺栓受力FAFBF/2F/2只要下面保持接触,螺栓的伸长与垫板的缩短总和绐终不会变:它等于预紧时的变形总量(F=0时),即:131因此只要保持接触,变形总量等于

预紧时的变形总量,即:F/2F/2螺栓刚性板下盖板垫板由平衡条件:由以下两式得到:当F=FNO(1+EA/KL)时,FA=0,下面不再接触FN=FB=F;当K=∞,即板为刚性,是问题(1)的解132第二篇材料力学2023/2/5133题2.41两根杆材料不同，截面尺寸相同，且E1＞E2。要使两杆均匀拉伸，求拉力F的偏心距。分析：要使两杆均匀拉伸，则两杆伸长必相同FFF134题2.41解所以d1＝d2d1

＝FN1lE1Ad2

＝FN2lE2A由平衡方程得FN1+FN2＝FE1FE1+E2

FN1

=E2FE1+E2

FN2

=最后得FFN1FN2ebFN1b

＝F(e+)b2e

＝b(-)12E1E1+E2135

温度应力与装配应力

1.温度应力由于温度变化引起的应力，称为温度应力或热应力。温度应力仅存在于静不定结构中。化工管道桥梁裸露的输气管及水管由温度引起的变形其中，为材料的线膨胀系数；T为温度变化值；l为杆的长度。136由温度引起的变形碳钢的线膨胀系数:a

=12.5x10-6(1/C)例4已知：a

=12.5x10-6(1/C)

，E=200GPa。求：温度应力。解：取杆，受力如图。(1)静平衡方程其中，为材料的线膨胀系数；T为温度变化值；l为杆的长度。137例4已知：a

=12.5x10-6(1/C)

，E=200GPa。求：温度应力。解：取杆，受力如图。(1)静平衡方程(2)变形协调方程(3)物理关系138(1)静平衡方程(2)变形协调方程(3)物理关系当

T

=80C

时，而低碳钢的ss仅235MPa，许用应力[s]通常仅120MPa

左右。所以温度应力是非常大的。139伸缩节波纹管伸缩节140伸缩缝火车钢轨伸缩缝钢轨钢轨负温度系数的材料梳状伸缩缝叠合伸缩缝141江阴长江大桥的伸缩缝伸缩缝当温度从-20C到60C时，桥面伸长将达1.34m142例5已知：ACB为刚性杆，钢杆AD的A1=100mm2,l1=330mm，E1=200GPa,a1=12.510-6/C;铜杆BE的A2=200mm2,l2=220mm，E2=100GPa，a2=16.510-6/C,温升30C。求：两杆的轴力。解：(1)静平衡方程取AB杆，受力如图。FN1FN3FN2143(1)静平衡方程(2)变形协调方程A'B'(3)物理关系144(1)静平衡方程(2)变形协调方程(3)物理关系联立解得:结果为正，表示两杆的确受压。1452.装配应力 由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构存在应力，称装配应力。 装配应力仅存在于静不定结构中。已知：三杆长为l,截面积、材料均相同，中间杆短于名义长度，加工误差为d=l/2000。求：装配应力。例6146已知：三杆长为l,截面积、材料均相同，中间杆短于名义长度，加工误差为d=l/2000。求：装配应力。解：分析变形。(1)静平衡方程例6取螺栓，受力如图。(2)变形协调方程FN3FN1FN2147(1)静平衡方程(2)变形协调方程(3)物理关系联立解得:FN3FN1FN2148铸铁套筒中穿过钢螺栓。旋进1/4圈，求螺栓与套筒间的预紧力。设螺距为h。FN2FN1149题解变形几何条件:平衡条件:FN1=FN2补充方程:150拉伸、压缩静不定问题简要复习静力平衡方程－力的平衡关系。变形协调方程－变形与约束的协调关系。物理关系－力与变形的关系。求解静不定问题的基本方法建立变形协调方程先解除“多余”约束，成为静定结构；根据“变形与内力一致”原则，画出变形 几何关系图；根据几何关系图，建立变形协调方程。151

温度应力与装配应力

1.温度应力由于温度变化引起的应力，称为温度应力或热应力。温度应力仅存在于静不定结构中。由温度引起的变形2.装配应力 由于加工时的尺寸误差，造成装配后的结构存在应力，称装配应力。 装配应力仅存在于静不定结构中。152

应力集中的概念 由于截面尺寸的突然变化，使截面上的应力分布不再均匀，在某些部位出现远大于平均值的应力，这种现象称为应力集中。新课153应力集中与圣维南原理理论应力集中系数这里，为截面上的平均应力。

k

的值可以查手册。当宽度远大于圆孔直径时，k

=3。154应力集中的影响

静载荷时

塑性材料

——产生屈服后，应力重新分配。应力趋于平均。这种情况下，可不考虑应力集中的影响。155

静载荷时

塑性材料

——产生屈服后，应力重新分配,应力趋于平均。这种情况下，可不考虑应力集中的影响。

脆性材料

——应力集中部位的应力首先达 到强度极限而破坏。应力集中的危害严重。

灰口铸铁

——内部缺陷是产生应 力集中的主要因素，外形变化是

次要因素。

动载荷时156

动载荷时在交变应力或冲击载荷作用下，应力集中对塑性材料和脆性材料的强度都有严重影响。 塑性材料－在交变应力作用下，应力集中部 位首先产生疲劳裂纹而产生疲劳破坏。157

剪切与挤压的实用计算1. 剪切的实用计算钢杆的受剪158键的受剪159剪切件的特点受力的特点杆件两侧作用有两个大小相等，方向相反，作用线相距很近的外力。变形的特点两外力作用线间的截面发生错动。剪力受剪面上的剪力160剪力简化假设：剪应力在受剪面上均匀分布。受剪面上的剪力剪应力计算名义剪应力：受剪面的面积。强度条件161例1(书例2.14)已知：插销材料为20钢，[t]=30MPa，直径d=20mm,t

=8mm,1.5t

=12mm,P

=15kN。求：校核插销的剪切强度.解：插销受力如图。具有两个剪切面：双剪问题。取两个剪切面之间的杆为研究对象，受力如图。162解：插销受力如图。具有两个剪切面：双剪问题。取两个剪切面之间的杆为研究对象，受力如图。剪切面的面积结论：满足剪切强度要求。163例2已知：钢板厚t

=10mm,其剪切极限应力tu=300

MPa。求：要冲出直径d

=25mm的孔，需多大冲剪力P？解：剪切面是哪一个面？剪切面的面积1642. 挤压的实用计算

挤压接触面上由于挤 压力太大而产生 塑性变形，形成 的破坏称挤压破 坏。连接件和被连接件接触面相互压紧的现象。

应力分布

简化假设165

简化假设应力在挤压面上均匀分布。

挤压应力有效挤压面面积等于实际挤压面面积在垂直于总挤压力作用线的平面上的投影。挤压面上传递的力有效挤压面的面积。

有效挤压面面积的计算166实际挤压面有效挤压面面积等于实际挤压面面积在垂直于总挤压力作用线的平面上的投影。

有效挤压面面积的计算有效挤压面对圆截面杆：167对圆截面杆：对平键：挤压强度条件许用挤压应力通常大于许用应力，一般地168例3已知：d=70mm,键的尺寸为bhl=2012100mm，力偶m=2kNm,键的[t]=60MPa,[sbs]=100MPa。

求：校核键的强度。解：1)校核键的剪切强度剪切面上的剪力取键的下半部分和轴，受力如图FoyFox169FoyFox1)校核键的剪切强度剪切面上的剪力取键的下半部分和轴，受力如图

剪切面的面积剪应力170FoyFox剪应力满足剪切强度要求。2)校核键的挤压强度挤压力取键的上半部分，受力如图1712)校核键的挤压强度挤压力取键的上半部分，受力如图

有效挤压面

挤压应力满足挤压强度要求。172例4已知：[t]=30MPa，直径d