第五节 微积分学基本公式_第1页
第五节 微积分学基本公式_第2页
第五节 微积分学基本公式_第3页
第五节 微积分学基本公式_第4页
第五节 微积分学基本公式_第5页
已阅读5页，还剩27页未读， 继续免费阅读

下载本文档

版权说明：本文档由用户提供并上传，收益归属内容提供方，若内容存在侵权，请进行举报或认领

文档简介

牛顿－莱布尼兹公式第五节微积分学基本公式

如果物体运动的速度函数为v=v(t)，那么，根据定积分的物理意义，在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定积分表示为

另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s=s(t)，则在时间区间[a,b]内物体的位移

s=s(b)–s(a)，一、问题的提出变速直线运动中位置函数与速度函数的联系所以，有：由于，即s(t)是v(t)的原函数，这就是说，定积分等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间[a,b]上的增量s(b)–s(a).猜想二、变上限的定积分如果x是区间[a,b]上任意一点，定积分表示曲线y=f(x)在部分区间[a,x]上曲边梯形AaxC的面积，如图中阴影部分所示的面积.当x在区间[a,b]上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分yxy=f(x)axbOACB是上限变量x的函数.记作(x)，即≤≤(x)定理1若函数

f(x)在区间

[a,b]

上连续，则变上限的定积分在区间

[a,b]

上可导，并且它的导数等于被积函数在上限处的函数值，即证按导数定义，给自变量x以增量x，x+

x[a,b]，由(x)的定义得对应的函数(x)的量(x)，即(x)=(x+x)-

(x)x+xACbBy=f(x)xyxaO(x)根据积分中值定理知道，在x与x+

x之间至少存在一点x，(x)又因为f(x)在区间[a,b]上连续，所以，当x0时有xx，f(x)

f(x)，从而有(x)故使成立.定理1告诉我们，是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数是存在的，所以，定理1也称为原函数存在定理.变上限定积分例1

求(x).解

根据定理1，得例2求函数当时的导数值.解例3

求(x).解

根据定理1，得例4

求F(x).解

根据定理1，得例5求

解例6求解分析：这是型不定式，应用洛必达法则.例7

求

解三、牛顿－莱布尼兹公式定理2

如果函数

f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是

f(x)在区间

[a,b]

上任一原函数，那么（微积分学基本公式）证由定理1知道f(x)在[a,b]上的一个原函数，又由题设知道F(x)也是f(x)在[a,b]上一个原函数，由原函数的性质得知，同一函数的两个不同原函数只相差一个常数，即把x=a代入①式中，则，常数C=F(a)，于是得①≤≤令x=b代入上式中，移项，得再把积分变量t换成x，为了今后使用该公式方便起见，把②式右端的这样②式就写成如下形式：得②注意牛顿—莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的基本方法，即求定积分的值，只要求出被积函数f(x)的一个原函数F(x)，然后计算原函数在区间[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定积分归结为求原函数的问题，揭示了定积分与不定积分之间的内在联系.意义例8

计算解因为所以是的一个原函数，所以例9

计算解因为所以是的一个原函数，所以有例10

计算解

例11

计算解

例12求

解例13计算正弦曲线的面积.解:解：例14

设≤x≤0≤x≤因为(

人人文库> 全部分类> 教育资料 > 备课教案

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明，都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等，如果需要附件，请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸，网页内容里面会有图纸预览，若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间，仅对用户上传内容的表现方式做保护处理，对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑，并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容，请与我们联系，我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

最新文档

评论

0/150

提交评论