《平行线的性质和判定及其综合运用》教案 (公开课)2022年人教版数学

第课平行线的性质与判定及其综合运用一、教学目标1．理解平行线的性质与平行线的判定是相反的问题，掌握平行线的性质．2．会用平行线的性质进行推理和计算．3．通过平行线性质定理的推导，培养学生观察分析和进行简单的逻辑推理的能力．4．通过学习平行线的性质与判定的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别的辩证唯物主义思想．二、学法引导1．教师教法：采用尝试指导、引导发现法，充分发挥学生的主体作用，表达民主意识和开放意识．2．学生学法：在教师的指导下，积极思维，主动发现，认真研究．三、重点·难点解决方法〔一〕重点平行线的性质公理及平行线性质定理的推导．〔二〕难点平行线性质与判定的区别及推导过程．〔三〕解决方法1．通过教师创设情境，学生积极思维，解决重点．2．通过学生自己推理及教师指导，解决难点．3．通过学生讨论，归纳小结．四、课时安排1课时

五、教具学具准备投影仪、三角板、自制投影片．六、师生互动活动设计1．通过引例创设情境，引入课题．2．通过教师指导，学生积极思考，主动学习，练习稳固，完成新授．3．通过学生讨论，完成课堂小结．七、教学步骤〔一〕明确目标掌握和运用平行线的性质进行推理和计算进一步培养学生的逻辑推理能力．〔二〕整体感知以情境创设导入新课以教师引导，学生讨论归纳新知，以变式练习稳固新知．〔三〕教学过程创设情境，复习导入师上节课我们学习了平行线的判定，回忆所学内容看下面的问题〔出示投影片1〕．1．如图1，〔1〕∵〔〕，∴〔〕．〔2〕∵〔〕，∴〔〕．〔3〕∵〔〕，∴〔〕．2．如图2，〔1〕，那么

与

有什么关系？为什么？〔2〕，那么

与

有什么关系？为什么？图2

图3

3如图3一条公路两次拐弯后原来的方向相同第一次拐的角第二次拐的角是多少度？

是，学生活动：学生口答第1、2题．师第3题是一个实际问题，要给出的度数就需要我们研究与判定相反的问题，即两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角有什么关系，也就是平行线的性质．板书课题：【教法说明】通过1题，对上节所学判定定理进复习，2题为性质定理的推导做好铺垫通过第3题的实际问题入新课生急于解决这个问题，需要学习新知识从而激发学生学习新知识的积极性和主动性同时让学生感知到数学知识来源于生活，又效劳于生活．探究新知，讲授新课师我们都知道平行线的画法，请同学们画出直线的平行线结合画图过程思考画出的平行线，找一对同位角看它们的关系是怎样的？学生活动：学生在练习本上画图并思考．学生画图的同时教师在黑板上画出图形〔见4〕，当同学们思考时教师有意识地重复演示过程．【教法说明】让同学们动手、动脑、观察思考，使学生养成自己发现问题得出规律的习惯．学生活动：学生能够在完成作图后，迅速地答出：这对同位角相等．提出问题是不是每一对同位角都相等呢？请同学们任画一条直线使它截平行线与，得同位角、，利用量角器量一下；与有什么关系？学生活动学生按老师的要求画出图形，并进行度量，答复出不管怎样画截线，所得的同位角都相等．根据学生的答复，教师肯定结论．师条直线被第三条直线所截果这两条直线平行么同位角相等们把平行线的这个性质作为公理．［板书］两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．

【教法说明】在教师提出问题的条件下，学生自己动手，实际操作，进行度量，在有了大量感性认识的根底上脑分析总结出结论不仅充分发挥学生主体作用，而且培养了学生分析问题的能力．提出问题请同学们观察图5的图形，两条平行线被第三条直线所截，同位角是相等的，那么内错角、同旁内角有什么关系呢？学生活动学生观察分析思考很容易地答出内错角相等同分内角互补．师教师继续提问，你能论述为什么内错角相等，同旁内角互补吗？同学们可以讨论一下．学生活动：学生们思考，并相互讨论后，有的同学举手答复．【教法说明】在前面复习引入的第2题的根底上，通过学生的观察、分析、讨论，此时学生已能够进行推理这里教师必包办代替要充分调动学生的主动性和积极性进而培养学生分析问题的能力在学生有成就感的同时也鼓励了学生的学习兴趣．教师根据学生答复，给予肯定或指正的同时板书．［板书］∵〔〕，∴〔两条直线平行，同位角相等〕．∵〔对项角相等〕，∴〔等量代换〕．师：由此我们又得到了平行线有怎样的性质呢？学生活动：同学们积极举手答复以下问题．教师根据学生表达，板书：［板书］两条平行经被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：西直线平行，内错角相等．师下面清同学们自己推导同分内角是互补的并归纳总结出平行线的第三条性质．请一名同学到黑板上板演，其他同学在练习本上完成．师生共同订正推导过程和第三条性质，形成正确板书．［板书］∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕．∵〔邻补角定义〕，

∴〔等量代换〕．即：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成，两直线平行，同旁内角互补．师我们知道了平行线的性质，在今后我们经常要用到它们去解决、论述一些问题，所需要知道的条件是两条直线平行，才有同位角相等，内错角相等，同旁内角互补，即它们的符号语言分别为：∵〔见图6〕，∴〔两直线平行，同位角相等∵〔〔两直线平行错角相等〔两直线平行，同旁内角互补〕〔板书在三条性质对应位置上．〕尝试反响，稳固练习师们知道了平行线的性质复习引入的第题能解决这个问题呢？学生活动：学生给出答案，并很快地说出理由．练习〔出示投影片〕：如图7，平行线、

被直线

所截：图7〔1〕从，可以知道是多少度？为什么？〔2〕从，可以知道是多少度？为什么？〔3〕从，可以知道是多少度，为什么？【教法说明】练习目的是稳固平行线的三条性质．变式训练，培养能力完成练习〔出示投影片3〕．如图8是梯形有上底的一局部量得，梯形另外两个角各是多少度？图8学生活动在教师不给任何提示的情况下，让学生思考可以相互之间讨论并试着在练习本上写出解题过程．【教法说明】学生在小学阶段对于梯形的两底平行就已熟知，所以学生能够想到利用平行线的同旁内角互补来找和的大小这里学生能够自己解题教师防止包办代替，可以培养学生积极主动的学习意识，学会思考问题，分析问题．学生板教师指正，在几何里我们每一步结论的得出都要有理有据，标准学

生的解题思路和格式培养学生严谨的学习态度，修改学生的板演过程，可形成下面的板书．［板书］解：∵〔梯形定义〕，∴，〔两直线平行，同旁内角互补〕．∴．∴．变式练习〔出示投影片4〕1．如图9，直线经点，，，．〔1〕〔2〕

等于多少度？为什么？等于多少度？为什么？〔3〕、各等于多少度？2．如图10，、、、

在一条直线上，．〔1〕〔2〕

时，、时，、

各等于多少度？为什么？各等于多少度？为什么？学生活动：学生独立完成，把理由写成推理格式．【教学说明】题目中的为什么，可以用语言表达，为了培养学生的逻辑推理能力，最好用推理格式说明外第2题在求得一个角后另一个角的解法不惟一．对学生中出现的不同解法给予肯定设学生未想到用邻补角求解教师应启发诱导学生，从而培养学生的解题能力．〔四〕总结、扩展〔出示投影片1第1题和投影片5〕完成并比较．如图11，〔1〕∵〔〕，∴〔〕．〔2〕∵〔〕，

∴〔〕．〔3〕∵〔〕，∴〔〕．学生活动：学生答复上述题目的同时，进行观察比较．师：它们有什么不同，同学们可以相互讨论一下．〔出示投影6〕学生活动学生积极讨论，并能够说出前面是平行线的判定，后面是平行线的性质由角的关系得到两条直线平行的结论是平行线的判定，反过来由直线平行，得到角相等或互补的结论是平行线的性质．【教法说明】通过有形的具体实例，使学生在有充足的感性认识的根底上上升到理性认识，总结出平行线性质与判定的不同．稳固练习〔出示投影片7〕1如图12，是

上的一点，是

上的一点，，，〕和

平行吗？为什么？图12〔2〕

是多少度？为什么？学生活动：学生思考、口答．【教法说明这个题目是为了稳固学生对平行线性质与判定的联系与区别的掌握．知道什么条件时用判定，什么条件时用性质、真正理解、掌握并应用于解决问题．八、布置作业〔一〕必做题课本第99～100页A组第11、12题．〔二〕选做题课本第101页B组第2、3题．

作业答案A组11．〔1〕两直线平行，内错角相等．〔2〕同位角相等，两直线平行．两直线平行，同旁内角互补．〔3〕两直线平行，同位角相等．对顶角相等．12．〔1〕∵〔〕，∴〔内错角相等，两直线平行〕．〔2〕∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕，〔两直线平行，同位角相等〕．B组2．∵〔〕，∴〔两直线平行，同位角相等〕，〔两直线平行，内错角相等〕．∵〔∴〔两直线平行同位角相等，〔同上又∵〔已证，∴．∴．又∵〔平角定义〕，∴．3．平行线的判定与平行线的性质，它们的题设和结论正好相反．．5第课时

一次函数的应利用一次数解决实际题

12121212．根据问题条件找出能反映出实际问题的函数重)．能利用一次函数图象解决简单的实际问题，开展学生的应用能力(重点．建立一次函数模型解决实际问题(点)一、情境导入联通公司话费收费有A套(月租费15元通费每分钟元和B套餐(月租费元，通话费每分钟元两种．设套餐每月话费为y(元)B套每月话费为元)，月通话时间为x分钟．(1)分别表示出与x与x的数关系式；(2)月通话时间为多长时、两种套餐收费一样？(3)什么情况下套更省钱？二、合作探究探究点：一次函数与实际问题【类型一】利用图象(表解实际问题我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费的方法收费：月用水以包括的用户，每吨收水费元；月用水超过10t的户，10t水按每吨元费，超过10t的部，按每吨b元b)收费．设某户居民月用水xt应收水费y元与之的函数关系如以下列图．(1)求值，并求出该户居民上月用水8t应收的水费；(2)求值，并写出当x时y与x之的函数表达式；(3)上月居民甲比居民乙多用，两家共收水费46元他们上月分别用水多少吨？解析：(1)水量不超过10t时设其函数表达式＝ax，由上图可知图象经过(，从求得a的再将x＝代即可求得应收的水费可知图象过点和(20，，利用待定系数法可求得的和函数达式分别判断居民甲和居民乙水比多还是比10t少然后用相对应的表达式分别求出甲、乙上月用水量．解(1)当0≤10时过原点设＝ax把(15)代ayx(0≤x≤10)x＝8时y×8＝12，即该户居民的水费为12；＝，(2)当x时，设y＝bxm(≠0)．把(，和(35)入，得＝，

解得

即超过局部按每吨2元费，此时函数表达式＝2－5(x>10)；(3)因为×＋×＋×＝，所以居民乙用水比10t多．设居民乙上月用水x那居民甲上月用(＋y＝2(＋4)－y＝2得[＋4)－5](2－＝，解得x，居民乙用水方法总结此的关键是读懂图从图象中获取有用信息列出二元一次方程组得出函数关系式，根据关系式再得出相关结论．广安某水果店方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千，这两种水果的进价、售价如表所示：

最大最大甲种乙种

进价(元千克

售价元/千克)(1)假设该水果店预计进货款为1000元，那么这两种水果各购进多少千克？(2)假设该水果店决定乙种水果的货量不超过甲种水果的进货量的3倍，应怎样安排进货才能使水果店在销售完这批水果时获利最多？此时利润为多少元？解析：(1)据方案购进甲、乙两种新出产的水果共140千，进而利用该水果店预计进货款为元得出等式求出即可(2)利用两种水果每千克的利润表示出总利润，再利用一次函数增减性得出最大值即可．解设进甲种水果x千购乙种水(140千克题可得5＋9(140－x＝1000，解得x＝65，∴140－x＝千)答：购进甲种水果千克，乙种水果千克；(2)由图表可得甲种水果每千克利为元乙种水果每千克利润为4元设总利润为，题意可得＝x＋4(140)＝－x＋，故随x的增大而减小，那么越小越大．∵该水果店决定乙种水果的进货量不超过甲种水果的进货量的3倍∴140－x≤3，解得x≥35，∴当x＝35时＝＋560＝525(元，故140－＝105(千克)．答：当购进甲种水果35千，购进乙种水果105千时，此时利润最大为525元方法总结：利用一次函数增减性出函数最值是解题关键．如图①，底面积为30cm的空圆柱形容器水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体〞，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度(cm)与注水时间t(s)间的关系如图②所示．请根据图中提供的信息，解答以下问题：(1)圆柱形容器的高为多少？匀速水的水流速(位：3

/s)多少？假“几何体〞的下方圆柱的底面积为，“几何体〞上方圆柱的高和底面积．解析(1)根据图象，分三个局部：注“几何体〞下圆柱需18s注“几何〞上方圆柱需24－18＝6(s)注满“几何体〞上面的空圆柱形容器需42－＝，再设匀速注水的水流速度为x3

/s，据圆柱的体积公列方程，再解方程；(2)由图②知几何体下方圆柱的高为cm，根据圆柱的体积公式得－15)＝×5解得＝6于是得到几何体〞方圆柱的高为，“几何体〞上方圆柱的底面积为cm2，根据圆柱的体积公式得×－S)＝5(2418)，再解方程即可．解：根据函数图象得到圆柱形容器的高为14cm两个实心圆柱组成的“几何体〞的高度为水从刚满过由两个实心圆柱组成的“几何体〞到注满用了42－＝18(s)这段高度为1411＝3(cm)设匀速注水的水流速度为x，么x＝×，解得x＝，即匀速注水的水流速度为/s(2)由图②知“几何体〞下方圆柱高为acm，那么a·(3015)×5，解得a＝6，所以“几何体〞上方圆柱的高为1165(cm)．设“几何体〞上方圆柱的底积为cm2

，根据题意得5×－＝5×(24－解＝24即几何体〞上方圆柱的底面积为24cm2方法总结此题考查了一次函数应用分段函数图象中自变量与对应的函数值转化为实际问题中的数量关系，然后运用方程的思想解决实际问题．

最大值最大值【类型二】建立一次函数模型决实际问题某商场欲购进、B两品牌的饮料500箱，两种饮料每箱的进价和售价如表所示．设购进A饮料x，且所购进的两种饮料能全部卖出，获得的总利润为元(1)求y关的数表达式；(2)如果购进两种饮料的总费用不过20000元那么该商场如何进货才能获利最多？并求出最大利润(注：利润＝售价－本)品牌进价(元/)售价(元/)

A

B解析由表格中的信息可得到两种品牌每箱的利润根它们的数量求出利润，进而利用函数的图象性质求出最大利润．解：(1)题意，知B种料(－)箱，那么y＝(63－55)＋(40－35)(500－)＝3xy＝3＋2500(0≤500)(2)由题意x＋)≤x≤125.当x时＝3＋2500＝2875.该商场购进、两品牌的饮料别为箱箱时，能获得最大利润元．方法总结此题型往往取材于常生活中的事件，通过分析、整理表格中的信息，得到函数表达式并运用函数的性解决实际问题题的关键是读懂题目的要求和表格中的数据，注意思考的层次性及其中蕴含的数量关系．【类型三】两个一次函数图象同一坐标系内的问题为倡导低碳生活，绿色出行，某自行车俱乐部利用周末组织“远游骑行〞活动．自行车队从甲地出发，途经乙地短暂休息完成补给后，继续骑行至目的地丙地，自行车队出1小时后恰一辆邮政车从甲地出发沿自行车队行进路线前往丙地在丙地完成2小装卸工作后按原路返回甲地，自行车队与邮政车行驶速度均保持不变，如图表示自行车队、邮政车离甲地的路程与行车队离开甲地时间x的函数关系图象，请根据图象提供的信息解答以下各题：(1)自行车队行驶的