第二章信号及其描述

第二章、信号及其描述本章学习要求：1.了解信号分类方法2.掌握信号时域波形分析方法3.掌握信号频域频谱分析方法4.了解其它信号分析方法

信号波形：被测信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。振动弦(声源)声级计记录仪0At信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。§1-1信号的分类及其描述为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可以将其分为：1从信号描述上分--确定性信号与非确定性信号；2从信号的幅值和能量上分--能量信号与功率信号；3从信号分析域上分--时域与频域；4从信号自变量的取值是否连续--连续时间信号与离散时间信号；5从信号的物理可实现性上分

--物理可实现信号与物理不可实现信号。一、信号的分类

1确定性信号与非确定性信号可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号

x(t)=x(t+nT)简单周期信号复杂周期信号b)非周期信号：不会重复出现的信号。准周期信号准周期信号:由多个周期信号合成，但各周期信号的频率不成公倍数，其合成信号不是周期信号。如：x(t)=sin(t)+sin(√2.t)瞬态信号瞬态信号:持续时间有限的信号，如x(t)=e-Bt.Asin(2*pi*f*t)c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。噪声信号(平稳)噪声信号(非平稳)统计特性变异2能量信号与功率信号

a)能量信号在所分析的区间（-∞，∞），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：

一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。瞬态信号b)功率信号

在所分析的区间（-∞，∞），能量不是有限值．但平均功率是有限的，即此时，研究信号的平均功率更为合适。一般持续时间无限的信号都属于功率信号。复杂周期信号噪声信号(平稳)3时限与频限信号

a)时域有限信号在时间段(t1，t2)内有定义，其外恒等于零．b)频域有限信号在频率区间(f1，f2)内有定义，其外恒等于零．三角脉冲信号正弦波幅值谱4连续时间信号与离散时间信号

a)连续时间信号:在所有时间点上有定义

b)离散时间信号:在若干时间点上有定义幅值连续幅值不连续采样信号5物理可实现信号与物理不可实现信号a)物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件：t＜0时，x(t)=0，即在时刻小于零的一侧全为零。b)物理不可实现信号：在事件发生前(t<0)就预知信号。

连续时间信号n012345t0连续时间信号（可包含不连续点）离散时间信号（抽样信号）f(t)t0数字信号f(n)

(2)

(1)(1)01234n判断下列信号判断下列波形是连续时间还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？值域连续值域不连续

例1判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t（2）f2(t)=cos2t+sinπt

解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为ω1=2rad/s，T1=2π/ω1=πscos3t是周期信号，其角频率和周期分别为ω2=3rad/s，T2=2π/ω2=(2π/3)s由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。（2）cos2t和sinπt的周期分别为T1=πs，T2=2s，由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。（一）信号的时域波形分析以时间为独立变量，用信号幅值随时间变化的函数或图形来描述信号的方法称为时域描述（又称波形分析）信号的时域波形分析是最常用的信号分析手段，用示波器、万用表等普通仪器直接显示信号波形，读取特征参数。tA2、周期T，频率f=1/T3、峰值P，双峰值Pp-p第二节信号的描述方式1、信号波形图

tAT

PPp-p4、均值均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值。0At均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。5、均方值信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度，也称为信号的平均功率；其正平方根值，又称为有效值(RMS)

。工程测量中仪器的表头示值就是信号的有效值。6、方差信号x(t)的方差定义为：

大方差

小方差

方差：反映了信号绕均值的波动程度。（二）信号的频域分析

8563ASPECTRUMANALYZER9kHz-26.5GHz信号频域分析是采用傅立叶变换或傅立叶级数将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号的特征。

傅里叶变换或级数1频谱的概念131Hz147Hz165Hz175Hz频域参数对应于设备转速、固有频率等参数，物理意义更明确。时域分析只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除单频率分量的简谐波外，很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量大小。（三）两者的关系图例：受噪声干扰的多频率成分信号

时间幅值频率时域分析频域分析时域分析与频域分析的关系信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观，丰富的信息。

例：方波信号的描述

时域……T0T0T02T020tx(t)

频域，4A

4A34A50A()03050003050

()/2幅值谱相位谱x(t)0tT0补充：gibbs现象吉布斯现象：当用Fourier级数的谐波分量之和来表达具有间断点的波形时，由于实际所取的谐波分量项数有限，及用傅里叶级数展开时展开式在间断点邻域不能均匀收敛等原因，使得合成后的波形与原波形不一致，呈现波纹，这种现象就称为吉布斯现象。周期方波信号的时、频域描述

狄里克利（Dirichet）条件

在一周期内，若存在间断点，则间断点的数目为有限个。

在一周期内，极大值和极小值数目为有限个。

在一周期内，信号绝对可积，即

第三节周期信号及其离散频谱

1.傅里叶级数的三角函数展开式

Q:如何求各个系数？圆频率n=1,2,3…周期傅里叶级数的三角函数展开式如下：式中同频项合并后得：由上式可知，周期信号是由一个常值分量A0和若干个不同频率的简谐信号迭加而成的。其中：称为n次谐波(n>2时也称为高次谐波)，谐波频率为基波频率的整数倍；想一想：均值为零的周期方波的第3条谱线是几次谐波？

称为一次谐波或基波，基波频率与信号频率相同(周期相同)；基频当n为奇数时称为奇次谐波，当n为偶数时称为偶次谐波。A0称为信号的直流分量，即信号的均值。利用傅里叶级数把一个周期信号分解成一个直流分量和无数谐波分量之和的方法称为谐波分析法或傅里叶分析法。以角频率（或频率f）为横坐标，幅值An或相角φn为纵坐标所作的图形，分别称为信号的幅频图和相频图，两者统称为信号的频谱。想一想：周期信号频谱是连续的，还是离散的？为什么？例：周期性三角波的频谱

0T0/2-T0/2Ax(t)t......解：=0n=1,3,5,…

因此，有：4A

24A924A2520A()03050003050

()

A22例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化2复指数展开式

利用欧拉公式

周期信号可以写为：

得：按实频谱和虚频谱形式

幅频谱和相频谱形式

幅频谱图：|

cn|——相频谱图：

n

——实频谱图：

cnR

——虚频谱图：

cnI

——

负频率“负频率”是运算的需要。实际中，只有把负频

率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实

际的频谱函数；从向量旋转的方向：一个向量的实部可以看成两个旋转方向相反的矢量在其实轴上的投影之和，虚部为其在虚轴上的投影之差。

AA/20-00ReIm-负频率的说明

几点结论

复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到+），三角函数形式的频谱为单边谱（从

0到+）两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：

双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数

一般周期函数的复指数函数展开式的实频谱总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。

例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。

解：c-1=1/2，c1=1/2，c0=0（n=0,1）c-1=j/2，c1=-j/2，c0

=0（n=0,1）1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0cnR00-01/21/2cnR00-000-01/2-1/2cnIcnI00-0|cn|00-01/21/2|cn|00-01/21/2An001An001单边幅频谱单边幅频谱双边幅频谱双边幅频谱综上所述，周期信号频谱的特点如下：

周期信号的频谱是离散谱；

每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；

各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角大小。从总体上看，工程上常见的周期信号，其谐波分量幅值都是随谐波次数的增加而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。

第四节

瞬变非周期信号与连续频谱

瞬变信号例参见下页

频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，→周期信号

当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号

一般非周期信号是指瞬变非周期信号

1.傅里叶变换

非周期信号可以看成是周期T0

趋于无穷大的信号。

傅里叶变换(FT)

傅里叶反（逆）变换(IFT)

以代入得记为：x(t)X()FTIFT而且有：用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为

尽管非周期信号的幅频谱

和周期信号的幅频谱

很相似，但是两者量纲不同。

为信号幅值的量纲，而

为信号单位频宽上的幅值。所以

是频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。注意：例：求矩形窗函数的频谱

其中：T称为窗宽。在信号分析中称为抽样信号，它以2为周期并随的增加作衰减震荡。

1-T/2T/2tw(t)0W(f)T01T1Tf3T3T(f)01T2T3T1T2T3T2T2TW(f)函数只有实部，没有虚部。其幅值谱为：sinc是偶函数，在n（n=1,2,……）处其值为0。

其相位谱视的符号而定。当为正值时相角为零，为负值时相角为非周期信号频谱的特点

基频无限小，包含了从-

〜+的所有频率分量。

频谱连续。当非周期信号为时限信号（即|t|

t0时，x(t)=0)时，可拓展成一周期信号（T2t0），使连续谱离散化，所得离散谱的包络线与连续谱的形状相同。

|X()|与|cn|量纲不同。|cn|具有与原信号幅值相同的量纲，|X()|是单位频宽上的幅值。

非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。

傅立叶变换的主要性质

奇偶虚实性

若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数若x(t)为虚奇函数，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数若x(t)为实函数，则：ReX(f)=ReX(-f)ImX(f)=-ImX(-f)l

对称性：若则：X(t)x(-f)证明：

互换t和f:从而：X(t)x(-f)图

尺度改变性质举例a)k=1b)k=0.5c)k=2应用：磁带的慢录快放和快录慢放？图

时移性质举例a)时域矩形窗

b)图a）对应的幅频和相频特性曲线c)时移的时域矩形窗

d)图c）对应的幅频和相频特性曲线

若x(t)X(f)，且为常数,则频移性质证明：

时域卷积对应频域乘积时域乘积对应频域卷积

积分特性:

若则在振动测试中，如果测得振动系统的位移、速度或加速度中任意一个参数，应用微分、积分特性就可获得其他参数的频谱。一、单位脉冲函数(δ函数)

的频谱1.δ函数定义且其面积（强度）

/201/ts(t)0t(t)1几种典型信号的频谱2.δ函数的性质

1)采样性质

表明：任何函数f(t)和(t-t0)函数的乘积仍是一个强度为f(t0)的函数(t-t0)，而该乘积在无限区间上的积分则是f(t)在t=t0时刻的函数值f(t0)。2)

卷积性

函数与其它函数的卷积示例

3.δ函数的频谱

对δ(t)取傅里叶变换

δ函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱”

δ函数是偶函数，即

，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对

（各频率成分分别移相2ft0）

(tt0)(f)（单位脉冲谱线）

1（幅值为1的直流量）

1（均匀频谱密度函数）

(t)（单位瞬时脉冲）

频

域

时

域

二、

矩形窗函数和常值函数的频谱

1、矩形窗函数的频谱

（1）一个在时域有限区间里有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。

（2）在时域中截取信号的一段记录长度，相当于将原信号与矩形窗函数之乘积。（3）幅值最大，称主瓣，其它为旁瓣。主瓣宽度为窗宽倒数的2倍。2、常值函数(又称直流量)

的频谱幅值为1的常值函数的频谱为f=0处的δ函数

实际上，常值函数可以看成是窗宽为无穷大的矩形窗函数，由时间尺度改变性质，也可以得出其对应的频域函数就是δ函数。

三、

指数函数的频谱单边指数衰减函数

其傅里叶变换为

单边指数衰减函数及其频谱

四、

正余弦函数的频谱密度函数

正余弦函数不满足在无限区间上绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。由欧拉公式知：00ttsin2f0tcos2f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f0五、

梳状函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱

其中Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅氏级数

（fs=1/Ts）因为在（-Ts/2，Ts/2）区间内只有一个函数(t)，故从而

所以

即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），脉冲强度为1/Ts。

第五节随机信号的描述

随机信号是非确定性信号

随机信号具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性随机信号必须采用概率和统计的方法进行描述相关概念

随机现象：产生随机信号的物理现象。样本函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)，i表示第i次观测。样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数。随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作{x(t)}，即：{

x(t)}={x1(t)，x2(t)，……，xi(t)，……}随机变量：随机过程在某一时刻t1之取值x(t1)是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。集合平均：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程{

x(t)}