第三章 条件平差

测量平差

太原理工大学测绘科学与技术系第三章

条件平差

第三章

条件平差

§3-1条件平差原理

§3-2高程网条件平差

§3-3导线网条件平差计算

§3-4三角网条件平差计算§3-5附有参数的条件平差§3-6条件平差估值的统计性质

§3-1条件平差原理设在某个测量作业中，有n个观测值，均含有相互独立的偶然误差，相应的权阵为，改正数为，平差值为，表示为其中在这n个观测值中，有t个必要观测数，多余观测数为r。

条件平差原理可以列出r个平差值线性条件方程

式中，ai、bi、…、ri（i=1,2,……n）为各平差值条件方程式中的系数，a0、b0、…、r0为各平差值条件方程式中的常数项。相应的改正数条件方程式

式中wa、wb、…、wr称为改正数条件方程的闭合差条件平差原理

若取上式可分别表达成矩阵形式如下

条件平差原理按求函数极值的拉格朗日乘数法，引入乘系数（联系数向量），构成函数：

为引入最小二乘法，将Φ对V求一阶导数，并令其为零得上式两端转置，得条件平差原理由于P是主对角线阵，则

P=PT

，得将上式两边左乘权逆阵P

–1，得

此式称为改正数方程，其纯量形式为（i=1，2，…，n）将上式代入，得

此式称为联系数法方程（简称法方程）。

条件平差原理取法方程的系数阵

AP-1AT=N，由上式易知N阵关于主对角线对称，得法方程表达式

法方程数阵N的秩即N是一个r阶的满秩方阵，且可逆。移项得上式两边左乘法方程系数阵N的逆阵N–1，得联系数K的唯一解：代入前式，可计算出V，再将V代入,即可计算出所求的观测值的最或然值。

精度评定

精度评定包括单位权方差和单位权中误差的计算、平差值函数()的协因数QFF及其中误差的计算等。

计算单位权方差和中误差的估值

单位权中误差的计算公式为在一般情况下，观测值的真误差△是不知道的，也就不可能利用上式计算单位权中误差。但在条件平差中，可以通过观测值的改正数V来计算单位权方差和中误差：

式中r为多余观测值个数，r=n–t。协因数阵

条件平差的基本向量L、W、K、V、都可以表达成随机向量L的函数将向量L、K、V、组成列向量，并以Z表示之协因数阵按协因数传播律，得Z的协因数阵为

由上式可见，平差值与闭合差W、联系数K、改正数V是不相关的统计量，又由于它们都是服从正态分布的向量，所以与W、K、V也是相互独立的向量。

平差值函数的协因数

设有平差值函数

对上式全微分得

取全微分式的系数阵为

由协因数传播律得

平差值函数的协因数代入式得即此式即为平差值函数式的协因数表达式。该平差值函数的方差条件平差的计算步骤

（1）根据实际问题，确定出总观测值的个数n、必要观测值的个数t及多余观测个数r=n-t，进一步列出最或是值条件方程或改正数条件方程；（2）组成法方程式；（3）计算出联系数K；（4）计算出观测值改正数V；并计算出观测值的平差值；（5）计算单位权方差和单位权中误差；（6）列出平差值函数关系式，并对其全微分，求出其线性函数的系数阵f，计算出平差值函数的协因数QFF

，计算出平差值函数的协方差DFF。

§3-2高程网条件平差

高程网包括水准网和三角高程网。对高程网进行条件平差时，一般以已知高程点的高程值作为起算数据，以各测段的观测高差值作为独立观测值，写出其满足的条件关系式，按照条件平差的原理解算各高差值的改正数和平差值，然后再计算出各待求点的高程平差值，并进行精度评定。

高程网条件方程的个数及条件方程式

进行条件平差时，首先要确定条件方程的个数。从上节内容可知道，在一般情况下，条件方程式的个数与多余观测的个数r相符。而要确定多余观测个数就必须先确定必要观测个数t。高程测量（包括三角高程测量和水准测量）的主要目的是确定未知点的高程值。如图所示高程网中，有2个已知高程点A、B，3个未知高程点C、D、E和8个高差观测值。从图中可以看出，要确定3个未知点的高程值，至少需要知道其中的3个高差观测值（如h1、h2、h3，或h6

、h7

、h8

，或h2、h4

、h5

等多种选择），即必要观测个数t=3。

高程网条件方程的个数及条件方程式则多余观测个数r=n–t=8-3=5，可以写出这5个条件方程式相对应的改正数条件方程式形式其中高程网条件方程的个数及条件方程式

这些条件方程式（或改正数条件方程式），大体上分为两类：其一是闭合路线情况，如条件方程式中前四个条件方程式，可称为闭合条件方程式；其二是附合路线情况，如条件方程式中第五个，反应的是从A点出发后测得的B点的高程值是否与B点的已知高程值相等的问题，可称为附合条件方程式。§3-3导线网条件平差计算

导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结点导线网，是目前较为常用的控制测量布设方式之一，其观测值有长度观测值和角度观测值。

单一附合导线条件平差

单一附合导线条件平差如图3-6所示，在这个导线中有四个已知点、n-1个未知点、n+1个水平角观测值和n条边长观测值，总观测值数为2n+1。从图中可以分析，要确定一个未知点的坐标，必须测一条导线边和一个水平角，即需要两个观测值；要确定全部n-1个未知点，则需观测n-1个导线边和n-1个水平角，即必要观测值数t=2n-2；则多余观测个数r=(2n+1)–t=3。也就是说，在单一附合导线中，只有三个条件方程。下面讨论其条件方程式及改正数条件方程式的写法。单一附合导线条件平差设AB边方位角已知值为TAB=T0，CD边方位角已知值为TCD、计算值为Tn+1，B点坐标的已知值为(,)或者(x1,y1)，C点坐标的已知值为(,)、计算值为(xn+1,yn+1)。三个条件中，有一个方位角附合条件、两个坐标附合条件。

方位角附合条件：从起始方位角推算至终边的方位角平差值应等于其已知值，即

纵横坐标附合条件：从起始点推算至终点所得到的坐标平差值应与终点的已知坐标值相等，即单一附合导线条件平差1.方位角附合条件式则方位角附合条件式可写为整理得

其中单一附合导线条件平差2.纵坐标附合条件式终点C坐标平差值表示为而第i边的坐标增量为

式中单一附合导线条件平差其中Ti是第i边的近似坐标方位角则上式可表示为上式按泰勒级数展开，取至一次项，得其中，为由观测值计算出的近似坐标增量。

单一附合导线条件平差上式代入，整理得上式即为纵坐标条件方程式，也可写为统一形式：

单一附合导线条件平差3.横坐标附合条件式可以仿照纵坐标条件推导过程，写出横坐标条件式

为使计算方便，保证精度，在实际运算中，S、x、y常以米为单位，w、vS、vβ以厘米为单位，

单一闭合导线条件平差单一闭合导线条件平差1.多边形内角和闭合条件由于导线网构成了多边形，其n+1个转折角的平差值应满足多边形内角和条件

写成转折角改正数条件方程形式

其中

单一闭合导线条件平差2.坐标增量闭合条件参照单一附合导线纵横坐标附合条件推导方法，可以得出坐标闭合条件的改正数条件方程式：如果S、x、y以米为单位，w、vS、vβ以厘米为单位，则

边角权的确定及单位权中误差取角度观测值的权及中误差为：pβ、；取边长观测值的权及中误差为：pS、；取常数，则角度及边长观测值的权为

一般情况下，可以认为同一导线网中测角精度相等，但是由于导线边长变化较大使得测边精度不等。可以取，则有边角权的确定及单位权中误差由于导线网中，既有角度又有边长，单位权中误差应按下式计算：

如前所述，由于在计算边角权时，通常取测角中误差作为单位权中误差（即m0=mβ），所以在算出的单位权中误差的同时，实际上也就计算出了测角中误差。测边中误差可按下式计算：§3-4三角网条件平差计算

三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。

网中条件方程的个数

三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：r=n-t由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。因此，问题的关键是判定必要观测数t。条件方程的形式

1.图形条件方程图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行了观测。根据平面几何知识，三角形的三个内角的平差值的和应为180˚，三角形ABP，其内角平差值的和应满足下述关系：

此即为三角形内角和条件方程。由于三角形是组成三角网的最基本的几何图形，因此，通常称三角形内角和条件为图形条件。因此图形条件也是三角网的最基本、最常见的条件方程形式。相对应的改正数条件方程为

条件方程的形式

2.水平条件方程水平条件，又称圆周条件，这种条件方程一般见于中点多边形中。在中点P上设观测站时，周围的五个角度都要观测。这五个观测值的平差值之和应等于360˚，即

相应的改正数条件方程为

条件方程的形式

3.极条件方程极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中。先看中点多边形的情况。中心P点为顶点，有五条边，从其中任一条边开始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与推算值的长度相等。整理得条件方程的形式4.方位角条件方程方位角条件，严格地说是方位角附合条件，是指从一个已知方位角出发，推算至另一个已知方位角后，所得推算值应与原已知值相等。设AB边的方位角，EF边的已知方位角为。如果从AB向EF推算，设EF方位角的推算值的最或然值为，近似值为TEF。则方位角附合条件方程为

其中

条件方程的形式5.边长条件方程边长条件，严格地说是边长附合条件，是指从一个已知边长出发，推算至另一个已知边长后，所得推算值应与原已知值相等。三角网中，设AB边的已知长度为，EF边的已知长度为。如果沿图中所示的推算路线，从AB向EF推算，得EF边长推算值的最或然值为，近似值为SEF。则边长附合条件方程为

其中条件方程的形式6.坐标条件方程坐标条件方程，是指从一个已知点出发，推算至另一个已知点后，所得推算值应与该点的已知坐标值相等。三角网中，设B点的已知坐标为（，），E点的已知坐标为（，）。如果沿图中所示的路线，从B→C→E进行推算，得E点坐标推算值的最或然值为（，），近似值为(xE,yE)。则坐标条件方程为

§3-5附有参数的条件平差

设条件平差中有观测值n个，必要观测值t个，多余观测数r个，取u个非观测量作为参数（设为），则要列出的条件方程数为c=r+u附有参数的条件平差的函数模型为

用Δ和的估值v和代替，则附有参数的条件平差法的